第6章 軸向拉伸與壓縮

第六章軸向拉伸與壓縮工程力學(xué)第二部分材料力學(xué)本章主要介紹直桿在拉伸和壓縮時的內(nèi)力、應(yīng)力、變形和強度計算，以及簡單的拉、壓桿超靜定問題，并介紹拉伸和壓縮時材料的力學(xué)性能。11.1.1電路的組成在工程實際中，承受拉伸或壓縮的桿件是很常見的。例如左圖所示為連接用螺栓，螺栓受到拉伸，發(fā)生軸向伸長變形；如右圖所示為一臺起重機構(gòu)，其中AB桿受到拉伸，BC桿受到壓縮等。第一節(jié)軸向拉伸與壓縮的概念2工程力學(xué)1.1.1電路的組成這些桿件的外形和加載方式雖各有不相同，但都可簡化成如圖所示的計算簡圖。其共有特點為：作用于直桿兩端的兩個外力等值、反向，且作用線與桿的軸線重合，桿件產(chǎn)生沿軸線方向的伸長（或縮短）。這種變形形式稱為軸向拉伸（或軸向壓縮），這類桿件稱為拉桿（或壓桿）。3工程力學(xué)1.1.1電路的組成通常所說的內(nèi)力，是指構(gòu)件內(nèi)部質(zhì)點之間相互作用的力，它在構(gòu)件沒有受到外力作用時就已經(jīng)存在。材料力學(xué)中所說的內(nèi)力，則是指構(gòu)件受到外力作用時所引起的構(gòu)件內(nèi)部各質(zhì)點之間相互作用力的改變量，稱為“附加內(nèi)力”。這種附加內(nèi)力隨外力的增加而增大，當(dāng)它達到某一極限值時，構(gòu)件便會發(fā)生破壞。因此，它與構(gòu)件的強度密切相關(guān)。材料力學(xué)所研究的這種附加內(nèi)力，以后均簡稱為內(nèi)力。截面法是材料力學(xué)用以顯示和計算桿件內(nèi)力的基本方法。以如圖(a)所示拉桿為例，欲求拉桿任一截面m－m上的內(nèi)力，可假想地用一平面將桿件沿截面m－m截為兩段，任取其中一段。由于原來整個桿件處于平衡狀態(tài)，被截開后的各段也必然仍處于平衡狀態(tài)，所以左段桿除受力F作用外，截面m－m上必定有作用力FN與之平衡，如圖(b)所示。第二節(jié)軸力與軸力圖4工程力學(xué)一、內(nèi)力的概念二、截面法與軸力1.1.1電路的組成列出左段桿的平衡方程得5工程力學(xué)1.1.1電路的組成若以右段桿為研究對象，如圖(c)所示，同樣可得實際上，F(xiàn)N與F′N是一對作用力與反作用力。因此，對同一截面，如果選取不同的研究對象，所求得的內(nèi)力必然數(shù)值相等、方向相反。這種假想地用一個截面把桿件截為兩部分，取其中一部分作為研究對象，建立平衡方程，以確定截面上內(nèi)力的方法，稱為截面法。截面法求解桿件內(nèi)力的步驟可以歸納如下：(1)截開(2)代替(3)平衡于軸向拉伸或壓縮時桿件橫截面上內(nèi)力FN與外力F共線，且與桿件軸線重合，所以這里的內(nèi)力FN稱為軸力。軸力的正負號表示桿件不同的變形：桿件拉伸時，軸力背離截面，取正號；桿件壓縮時，軸力指向截面，取負號。通常未知軸力均按正向假設(shè)。6工程力學(xué)1.1.1電路的組成如果在桿件兩端和中間部分均有外力作用，如圖(a)所示，仍可應(yīng)用截面法求各橫截面上的軸力。(1)計算AB段桿的軸力。沿截面1－1將桿件截開，取左段桿為研究對象，以軸力FN1代替右段桿件對左段的作用，如圖(b)所示列平衡方程得7工程力學(xué)1.1.1電路的組成若以右段桿為研究對象，如圖(c)所示同樣可得(2)計算BC段桿的軸力，沿截面2－2將桿件截開，取左段桿為研究對象，如圖(d)所示列平衡方程8工程力學(xué)1.1.1電路的組成若以右段桿為研究對象，如圖(e)所示同樣可得在拉伸(壓縮)時，內(nèi)力為正，表示桿件在該截面受拉；內(nèi)力為負，表示桿件在該截面受壓。