《數(shù)字通信原理》課件第7章

第7章數(shù)字信號的最佳接收理論7.1數(shù)字信號接收的統(tǒng)計(jì)表述7.2最小差錯概率接收

7.3最大輸出信噪比接收

7.4最佳接收機(jī)性能分析

7.5基帶傳輸系統(tǒng)最佳化7.1數(shù)字信號接收的統(tǒng)計(jì)表述

數(shù)字信號接收的統(tǒng)計(jì)模型如圖7-1所示。圖7-1數(shù)字信號接收的統(tǒng)計(jì)模型

1.消息空間的統(tǒng)計(jì)特性

在數(shù)字通信系統(tǒng)中，消息是離散狀態(tài)的，設(shè)消息的狀態(tài)集合為

X={x1,x2,…,xm}(7-1)

若消息中每一狀態(tài)的發(fā)送是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，第i個狀態(tài)xi的出現(xiàn)概率為P(xi)，則消息x的一維概率分布為

(7-2)因?yàn)閙個消息必定發(fā)送其一，所以下式成立：(7-3)若消息各狀態(tài)x1、x2、…、xm出現(xiàn)的概率相等，則有(7-4)

2.信號空間的統(tǒng)計(jì)特性

消息是各種物理量，不能直接在數(shù)字通信系統(tǒng)中進(jìn)行傳輸，因此需要將消息變換為相應(yīng)的電信號s(t)(用參數(shù)s來表示)。將消息變換為信號可以有各種不同的變換關(guān)系，通常最直接的方法是建立消息與信號之間一一對應(yīng)的關(guān)系，即消息xi與信號si(i=1,2,…,m)相對應(yīng)。這樣，信號集合S也由m個狀態(tài)組成，即

S={s1,s2,…,sm}(7-5)

并且信號集合各狀態(tài)出現(xiàn)的概率與消息集合各狀態(tài)出現(xiàn)的概率相等，即

P(s1)=P(x1),P(s2)=P(x2),…,P(sm)=P(xm)(7-6)

同時也有(7-7)若消息各狀態(tài)出現(xiàn)的概率相等，則有(7-8)

3.噪聲空間的統(tǒng)計(jì)特性

由于信道是加性高斯噪聲信道，因此噪聲空間n是加性

高斯噪聲。為了更全面地描述噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，采用噪聲的多維聯(lián)合概率密度函數(shù)。噪聲n的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為

fk(n)=f(n1,n2,…,nk)(7-9)

式中，n1、n2、…、nk分別為噪聲n在k個不同時刻的取值。根據(jù)隨機(jī)信號分析，若隨機(jī)信號各樣值是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，則其k維聯(lián)合概率密度函數(shù)等于其k個一維概率密度函數(shù)的乘積，即(7-10)式中，f(ni)是噪聲n在ti時刻的取值ni的一維概率密度函數(shù);σ2n是噪聲的方差。根據(jù)帕塞瓦爾定理，當(dāng)k很大時有(7-11)式中，n0=σ2n／fH為噪聲的單邊功率譜密度。將其代入式(7-10)可得(7-12)

4.觀察空間的統(tǒng)計(jì)特性

信號通過信道疊加噪聲后到達(dá)觀察空間。觀察空間的觀察波形為

y=s+n(7-13)

由于在一個碼元周期TB內(nèi)，信號集合中各狀態(tài)s1、s2、

…、sm其中之一被發(fā)送，因此在觀察期間TB內(nèi)觀察的波形為

y(t)=si(t)+n(t)(i=1，2，…，m)

(7-14)由于n(t)是均值為0、方差為σ2n的高斯過程，因此當(dāng)出現(xiàn)信號si(t)時，y(t)的概率密度函數(shù)fsi(y)可表示為

式中,fsi(y)稱為似然函數(shù)。它是信號統(tǒng)計(jì)檢測的第二數(shù)據(jù)。(i=1，2，…，m)(7-15)

5.判決空間的統(tǒng)計(jì)特性

根據(jù)y(t)的統(tǒng)計(jì)特性，按照某種準(zhǔn)則，即可對y(t)作出判決。判決空間中可能出現(xiàn)的狀態(tài)D1、D2、…、Dm與信號空間中的各狀態(tài)s1、s2、…、sm相對應(yīng)。

