第二節(jié) 線性微分方程

二.一階線性微分方程

第二節(jié)線性微分方程一.可分離變量的一階微分方程

一.可分離變量的一階微分方程的形式,稱(1)式為可分離變量的微分方程.

(2)如果一階微分方程(1)式可以化為形如一階微分方程的一般形式為(1)特點：方程經(jīng)過適當(dāng)變形,可以將含有相同變量的函數(shù)與微分分離到等式的同一端.具體解法為：(1)分離變量;(2)兩邊分別對各自的變量積分.例如求解微分方程分離變量:兩端積分:為所求通解.例2求微分方程的通解例1求微分方程的通解．求微分方程例3滿足初始條件的特解．

有的微分方程不是可分離變量的,但通過適當(dāng)?shù)淖儞Q,可將其化為可分離變量的方程.齊次方程可化為可分離變量的微分方程.的微分方程定義:稱為齊次方程.解法:作變量代換代入原式可分離變量的方程對于其次方程分離變量，得

求微分方程例5

的通解.例4解微分方程二.一階線性微分方程的微分方程稱為一階線性微分方程.(3)式稱為一階線性齊次微分方程.稱為一階線性非齊次微分方程.當(dāng)形如:(3)當(dāng)例如線性的;非線性的.一階線性微分方程的解法:齊次方程的通解為1.求解線性齊次方程(使用分離變量法)2.求解線性非齊次方程分析:兩邊積分非齊次方程通解形式與齊次方程通解相比:令將其代入線性非齊次方程求出C(x)即可.一階線性非齊次微分方程的通解為:對應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解上述這種把對應(yīng)的齊次方程通解中的常數(shù)C的通解的方法，稱為常數(shù)變易法.變換為待定函數(shù)C(x)，然后求得線性非齊次方程由此,求解一階線性微分方程的方法:(1)常數(shù)變易法;(2)直接利用通解公式.

由此，一階線性非齊次方程的通解等于對應(yīng)的線性齊次方程的通解與線性非齊次方程的一個特解之和．這是一階線性非齊次方程通解的結(jié)構(gòu).的通解.例6求微分方程例7求微分方程滿足初始條件的特解.三、二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解法其中p,q均為常數(shù)．

無關(guān)的特解

y1

與y2,由上節(jié)定理知,只要找出方程(1)的兩個線性二階常系數(shù)線性齊次方程的一般形式為(1)即可得(1)式的通解:當(dāng)r為常數(shù)時,指數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)都只相差一個常數(shù)因子．和它的各階(2)有因此,只要r是代數(shù)方程(2)的根,將代入原方程，因此可用來試解(其中r是待定常數(shù))．y=erx就是微分方程的解．得種情況,因此方程的通解也有三種情況：特征方程(2)是一個二次方程,它的根有三時,1°當(dāng)稱為微分方程(1)的特征方程．代數(shù)方程:(2)個不相等的實根r1及

r2

，特征方程(2)有兩個特解

與此時方程有兩個

因為常數(shù)，線性無關(guān),即2°當(dāng)時，特解則微分方程有一個可以驗證是與線性無關(guān)的解．因此通解為的實根特征方程有兩個相等所以通解為:這時方程有兩個復(fù)數(shù)形式的解

3°當(dāng)時，其中有一對共軛復(fù)根特征方程(2)可以驗證，函數(shù)為方程的兩個實數(shù)形式的解，且它們線性與無關(guān).因此方程的通解為:的通解步驟如下:綜上，求二階常系數(shù)線性齊次微分方程(1)寫出微分方程的特征方程(2)求出特征方程的兩個根方程的通解.(3)根據(jù)兩個根的不同情況，按下表寫出微分實根特征根通解例1求微分方程的通解．特征方程為解有兩個不等的實根故方程的通解為先求通解，特征方程解個相等的實根有兩故方程的通解為代入初始條件

求得C1=0,C