函數的求導法則

函數的求導法則函數的求導法則導數的定義給出了一種求導數的一般方法，但是按定義求導數有時會相當麻煩.從本節(jié)開始我們將介紹求導的幾個基本法則和基本初等函數的導數公式，借助于這些法則和公式，就能較方便地求出常見的函數的導數.一、函數的和、差、積、商的求導法則定理2如果u(x)和v(x)在x處可導，函數的和、差u(x)±v(x)在x處也是可導的，并且有

［u(x)±v(x)］′=u′(x)±v′(x).

證令y=u(x)±v(x)，當x有增量Δx時，u有增量Δu，v有增量Δv，從而y有增量Δy，且有

一、函數的和、差、積、商的求導法則即［u(x)±v(x)］′=u′(x)±v′(x)

.

上述法則可推廣到有限個可導函數的情況，有限個函數的和、差的導數等于它們導數的和、差，即［u(x)±v(x)±…±w(x)］′=u′(x)±v′(x)±…±w′(x).

一、函數的和、差、積、商的求導法則定理3如果u(x)和v(x)在x處可導，函數的積u(x)·v(x)在x處也是可導的，并且有一、函數的和、差、積、商的求導法則即［u(x)·v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)，特別地，［Cu(x)］′=Cu′(x)

(C為任意常數).

上述法則可推廣到有限個函數乘積的導數的情形，即［u(x)·v(x)·…·w(x)］′=u′(x)v(x)…w(x)+u(x)v′(x)…w(x)+…+u(x)v(x)…w′(x).

一、函數的和、差、積、商的求導法則定理4一、函數的和、差、積、商的求導法則設y=3x2+2x+7，求y′.

解y′=(3x2+2x+7)′=(3x2)′+(2x)′+(7)′=6x+2.【例14】【例15】一、函數的和、差、積、商的求導法則求下列函數的導數.(1)y=xsinx；(2)y=ax(2sinx－3cosx)；(3)y=x4?ex?lnx.

解(1)y′=(xsin

x)′=(x)′sinx+x(sinx)′=sinx+xcosx；

(2)y′=axlna(2sinx－3cosx)+ax(2cos

x+3sinx)；

(3)y′=4x3exlnx+x4exlnx+x3ex=x3ex(4lnx+xln

x+1).【例16】二、反函數的求導法則定理5如果x=φ(y)在某區(qū)間上單調可導，且φ′(y)≠0，那么它的反函數y=f(x)在對應區(qū)間上也可導，且有

證因x=φ(y)單調可導，故它的反函數單調連續(xù)，下面證明它的可導性.

當x有增量Δx≠0時，由單調性可知Δy=f(x+Δx)－f(x)≠0，因而有二、反函數的求導法則二、反函數的求導法則【例18】求指數函數y=ax(a>0,a≠1)的導數.二、反函數的求導法則【例19】求y=arcsinx的導數.二、反函數的求導法則【例20】求y=arctanx的導數.三、復合函數的求導法則定理6如果u=φ(x)在點x處可導，而y=f(u)在點u=φ(x)處可導，那么復合函數y=f［φ(x)］在點x處可導，并且其導數為

或寫成y′x=y′u·u′x.

證當x有增量Δx時，u有增量Δu，從而y有增量Δy.當Δu≠0時，有三、復合函數的求導法則由已知條件可得所以

即y′x=y′u·u′x

.

上述證明假定了當|Δx|足夠小時，Δu≠0，如果該事實不成立，我們仍能證明該法則成立，證明過程請讀者思考.三、復合函數的求導法則注這個公式說明復合函數的導數等于復合函數對中間變量的導數乘以中間變量對自變量的導數.該法則也稱為鏈式法則，它可以推廣到多個中間變量的情形.假設有函數y=f{φ［ψ(x)］}，它是由y=f(u),u=φ(v),v=ψ(x)復合而成的復合函數，那么復合函數y=f{φ［ψ(x)］}的導數為三、復合函數的求導法則【例22】求下列函數的導數.(1)y=sin2x；(2)y=(1+2x)5

；(3)y=tan(sinx)；(4)y=ln(x+1+x2).解(1)由y=sinu,u=2x,得y′=y′u?u′x=cosu?(2x)′=2cos2x.(2)由y=u5,u=1+2x，得

y′=y′u?u′x=(u5)′(1+2x)′=5u4×2=10u4=10(1+2x)4.(3)在熟練掌握復合函數的求導法則后，中間變量可以不必寫出(默記在心里按法則逐步進行)，于是有

y′=［tan(sinx)］′=sec2(sinx)?(sinx)′=sec2(sinx)?cosx=cosx?sec2(sinx).三、復合函數的求導法則注對于初學者來說，求復合函數的導數是一個難點.但若能夠熟悉復合函數的復合過程，并牢記“由外向里，逐層求導”的八字原則，則復合函數的求導就會變得簡便易行.所謂“由外向里”，就是按照復合的層次，從最外面開始，依次向里；“逐層求導”就是一層一層地求下去，直到自變量為止.最后，把各層求的導數的結果乘起來即可.三、復合函數的求導法則【例23】y=cosln(1+2x)，求y′.解該復合函數從最外層看是余弦函數，向里依次是對數函數、簡單函數1+2x.按照上面的八字原則，需要分別對余弦函數、對數函數及函數1+2x求導，然后乘積即得三、復合函數的求導法則【例24】求函數y=sin22x的導數.解該函數是由冪函數、正弦函數、簡單函數2x復合而成的復合函數.由復合函數的求導法則得

y′=2sin2x?cos2x?2=2sin4x.三、復合函數的求導法則【例25】【例26】已知y=f(x2)sinf(x),f為可導函數，求y′.解y′=［f(x2)］′sinf(x)+f(x2)［sinf(x)］′=2xf′(x2)sinf(x)+f(x2)f′(x)cosf(x).三、復合函數的求導法則關于求導記號的幾點說明：(1)對于復合函數y=f［φ(x)］，如果不設中間變量，y′表明y對自變量x求導；如果設有中