由上述計算結(jié)果可以歸納出一個簡便的、直接利用外力計算軸力的規(guī)則，即桿件承受拉伸(或壓縮)時，桿件內(nèi)任一截面上的軸力等于截面一側(cè)所有外力的代數(shù)和，外力背離截面時取正，外力指向截面時取負。9工程力學(xué)1.1.1電路的組成為了形象地表示軸力沿直桿軸線的變化規(guī)律，可用平行于軸線的坐標(biāo)表示截面位置，用垂直于軸線的坐標(biāo)表示橫截面上軸力的數(shù)值，畫出軸力與截面位置的關(guān)系圖線，如圖(f)所示，稱為軸力圖。從軸力圖可以確定最大軸力及其所在的截面位置。習(xí)慣上將正軸力(拉伸時的內(nèi)力)畫在上方，負軸力(壓縮時的內(nèi)力)畫在下方。10工程力學(xué)三、軸力圖1.1.1電路的組成內(nèi)力是構(gòu)件橫截面上分布內(nèi)力系的合力，只求出內(nèi)力，還不能解決構(gòu)件的強度問題。為了研究構(gòu)件的強度問題，必須研究內(nèi)力在截面上的分布的規(guī)律,為此引入應(yīng)力的概念。內(nèi)力在截面上的某點處分布集度，稱為該點的應(yīng)力。如圖6.7(a)所示，設(shè)在某一受力構(gòu)件的m－m截面上，圍繞K點取一面積ΔA，ΔA上的內(nèi)力的合力為ΔF這樣，在ΔA上內(nèi)力的平均集度定義為：第三節(jié)拉、壓桿橫截面上的

應(yīng)力、應(yīng)變及胡克定律11工程力學(xué)一、內(nèi)力的概念1.1.1電路的組成一般情況下，m－m截面上的內(nèi)力并不是均勻分布的，因此平均應(yīng)力p平均隨所取ΔA的大小而不同，當(dāng)ΔA→0時，上式的極限值即為K點的分布內(nèi)力集度，稱為K點處的總應(yīng)力。p是一矢量，通常把應(yīng)力p分解成垂直于截面的分量σ和相切與截面的分量τ。由圖中的關(guān)系可知σ稱為正應(yīng)力，τ稱為剪應(yīng)力。在國際單位制中，應(yīng)力的單位是帕斯卡(Pascal)，用Pa（帕）表示，1Pa＝1N/m2。由于帕斯卡這一單位很小，工程常用kPa（千帕）、MPa（兆帕）、GPa（吉帕）來表明。1KPa＝103Pa，1MPa＝106Pa，1GPa＝109Pa。12工程力學(xué)1.1.1電路的組成當(dāng)桿端加上一對軸向拉力后，由圖6.8(a)可見：桿上所有縱向線伸長相等，橫線與縱線保持垂直且仍為直線。由此作出變形的平面假設(shè)：桿件的橫截面，變形后仍為垂直于桿軸的平面。于是桿件任意兩個橫截面間的所有纖維，變形后的伸長相等。又因材料為連續(xù)均勻的，所以桿件橫截面上內(nèi)力均布，且其方向垂直于橫截面，如圖(b)所示，即橫截面上只有正應(yīng)力σ。于是橫截面上的正應(yīng)力為式中FN為橫截面上的軸力，A為橫截面面積，σ為橫截面上的正應(yīng)力，符號的規(guī)定與軸力相同。拉伸時的正應(yīng)力為正，壓縮時的正應(yīng)力為負。13工程力學(xué)二、拉壓桿橫截面上的正應(yīng)力14工程力學(xué)1.1.1電路的組成如圖(a)所示為一受軸向拉伸的等直桿，現(xiàn)研究與橫截面成α角的斜截面K－K上的應(yīng)力情況。由截面法求得斜截面上的軸力，如圖(b)所示為依照橫截面上正應(yīng)力分布的推理方法，可得斜截面上應(yīng)力Pα也是均勻分布的，如圖(c)所示，其值為15工程力學(xué)三、斜截面上的應(yīng)力1.1.1電路的組成若橫截面面積為A，則將后式代入前式，可得將斜截面上的應(yīng)力Pα分解為垂直于斜截面的正應(yīng)力σα和平行于斜截面的剪應(yīng)力τα，如圖(d)所示，其值分別為斜截面上剪應(yīng)力的方向用正負號來區(qū)別，具體規(guī)定如下：取研究對象內(nèi)任一點為矩心，剪應(yīng)力繞該點有順時針轉(zhuǎn)動的趨勢時，剪應(yīng)力為正，反之為負16工程力學(xué)1.1.1電路的組成桿件承受拉伸或壓縮時，斜截面上既有正應(yīng)力，又有剪應(yīng)力，它們的大小均為角α的函數(shù)，即兩種應(yīng)力均隨斜截面方位的變化而變化。