2023版高三一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新教材新高考命題熱點(diǎn)自測(cè)試題匯編

命題熱點(diǎn)自測(cè)（一）集合、常用邏輯用語(yǔ)、

不等式

一、選擇題

1.（2021.北京師范大學(xué)天津附屬中學(xué)月考）已知全集（/={%￡兇04<6},A=

（3A5）,8={2,3},則8U（C以）=（）

A.{1,2,3）B.{2,3,4}

C.{2,3}D.{2）

A[由題知，C（/A={1,2},故BU（Cu4）={l,2,3}?故選A.]

2.命題f21”的否定形式是（）

A.fvlB.3xz>1,fvl

C.Vx<l,WvlD.Bx<l,^<1

B[命題“Vx21,的否定形式是：3x^1,.故選B.]

3.（2021?安徽省阜陽(yáng)第一中學(xué)月考）已知a￡R,則S1”是“21”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

A[由a>l得,a是正數(shù)，因此￡<j=l,充分性成立；反之，取〃=—1,

適合!<1,但不適合公>1,所以必要性不成立.]

4.（2021.山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三月考）在下列選項(xiàng)中，能正確表示集合4={—

3,0,3}和8={x*-3x=0}關(guān)系的是（）

A.A=BB.A^B

C.AUBD.ACiB=0

B[因?yàn)?={%*—3工=0}={0,3},A={-3,0,3）,所以A38.故選B.]

5.（2021?河北石家莊二中高三月考）若正數(shù)x,y滿足工+3），=5M，，當(dāng)3x+4y

取得最小值時(shí)，x+4y的值為（）

A.2B.3

C.4D.5

13

B[因?yàn)檎龜?shù)x,y滿足M+3y=5xy,所以;;+；=5,

y八

所以3x+4y=g（3x+4y）e+g

=聘+9+4+好/+2'

當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)=?，即x=2y時(shí)取等號(hào)，

yx

因?yàn)閤+3y=5盯，所以解得x=l,>,=29

所以當(dāng)x=l,y時(shí),3x+4y取得最小值,

所以工+4），=1+4乂尹3.故選8.]

6.（多選）“關(guān)于x的不等式x2—2奴+〃>0對(duì)Wx￡R恒成立”的一個(gè)必要不

充分條件是（）

A.0<〃<1B.0<a<2

C.0<a<^D.a>0

BD[由題意得：/=（一2。）2—4。<0=0<。<1,

工所選的正確選項(xiàng)是0<〃<1的必要不充分條件，

???0<。<1應(yīng)是正確選項(xiàng)的一個(gè)真子集.故選BD.]

7.（多選）（2021?南京市第十三中學(xué)高三月考）設(shè)4={]|/一8工+12=0},B=

{x\ax~\=0}9若AG8=B,則實(shí)數(shù)〃的值可以是（）

A.0B.T

6

C.1D.2

ABC[由題意，4={2,6},因?yàn)锳nB=B,所以BUA,

若〃=0,則8=0,滿足題意；

若々W0,則8=1）1,因?yàn)?UA,所以）=2或!=6,則〃=J或4='.

綜上，實(shí)數(shù)4的值是4=0或〃=義或〃=，.故選ABC.]

8.（多選）（2021?山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三月考）若公力>1,c<0,則下列不等式中

一定成立的是（)

A.B.?—~

aa

C.\n（a-b）＞0D.（f）＜（j）

AD[對(duì)于A,因?yàn)椤ǎ綵＞1,所以所以—5＞一小所以〃一牙以一方故

A正確；

對(duì)于B,因?yàn)閍＞b＞\,所以故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)楣玖Γ?,a—b＞Of當(dāng)〃-Z?=:時(shí)，ln（?—Z?）=ln^=—1＜0,故C

錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)閯t0＜，，|＞1,又c、vO,所以（詈＜1,（與）＞1，故D

正確.故選AD.]

二、填空題

9.（2021?山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三月考）命題“會(huì)￡（一1,2）,2^+。=0”是真

命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

（-8,0][若命題“會(huì)￡（一1，2）,2_?+〃=0”是真命題，

則2?+〃=0在工￡（一1,2）有解，

所以。=一2?在“￡（—1,2）有解.

因?yàn)楣ぁ辏ㄒ?,2）,所以一正￡（一8,0],

所以。￡（一8,0].]

4f+1

10.（2021?江蘇如皋高三開(kāi)學(xué)考試）若Vx￡（0,+8）,「一》加，則實(shí)數(shù)m

的取值范圍為.

（—8,4][Vxe（0,+°°）,機(jī)，則〃：）min,

zlr2-l-1?/1

由基本不等式可得一：—=4上+：22、/4x--=4,

當(dāng)且僅當(dāng)4工=*即上=:時(shí)，等號(hào)成立，

所以/nW4,

因此實(shí)數(shù)相的取值范圍是（一8,4].]

