第09講-利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問(wèn)題(學(xué)生版)

第09講利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問(wèn)題（核心考點(diǎn)精講精練）命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為12分【備考策略】1能進(jìn)行函數(shù)轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙變量的不等式轉(zhuǎn)化為含單變量的不等式；2巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；3回歸雙變量的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙變量不等式，即可證得結(jié)果.【命題預(yù)測(cè)】題型分析雙變量問(wèn)題運(yùn)算量大，綜合性強(qiáng)，解決起來(lái)需要很強(qiáng)的技巧性，解題總的思想方法是化雙變量為單變量，然后利用函數(shù)的單調(diào)性、最值等解決．知識(shí)講解對(duì)數(shù)均值不等式兩個(gè)正數(shù)和的對(duì)數(shù)平均定義：對(duì)數(shù)平均與算術(shù)平均?幾何平均的大小關(guān)系：（此式記為對(duì)數(shù)平均不等式），取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立證明如下：可設(shè)．（1）先證：……①不等式①（其中）構(gòu)造函數(shù)，則．因?yàn)闀r(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，從而不等式①成立.（2）再證：……②不等式②（）構(gòu)造函數(shù)，則．因?yàn)闀r(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，從而不等式②成立；綜合（1）（2）知，對(duì)，都有對(duì)數(shù)平均不等式成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．注：對(duì)數(shù)均值不等式實(shí)際上是對(duì)數(shù)不等式鏈：在雙變?cè)樾蜗碌膽?yīng)用.構(gòu)造偏差函數(shù)及應(yīng)用1.極值點(diǎn)偏移現(xiàn)象（1）.已知函數(shù)的圖象的極值點(diǎn)為，若的兩根的中點(diǎn)剛好滿足即極值點(diǎn)在兩根的正中間，此時(shí)極值點(diǎn)沒(méi)有偏移，函數(shù)在兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，如圖(1)．（2）．若，則極值點(diǎn)偏移，此時(shí)函數(shù)在兩側(cè)的函數(shù)值變化快慢不同，如圖(2)(3)．2.極值點(diǎn)偏移題目特征：①.函數(shù)的極值點(diǎn)為；②.函數(shù)，然后證明：或.3.構(gòu)造偏差證明極值點(diǎn)偏移的基本方法：①.構(gòu)造一元差函數(shù)或是；②.對(duì)差函數(shù)求導(dǎo)，判斷單調(diào)性；③.結(jié)合或，判斷的符號(hào)，從而確定與的大小關(guān)系；④.由的大小關(guān)系，得到，（橫線上為不等號(hào)）；⑤.結(jié)合單調(diào)性得到，進(jìn)而得到.考點(diǎn)一、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)中的雙變量問(wèn)題1．（四川·高考真題）已知函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)是．對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)、，證明：(1)當(dāng)時(shí)，；(2)當(dāng)時(shí)，．2．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，曲線上不同的三點(diǎn)處的切線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)．證明：（?。┤?，則；（ⅱ）若，則．（注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）1．（2023·山東淄博·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：.2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，當(dāng)時(shí)，證明：．3．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增.(1)求的取值范圍；(2)若存在正數(shù)滿足（為的導(dǎo)函數(shù)），求證：.4．（2023·湖南衡陽(yáng)·衡陽(yáng)市八中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù).(1)求的極值；(2)已知，有最小值，求的取值范圍.5．（2023·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)的取值范圍為，求的取值范圍．6．（2023·全國(guó)·學(xué)軍中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)設(shè)函數(shù)，若恒成立，求的最小值；(2)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根、，求證：.7．（2023·湖北咸寧·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)存在三個(gè)零點(diǎn)、、（其中），證明：（i）若，函數(shù)，使得；（ii）若，則.【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】1．（2023·青海西寧·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn).(1)求的取值范圍；(2)求的最小值.2．（2023·青海西寧·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)任取兩個(gè)正數(shù)，當(dāng)時(shí)，求證：.3．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？既＃┮阎瘮?shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求的取值范圍．4．（2023·河南鄭州·三模）已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求證：．5．（2023·江西·江西師大附中?？既＃┮阎瘮?shù)．(1)若在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求該切線方程；(2)若的極值點(diǎn)為，設(shè)，且證明：．【能力提升】1．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若，求在處的切線方程；(2)若有兩個(gè)不同零點(diǎn)，證明：．2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為.(1)若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若，求證：方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且.3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，當(dāng)時(shí)，證明：．4．（2023·上海松江·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的極值點(diǎn)；(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若函數(shù)有三個(gè)不同的極值點(diǎn)、、，且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.5．（2023·陜西安康·統(tǒng)考一模）設(shè)向量.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)，若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.6．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．(1)若，求方程的解；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)且有兩個(gè)極值點(diǎn)，記兩個(gè)極值點(diǎn)為，求的取值范圍并證明．7．（2023·湖北襄陽(yáng)·襄陽(yáng)四中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)(1)若，求不等式的解集；(2)若存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，證明：.8．（2023·山東濰坊·?？寄M預(yù)測(cè)）已知.(1)若存在實(shí)數(shù)，使得不等式對(duì)任意恒成立，求的值；(2)若，設(shè)，證明：①存在，使得成立；②.9．（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若函數(shù)為增函數(shù)，求的取值范圍；(2)已知.（i）證明：；（ii）若，證明：.10．（2023·山東濰坊·?？家荒＃┮阎瘮?shù).(1)討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，證明:.【真題感知】1．（重慶·高考