極 限教學(xué)課件

極限一、數(shù)列的極限

函數(shù)給出了變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，但研究變量的變化僅靠對(duì)應(yīng)關(guān)系是不夠的，還需要通過(guò)變量的變化趨勢(shì)來(lái)研究，這便是極限的概念．極限的概念是由求實(shí)際問(wèn)題的精確解答而產(chǎn)生的．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽于公元263年創(chuàng)立了“割圓術(shù)”,它就是借助于圓的一串內(nèi)接正多邊形的面積去逼近圓的面積,這就是極限思想最早在幾何上的應(yīng)用．同時(shí)這也使得我們認(rèn)識(shí)到極限方法是在解決實(shí)際問(wèn)題中逐漸形成的．為了研究一般函數(shù)的極限,下面先討論一種特殊函數(shù)的極限——數(shù)列的極限．?dāng)?shù)列1.1）數(shù)列的概念一、數(shù)列的極限

定義1設(shè)yn=f（n）是定義在正整數(shù)集上的一個(gè)函數(shù),當(dāng)自變量n依次取1,2,3，…時(shí),其相應(yīng)的函數(shù)值所排成的一列數(shù)y1，y2，y3，…，yn，…稱為一個(gè)無(wú)窮數(shù)列,簡(jiǎn)稱數(shù)列,記作{yn}或{f（n）}.其中數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都稱為數(shù)列的項(xiàng),數(shù)列{yn}的第n項(xiàng)yn稱為數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng).定義1

2）有界數(shù)列

對(duì)數(shù)列{yn}，如果存在兩個(gè)實(shí)數(shù)m，M，使得m≤yn≤M（n=1，2，…）那么稱{yn}為有界數(shù)列，其中m，M分別稱為數(shù)列{yn}的下界與上界．否則，稱{yn}為無(wú)界數(shù)列．對(duì)于數(shù)列的有界概念，還有如下的等價(jià)定義，即：如果存在M>0，使得{yn|≤M（n=1，2，…)，那么稱{yn}為有界數(shù)列，M稱為數(shù)列{yn}的界．定義2

一、數(shù)列的極限3）單調(diào)數(shù)列

設(shè)數(shù)列{yn}，如果yn≤yn＋1（n=1，2，…），那么稱數(shù)列{yn}為單調(diào)增加數(shù)列．反之，如果yn≥yn＋1（n=1，2，…），那么稱數(shù)列{yn}為單調(diào)減少數(shù)列．單調(diào)增加數(shù)列和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列．如數(shù)列1/n是單調(diào)減少數(shù)列，數(shù)列n/n＋1是單調(diào)增加數(shù)列，數(shù)列{（-2）n}不是單調(diào)數(shù)列．定義3

一、數(shù)列的極限4）母子列

從數(shù)列{yn}中任意選出部分項(xiàng)（無(wú)窮項(xiàng)），保持原來(lái)的次序，從左往右排列為yn1，yn2，…，ynk，…稱此數(shù)列為{yn}的子數(shù)列（簡(jiǎn)稱子列），記為{ynk}.其中k(k=1，2，…)表示ynk在子列中的第k項(xiàng)，nk表示在原來(lái)數(shù)列{yn}中的第nk項(xiàng)．一、數(shù)列的極限思考思考：五個(gè)數(shù)1,1/3,1/9，1/27，1/81能構(gòu)成一個(gè)數(shù)列嗎？n個(gè)數(shù)1,1/3,1/9,…，1/3n-1呢？為什么？數(shù)列極限的定義2.一、數(shù)列的極限

觀察上面六個(gè)數(shù)列的變化趨勢(shì)或性態(tài),就不難發(fā)現(xiàn):當(dāng)自變量n無(wú)限增大時(shí),有的數(shù)列的通項(xiàng)yn無(wú)限接近于(或趨于)某個(gè)常數(shù)A．例如，數(shù)列{1/n}當(dāng)自變量n無(wú)限增大時(shí),1/n趨于0；數(shù)列{n/(n＋1)}和{n＋（-1）n-1/n}當(dāng)自變量n無(wú)限增大時(shí),n/n＋1和n＋（-1）n-1/n都無(wú)限接近于1．將數(shù)列的上述變化趨勢(shì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表示，就得到數(shù)列極限的定義．一、數(shù)列的極限

對(duì)于數(shù)列{yn},如果當(dāng)自變量n無(wú)限增大時(shí),yn趨于某個(gè)確定的常數(shù)A,那么A叫作數(shù)列{yn}的極限,記作

此時(shí),也稱數(shù)列{yn}收斂于A.如果數(shù)列{yn}的極限不存在,就說(shuō)數(shù)列{yn}是發(fā)散的.定義4

一、數(shù)列的極限一、數(shù)列的極限

觀察下列數(shù)列的極限:(1)yn=1＋1/n；(2)yn=(1/3)n-1；(3)yn=3.【例1】一、數(shù)列的極限數(shù)列極限的性質(zhì)和運(yùn)算3.1）數(shù)列極限的性質(zhì)

性質(zhì)1(極限的唯一性)如果數(shù)列{yn}有極限(或收斂),那么它的極限是唯一的.