11.（2021.重慶一中月考）學(xué)校舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)時(shí)，高一某班共有30名同學(xué)參加,

有15人參加游泳比賽，有9人參加田徑比賽，有13人參加球類(lèi)比賽，同時(shí)參加

游泳比賽和田徑比賽的有2人，同時(shí)參加游泳比賽和球類(lèi)比賽的有3人，沒(méi)有人

同時(shí)參加三項(xiàng)比賽.只參加球類(lèi)一項(xiàng)比賽的有人.

8[不妨設(shè)同時(shí)參加球類(lèi)比賽和田徑比賽的有x人,

結(jié)合已知條件可知，只參加游泳比賽的有10人，只參加球類(lèi)比賽的有10—

工人，只參加田徑比賽的有7—x人,

故10+2+7—x+3+x+10-x=30,解得x=2,

從而只參加球類(lèi)一項(xiàng)比賽的有8人.]

12.（2021.江蘇泰州模擬）“勾股容方”問(wèn)題出自我國(guó)漢代數(shù)學(xué)名著《九章算

術(shù)》，該問(wèn)題可以被描述為：“設(shè)一直角三角形（如圖1）的兩直角邊長(zhǎng)分別為。和

從求與該直角三角形具有公共直角的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)”，公元263年，數(shù)學(xué)

家劉徽為《九章算術(shù)》作注，在注中他利用出入相補(bǔ)原理給出了上述問(wèn)題如圖2

和圖3所示的解答，則圖1中與直角三角形具有公共直角的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為

,當(dāng)內(nèi)接正方形的面積為1時(shí)，則圖3中兩個(gè)標(biāo)有“朱”的三角形和兩

個(gè)標(biāo)有“青”的三角形的面積總和的最小值為

b

a

圖1圖2圖3

普^2[設(shè)內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為.則圖2的面積為他，圖3的面積為（。

+b)x,

因?yàn)閳D2和圖3的面積相等，則有就=（。+6.，解得工=品，故內(nèi)接正方

形的邊長(zhǎng)為黑.因?yàn)閮?nèi)接正方形的面積為1,所以內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)x=l,則

有a+b=abf

利用基本不等式可得，a+b=ab，2故乃24,當(dāng)且僅當(dāng)。=6=2時(shí)取

等號(hào)，

所以兩個(gè)標(biāo)有“朱”的三角形和兩個(gè)標(biāo)有“青”的三角股的面積總和為ab

一222,

故圖3中兩個(gè)標(biāo)有“朱”的三角形和兩個(gè)標(biāo)有“青”的三角形的面積總和

的最小值為2.］

三、解答題

13.己知集合4={衛(wèi)-1〈xW2},B={x\)?-2mx+trv-1^0).

(1)命題p：xGA,命題q：x￡B,且p是夕的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)機(jī)的

取值范圍；

(2)若Vx￡A,f+m24+3x恒成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

［解］(1)解不等式/-2mr+m2—iW0,即(1一m)2?1,解得加一1WXWW+

1,

所以B={x\m-11}.

由于〃是夕的必要非充分條件，則84,

m—12-1,

所以，解得OWmWl,

1W2,

因此，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是［0,1］.

(2)由Vx￡A,都有f+加24+3x,

得m2-f+3x+4,1,2］,

￡

[-1

325

->4

2\

因此，實(shí)數(shù)〃2的取值范圍是學(xué)+8).

14.(2021?佛山市第二中學(xué)月考)己知二次函數(shù)丁=加+旅一。+2.

(1)若關(guān)于x的不等式加+匕x—。+2>0的解集是{x［—l<r<3},求實(shí)數(shù)。，b

的值；

⑵若。=2,。>0,解關(guān)于x的不等式加+加一a+2>0.

［解］⑴因?yàn)殛P(guān)于x的不等式ax1+bx-a+2>0的解集是{x|-1<x<3},

所以一1和3是方程or2—匕x—。+2=0的兩根，

所以4解得所以6/=—1,b=2.

b=2.

(2)當(dāng)。=2時(shí)，加+法一。+2>0,即加+2x-a+2>0,

可化為(x+l)(ar—a+2)>0,

因?yàn)椤?gt;0,所以(x+1)Q-.2)>0,

所以方程(%+1)卜一一廠)=0的兩根為一1和一I，

當(dāng)一1<Q,即。>1時(shí)，不等式的解集為“xx<—1或x>、一

Q-2

當(dāng)一1=----,即4=1時(shí)，不等式的解集為｛X|XW-1),

當(dāng)一1>~,即0<a<1時(shí)，不等式的解集為"x.或x>一1

a—2

綜上所述：當(dāng)0<々<1時(shí)，不等式的解集為門(mén)*一，一或Q一1

當(dāng)4=1時(shí)，不等式的解集為｛MxW-1｝,

當(dāng)G>1時(shí)，不等式的解集為〈x%<—1或心的—1.

