2023年九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷（五四學(xué)制）帶解析

2023年九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷（五四學(xué)制）一、選擇題（每題3分，共36分）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosA=，則sinA的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】解：∵，∴設(shè)b＝5k，c＝13k，根據(jù)勾股定理得a＝12k，所以．故選D．2.下列說法中，正確的是（）A.三點確定一個圓 B.三角形有且只有一個外接圓C.四邊形都有一個外接圓 D.圓有且只有一個內(nèi)接三角形【答案】B【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)確定圓的條件逐一判斷后即可得到答案．解：A、不在同一直線上的三點確定一個圓，故原命題錯誤；B、三角形有且只有一個外切圓，原命題正確；C、并不是所有的四邊形都有一個外接圓，原命題錯誤；D、圓有無數(shù)個內(nèi)接三角形．故選B．點評：本題考查了確定圓的條件，不在同一直線上的三點確定一個圓．3.如圖，A，B，P是半徑為2的⊙O上的三點，∠APB＝45°，則弦AB的長為（）A.2 B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】由A、B、P是半徑為2的⊙O上的三點，∠APB=45°，可得△OAB是等腰直角三角形，繼而求得答案．【詳解】解：連接OA，OB．∵∠APB=45°，∴∠AOB=2∠APB=90°．∵OA=OB=2，∴AB==2．故選：C．4.在平面直角坐標(biāo)系中，把一條拋物線先向上平移3個單位長度，然后繞原點旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線，則原拋物線的解析式是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【詳解】解：∵拋物線的解析式為：，∴繞原點旋轉(zhuǎn)180°變?yōu)?，，即，∴向下平?個單位長度的解析式為=．故選A．5.如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東55°方向，距離燈塔2海里的點A處，如果海輪沿正南方向航行到燈塔的正東方向，海輪航行的距離AB長是（

）A.2海里

B.2sin55°海里

C.2cos55°海里 D.2tan55°海里【答案】C【解析】【詳解】試題分析：首先由方向角的定義及已知條件得出∠NPA=55°，AP=2海里，∠ABP=90°，再由AB∥NP，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠A=∠NPA=55°．然后解Rt△ABP，得出AB=AP?cos∠A=2cos55°海里．解：如圖，由題意可知∠NPA=55°，AP=2海里，∠ABP=90°．∵AB∥NP，∴∠A=∠NPA=55°．在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠A=55°，AP=2海里，∴AB=AP?cos∠A=2cos55°海里．故選C．考點：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題．6.如圖，半徑為3的⊙A經(jīng)過原點O和點C（0，2），B是y軸左側(cè)⊙A優(yōu)弧上一點，則tan∠OBC為（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【詳解】解：連接CD，因，所以CD為直徑，Rt△OCD中，CD=6，OC=2，根據(jù)勾股定理得OD=4所以tan∠CDO=，由圓周角定理得，∠OBC=∠CDO，則tan∠OBC=，故選C．7.如圖，以△ABC的一邊AB為直徑作⊙O，交AC，BC于D，E兩點，若AB=4，∠BED=120°，點E是BD中點，則圖中陰影部分的面積是（）A.4 B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】連接OE、OD、AE．∵∠BED=120°，∴∠BAC=60°，∵，∴BE=ED，∵OB=OE=OD，∴△OEB≌△OED，∴∠OEB=∠OED=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC=4，∵AB為直徑，∴∠AEB=90°，BE=EC=BC=2，∵OB=OE，∠ABC=∠BAC=60°，OA=OD，∴△OBE、△AOD、△ODE、△CDE都等邊三角形，∴OB=BE=OE=2，OA=OD=AD=2，∠AOD=∠BOE=60°，∴∠EOD=180°﹣60°﹣60°=60°，∴陰影部分的面積是=（扇形BOE的面積﹣三角形BOE面積）+（菱形OECD的面積﹣扇形OED的面積）=三角形CDE的面積=×22=.故選D．8.