7.2最小差錯概率接收

7.2.1最小差錯概率準(zhǔn)則

假如判決為s1的事件記為D1，判決為s2的事件記為D2,且

s1和s2對應(yīng)的先驗(yàn)概率分別為P(s1)和P(s2)，則在發(fā)s1的條件下出現(xiàn)接收波形y的概率密度函數(shù)fs1(y)和在發(fā)s2條件下出現(xiàn)接收波形y的概率密度函數(shù)fs2(y)可用圖7-2表示。圖7-2條件概率密度曲線及判決電平設(shè)判決門限值為VT，則發(fā)s1錯判為D2的概率為發(fā)s2錯判為D1的概率為(7-16)(7-17)系統(tǒng)的平均錯誤概率為當(dāng)發(fā)送信號s1、s2的波形確定，先驗(yàn)概率也確定，信道噪聲為高斯白噪聲時，Pe的大小完全由判決門限值確定。要使Pe最小，必然存在一個最佳判決門限值。令，即(7-19)滿足式(7-19)的門限值為最佳門限值，記為V*T。由式(7-19)求得最佳判決時，有以下等式成立:(7-20)式(7-20)就是最小差錯概率的條件。由此得到結(jié)論,如果按如下規(guī)則進(jìn)行判決，那么能使總差錯概率最小:(7-21)通常將式(7-21)稱為似然比準(zhǔn)則，即最小差錯概率準(zhǔn)則，也稱最佳接收準(zhǔn)則。如果P(s1)=P(s2)，那么式(7-21)可寫為(7-22)式(7-22)所示判決規(guī)則，意味著fs1(y)和fs2(y)哪個值大就判為其對應(yīng)的D1或D2，常稱為最大似然準(zhǔn)則。顯然，最大似然準(zhǔn)則是似然比準(zhǔn)則的一種特例。7.2.2最小差錯概率接收機(jī)設(shè)計(jì)

設(shè)到達(dá)接收機(jī)輸入端的兩個確知信號為s1(t)和s2(t)，它

們的持續(xù)時間為(0，TB)，且有相等的能量，即輸入噪聲n(t)是均值為0的高斯白噪聲，其單邊功率譜密度為n0?，F(xiàn)在設(shè)計(jì)一個接收機(jī)，使它能在噪聲干擾下以最小的差錯概率檢測信號。由前面的分析可知，為了能以最小差錯概率判定是s1(t)

還是s2(t)到達(dá)接收機(jī)，只需按式(7-21)或式(7-22)的判決準(zhǔn)則來進(jìn)行判斷即可。在觀察時間(0，

TB)內(nèi)，接收機(jī)輸入端的信號為s1(t)或s2(t)，其合成波為(7-24)當(dāng)出現(xiàn)s1(t)或s2(t)時，觀察空間的似然函數(shù)分別為(7-26)(7-25)根據(jù)式(7-21)可得(7-27)對式(7-27)兩邊取自然對數(shù)，并整理得到(7-28)因?yàn)閟1(t)和s2(t)具有相等的能量，且令(7-29)所以，式(7-28)可化簡為(7-80)由式(7-30)可得到最小差錯概率接收機(jī)的結(jié)構(gòu)方框圖如圖7-3所示。由圖可見，這種最佳接收機(jī)的結(jié)構(gòu)是通過比較接

收信號y(t)與發(fā)送信號s1(t)和s2(t)的互相關(guān)函數(shù)的大小而構(gòu)成的，因此，該接收機(jī)也稱為相關(guān)檢測器形式的最佳接收機(jī)，簡稱相關(guān)接收機(jī)。如果y(t)與發(fā)送信號s1(t)的互相關(guān)函數(shù)比

y(t)與s2(t)的互相關(guān)函數(shù)大，那么比較器判s1出現(xiàn)；反之，判

s2出現(xiàn)。它的物理意義也很明顯，即互相關(guān)函數(shù)越大，說明接收到的波形y(t)與該信號越相像，因此正確判決的概率也越大。若先驗(yàn)等概率，即P(s1)=P(s2)，則有U1=U2，故圖7-3中的相加器可以省掉，最小差錯概率接收機(jī)的結(jié)構(gòu)方框圖可進(jìn)一步簡化,如圖7-4所示。圖7-3最小差錯概率接收機(jī)結(jié)構(gòu)方框圖圖7-4先驗(yàn)等概率時最小差錯概率接收機(jī)結(jié)構(gòu)方框圖7.3最大輸出信噪比接收