命題熱點(diǎn)自測(cè)(二)函數(shù)

一、選擇題

8+2(xW1),

1.(2021?天津紅橋期末)設(shè)函數(shù)則7W0)]=()

llOg2X(X>l),

A.0B.3

C.1D.2

C[由題意得/0)=()2+2=2,所以f[A0)]=42)=log22=l.故選C.]

2.已知實(shí)數(shù)。則函數(shù)yu)=r+x—b的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()

A.(-2,-1)B.(-1,0)

c.(0,1)D.(1,2)

B[因?yàn)閛>l,0<b<l,兀0=出+工一b,

所以<-1)=[一1一辰0,火0)=1—。>0,

所以五一1)人0)<0,則由零點(diǎn)存在定理可知人。在區(qū)間(一1,0)上存在零點(diǎn).故

選B.]

3.(2021?山東濟(jì)南一中高三月考)函數(shù)式的圖象大致為()

CD

B[因?yàn)楹瘮?shù)人外={1的定義域?yàn)镽,且<x)=y不是偶函數(shù)，所以排

除C、D;

又<2）=,<1,排除A,故選B.]

4.若於）是定義在R上的奇函數(shù)，且y（x+2）=-/U）,則人8）的值為（）

A.1B.2

C.0D.一1

c[根據(jù)題意，若?幻是定義在R上的奇函數(shù)，則犬。）=0,

又由人工+2）=—/（外，則有?彳+4）=—/5+2）=%），

則式8）=/（4）=犬0）=0.故選C.]

5.（2021?海南高三月考）已知函數(shù)人工）=19一貝U（）

A.兀。是奇函數(shù),且在（一8,0）上單調(diào)遞減

B.兀0是奇函數(shù),且在（一8,（））上先遞減再遞增

c.人1）是偶函數(shù),且在（一8,（））上單調(diào)遞減

D.《乃是偶函數(shù),且在（一8,0）上先遞減再遞增

YXX

C［由?工)=%己一丁可得，J(-x)=-xe~x--^=xe--;=fix)

vCDf

故人幻為偶函數(shù)，從而A、B錯(cuò)誤；

由/㈤=眇一?1+1（^+?]）,當(dāng)x<0時(shí)，

故/U）在（一8,0）上單調(diào)遞減，所以C正確，D錯(cuò)誤.

故選C.1

6.（2021?山東棗莊八中高三月考）牛頓冷卻定律描述一個(gè)事物在常溫環(huán)境下

的溫度變化：如果物體的初始溫度為7b,則經(jīng)過(guò)一定時(shí)間t后的溫度T滿足T-

兀=（｝）網(wǎng)公一方），其中兀是環(huán)境溫度，。稱為半衰期，現(xiàn)有一杯80c的熱水用

來(lái)泡茶，研究表明，此茶的最佳飲用口感會(huì)出現(xiàn)在55°C.經(jīng)測(cè)量室溫為25°C,

茶水降至75℃大約用時(shí)1分鐘，那么為了獲得最佳飲用口感，從泡茶開(kāi)始大約

需要等待（）

(參考數(shù)據(jù)：1g3—0.4771,1g5=0.6990,1g11=1.0414)

A.4分鐘B.5分鐘

C.6分鐘D.7分鐘

1I

C［根據(jù)題意，75-25=(1^(80-25),即華=(5”

t_

設(shè)茶水從75℃降至55℃大約用時(shí)r分鐘，則55-25=（1^（75-25）,

楂（護(hù),即9的

兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)：lg|=lg（$=flg（￥）=r（l—1g11）,

la3—1。5

解得，=；_坨；1%5,所及從泡茶開(kāi)始大約需要等待5+1=6分鐘.故選C.］

7.（多選）已知a=log3e,Z?=log23,c=ln3,則（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.a~\~c>bD.a+c<b

BC［由題意可知，對(duì)于選項(xiàng)A、B,因?yàn)?=k）g23=S吃>言:=1!13=c,所

以b>c,又因?yàn)閍=log3e<log33=l,JLc=ln3>lne=l,所以c>a,貝I比>c>a,所

以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C、D,〃+c=k）g3e+ln3=￡|+ln3=';

+ln3>2^Jj^Xln3=2,且b=log23<log24=2,所以〃+c?,故選項(xiàng)C正確，

選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選BC.］

'2X-1（x^0）,

8.（多選）（2021?山東棗莊三中高三月考）函數(shù)曲）=〈八則下列說(shuō)

Hog2X（X>0）,

法正確的有（）

A.函數(shù)7U）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)