用藍色和紅色可以混合在一起調(diào)配出紫色，小明制作了如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤，其中一個轉(zhuǎn)盤兩部分的圓心角分別是120°和240°，另一個轉(zhuǎn)盤兩部分被平分成兩等份，分別轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向的兩個區(qū)域顏色恰能配成紫色的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】列表如下：紅紅藍紅紫藍紫紫共有9種情況，其中配成紫色的有3種，所以恰能配成紫色的概率=故選B．9.如圖是某工件的三視圖，則此工件的表面積為（）A.15πcm2 B.51πcm2 C.66πcm2 D.24πcm2【答案】D【解析】【詳解】解:觀察幾何體的三視圖可得該幾何體為圓錐，如圖所示，OB=3cm，OA=4cm，由勾股定理求得AB=5cm，所以圓錐的側(cè)面積為×6π×5=15πcm2，圓錐的底面積為π×（）2=9πcm，即可得圓錐的表面積15π+9π=24πcm2，故答案選D.考點：由三視圖判斷幾何體；圓錐的計算．10.已知二次函數(shù)y=﹣（x﹣a）2﹣b的圖象如圖所示，則反比例函數(shù)y=與一次函數(shù)y=ax+b的圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】解：觀察二次函數(shù)圖象可知，圖象與y軸交于負半軸，﹣b＜0，b＞0；拋物線的對稱軸a＞0．在反比例函數(shù)y=中可得ab＞0，所以反比例函數(shù)圖象在第一、三象限；在一次函數(shù)y=ax+b中，a＞0，b＞0，所以一次函數(shù)y=ax+b的圖象過第一、二、三象限．故答案選B．考點：函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系.11.如圖，點A、B、C是⊙O上的三點，且四邊形ABCO是平行四邊形，OF⊥OC交圓O于點F，則∠BAF等于()A.12.5° B.15° C.20° D.22.5°【答案】B【解析】【詳解】解：連接OB，∵四邊形ABCO是平行四邊形，∴OC=AB，又OA=OB=OC，∴OA=OB=AB，∴△AOB為等邊三角形，∵OF⊥OC，OC∥AB，∴OF⊥AB，∴∠BOF=∠AOF=30°，由圓周角定理得∠BAF=∠BOF=15°故選B12.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對稱軸是直線x=﹣，下列結(jié)論：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＜0；④a+4c＞2b，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【詳解】①∵拋物線的對稱軸為直線x=﹣，∴﹣＜0，∴a、b同號，即ab＞0，①正確；②∵當(dāng)x=1時，y＜0，∴a+b+c＜0，②正確；③∵拋物線的對稱軸為直線x=﹣，∴﹣=﹣，∴a=b．∵當(dāng)x=﹣1時，y＞0，∴a﹣b+c＞0，即b﹣b+c＞0，∴b+2c＞0，③錯誤；④∵當(dāng)x=﹣時，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴a﹣2b+4c＞0，即a+4c＞2b，④正確．故選C．點睛：本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).熟練應(yīng)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行判斷推理是解題的關(guān)鍵.二、填空題（每題3分，共18分）13.若∠α是銳角，且cosα=sin53°，則∠α度數(shù)是_____．【答案】37°【解析】【詳解】∵sin53°=cos（90°﹣53°）=cos37°，∴銳角α=37°．故答案為：37°．14.在⊙O中，圓心角∠AOB=100°，則弦AB所對的圓周角=_____．【答案】50°或130°【解析】【詳解】根據(jù)圓周角定理，得弦AB所對的圓周角=100°÷2=50°或180°﹣50°=130°．故答案為50°或130°.15.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，將△ABC沿BE折疊，使直角頂點C落在斜邊上的點D處，則sin∠CBE的值為_____．【答案】【解析】【詳解】在直角△ABC中，AB==10．BD=BC=6，AD=10﹣6=4，設(shè)CE=x，則AE=8﹣x，在直角ADE中，AE2=DE2+AD2，即（8﹣x）2=x2+16，解得：x=3．則CE=3，在直角△BCE中，BE==3，則sin∠CBE===，故答案為：．16.如圖是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，經(jīng)測量得到如下數(shù)據(jù)：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，則警示牌的高CD為＿米.（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）【答案】2.9【解析】【詳解】在Rt△AMD中，∠MAD=45°，AM=4米，可得MD=4米；在Rt△BMC中，BM=AM+AB=12米，∠MBC=30°，可求得MC=米，所以警示牌的高CD=4-4=2.9米.17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB是等邊三角形，點O為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)是（6，0），點P是△OAB邊界上一動點，當(dāng)以點P為圓心，以2為半徑的⊙P與y軸相切時，點P的坐標(biāo)是_____．