(1)當(dāng)α＝0°時，即為橫截面，得即當(dāng)桿件承受拉伸(壓縮)時，橫截面上只有正應(yīng)力而無剪應(yīng)力，且正應(yīng)力值達到最大值。(2)當(dāng)α＝45°時，有即當(dāng)桿件受到軸向拉伸(壓縮)時，在與橫截面成45°的斜截面上，產(chǎn)生最大剪應(yīng)力。17工程力學(xué)1.1.1電路的組成(3)當(dāng)β＝α＋90°時(如圖所示)，有上式說明：兩個互相垂直截面上的剪應(yīng)力必須同時存在，且大小相等，符號相反。這一關(guān)系稱為剪應(yīng)力互等雙生定理，簡稱剪應(yīng)力互等定理。18工程力學(xué)1.1.1電路的組成桿件在承受拉伸時，其縱向尺寸有所伸長，橫向尺寸略有縮短；壓縮時，其縱向尺寸有所縮短，橫向尺寸略有增大，如圖所示。當(dāng)外力未超過一定限度時，絕大多數(shù)材料在外力撤除后，桿件恢復(fù)原狀。材料的這種性質(zhì)，稱為彈性。外力撤除后能夠消失的變形，稱為彈性變形；外力撤除后不能消失的變形,稱為塑性變形。19工程力學(xué)四、拉、壓桿的變形及胡克定理1.1.1電路的組成1.縱向變形桿件受拉伸與壓縮作用時，由長度方向發(fā)生的尺寸改變稱為縱向變形。絕對變形只能反映桿件總的變形量，而不能說明桿件的變形程度。為了說明桿件的變形程度，常用單位長度上的縱向變形即用

來度量，這個比值稱為相對變形或線應(yīng)變，以ε表示。2.胡克定律實驗研究指出：在彈性范圍以內(nèi)，桿件的絕對變形Δl與所施加的外力F及桿件長度l成正比，而與桿件的橫截面面積A成反比，即引入與桿件材料有關(guān)的比例系數(shù)E，上式可寫為由于FN＝F，上式又可寫為20工程力學(xué)1.1.1電路的組成3.橫向變形與泊松比若桿件變形前的橫向尺寸為a，拉伸后縮小為a1，則桿件的橫向變形為其橫向線應(yīng)變?yōu)閷嶒灲Y(jié)果指出，在彈性范圍以內(nèi)，橫向線應(yīng)變與線縱向應(yīng)變之比的絕對值為一常數(shù)，若以μ表示此常數(shù)，則μ稱為橫向變形系數(shù)，或稱泊松比。它是一個無量綱的量，其值隨材料而異，由試驗確定。因為ε1與ε的符號總是相反，故有21工程力學(xué)1.1.1電路的組成低碳鋼是工程上使用較廣的材料，它在拉伸試驗中所表現(xiàn)的力學(xué)性能較全面，因此以低碳鋼來研究材料在拉伸時的力學(xué)性能。圖所示的關(guān)系曲線，稱為應(yīng)力應(yīng)變圖。它表示從加載開始到破壞為止，應(yīng)力與應(yīng)變的對應(yīng)關(guān)系。第四節(jié)材料在拉伸（壓縮）

時的力學(xué)性能22工程力學(xué)一、低碳鋼拉伸時材料的力學(xué)性能1.1.1電路的組成1.比例極限在σ－ε曲線中oa段是直線，說明試件的應(yīng)變與應(yīng)力成正比關(guān)系，材料符合胡克定律σ＝Eε。2.彈性極限在應(yīng)力超過比例極限后，圖上aa′線段已不是直線，說明應(yīng)力和應(yīng)變不再成正比，但所發(fā)生的變形仍然是彈性的。與a′對應(yīng)的應(yīng)力σe是材料發(fā)生彈性變形的極限值，稱為彈性極限。3.屈服極限在應(yīng)力超過比例極限以后，圖形出現(xiàn)了一段近似水平的小鋸齒形線段bc，說明此階段的應(yīng)力雖有波動，但幾乎沒有增加，卻發(fā)生了較大的變形。