B.對(duì)于任意實(shí)數(shù)小不等式式〃+1）宓一〃）恒成立

C.若XlrX2,且1的）=逃垃），貝lJxi+x2<0

D.方程?x）一/（—x）=0有3個(gè)不相等實(shí)數(shù)解

BD［函數(shù)兀v）是（-8,0］和（0,+8）上的單調(diào)遞增函數(shù)，但是limy（x）=一

.JOT

8,凡r）在R上不單調(diào)，A錯(cuò)誤；

當(dāng)心0時(shí)，歡2+1）電1）=0,/（一°）勺（0）=0,fia2+l）^fi-a）;當(dāng)a<0時(shí),

1>—?>0,

由函數(shù)yco在(。，+8)上單調(diào)遞增知#/+1)?(一〃),B正確：

令X1=O,X2=l,fl_X\)=j(X2)f且X1+X2>O,C錯(cuò)誤；

x

當(dāng)x=0時(shí)，迷幻一汽一冷=0;當(dāng)x>0時(shí)，g(x)=J(x)-J(-x)=\Og2X-2~+1

在(0,+8)上單調(diào)遞增，g(0=—￥<0,g(l)=表0,故存在1個(gè)解；同理知x<0

時(shí)也存在1個(gè)解；x=0是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，

故方程以0—/(一制=0共有3個(gè)解，D正確.故選BD.]

二、填空題

9.(2021?重慶市清華中學(xué)校高三月考)已知火工)是定義在R上的偶函數(shù)，在

區(qū)間(-8,0]上為增函數(shù)，且八2)=0,則不等式?l+2x)W0的解集為.

(一8,U1,+8)[因?yàn)槎?是定義在R上的偶函數(shù)，且在(一8,0]

上是增函數(shù)，所以/U)在(0,+8)上是減函數(shù)，因?yàn)榇?)=0,所以4-2)=0,

x>0,fxWO,

所以不等式y(tǒng)(i+2x)wo芋價(jià)為、或。

/1+為力2)1/1+2X)勺(一2),

x>0,|\<0,]3

即1、或VI/解得或xW一篇

11+2x221l+2xW—2,22J

10.(2021.廣雅中學(xué)高三月考)若函數(shù)段)=xln島+，)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)相

(2x、

-1[因?yàn)楹瘮?shù)於)=M“不彳+町為偶函數(shù),

所以1—X)=火幻恒成立，即_xln(_]+ni=jdn|(系+"恒成立，

所以xln[(系+〃z)(M+〃

=0恒成立,

(2x.Y-

所以E+叼匕n+加=1恒成立，所以)二]■(6+1)+機(jī)2—1=0恒成

立,

m+1=0,

所以1)解得m=-1.]

m1=0,

11.(2021?合肥市第六中學(xué)模擬)函數(shù)X只二好一級(jí)，g(x)=ax~\f若Vxi￡[一

1,21，三加句一1,2],使得加)=8(★)，則。的取值范圍是.

(—8,—4]U[2,+°°)[若Vxi￡[—1,2],3x2^[~1,2],使得氏口)=

g(X2)t即g(x)在[-1,2]上的值域要包含/U)在[-1,2]上的值域，又在[-1,2]

上段)可一1,3].

g(-1)23,

①當(dāng)〃<0時(shí)，g(x)=。/—1單調(diào)遞減，此時(shí)J解得4;

1g(2)W-l,

②當(dāng)。=0時(shí)，g(x)=-\,顯然不滿足題設(shè)；

g(2)23,

③當(dāng)a>0時(shí)，g(x)=ox-l單調(diào)遞增，此時(shí)彳，)解得。22.

口(一1)〈一1,

綜上：。的取值范圍為(-8,-4]U[2,+8).]

--3,xe(o,1],

12.已知在(0,2]上的函數(shù)且g(x)=j(x)-nix在

2廠1-1,xe(i,2]

區(qū)間(0,2]內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是.

(一f，-2]lJ(0,[由函數(shù)g(x)=?r)—mx在(0,2]內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同的

零點(diǎn)，得y=/&),y=mr在(0,2]內(nèi)的圖象有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

當(dāng)y=rnx與丁=：-3在工6(0,1]相切時(shí)，

9

〃=-7

nvr+3x—1=0,4=9+4機(jī)=0,

9I

結(jié)合圖象可得當(dāng)一—2或OvmWg時(shí),

函數(shù)以幻=/2一mx在(0,2]內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn).]

三、解答題

13.對(duì)于兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b,min｛小Z?｝表示a,b中的較小數(shù)，已知函數(shù)人幻

=min{3+log］X,logzx).

4

(1)請(qǐng)畫(huà)出函數(shù)?r)的圖象；

(2)請(qǐng)寫(xiě)出函數(shù)加0的基本性質(zhì).