1.匹配濾波器的傳輸函數(shù)

下面從最大輸出信噪比的要求出發(fā)，推導(dǎo)匹配濾波器的傳輸函數(shù)H(f)。匹配濾波器方框圖如圖7-5所示。圖7-5匹配濾波器方框圖根據(jù)so(t)與So(f)為一對傅里葉變換及So(f)=H(f)S(f)，

可知(7-31)

若在t=t0時刻抽樣，則在抽樣時刻輸出信號so(t0)的表達(dá)式為(7-32)設(shè)抽樣時刻信號功率為So，則(7-33)設(shè)輸出噪聲功率為No，則(7-34)因此匹配濾波器在t0時刻的輸出信噪比ro為(7-35)由式(7-35)可以看出，對于給定的信號S(f)和t0時刻，不同的H(f)將有不同的輸出信噪比ro。許瓦爾茲不等式具有如下形式:(7-36)當(dāng)X(f)與Y(f)互為共軛，即

X(f)=KY＊(f)(K為比例常數(shù))(7-37)時，式(7-36)取等號，即不等式的左邊取得最大值。將許瓦爾茲不等式應(yīng)用于式(7-35)的分子中，令(7-38)則許瓦爾茲不等式中取最大值的條件X(f)=KY*(f)對應(yīng)于(7-39)式中，S*(f)是輸入信號頻譜S(f)的共軛復(fù)數(shù)。在滿足式(7-39)的條件下，有(7-40)并且此時它的值最大。于是得到最大信噪比(7-41)對式(7-39)兩邊求模得到式中，|H(f)|是匹配濾波器的幅度特性;|S(f)|是信號的振幅譜。

2.匹配濾波器的沖激響應(yīng)

根據(jù)H(f)與h(t)是一對傅里葉變換可知可得可見，匹配濾波器的沖激響應(yīng)是輸入信號的鏡像信號在時間上時延t0(t0是抽樣時刻)。從提高傳輸速度的角度考慮，希望t0的值盡量小。但h(t)是沖激響應(yīng)，從物理可實(shí)現(xiàn)性考慮，當(dāng)t<0時h(t)=0，即h(t)在時間為負(fù)時不應(yīng)有值。h(t)為信號的鏡像,同時又要保證其物理可實(shí)現(xiàn)，則必須把該鏡像波形右移到t>0范圍內(nèi)，右移的時間便是t0。那么t0取多少比較合適呢？下面用例子加以說明。設(shè)信號s(t)如圖7-6(a)所示，s(t)的鏡像信號s(－t)如圖7-6(b)所示，t0為最小的物理可實(shí)現(xiàn)的h(t)如圖7-6(c)所示。從圖7-6(c)可以看到t0=t2，t2是信號s(t)的結(jié)束時間。這就是說，輸入信號剛剛結(jié)束就立即抽樣，顯然它的速率是最高的，同時它對應(yīng)的h(t)也是物理可實(shí)現(xiàn)的。若抽樣時間先于信號結(jié)束的時間，即t0<t2，則顯然是不正確的。圖7-6匹配濾波器的沖激響應(yīng)實(shí)例(a)原始信號;(b)鏡像信號;(c)匹配濾波器的沖激響應(yīng)由以上分析可知,匹配濾波器獲得其最大輸出信噪比時刻t0必須在輸入信號全部結(jié)束之后。其物理意義很明顯，如果輸入信號尚未結(jié)束，那么就無法得到輸入信號的全部能量E，從而也就不能獲得romax。但是一般又希望t0盡量小，故通常把t0取在輸入信號持續(xù)時間的末尾，即輸入信號消失的