這種應(yīng)力變化不大、應(yīng)變顯著增加的現(xiàn)象稱為材料的屈服。屈服階段除第一次下降的最小應(yīng)力外的最低應(yīng)力稱為屈服極限，以σs表示。4.強度極限經(jīng)過了屈服極限階段，圖形變?yōu)樯仙那€，說明材料恢復(fù)了對變形的抵抗能力，這種現(xiàn)象稱為材料的強化。應(yīng)力達到強度極限以后，試件會出現(xiàn)局部收縮，稱為頸縮現(xiàn)象，如下圖所示。由于頸縮處截面積迅速減小，導(dǎo)致試件最后在此處斷裂。23工程力學(xué)1.1.1電路的組成5.伸長率和斷面收縮率試件拉斷以后，其標(biāo)距由原來的長度l增加到l1，斷口處的截面面積由原來的A減為A1(如下圖所示)。l1－l是試件在標(biāo)距內(nèi)的塑性變形量，它與l之比通常用百分數(shù)表示，稱為伸長率δ，即24工程力學(xué)1.1.1電路的組成鑄鐵拉伸時的σ－ε曲線如圖所示。圖中沒有明顯的直線部分，也沒有屈服和頸縮現(xiàn)象，試件的斷裂是突然的。鑄鐵的斷后伸長率δ＝0.5%～0.6%，是典型的脆性材料。衡量此類脆性材料強度的唯一指標(biāo)是強度極限σb。25工程力學(xué)二、鑄鐵的拉伸試驗1.1.1電路的組成1.低碳鋼的壓縮試驗如圖所示，低碳鋼在拉伸、壓縮時的彈性模量E、比例極限σP和屈服極限σs是相同的，只是在超過屈服極限以后，試件愈壓愈扁，橫截面面積不斷增大，抗壓能力不斷提高，試件只會壓扁而不會斷裂，因此，無法測出低碳鋼的抗壓強度極限σb。26工程力學(xué)三、材料壓縮時的力學(xué)性能1.1.1電路的組成2.鑄鐵的壓縮試驗由圖可見，在鑄鐵拉伸和壓縮的σ－ε曲線中，均沒有明顯的直線部分，材料只近似地服從胡克定律。鑄鐵壓縮時也沒有屈服極限，但鑄鐵壓縮時的強度極限為拉伸時的4～5倍。所以鑄鐵多用于承受壓力的構(gòu)件。27工程力學(xué)1.1.1電路的組成材料喪失正常工作能力時的應(yīng)力稱為極限應(yīng)力，以σ0表示。工程上常以強度極限作為脆性材料的極限應(yīng)力。極限應(yīng)力與許用應(yīng)力的比值稱為安全系數(shù)，用n表示，許用應(yīng)力可表示為對于塑性材料，故對于塑性材料，故第五節(jié)軸向拉伸壓縮時的強度計算28工程力學(xué)一、極限應(yīng)力、許用應(yīng)力和安全因數(shù)1.1.1電路的組成桿件中最大應(yīng)力所在的橫截面稱為危險截面。為了保證構(gòu)件具有足夠的強度，必須使危險截面的應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力，即此式稱為拉伸或壓縮時強度條件公式。運用強度條件可以解決以下三類問題。1.校核強度。在桿件的材料尺寸及其所受載荷已知的情況下，用式(6.15)校核構(gòu)件的強度。2.設(shè)計截面。在桿件所受載荷及所用材料已知的情況下，確定截面尺寸。此時式(6.15)可改寫為3.確定許可載荷。根據(jù)桿件的截面尺寸和材料的許用應(yīng)力，確定桿件所能承受的最大軸力此時式(6.16)可改寫為29工程力學(xué)二、拉（壓）桿的強度條件1.1.1電路的組成超靜定問題未知力的個數(shù)與靜力平衡方程數(shù)之差稱為超靜定次數(shù)(或階數(shù))。如圖(a)所示，AB桿的受力圖為一共線力系，只可列出一個平衡方程，但有兩個未知約束反力RA和RB，是一次超靜定問題。又如圖(b)所示，節(jié)點A的受力圖為一平面匯交力系，可列出兩個平衡方程，但有三個未知力FN1、FN2、FN3，如圖(c)所示，是一次超靜定問題。第六節(jié)拉、壓桿超靜定問題30工程力學(xué)一、超靜定問題的概念1.1.1電路的組成建立補充方程，必須考慮結(jié)構(gòu)變形的幾何關(guān)系以及力與變形的物理關(guān)系?