［解］(l)/U)=min{3+log產(chǎn)logzr),

4

當(dāng)3+log產(chǎn)Wlogzr時(shí)，即3—，k)g2xWk)g2X,.*.x^4時(shí)，?x)=3+k)g產(chǎn)

44

當(dāng)0令<4時(shí)，<x)=log”.

(3+log產(chǎn)xN4,

綜上所述：兀0={4畫(huà)出函數(shù)圖象，如圖所示.

llog2X,0<r<4,

(2)根據(jù)圖象知：人》的定義域?yàn)?0,+°°):值域?yàn)?一8,2］；在(0,4)上單

調(diào)遞增，在(4,+8)上單調(diào)遞減.

14.設(shè)函數(shù)?r)=s2x-2F(a￡R).

,,3

(1)若函數(shù)y=/U)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)g(x)=/a)+,求滿足g(xo)=O

的xo的值：

(2)若函數(shù)力(1)=/5)+4葉21在x￡［0,l］的最大值為一2,求實(shí)數(shù)〃的值.

［解］(1)；/U)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

???:—力+外)=0,

xxxx

：.a^2~-2+a-2-2~=0f即m一1>(20+2')=0,所以。=1.

3

令g(x)=2x—2-"+］=0,

則2-(2v)2+3-(2r)-2=0,

???(2葉2).(22—1)=0,

又2:0,：.x=-\t

所以滿足g(xo)=O的次的值為xo=-1.

(2)力。)=。2'—2、+4'+2-x,xefOJl,

令2'=P[1,2],

2

h(x)=H(t)=t+atfre[1,2],

對(duì)稱軸ro=—

43

-N-

2_2

“max⑺="(2)=4+2〃=-2,

.,?〃=-3;

②當(dāng)一會(huì)>|,即4<一3時(shí)，

I/niax(f)=7/(1)=1ICI——2,

；?a=-3(舍).

綜上：實(shí)數(shù)。的值為一3.

15.已知於）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)xWO時(shí)，/W=log2（a—x）.

（1）求函數(shù)兀v）的解析式；

（2）若對(duì)任意的%e［—1,1］,都有不等式/（f-〃優(yōu)+如+4”2—3+2）<0恒成

立，求實(shí)數(shù)小的取值范圍.

［解］（1）依題可知10）=0,解得。=1,所以當(dāng)x<0時(shí)，危）=10g2（l—X）,

設(shè)X>0,則一X<0,所以犬~x）=log2（1+x）,

又二Ax）是奇函數(shù)，，犬一x）=-/u）,

即=/U）=log2（l+x）,所以當(dāng)X>0時(shí)，Xx）=-log2（l+x）,

log2(l—X)(X^O),

綜上所述，y（x）="

—Iog2(l+x)(x>0).

（2）當(dāng)時(shí)，yu）=iog2（i—x）,所以yu）在（-8,o］上單調(diào)遞減,

又二/（X）是R上的奇函數(shù)，??JU）在（0,+8）上單調(diào)遞減，

從而兀r）在R上單調(diào)遞減，

由J^x2—2）<0,

可得人/一如+機(jī)）<―/（力2-，內(nèi)+2）=7（-2^2+如-2）,

又?.?/（x）在R上單調(diào)遞減，

,x2一+〃z>—+如一2,

即31—2〃優(yōu)+6+2>0對(duì)任意的xW［—1,1］恒成立，

Vff

記—2爾+機(jī)+2,對(duì)稱軸為X=1,

依題意對(duì)［-1,1］,有g(shù)(x)min>o,

YYI

①當(dāng)］V—1,即〃2<—3時(shí)，g(x)在［—1,1］上單調(diào)遞增,

5

-

.*?g(X)min=g(—1)=5+3心0,3與〃z<一3矛盾，此時(shí)無(wú)解

tn(m

②當(dāng)一即一3WmW3時(shí)，g(x)在—1,y上單調(diào)遞減，在g,1上

單調(diào)遞增，

，g(X)min=gg)=-號(hào)+加+2>0,

^<當(dāng)羽5呼I

3—\/33

又因?yàn)橐?W〃z<3,所以此時(shí)一廣<相W3;

③當(dāng)學(xué)>1,即7n>3時(shí)，g(x)在L1J］上單調(diào)遞減,

g(x)min=g(1)=5—m>0,解得m<5,又因?yàn)閙>3,所以此時(shí)3Vm<5.

綜上所述，實(shí)數(shù)〃z的取值范圍為f--2^f5)

命題熱點(diǎn)自測(cè)（三）導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

一、選擇題

1.（2021?“山東學(xué)情”聯(lián)考）現(xiàn)有一球形氣球，在吹氣球時(shí)，氣球的體積”單

位：L）與直徑d（單位：dm）的關(guān)系式為估計(jì)當(dāng)d=1dm時(shí)，氣球體積的

瞬時(shí)變化率為（）

A.2兀B.7t

一兀C兀

C.2D-4

C[設(shè)V=7@=件,則資，?/（1）=宏即當(dāng)d=ldm時(shí)，氣球體

JT

積的瞬時(shí)變化率為2.故選C.]