時刻。

3.匹配濾波器的輸出響應(yīng)

匹配濾波器的輸出響應(yīng)so(t)是輸入信號s(t)與沖激響應(yīng)h(t)的卷積，即(7-47)式中，rs(t0－t)是s(t)的自相關(guān)函數(shù)。根據(jù)自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)的特性，得

so(t)=Krs(t－t0)(7-48)

可見，匹配濾波器的輸出響應(yīng)是輸入信號的自相關(guān)函數(shù)的K倍。當(dāng)抽樣時刻t=t0時，有

so(t0)=Krs(0)(7-49)

式中，rs(0)是自相關(guān)函數(shù)在時間間隔為0時的值。該值為最大值。故抽樣時刻的輸出信號也為最大值，此時進(jìn)行信號的判決最為有利，因此也說匹配濾波器是輸入信號的自相關(guān)器。白噪聲通過匹配濾波器后的響應(yīng)為

no(t)=n(t)＊h(t)=Krns(t0－t)(7-50)

式中，

rns(t0－t)是輸入噪聲與輸入信號的互相關(guān)函數(shù)。在抽樣時刻t=t0，則no(t0)=Krns(0)。rns(0)是互相關(guān)函數(shù)在時間間隔為0時的值，它表示n(t)與s(t)相乘并積分。由于n(t)與s(t)是不相關(guān)的，因此積分值較小，故輸出的噪聲較小。由此可見，匹配濾波器是輸入信號與噪聲的互相

關(guān)器。正是由于匹配濾波器對輸入信號是自相關(guān)器，對輸入噪聲是互相關(guān)器，才使得輸出信噪比明顯提高。

根據(jù)匹配濾波器的上述特性，匹配濾波器可用圖7-7所示的相關(guān)器來實(shí)現(xiàn)。圖7-7匹配濾波器的相關(guān)器實(shí)現(xiàn)方框圖當(dāng)輸入端加入信號s(t)時，則輸出端(7-51)當(dāng)輸入為噪聲n(t)時，則輸出端(7-52)

4.匹配濾波器的性能

(1)匹配濾波器的傳輸函數(shù)H(f)=KS*(f)e－j2πft0，因此若信號不同，則對應(yīng)的匹配濾波器也不同。這一概念也可以這樣理解：某個給定的濾波器對某個信號是匹配濾波器，但對其他的信號就不是匹配濾波器了。

(2)對于匹配濾波器,|H(f)|=K|S(f)|，通常S(f)≠C(C是常

數(shù))，所以信號通過匹配濾波器會產(chǎn)生嚴(yán)重的波形失真。

(3)匹配濾波器只用于數(shù)字信號接收。因?yàn)槠ヅ錇V波器的輸出能獲得最大信噪比，有利于抽樣判決，減小誤碼率，但匹配濾波器同時也使輸出波形產(chǎn)生嚴(yán)重的失真，所以它不能用于模擬信號的接收或?yàn)V波。

(4)根據(jù)romax=2E/n0，說明最大輸出信噪比僅與信號的能量及白噪聲的功率譜密度有關(guān)，與信號波形無關(guān)。提高信號幅度和增大信號作用時間，都能有效地提高信號能量，從而提高匹配濾波器輸出信噪比。

(5)匹配濾波器的重要參數(shù)列于表7-1中,以便查找。

【例7-1】已知信號s(t)如圖7-8(a)所示，求對應(yīng)的匹配濾波器的傳輸函數(shù)和輸出響應(yīng)。圖7-8例7-1圖(a)原始信號;(b)匹配濾波器的沖激響應(yīng);(c)匹配濾波器的輸出響應(yīng)解由圖7-8(a)可知信號s(t)消失的時刻為t0=τ0，因此根據(jù)式(7-46)可得匹配濾波器的沖激響應(yīng)為

h(t)=Ks(t0－t)=Ks(τ0－t)

該式表示h(t)是s(t)鏡像并右移τ0且幅度是s(t)的K倍。h(t)的圖形如圖7-8(b)所示。因?yàn)樗云ヅ錇V波器的傳輸函數(shù)為so(t)的波形如圖7-8(c)所示。