，F(xiàn)以圖(a)所示的中間受力、兩端固定的AB桿為例，說明超靜定問題的解法。取AB桿為研究對象，列平衡方程先分析AB桿變形的幾何關(guān)系。因為AB桿兩端固定，所以總伸長量為零，即在力F的作用下，AC段的伸長量Δl1與BC段的縮短量Δl2的代數(shù)和為零，可寫為上式是表示變形協(xié)調(diào)條件的方程式，稱為變形的幾何方程。桿的變形與內(nèi)力之間存在著一定的關(guān)系，在彈性范圍以內(nèi)它們符合胡克定律，因此，可寫出變形與力之間的物理方程31工程力學(xué)二、超靜定問題的解法1.1.1電路的組成而所以將物理方程(c)代入變形幾何方程(b)便可得到此式即為補充方程。補充方程(d)與靜力學(xué)方程(a)聯(lián)立，便可解得綜上所述，求解超靜定問題的步驟可歸納為：32工程力學(xué)1.1.1電路的組成綜上所述，求解超靜定問題的步驟可歸納為：(1)取研究對象，畫受力圖，寫出平衡方程；(2)根據(jù)變形的協(xié)調(diào)關(guān)系，寫出變形幾何方程；(3)應(yīng)用胡克定律，寫出物理方程，將物理方程代入變形幾何方程，得補充方程；(4)將平衡方程與補充方程聯(lián)立，便可求解所有未知力。靜定結(jié)構(gòu)和超靜定結(jié)構(gòu)的區(qū)別：a）靜定結(jié)構(gòu)的支座反力和內(nèi)力可以由平衡方程唯一確定，而超靜定結(jié)構(gòu)中平衡方程個數(shù)小于未知內(nèi)力或支座反力個數(shù)；b）靜定結(jié)構(gòu)中內(nèi)力和支座反力僅和荷載有關(guān)，超靜定結(jié)構(gòu)中內(nèi)力既和荷載有關(guān)，又同構(gòu)件的剛度有關(guān)；c）靜定結(jié)構(gòu)中溫度或收縮等變形作用不產(chǎn)生內(nèi)力，超靜定結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生內(nèi)力。33工程力學(xué)1.1.1電路的組成超靜定結(jié)構(gòu)的另一個特性是：由于桿件在制造中的誤差，裝配時在結(jié)構(gòu)中將產(chǎn)生應(yīng)力，稱為裝配應(yīng)力；另外，由于溫度的變化，在超靜定結(jié)構(gòu)中也將產(chǎn)生應(yīng)力，稱為溫度應(yīng)力（或變溫應(yīng)力）。而這兩種應(yīng)力在靜定結(jié)構(gòu)中都不會產(chǎn)生。圖(a)所示靜定結(jié)構(gòu)中，若桿1比設(shè)計長度l短了δ(δ≤l)，在無載荷時，兩桿均無應(yīng)力。在圖(b)所示的超靜定結(jié)構(gòu)中，若桿3比設(shè)計長度l短了δ(δ≤l)，裝配后，桿3被拉長，桿1和桿2被壓短。這樣，雖無載荷作用，但在桿中已產(chǎn)生了裝配應(yīng)力。34工程力學(xué)三、裝配應(yīng)力和溫度應(yīng)力1.1.1電路的組成圖(a)所示的等直桿，不計桿的自重，當(dāng)溫度升高時，桿將自由膨脹，但桿內(nèi)無應(yīng)力。如果把B端也固定，成為超靜定結(jié)構(gòu)，如圖(b)。當(dāng)溫度升高時，由于熱膨脹受到阻礙，桿端將有支反力作用，從而在桿內(nèi)產(chǎn)生溫度應(yīng)力。工程中，常采用一些措施來減少和避免過高的溫度應(yīng)力。例如，在鋼軌的各段之間留有伸縮縫；橋梁一端采用活動鉸鏈支座；在蒸汽管道中利用伸縮節(jié)等。35工程力學(xué)1.1.1電路的組成等截面直桿受軸向拉伸(壓縮)時，遠離桿端的截面，應(yīng)力是均勻分布的。如果截面的尺寸、形狀有