【北京特級(jí)教師】2020-2021學(xué)年人教A版數(shù)學(xué)必修二課后練習(xí)：空間中的垂直關(guān)系-二

學(xué)科：數(shù)學(xué)專(zhuān)題：空間中的垂直關(guān)系推斷下列命題的真假(1)兩個(gè)平面垂直，過(guò)其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作與它們交線垂直的直線，必垂直于另一個(gè)平面；(2)兩個(gè)平面垂直，分別在兩個(gè)平面內(nèi)且相互垂直的兩直線，肯定分別與另一平面垂直．假如，，，那么．如圖所示，已知平面平面=，為、外一點(diǎn)，于，于，于．證明：．如圖，直角所在平面外有一點(diǎn)，，且為斜邊的中點(diǎn)．求證：平面．題面：如圖，四棱錐中，∥,，側(cè)面為等邊三角形．．證明：．如圖，已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，點(diǎn)E在側(cè)棱上，點(diǎn)F在側(cè)棱上，且．求證：．一個(gè)多面體的直觀圖及三視圖如圖所示．(其中M、N分別是AF、BC的中點(diǎn))．(1)求證：MN∥平面CDEF；(2)求多面體A—CDEF的體積．四棱錐P—ABCD的底面是始終角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E為PC的中點(diǎn)．(1)求證：BE∥平面PAD；(2)平面EBD能垂直于平面ABCD嗎？為什么？如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn)，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD(1)求證：DE∥平面A1CB；(2)求證：A1F⊥BE(3)線段A1B上是否存在點(diǎn)Q，使A1C⊥平面DEQ平面內(nèi)有一半圓，直徑，過(guò)作平面，在半圓上任取一點(diǎn)，連、，且、分別是在、上的射影．(1)求證：；(2)這個(gè)圖形中有多少個(gè)線面垂直關(guān)系？(3)這個(gè)圖形中有多少個(gè)直角三角形？(4)這個(gè)圖形中有多少對(duì)相互垂直的直線？課后練習(xí)詳解答案：錯(cuò)誤，錯(cuò)誤．詳解：(1)若該點(diǎn)在兩個(gè)平面的交線上，則命題是錯(cuò)誤的，如圖，正方體中，平面平面，平面平面，在上取點(diǎn)，連結(jié)，則，即過(guò)棱上一點(diǎn)的直線與棱垂直，但與平面不垂直，其錯(cuò)誤的緣由是沒(méi)有保證在平面內(nèi)．可以看出：線在面內(nèi)這一條件的重要性；(2)該命題留意了直線在平面內(nèi)，但不能保證這兩條直線都與棱垂直，如圖，在正方體中，平面平面，平面，平面，且，即與相互垂直，但與平面不垂直．答案：見(jiàn)詳解．詳解：證法一：如圖所示，設(shè)，，過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)作于，作于．∵，∴．又，∴，同理可證．∵且，∴．證法二：如圖所示，設(shè)，在平面內(nèi)作直線．∵，∴．設(shè)，在平面內(nèi)作直線．同理可證，因此．由于，，∴．而，，∴．故由知，．答案：見(jiàn)詳解．詳解：∵，，∴．∴、、、四點(diǎn)共面．∵，，，∴，．又，∴平面．∴．答案：見(jiàn)詳解．詳解：∵，為中點(diǎn)∴即又，∴≌≌∴．即，，∴平面．答案：見(jiàn)詳解．詳解：證明：取AB中點(diǎn)E，連結(jié)DE，則四邊形BCDE為矩形，DE=CB=2．連結(jié)SE，則又SD=1，故所以為直角．由，得,所以．SD與兩條相交直線AB、SE都垂直．所以答案：見(jiàn)詳解．詳解：由已知可得于是有,所以，又，所以平面，則答案：（1）見(jiàn)詳解；（2）eq\f(8,3)．詳解：由三視圖知該多面體是底面為直角三角形的直三棱柱ADE—BCF，且AB＝BC＝BF＝2，DE＝CF＝2eq\r(2)，∠CBF＝90°．(1)取BF的中點(diǎn)G，連結(jié)MG、NG，由M、N分別為AF、BC中點(diǎn)，可得NG∥CF，MG∥EF?面MNG∥面CDEF?MN∥面CDEF．(2)取DE中點(diǎn)為H，連結(jié)AH，由于AD＝AE?AH⊥DE．在直三棱柱ADE—BCF中，平面ADE⊥平面CDEF，面ADE∩面CDEF＝DE?AH⊥平面CDEF?多面體A—CDEF是以AH為高，以矩形CDEF為底面的棱錐，在△ADE中，AH＝eq\r(2)，SCDEF＝DE·EF＝4eq\r(2)?棱錐A—CDEF的體積V＝eq\f(1,3)SCDEF·AH＝eq\f(8,3)．答案：見(jiàn)詳解．詳解：(1)如圖所示，取PD的中點(diǎn)F，連接EF，易證四邊形ABEF是平行四邊形，∴BE∥AF．又BE?平面PAD，AF?平面PAD，∴BE∥平面PAD．(2)平面EBD不能垂直于平面ABCD，理由如下：假設(shè)平面EBD⊥底面ABCD，過(guò)E作EO⊥BD于O，連接AO，CO，由于A，O，C是P，E，C三點(diǎn)在平面ABCD上的射影，P，E，C三點(diǎn)均在直線PC上，故它們的射影也共線．∵平面EBD⊥平面ABCD，EO?平面EBD，EO⊥BD，BD＝平面EBD∩平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，又PA⊥平面ABCD，∴EO∥PA，而E為PC的中點(diǎn)，∴O為AC的中點(diǎn)，又由AB∥CD，可知△ABO∽△CDO，且相像比為1∶1，∴AB＝CD，這與“四邊形ABCD為梯形”沖突，故假設(shè)不成立，從而平面EBD不能垂直于平面ABCD．答案：見(jiàn)詳解．詳解：（1）由于D,E分別為AC,AB的中點(diǎn)，所以DE∥BC．又由于DE平面A1CB,所以DE∥平面A1CB．（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC,所以DE⊥AC．所以DE⊥A1D,DE⊥CD．所以DE⊥平面A1DC．而A1F平面A1DC,所以DE⊥A1F．又由于A1F⊥CD,所以A1F⊥平面BCDE．所以A（3）線段A1B上存在點(diǎn)Q,使A1C⊥平面DEQ．理由如下：如圖，分別取A1C,A1B的中點(diǎn)P,Q,則PQ∥BC又由于DE∥BC,所以DE∥PQ．所以平面DEQ即為平面DEP．由（2）知DE⊥平面A1DC,所以DE⊥A1C又由于P是等腰三角形DA1C底邊A1C所以A1C⊥DP,所以A1C⊥平面DEP,從而A1C故線段A1B上存在點(diǎn)Q,使得A1C⊥平面DEQ答案：(2)4個(gè)；（3）11個(gè)；（4）11對(duì)詳解：留意利用直線與直線、直線與平面垂直的有關(guān)學(xué)問(wèn)進(jìn)行推斷．(1)連、．如圖所示，∵為已知圓的直徑，∴．∵平面，，∴．∵，∴平面．∵平面，∴．∵于，，∴平面．∴∵于，∴平面，∴．(2)：由(1)知，平面，平面，平面．∵且，∴平面，∴圖中共有4個(gè)線面垂直關(guān)系．(3)∵平面，∴、均為直角三角形．∵平面，∴、均為直角三角形．∵平面，∴、、均為直角三角形．∵平面，∴、、、均為直角三角形．綜上，圖中共有11個(gè)直角三角形．(4)由平面知，，，．由平面知，，