2.（2021?北京育才學(xué)校高三月考）曲線7U）=x+e2x在點(diǎn)（0,7（0））處的切線方

程為（）

A.y=2xB.y=2x+l

C.y=3xD.y=3%+l

D-%）=%+/,.VU）=1+2e2\

?\T（0）=1+2=3,

又共0）=1,

???曲線?x）=x+e2r在點(diǎn)（0,/（0））處的切線方程為y=3x+l.故選D.]

3.（2021?武漢市第一中學(xué)月考）己知定義在R上的函數(shù)次x）的導(dǎo)函數(shù)為（。）,

且滿足4口）勺/），若。=?1），」—，，）,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.c>a>b

C.b>a>cD.a>c>b

A[設(shè)g（x）」*,則g便="（%"）<0,，g（x）為單調(diào)遞減函數(shù).

V3>ln4>1,???g（3）vg（ln4）<g（l）,即公b>c.故選A.]

4.（2021?廣東廣州高三月考）設(shè)函數(shù)7U）在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為了。），且

3

函數(shù)y=（x-\）/⑴的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.函數(shù)7U）有極大值|—3）和43）

B.函數(shù)人乃有極小值4—3）和犬3）

C.函數(shù)7U）有極小值人3）和極大值|-3）

D.函數(shù)/（x）有極小值4-3）和極大值人3）

3

D[由題意，（—8,—3）時(shí)，y>0,@-1）vO司'。）<0,人外單調(diào)遞減；

3

%€（—3,1）時(shí),y<o,（X—1）vO司3>O,7U）單調(diào)遞增；

3

f

xe（l,3）時(shí)，y>Ot（X-I）>o^f（x）>ot火X）單調(diào)遞增;

3

XG（3,+8）時(shí)，y<0,一一1）>0電口）<0,兀0單調(diào)遞減.

所以函數(shù)有極小值/（一3）和極大值負(fù)3）.故選D.]

5.（多選）（2021?海南高三月考）若函數(shù)-3『+。的圖象在點(diǎn)（加，八砌）

處與x軸相切，則實(shí)數(shù)。的值可能為（）

A.1B.4

C.0D.2

BC[由題意可知，/（工）=3『一6x,

因?yàn)楹瘮?shù)7U）的圖象在點(diǎn)印0,fa。））處與x軸相切，

伍.）=焉一3焉+a=0,

所以:解得a=O或a=4.

[fXxo）=3x、o-6xo=O,

故選BC.]

6.（多選）（2021?廣東高三月考）已知函數(shù)/U）=2?—a?+6,若?r）在區(qū)間[0,

1]的最小值為一1且最大值為1,則〃的值可以是（）

A.0B.4

C.3如D.34

AB|/,（x）=6x2—2t7x=6ix（x—T],

令f'M—6.Xv-=0,解得x=0或

①當(dāng)々WO時(shí)，可知/U）在［0,1］上單調(diào)遞增，

所以?r）在區(qū)間［0,1］的最小值為40）=。，最大值為犬1）=2—。+〃.

此時(shí)。，力滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)b=-l,2-a+b=\r

即a=0,Z?=-1.故A正確.

②當(dāng)時(shí)，可知兀0在［0,1］上單調(diào)遞減，

所以ZU）在區(qū)間［0,1］的最大值為<0）=6,最小值為犬1）=2—〃+6.

此時(shí)。，人滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)2—。+/?=—1,b=l,

即〃=4,b=l.故B正確.

③當(dāng)0vz<3時(shí)，可知危）在［0,1］的最小值為/（，=-另+乩

.cP

最大值為Z?或2—。+/?.若一行+b=—1,b=1,

則a=3版，與0<〃<3矛盾.

“3

若一方+/?=—1,2—〃+/?=1,

乙/

則4=3小或〃=一3/或〃=0,與0<〃<3矛盾,故C、D錯(cuò)誤.故選AB.］

7.（多選）（2021?湖北襄陽(yáng)五中高三月考）已知。為常數(shù)，函數(shù)?v）=e\x-

有兩個(gè)極值點(diǎn)》，X2（X1<V2）,則（）

A.a的取值范圍是（0,§

B.。的取值范圍是（一8,3

C.加）<0

D.於2）>一/

ACD［由題意得：/。）=己（1+1—

????x）有兩個(gè)極值點(diǎn)陽(yáng)，火（力42）,???ra）=o有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，

