2024-2025學(xué)年山東省菏澤市高二上學(xué)期期末教學(xué)數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年山東省菏澤市高二上學(xué)期期末教學(xué)數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知分別是平面的法向量，若，則（

）A． B． C．1 D．72．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為，則該橢圓的方程為（

）A． B．C． D．3．由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudio設(shè)計(jì)的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合的藝術(shù)品.若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線下支的一部分，且此雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（

）

A． B．2 C． D．4．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C．10 D．125．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為且成等差數(shù)列，則為（

）A．244 B．243 C．242 D．2416．歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù)，且與互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù).例如.則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 D．7．一平面截正四棱錐，與棱的交點(diǎn)依次為，已知，則的值為（

）A． B． C． D．8．如圖，分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，在左支上，在右支上，且，，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共4小題）9．在平面直角坐標(biāo)系中，某菱形的一組對(duì)邊所在的直線方程為：，另一組對(duì)邊.則下列命題正確的有（

）A．B．與距離相等的點(diǎn)的軌跡方程為C．該菱形一定有內(nèi)切圓和外接圓D．若直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，則10．已知點(diǎn)是平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，如果，，，下列結(jié)論正確的有（

）A． B．∥C．平面 D．四邊形為矩形11．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，是互不相同的正整數(shù)，且，若在平面直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)，則下列選項(xiàng)成立的有（

）A．直線與直線的斜率相等 B．C． D．12．為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為準(zhǔn)線，為焦點(diǎn)的拋物線的方程為.過(guò)的直線交于兩點(diǎn)，于于為線段的中點(diǎn).下列選項(xiàng)正確的有（

）A．面積的最小值為4B．C．直線與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線與軸交于點(diǎn)，則D．，當(dāng)且僅當(dāng)軸時(shí)取等號(hào)三、填空題（本大題共4小題）13．直線被圓C：截得的弦長(zhǎng)為.14．已知四面體是棱的中點(diǎn)，設(shè)，則（用向量表示）.15．已知圓上恰有3個(gè)點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為2，則該雙曲線的離心率為.16．如果數(shù)列滿足以下兩個(gè)條件，稱(chēng)該數(shù)列為“閉數(shù)列”.（1）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且單調(diào)遞增；（2）數(shù)列的前項(xiàng)組成的集合記為，對(duì)于任意，如果、，則.已知數(shù)列為“閉數(shù)列”，且，則.四、解答題（本大題共6小題）17．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．如圖，是底面邊長(zhǎng)為1的正四棱柱.(1)已知點(diǎn)到平面的距離為，求正四棱柱的高；(2)在（1）的條件下，求平面與平面所成角的余弦值.19．直線與雙曲線的兩條漸近線交于兩點(diǎn)，分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn).(1)求過(guò)點(diǎn)的圓的方程；(2)設(shè)（1）中的圓和雙曲線在第一象限交于點(diǎn)，求圓在點(diǎn)處的切線方程.20．“天眼”探空?神舟飛天?高鐵奔馳?北斗組網(wǎng)等，我國(guó)創(chuàng)造了一個(gè)又一個(gè)科技工程奇跡.為了順應(yīng)我國(guó)科技發(fā)展戰(zhàn)略，某高科技公司決定啟動(dòng)一項(xiàng)高科技項(xiàng)目，啟動(dòng)資金為2000億元，為保持每年可獲利20%，每年年底需從利潤(rùn)中取出200億元作為研發(fā)經(jīng)費(fèi).設(shè)經(jīng)過(guò)n年之后，該項(xiàng)目資金為億元.(1)寫(xiě)出的值，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)求至少要經(jīng)過(guò)多少年，該項(xiàng)目的資金才可以達(dá)到或超過(guò)翻一番（即為原來(lái)的2倍）的目標(biāo).（取）21．已知數(shù)列的首項(xiàng)為，前項(xiàng)和為，且.(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列.(2)若數(shù)列公差為，當(dāng)取最小值時(shí)，求的值.22．已知兩圓.一動(dòng)圓與圓相外切，與圓相內(nèi)切.設(shè)動(dòng)圓的圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)為曲線上的兩動(dòng)點(diǎn)，直線的斜率為，直線的斜率為，直線的斜率為，其中為的等比中項(xiàng)，以為直徑的圓的面積為，以為直徑的圓的面積為的面積為，求的最小值.