【答案】（2，0）或（1，）【解析】【詳解】解：①當(dāng)點P在線段OA上時，如果⊙P與y軸相切，則P（2，0）；②當(dāng)點P在線段OB上時，如果⊙P與y軸相切，則P（1，）；故答案為：（2，0）或（1，）；點睛：本題考查切線、等邊三角形、勾股定理等知識.畫出圓與兩軸分別相切時的圖形，并用勾股定理進行求解是解題的關(guān)鍵.18.如圖，一段拋物線：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）記為C1，它與x軸交于兩點O，A1；將C1繞A1旋轉(zhuǎn)180°得到C2，交x軸于A2；將C2繞A2旋轉(zhuǎn)180°得到C3，交x軸于A3；…如此進行下去，直至得到C6，若點P（11，m）在第6段拋物線C6上，則m=_____．【答案】-1【解析】【分析】將這段拋物線C1通過配方法求出頂點坐標(biāo)及拋物線與x軸的交點，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以知道C1與C2的頂點到x軸的距離相等，且OA1=A1A2，照此類推可以推導(dǎo)知道點P（11，m）為拋物線C6的頂點，從而得到結(jié)果．【詳解】解：∵y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2），∴配方可得y=﹣（x﹣1）2+1（0≤x≤2），∴頂點坐標(biāo)為（1，1），∴A1坐標(biāo)為（2，0）；∵C2由C1旋轉(zhuǎn)得到，∴OA1=A1A2，即C2頂點坐標(biāo)為（3，﹣1），A2（4，0）；照此類推可得，C3頂點坐標(biāo)為（5，1），A3（6，0）；C4頂點坐標(biāo)為（7，﹣1），A4（8，0）；C5頂點坐標(biāo)為（9，1），A5（10，0）；C6頂點坐標(biāo)為（11，﹣1），A6（12，0）；∴m=﹣1．故答案為﹣1．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出拋物線的頂點坐標(biāo)．三．解答題（共7道題，滿分66分）19.計算：tan45°﹣（sin60°）2﹣+2cos30°．【答案】【解析】【詳解】先求出特殊角的三角函數(shù)值，再按混合運算順序進行計算即可.解：原式=1﹣（）2﹣+2×，=1﹣﹣（﹣1）+，=+1，=．20.小明從家到學(xué)校上學(xué)，沿途需經(jīng)過三個路口，每個路口都設(shè)有紅、綠兩種顏色的信號燈，在信號燈正常情況下：（1）請用樹狀圖列舉小明遇到交通信號燈的所有情況；（2）小明遇到兩次綠色信號的概率有多大？（3）小明紅綠色兩種信號都遇到的概率有多大？【答案】（1）詳見解析（2）．（3）．【解析】【詳解】試題分析：（1）分紅燈、綠燈兩種等可能情況畫出樹狀圖即可．（2）根據(jù)樹狀圖得到總情況數(shù)和兩次綠燈的情況數(shù)，然后利用概率公式列式計算即可得解．（3）根據(jù)紅、綠色兩種信號都遇到的情況數(shù)，利用概率公式列式計算即可得解．解：（1）根據(jù)題意畫出樹狀圖如下：一共有8種情況．（2）∵兩次綠色信號的情況數(shù)是3種，∴P（兩次綠色信號）=．（3）∵紅綠色兩種信號的情況有6種，∴P（紅綠色兩種信號）．21.如圖，二次函數(shù)y=ax2﹣4x+c的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點，與x軸交于點A（﹣4，0）（1）求此二次函數(shù)的解析式，并求出拋物線的頂點坐標(biāo)；（2）在拋物線上存在點P，使△AOP的面積為10？求出點P的坐標(biāo)．【答案】（1）y=﹣x2﹣4x；（2）P坐標(biāo)為（﹣5，﹣5），（1，﹣5）．【解析】【詳解】（1）把原點與A坐標(biāo)代入解析式求出a與c的值，即可確定出解析式；（2）由A與O坐標(biāo)求出AO的長，根據(jù)三角形AOP面積為10，利用面積公式求出P縱坐標(biāo)的絕對值為5，即P縱坐標(biāo)為5或-5，把y=5或y=-5代入拋物線解析式求出x的值，即可確定出P坐標(biāo)．解：（1）把（0，0）與（﹣4，0）代入得：，解得：a=﹣1，c=0，則拋物線解析式為y=﹣x2﹣4x；（2）∵AO=4，S△AOP=10，∴|yP縱坐標(biāo)|=5，即yP縱坐標(biāo)=5或yP縱坐標(biāo)=﹣5，把y=5代入拋物線解析式得：x2+4x+5=0，方程無解；把y=﹣5代入拋物線解析式得：x2+4x﹣5=0，解得x=﹣5或x=1，此時P坐標(biāo)為（﹣5，﹣5），（1，﹣5）．22.如圖，在一條筆直的東西向海岸線l上有一長為1.5km的碼頭MN和燈塔C，燈塔C距碼頭的東端N有20km.一輪船以36km/h的速度航行，上午10：00在A處測得燈塔C位于輪船的北偏西30°方向，上午10：40在B處測得燈塔C位于輪船的北偏東60°方向，且與燈塔C相距12km.(1)若輪船照此速度與航向航向，何時到達海岸線？(2)若輪船不改變航向，該輪船能否?？吭诖a頭？請說明理由(參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈1.7)．【答案】（1）11：00；（2）能，理由見解析.