x+1

又守>0,???只需x+l-2g"=o,即2〃=-^-有兩個(gè)不等實(shí)根，

.x+1、，X

令g（x）=-6一，則g'（x）=一最，

???當(dāng)(—8,0)時(shí)，gXx)>0:當(dāng)x￡(0,+8)時(shí),g(E)<0,

???ga)在(-8.o)上單調(diào)遞增，在(0.+8)上單調(diào)遞減，

???g(X)max=g(0)=l,又當(dāng)-8時(shí)，g(x)->—8；+s時(shí)，g。)一。,

可得g(X)圖象如圖所示，

IXi1

???當(dāng)0<2〃<1,即0v?qB寸，2a=\r有兩個(gè)不等實(shí)根，且一14（042,

乙C

即當(dāng)?！辏?,習(xí)時(shí)，?x）有兩個(gè)極值點(diǎn)XI,X2（x\<X2）fA正確，B錯(cuò)誤；

XI,X2八rX1+1向X2+1

..xi+1—2^e=0,X2+1~2ae=0,即e=2a，e=%，

_-

X\X\xi+1xi1XT1

??Axi）=e（x\—at）=2a*2=4〃，

X—l<xi<0,0<?<2，

AXxi)<0,C正確；

???當(dāng)工￡(-8,Xl),(X2,+8)時(shí)，/(x)<0；

當(dāng)xe(xi,刈8寸，((x)>0,

?\y(x)在(一8,M,(X2,+8)上單調(diào)遞減，在(XI,X2)上單調(diào)遞增，

：.J(X2)>J(0)=-atV0<?<4，/.?\Ax2)>—J,D正確?故選ACD.］

二、填空題

8.(2021.武漢市第一中學(xué)高三月考)函數(shù)人x)的導(dǎo)函數(shù)為fU),若/E)=/+

了像inx,則/①=---------

言+李［，-7'W=2x+/0Jcosx,

???/=爭(zhēng)+%€),

?寸間號(hào)

?"加裊冬］

9.（2021.福建師大附中高三月考）己知定義在R上的奇函數(shù)/U）的導(dǎo)函數(shù)為

尸（x）=5+cosx,若#1一，）+負(fù)1一/）＜0,則實(shí)數(shù)，的取值范圍為

（一8,-2）U（b+8）［因?yàn)?q）=5+cos心＞0,所以?r）在R上單調(diào)遞

增.

又於）是奇函教，由式1一。+川一?）＜0,

得刀一，）＜一人一妗=*一1）,

所以1一/〈尸一1,解得/＜—2或

所以實(shí)數(shù)，的取值范圍為（一8,-2）U（1,+8）.］

10.（2021.河南洛陽(yáng)高三期中）已知直線X—e2y=0與曲線），=己+。相切，則實(shí)

數(shù)a=.

-3［設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（xo,川），記氏0=眇+“，則/（此=眇+”,

xo+〃項(xiàng))+〃xo+tz

f,(x6)=e,切線方程為)，-e=e(x—xo),

xo+〃加+〃

即e-x—}j+(l—xo)e=0,它即為x-e2y=0,

〃xo+。

(1—xo)e=0,.

xo=l,

所以41-e2解得彳r]

xo+尸二?〔〃一3.

<e

11.（2021.北京育才學(xué)校高三月考）為了評(píng)估某種治療肺炎藥物的療效，現(xiàn)有

關(guān)部門(mén)對(duì)該藥物在人體血管中的藥物濃度進(jìn)行測(cè)量.設(shè)該藥物在人體血管中藥物

濃度式單位：mg/mL）與時(shí)間1（單位：h）的關(guān)系為c—貝。，甲、乙兩人服用該藥物

后，血管中藥物濃度隨時(shí)間f變化的關(guān)系如圖所示.

給出下列四個(gè)結(jié)論：

①在人時(shí)刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同；

②在念時(shí)刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率相同；

③在他，旬這個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同;

④在［力，勿，上，制兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲血管中藥物濃度的平均變化率不相

同.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

①③?［①在ZI時(shí)刻，為兩圖象的交點(diǎn)，即此時(shí)甲、乙兩人血管中的藥物

濃度相同，故①正確；②甲、乙兩人在色時(shí)刻的切線的斜率不相等，即兩人的/”2)

不相同，所以甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率不相同，故②不正確；③

根據(jù)平均變換率公式可知，甲、乙兩人的平均變化率都是華二3,故③正確；

④在［力，0時(shí)間段，甲的平均變化率是"7二:，乙在［⑵村時(shí)間段，甲的平均

變化率是⑵,顯然不相等，故④正確.］

t3-t2

三、解答題

12.(2021?北京豐臺(tái)二中高三月考)已知函數(shù)/U)=lnx—ax(〃是正常數(shù)).

(1)當(dāng)〃=2時(shí)，求?x)的單調(diào)區(qū)間與極值；

(2)若Vx>0,7U)v0,求〃的取值范圍.