性質(zhì)2（收斂數(shù)列的有界性）如果數(shù)列{yn}有極限，那么數(shù)列{yn}一定有界．性質(zhì)3（收斂數(shù)列的保號(hào)性）如果給定數(shù)列{yn}，且limn→∞yn=a，a>0（或a<0），那么從某一項(xiàng)起，都有yn>0（或yn<0）．一、數(shù)列的極限一、數(shù)列的極限一、數(shù)列的極限一、數(shù)列的極限一、數(shù)列的極限一、數(shù)列的極限二、函數(shù)的極限

數(shù)列是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),它的自變量n具有“離散變量”(只能取正整數(shù))和趨于正無(wú)窮大一種變化狀態(tài)的兩個(gè)特點(diǎn).而對(duì)于定義在區(qū)間上的函數(shù),它的自變量x是“連續(xù)變量”(即x能取得定義區(qū)間中的任何值),并且x有多種變化狀態(tài).因此,在學(xué)習(xí)函數(shù)極限時(shí),只要注意到這些不同點(diǎn),就很容易理解函數(shù)極限的概念、理論和方法．函數(shù)極限的概念1.

把數(shù)列極限概念中的函數(shù)為f（n）而自變量的變化過(guò)程為n→∞等特殊性撇開(kāi),可以引入函數(shù)極限的概念．在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中,如果對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限接近于某個(gè)確定的數(shù)值,那么這個(gè)確定的數(shù)值就叫作在這一變化過(guò)程中函數(shù)的極限．由于自變量的變化不同,函數(shù)的極限就表現(xiàn)為不同的形式．二、函數(shù)的極限下面介紹自變量x變化過(guò)程的兩種不同情形時(shí)函數(shù)f（x）的極限．1）自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限現(xiàn)在考慮自變量x無(wú)限接近于有限值x0或說(shuō)趨于有限值x0時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f（x）的變化情形．有如下定義.二、函數(shù)的極限

設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的去心鄰域內(nèi)有定義，如果在x→x0的過(guò)程中，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f（x）無(wú)限接近于確定的數(shù)值A(chǔ)，那么稱A是函數(shù)f（x）當(dāng)x→x0時(shí)的極限，記作從定義5中可以看出,函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處是否存在極限與f（x）在點(diǎn)x0處是否有定義無(wú)關(guān)．定義5

二、函數(shù)的極限二、函數(shù)的極限二、函數(shù)的極限二、函數(shù)的極限二、函數(shù)的極限自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限2.

設(shè)函數(shù)f（x）當(dāng)|x|大于某一正數(shù)時(shí)有定義，如果在x→∞的過(guò)程中，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f（x）無(wú)限接近于確定的數(shù)值A(chǔ)，那么A叫作函數(shù)f（x）當(dāng)x→∞時(shí)的極限．記作如果把x取正值且無(wú)限增大，稱為x趨于正無(wú)窮大，記作x→＋∞，而把x取負(fù)值且|x|無(wú)限增大，稱為x趨于負(fù)無(wú)窮大，記作x→-∞．這樣，函數(shù)f（x）在這兩種極限過(guò)程下的極限，分別記作定義6

二、函數(shù)的極限二、函數(shù)的極限二、函數(shù)的極限思考

求函數(shù)在一點(diǎn)的極限時(shí)，什么情況下要分左右極限考慮？什么情況下不用分左右極限考慮？為什么？二、函數(shù)的極限函數(shù)極限的性質(zhì)3.

性質(zhì)7(函數(shù)極限的唯一性)如果limx→x0f（x）存在,那么它的極限是唯一的.性質(zhì)8（局部有界性）如果limx→x0f（x）存在，則函數(shù)f（x）在x0的某一去心鄰域內(nèi)有界．

性質(zhì)9（局部保號(hào)性）如果給定函數(shù)f（x），limx→x0f（x）=A且A>0（或A<0），那么在x0的某一去心鄰域內(nèi)，有f（x）>0（或f（x）<0）．二、函數(shù)的極限

性質(zhì)10（夾逼準(zhǔn)則)如果函數(shù)g（x），f（x），h（x）在點(diǎn)x0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)，滿足下列條件:(1)g（x）≤f（x）≤h（x）;(2)limx