答案1．【正確答案】D【分析】根據(jù)兩個(gè)平面垂直，兩個(gè)平面的法向量也垂直，求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，解?故選：D2．【正確答案】A【分析】根據(jù)長(zhǎng)軸以及離心率即可求解.【詳解】由長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，可得，又離心率為，即，解得，故，所以橢圓方程為，故選：A3．【正確答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)即可求.【詳解】由題意，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且漸近線方程為，所以，即，所以該雙曲線的離心率為.故選：B4．【正確答案】B【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)求和公式求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得，即，所以，又，所以.故選：B5．【正確答案】A【分析】首先根據(jù)條件求公比，再代入等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求解.【詳解】由題意可知，且，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，得，.故選：A6．【正確答案】C【分析】根據(jù)題意，由特殊值，即可判斷ABD，再根據(jù)等比數(shù)列的定義，以及歐拉函數(shù)，即可判斷C.【詳解】因?yàn)?，，，所以，故A錯(cuò)誤；且，故B錯(cuò)誤；因?yàn)樗信紨?shù)與不互素，所有奇數(shù)與互素，所以，，所以，即數(shù)列是等比數(shù)列，故C正確；，，所以，故D錯(cuò)誤.故選：C7．【正確答案】B【分析】連接相交于點(diǎn)，連接，以為原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出，求出平面的一個(gè)法向量，利用可得答案.【詳解】如圖，在正四棱錐中，連接相交于點(diǎn)，連接，則平面，且，以為原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由，可得，則，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令，則，，可得，所以，解得.故選：B.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量和向量的數(shù)量積為零求解.8．【正確答案】A【分析】連接，根據(jù)雙曲線定義及題干知，，，，根據(jù)，得，然后利用余弦定理建立方程求出，即可求解漸近線方程.【詳解】連接，因?yàn)?，由雙曲線的定義可得，則，，，在中，，在中，，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，即，所以，所以該雙曲線的漸近線方程為即.故選：A方法點(diǎn)睛：求雙曲線的漸近線方程的方法：（1）定義法：直接利用、求得比值，則焦點(diǎn)在軸上時(shí)，漸近線方程為，焦點(diǎn)在軸上時(shí)，漸近線方程為；（2）構(gòu)造齊次式：利用已知條件結(jié)合，構(gòu)建的關(guān)系式（或先構(gòu)建的關(guān)系式），再根據(jù)焦點(diǎn)位置寫(xiě)出漸近線方程即可.9．【正確答案】AB【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，結(jié)合平行線間距離公式進(jìn)行求解即可判斷A，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)利用點(diǎn)到直線距離列等式求解判斷B，根據(jù)菱形有外接圓時(shí)為正方形判斷C，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求p判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榱庑嗡臈l邊都相等，所以每邊上的高也相等，且菱形對(duì)邊平行，直線和之間的距離為：，和之間的距離為：，于是有：，解得，正確；對(duì)于B，設(shè)與距離相等的點(diǎn)為，則，所以，即，所以所求點(diǎn)的軌跡方程為，正確；對(duì)于C，若該菱形有外接圓，則菱形兩條對(duì)角線的交點(diǎn)和外接圓的圓心重合，此時(shí)菱形的兩條對(duì)角線與圓的直徑重合，故兩對(duì)角線長(zhǎng)相等，則對(duì)角線相等的菱形必然為正方形，則，而，所以，矛盾，故該菱形沒(méi)有外接圓，錯(cuò)誤；對(duì)于D，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即的焦點(diǎn)為，所以，錯(cuò)誤；故選：AB10．【正確答案】AC【分析】運(yùn)用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合垂直關(guān)系逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由題意可知都是非零向量，對(duì)于A，，即，故A正確；對(duì)于C，，即，且平面ABCD，，所以平面ABCD，故C正確；對(duì)于B，因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，即不垂直，故D錯(cuò)誤；故選：AC.11．【正確答案】ACD【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)的性質(zhì)與前項(xiàng)和公式，驗(yàn)證各選項(xiàng)的結(jié)論.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，是互不相同的正整數(shù)，且，則有，，直線的斜率，直線的斜率，A選項(xiàng)正確；，，已知條件中不能得到，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，，，C選項(xiàng)正確；，D選項(xiàng)正確.故選：ACD12．【正確答案】BC【分析】設(shè)直線的方程為與拋物線方程聯(lián)立，可得，，對(duì)A，，而，得解；對(duì)B，易得，又，可判斷；對(duì)C，設(shè)直線的方程求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，同理求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合，，計(jì)算可得可判斷；對(duì)D，計(jì)算，，從而可判斷.