1］~

［解］⑴當(dāng)。=2時(shí)，段)=lnx—2x,定義域?yàn)?0,+00)J\x)=--2,

令"a)>o,解得04<宗令/a)vo,解得尤所以函數(shù)/U)在(o,0上單調(diào)遞

增，在&+8)上單調(diào)遞減，所以兀0的極大值是/(，=—訪2—1,無(wú)極小值.

(2)因?yàn)閂x>。，火0<0,即Inx—。恒成立，即(乎)

設(shè)g(x)=￥，可得g'(x)=V^,當(dāng)0<x<e時(shí)g%x)>0,當(dāng)x>e時(shí)g，(x)<0,

所以gtr)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，所以且(?曲=飄?)=1,

C

所以即+8)

13.(2021?廣雅中學(xué)高三月考)設(shè)函數(shù)於)=1門(mén)一恥一加￡R).

(1)討論函數(shù)凡r)的單調(diào)性；

（2）若7U）存在兩個(gè)極值點(diǎn)XI,X2（X1<X2）,證^^

1ft1^-￡2X^+2%—

［解［（1）函數(shù)於）的定義域?yàn)椋?,+°°）,/（%）=［一2一方=----2?-

令g（x）=一加+2￥-1.

2x~11

①當(dāng)。=0時(shí)，廣（的=萬(wàn)廠，若o<x^,則廣a）<o,函數(shù)yu）單調(diào)遞減,

若制，則尸（》0，此時(shí)函數(shù)危）單調(diào)遞增.

此時(shí)，函數(shù)兀r）的減區(qū)間為（o,鄉(xiāng)，增區(qū)間為停，+8）；

②當(dāng)々W0時(shí)，對(duì)于函數(shù)g（x）=—o^+Zr—1,J=4—46/.

（i）若心1,則/WO,對(duì)任意的x>0,廣（x）W0,

此時(shí)，函數(shù)式笛在（0,+8）上單調(diào)遞減；

（訶）當(dāng)0<。<1時(shí)，J>0,由r（x）<0,可得0<xJ一日司或X。+小司，

,一八/一A。1A1~a

由r（x）>0,可得一\/1—-<r<~+\/—,

1+

此時(shí)，函數(shù)人幻的減區(qū)間為（0,匕平三可，（+8）,增區(qū)間為

Lyjl-a1+71-Q］

aay

...,1—\l1—a1+A/1-a

（ill）若。<0,則/>0,—------>0,—------<0,

1-、/］—￡1-、/］一，

由f\x）<0可得04<_------,由/'（x）>0可得x>~------.

此時(shí)，函數(shù)?x）的減區(qū)間為（o,匕*三），增區(qū)間為（匕可三，+8）

（2）證明：因?yàn)楹瘮?shù)兀0存在兩個(gè)極值點(diǎn)，由（1）可知0<?<1,

,f(X2)—f(X\)1—1~Cl

VX1<T2,4~—可得於2)一/3)<^一(X2-K1),

61~a~1~a

即人刈）一不習(xí)（劉）一萬(wàn)=2,

構(gòu)造函數(shù)h（x）=y（x）—In犬一%+女，其中Q。,

111—￡—1(x^1

則力'(%)=--2-2^?=---2?---=一一聲~W0對(duì)任意的x>0恒成立,

所以，函數(shù)〃(九)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

1—d1-a

由已知可得X2>Xl>0,所以，h(X\)>h(X2)f即/(XI)一%1次12)一

故原不等式得證.

14.(2021?山東萊州期末)設(shè)函數(shù)於)=21門(mén)一加？+1.

(1)當(dāng)凡r)有極值時(shí)，若存在xo,使得兒ro)>m—l成立，求實(shí)數(shù)〃7的取值范圍;

(2)當(dāng)m=1時(shí)，若在代￥)定義域內(nèi)存在兩實(shí)數(shù)尤I,X2滿足.口<%2且/(X1)=/(X2),

證明：XI+X2>2.

22

1ft?](1次r)的定義域?yàn)?0,+°°),;(x)=；—2爾=:(一渥+1),

當(dāng)mWO時(shí)，尸(幻>0,即/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，不合題意，.??加>0；

令一32+1=0,解得:

???當(dāng)0,,/(%)>0;當(dāng)xe,+8時(shí)，7(*0；

上單調(diào)遞增，在,+8上單調(diào)遞減，.7/U)max=/

存在XO,使得月￥0)>"2—1成立，則7H—1</(X)max,

=-Intn,

?*.m—1<—Inmtw+lnm—1<0,

人icl,1機(jī)+1

令%即)=6+Inm—1,則〃\tn)=\+~=jn>0,

???力(加)在(0,+8)上單調(diào)遞增，又/7(l)=l+ln1—1=0,：.0<m<lf