【解析】【分析】（1）延長AB交海岸線l于點D，過點B作BE⊥海岸線l于點E，過點A作AF⊥l于F，首先證明△ABC是直角三角形，再證明∠BAC=30°，再求出BD的長即可角問題．（2）求出CD的長度，和CN、CM比較即可解決問題．【詳解】解：(1)延長AB交海岸線l于點D，過點B作BE⊥海岸線l于點E，過點A作AF⊥l于F，如圖所示．∵∠BEC＝∠AFC＝90°，∠EBC＝60°，∠CAF＝30°，∴∠ECB＝30°，∠ACF＝60°，∴∠BCA＝90°.∵BC＝12km，AB＝36×＝24(km)，∴AB＝2BC，∴∠BAC＝30°，∠ABC＝60°.∵∠ABC＝∠BDC＋∠BCD＝60°，∴∠BDC＝∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝12，∴所需時間t為＝(小時)＝20(分鐘)，∴輪船照此速度與航向航行，上午11：00能到達海岸線；(2)∵BD＝BC，BE⊥CD，∴DE＝EC.在Rt△BEC中，∵BC＝12km，∠BCE＝30°，∴BE＝6km，EC＝6km，∴CD＝2EC＝12≈20.4(km)．∵20＜20.4＜21.5，∴不改變航向，輪船可以?？吭诖a頭．故答案為（1）11：00；（2）能【點睛】本題考查了方向角、解直角三角形等知識，解題關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造直角三角形，由數(shù)量關(guān)系推出∠BAC=30°，屬于中考?？碱}型．23.旅游公司在景區(qū)內(nèi)配置了50輛觀光車共游客租賃使用，假定每輛觀光車一天內(nèi)最多只能出租一次，且每輛車的日租金x（元）是5的倍數(shù)．發(fā)現(xiàn)每天的營運規(guī)律如下：當(dāng)x不超過100元時，觀光車能全部租出；當(dāng)x超過100元時，每輛車的日租金每增加5元，租出去的觀光車就會減少1輛．已知所有觀光車每天的管理費是1100元．（1）優(yōu)惠活動期間，為使觀光車全部租出且每天的凈收入為正，則每輛車的日租金至少應(yīng)為多少元？（注：凈收入=租車收入﹣管理費）（2）當(dāng)每輛車的日租金為多少元時，每天的凈收入最多？【答案】（1）每輛車的日租金至少應(yīng)為25元；（2）當(dāng)每輛車的日租金為175元時，每天的凈收入最多是5025元．【解析】【詳解】試題分析：（1）觀光車全部租出每天的凈收入=出租自行車的總收入﹣管理費，由凈收入為正列出不等式求解即可；（2）由函數(shù)解析式是分段函數(shù)，在每一段內(nèi)求出函數(shù)最大值，比較得出函數(shù)的最大值．試題解析：（1）由題意知，若觀光車能全部租出，則0＜x≤100，由50x﹣1100＞0，解得x＞22，又∵x是5的倍數(shù)，∴每輛車的日租金至少應(yīng)為25元；（2）設(shè)每輛車的凈收入為y元，當(dāng)0＜x≤100時，y1=50x﹣1100，∵y1隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=100時，y1最大值為50×100﹣1100=3900；當(dāng)x＞100時，y2=（50﹣）x﹣1100=﹣x2+70x﹣1100=﹣（x﹣175）2+5025，當(dāng)x=175時，y2的最大值為5025，5025＞3900，故當(dāng)每輛車的日租金為175元時，每天的凈收入最多是5025元．考點：二次函數(shù)的應(yīng)用．24.如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC，AC于D，E兩點，過點D作⊙O的切線，交AC于點F，交AB的延長線于點G．（1）求證：EF=CF；（2）若cos∠ABC=，AB=10，求線段AF的長．【答案】（1）見解析；（2）【解析】【詳解】（1）連接AD，若要證明EF=CF，則可轉(zhuǎn)化為證明∠C=∠DEC即可.（2）將三角形函數(shù)值轉(zhuǎn)化為邊之比，再利用三角形的面積即可求解．（1）證明：連接AD，∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD，∵AO=OB，∴OD=AC，OD∥AC，∵DF為⊙O的切線，∴OD⊥DF，∴AC⊥DF，∵A、B、D、E四點共圓，∴∠DEC=∠ABD，∵AB=AC，∴∠ABD=∠ACB，∴∠DEC=∠ACB，∴DE=DC，∴EF=CF；（2）Rt△ABD中，cos∠ABC==，∵AB=10，∴BD=6，AC=10，∴DC=BD=6，S△ACD=CD?AD=AC?DF，10DF=6×8，DF=，由勾股定理得：AF=．25.如圖，直線y=kx+b與坐標(biāo)軸交于A，B兩點，其中點B的坐標(biāo)為（0，4），tan∠BAO=，一條拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，且與直線y=kx+b交于點C（m，8），點P為線段BC上一動點（不與點B，點C重合），PD⊥x軸于點D，交拋物線于點Q.（1）求直線和拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，線段PQ的長度為d，求出d與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出d的最大值；（3）是否存在點P的位置，使得以點P，D，B為頂點