【例7-2】求如圖7-9(a)所示信號對應(yīng)的匹配濾波器的傳輸函數(shù)及輸出響應(yīng)。

解

h(t)是s(t)的鏡像再右移τ0，其圖形如圖7-9(b)所示。

h(t)的表達(dá)式為圖7-9例7-2圖(a)原始信號;(b)匹配濾波器的沖激響應(yīng);(c)匹配濾波器的輸出響應(yīng)

H(f)是h(t)對應(yīng)的頻譜，由于h(t)可以看成是幅度為

KA、時間僅存在于0≤t≤τ0的矩形脈沖與cos2πf0t的乘積，因此

輸出響應(yīng)為當(dāng)f0較大時，上式中的最右邊一項(xiàng)可忽略，則其波形如圖7-9(c)所示。7.3.2最大輸出信噪比接收機(jī)設(shè)計(jì)

由前面的討論知道，由于匹配濾波器在取樣時刻具有最大輸出信噪比，因此由匹配濾波器構(gòu)成的接收機(jī)就是最大輸出信噪比準(zhǔn)則下的最佳接收機(jī)，即最大輸出信噪比接收機(jī)。用匹配濾波器構(gòu)成的二進(jìn)制數(shù)字信號最佳接收機(jī)的結(jié)構(gòu)方框圖如圖7-10所示。圖7-10匹配濾波器形式的最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)方框圖因?yàn)槠ヅ錇V波器是輸入信號的自相關(guān)器，所以圖7-10的接收機(jī)結(jié)構(gòu)也可用自相關(guān)器形式的模型來實(shí)現(xiàn)，如圖7-11所示。由于判決器每個碼元判決一次，因此積分器的積分時間為0~TB。圖7-11用相關(guān)器實(shí)現(xiàn)的匹配濾波器形式的最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)方框圖比較圖7-11和圖7-4，可以發(fā)現(xiàn)兩個模型相同，因此，在高斯白噪聲條件下，最小差錯概率準(zhǔn)則和最大輸出信噪比準(zhǔn)則是等價的，它們都能獲得最小的差錯概率。由這兩個準(zhǔn)則建立起來的相關(guān)器形式的最佳接收機(jī)與匹配濾波器形式的最佳接收機(jī)在性能上也是等效的。

7.4最佳接收機(jī)性能分析

7.4.1二進(jìn)制最佳接收機(jī)性能

由式(7-18)可知系統(tǒng)的平均錯誤概率為

Pe=P(s1)P(D2/s1)+P(s2)P(D1/s2)

(7-53)式中，P(s1)、P(s2)分別為發(fā)送s1(t)和s2(t)時的先驗(yàn)概率；P(D2/s1)、P(D1/s2)分別為發(fā)送s1(t)和s2(t)時的錯誤概率。通常先驗(yàn)概率是已知的，因此求Pe的問題實(shí)際上是求解P(D2/s1)

和P(D1/s2)的問題。因?yàn)镻(D2/s1)和P(D1/s2)的求解方法相同，所以下面只介紹P(D2/s1)的求解過程。設(shè)發(fā)送端發(fā)送s1(t)，則接收端的輸入信號為y(t)=s1(t)+n(t)。

根據(jù)式(7-27)，發(fā)s1錯判為D2的概率應(yīng)為以下不等式存在的概率，即(7-54)將y(t)=s1(t)+n(t)代入式(7-54)得(7-55)對式(7-55)兩邊取自然對數(shù)，并整理得到(7-56)顯然，式(7-56)的右邊是常數(shù)，令其為VT，即(7-57)將式(7-56)的左邊用ξ１(t)表示，即(7-58)因此式(7-56)可以簡單地寫成

ξ１(t)<VT(7-59)在式(7-58)中，因?yàn)閚(t)是高斯噪聲，ξ１(t)僅是n(t)的積分等運(yùn)算，而積分可以看成連續(xù)求和，所以ξ１(t)仍是高斯分布。ξ１(t)的數(shù)學(xué)期望為