【詳解】根據(jù)題意，，準(zhǔn)線，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，消去整理得，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，；故A錯(cuò)誤；又，，，，，，又，，故B正確；易知，則直線的斜率為，所以直線的方程為，令，解得，因?yàn)橹本€與直線垂直，所以直線的方程為，令，求得，又，，，所以，故C正確；，，，即恒成立，故D錯(cuò)誤.故選：BC.思路點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，綜合性強(qiáng)難度大.選項(xiàng)A，由于，所以只要求出的最小值即可判斷；選項(xiàng)B，由三角形面積公式結(jié)合拋物線定義可得，又，即可判斷；選項(xiàng)C，設(shè)出直線與直線的方程求出，結(jié)合，，化簡(jiǎn)計(jì)算得可判斷；選項(xiàng)D，利用韋達(dá)定理分別計(jì)算，可判斷.13．【正確答案】【分析】首先求圓心到直線的距離，再代入弦長(zhǎng)公式.【詳解】圓，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，所以弦長(zhǎng)為.故14．【正確答案】【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】由于是棱的中點(diǎn)，所以.故15．【正確答案】/【分析】先求出圓的圓心和半徑，應(yīng)用點(diǎn)線距離公式求圓心到直線距離，結(jié)合已知列方程求得，然后利用離心率公式求解即可.【詳解】圓即圓心為，半徑為，不妨取雙曲線一條漸近線為即，由題意圓上恰有3點(diǎn)到直線的距離為2，只需圓心到直線的距離，即，所以，所以該雙曲線的離心率為.故16．【正確答案】【分析】利用“閉數(shù)列”的定義結(jié)合累加法可求出的值，再次利用“閉數(shù)列”的定義結(jié)合累加法可求出的值.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為“閉數(shù)列”，且，由題意得，，，……，，等式兩邊疊加，即，所以，，同理可得，，，……，，等式兩邊疊加得，即，所以，.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的核心是利用“閉數(shù)列”的新定義，充分利用累加法，轉(zhuǎn)化為關(guān)系與某些特殊項(xiàng)的方程進(jìn)行求解.17．【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）利用等差數(shù)列的基本量轉(zhuǎn)化已知條件，求得首項(xiàng)和公差，即可求得通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）中所求，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可得；由，令，可得，即；解方程可得：，所以.（2）因?yàn)?，由?）得，所以，又，故是首項(xiàng)為3，公比為9的等比數(shù)列，所以的前項(xiàng)和.18．【正確答案】(1)2(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解空間距離，即可求解，（2）根據(jù)法向量的夾角即可求解.【詳解】（1）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由是底面邊長(zhǎng)為1的正四棱柱，設(shè)高為，則，則，設(shè)平面的法向量為則即,令，則，則已知點(diǎn)到平面的距離為，所以，即，解得，所以正四棱柱的高是2（2）設(shè)平面設(shè)平面的法向量為，由（1），則，即，令，則，即，由（1）知平面的法向量為設(shè)向量得夾角為，則，所以平面與平面所成角的余弦值為19．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）聯(lián)立方程求得兩點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)確定所求圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為2，從而求出圓的方程即可；（2）聯(lián)立雙曲線與圓的方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用切線性質(zhì)求得切線斜率，代入點(diǎn)斜式方程即可求解.【詳解】（1）由雙曲線，得左焦點(diǎn)，又直線與雙曲線的兩條漸近線交于兩點(diǎn)，將代入，得，所以?xún)牲c(diǎn)得坐標(biāo)分別為，所以，則過(guò)點(diǎn)的圓的方程為.（2）由（1）得圓的方程為.解方程組得切點(diǎn)，所以，又過(guò)點(diǎn)的圓的切線的斜率，得，所以過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程為，即.20．【正確答案】(1)，；(2)5年.【分析】（1）根據(jù)題意，容易求得；結(jié)合已知條件，求得之間的遞推關(guān)系，構(gòu)造等比數(shù)列，即可求得；（2）令，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算以及參考數(shù)據(jù)，即可求得結(jié)果.【詳解】（1）由題意知，而且.可知又因?yàn)?，所以可知，從而可知為等比?shù)列.因此所以.（2）令，可得，因此，所以，因此.即至少要經(jīng)過(guò)5年，項(xiàng)目的資金才可以達(dá)到或超過(guò)翻兩番的目標(biāo).21．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)8【分析】（1）利用得到，再結(jié)合，得到，證明出結(jié)論；（2）裂項(xiàng)相消法求和得到方程，求出，進(jìn)而得到，由單調(diào)性得到當(dāng)時(shí)，取最小值.【詳解】（1）對(duì)于，兩式相減，得，遞推可得：，兩式相減：得，所以所以，即為等差數(shù)列.（2）因?yàn)楣顬椋?，故，整理得，解得或（舍去），即，則，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由于，故當(dāng)時(shí)，取最小值.22．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）由圓與圓的位置關(guān)系，結(jié)合橢圓的定義，及看看求解