ξ１(t)的方差為式中，E［n(t)n(τ)］是白噪聲的自相關(guān)函數(shù)。它與功率譜密度是一對傅里葉變換，因?yàn)榘自肼暤墓β首V密度為n0／2，所以自相關(guān)函數(shù)為沖激函數(shù)，即(7-62)將式(7-62)代入式(7-61)，可得(7-63)

ξ１(t)的數(shù)學(xué)期望、方差均已求得，則它的一維概率密度函數(shù)可表示為因此可以得到發(fā)s1錯判為D2的概率為(7-65)式中,Φ(x)為概率積分函數(shù)。用同樣的方法，可以得到發(fā)s２錯判為D1的概率為將式(7-65)和式(7-66)代入式(7-53)，得到系統(tǒng)的平均錯誤概率為(7-67)(7-66)若s1(t)和s2(t)等概率、等能量，即P(s1)=P(s2)，

E1=E2=Es，則有VT=0，m1=(1－ρ)Es，m2=(ρ－1)Es，σ=／n0Es(1－ρ)，將它們代入式(7-67)可得

(7-68)7.4.2二進(jìn)制信號的最佳形式

對于2PSK信號，有則(7-69)(7-70)代入式(7-68)，得到(7-70)對2FSK信號(7-71)當(dāng)選擇f1和f2為1/TB的整數(shù)倍時，s1(t)和s2(t)是正交的，即

故互相關(guān)系數(shù)ρ=0，代入式(7-68)，得到(7-72)對于2ASK信號的分析比較麻煩，因?yàn)閷τ?ASK信號,有(7-73)不符合等能量的條件，所以不能直接利用式(7-68)進(jìn)行計(jì)算，而應(yīng)該用式(7-67)進(jìn)行計(jì)算。若假設(shè)“0”和“1”碼等概率，即P(s1)=P(s2)=1/2，且有

E2=0，則(7-74)

對于2ASK信號，互相關(guān)系數(shù)ρ=0，則m1=E1，m2=0，(7-75)將式(7-74)和式(7-75)代入式(7-67)，得到式(7-76)要求“0”和“1”碼等概率，E1為“1”碼的能量，它與2PSK、2FSK公式中的Es是相等的，這是因?yàn)?PSK、2FSK中“0”和“1”碼等能量，即Es=E1=E2。7.4.3實(shí)際接收機(jī)與最佳接收機(jī)的性能比較

將第6章得到的二進(jìn)制數(shù)字調(diào)制系統(tǒng)相干接收誤碼率公式與本節(jié)得到的二進(jìn)制最佳接收機(jī)的誤碼率公式作比較，發(fā)現(xiàn)它們在形式上是一樣的，如表7-2所示。在s(t)和n0相同的條件下，對于實(shí)際接收機(jī)來說，信號要經(jīng)過帶通濾波，然后進(jìn)行信號檢測,因此實(shí)際接收機(jī)的信噪功率比r與帶通濾波器的特性有直接關(guān)系。在第6章的分析中，均認(rèn)為信號能順利通過帶通濾波器，而噪聲僅在帶通濾波器的通帶內(nèi)通過,于是，信噪功率比r就是信號s(t)的平均功率與帶通濾波器輸出噪聲功率之比。假設(shè)帶通濾波器的帶寬為B，則信噪比r可表示為(7-77)對于最佳接收機(jī)，由于Es=STB，因此Es/n0可表示為(7-78)由式(7-77)和式(7-78)可見，只要比較一下B和1/TB的大小,就可以得出兩種接收機(jī)性能的好壞了。7.5基帶傳輸系統(tǒng)最佳化

7.5.1最佳基帶傳輸系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

要使抗噪聲性能最好，則要滿足最小差錯概率準(zhǔn)則或最大輸出信噪比準(zhǔn)則，由于在白噪聲為背景的條件下，兩個準(zhǔn)則是等效的，并且都可以等效為匹配濾波器，因此最佳基帶傳輸系統(tǒng)必須滿足如下的聯(lián)立方程

(7-79)式(7-79)中的H(f)應(yīng)滿足無碼間串?dāng)_的要求，即

(7-80)這是在第5章討論中得到的結(jié)論，現(xiàn)在需要補(bǔ)充說明的是，當(dāng)時為了簡化公式，對H(f)