2.6-全等模型-2023年升初二人教版暑假銜接教材

?2.6全等模型（1）考點(diǎn)先知考點(diǎn)先知知識(shí)考點(diǎn)中點(diǎn)模型1.中點(diǎn)模型-倍長(zhǎng)中線角平分線模型2.角平分線模型-截長(zhǎng)補(bǔ)短一線三等角模型3.一線三等角模型，一線三直角模型題型精析題型精析知識(shí)點(diǎn)一中點(diǎn)模型-倍長(zhǎng)中線知識(shí)點(diǎn)一中點(diǎn)模型-倍長(zhǎng)中線全等三角形的判定原理內(nèi)容如圖所示，D為BC邊上的中點(diǎn)，將中線延長(zhǎng)并使得AD=DE（即倍長(zhǎng)中線），則△ADB≌△EDC（SAS）.題型一角平分線的性質(zhì)題型一角平分線的性質(zhì)例1在中，，，是邊上的中線，則的取值范圍是（）例1A．B．C．D．變1在中，，，則邊上的中線的取值范圍是____________．變1例2辰萱同學(xué)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖，中，，，是中線，求的取值范圍．她的做法是：延長(zhǎng)到，使，連接，證明，經(jīng)過(guò)推理和計(jì)算使問(wèn)題得到解決．請(qǐng)回答：例2（1）求出的取值范圍；（2）如圖，是的中線，在上取一點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，求證：．變2如圖，在△ABC中，AB＞AC，E為BC邊的中點(diǎn)，AD為∠BAC的平分線，過(guò)E作AD的平行線，交AB于F，交CA的延長(zhǎng)線于G．求證：BF=CG．變2例3規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補(bǔ)的兩個(gè)三角形叫兄弟三角形．如圖，，，，回答下列問(wèn)題：例3（1）求證：△OAC和△OBD是兄弟三角形．（2）取的中點(diǎn)P，連接，請(qǐng)證明．例4如圖1，在△ABC中，若AB=10，BC=8，求AC邊上的中線BD例4（1）小聰同學(xué)是這樣思考的：延長(zhǎng)BD至E，使DE=BD，連接CE，可證得△CED≌△ABD．①請(qǐng)證明△CED≌△ABD；②中線BD的取值范圍是____________．（2）問(wèn)題拓展：如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，分別以AB，BC為直角邊向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB=BM，BC=BN，∠ABM=∠NBC=∠90°，連接MN．請(qǐng)寫出BD與MN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．變3（1）方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，張老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，在△ABC中，AB=8，AC=6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法（如圖2），變3①延長(zhǎng)AD到M，使得DM=AD；②連接BM，通過(guò)三角形全等把AB、AC、2AD轉(zhuǎn)化在△ABM中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得AM的取值范圍為AB﹣BM＜AM＜AB+BM，從而得到AD的取值范圍是____________；方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長(zhǎng)中線法”．“倍長(zhǎng)中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．（2）請(qǐng)你寫出圖2中AC與BM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．（3）深入思考：如圖3，AD是△ABC的中線，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°，請(qǐng)直接利用（2）的結(jié)論，試判斷線段AD與EF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．知識(shí)點(diǎn)二角平分線模型-截長(zhǎng)補(bǔ)短知識(shí)點(diǎn)二角平分線模型-截長(zhǎng)補(bǔ)短全等三角形的判定原理內(nèi)容如圖所示，BD是∠ABC的角平分線，且BC>BA.【截長(zhǎng)】在BC上作一點(diǎn)E，使得BE=BA，則△ABD≌△EBD.【補(bǔ)短】延長(zhǎng)BA至E，使得BE=BC，則△EAD≌△CBD.題型一角平分線的性質(zhì)題型一角平分線的性質(zhì)例1如圖，已知在四邊形ABCD中，BD是的平分線，．求證：．例1例2如圖，△ABC中，AC=BC，AD平分∠BAC，若AC+CD=AB，求∠C例2變1已知在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分線AD交BC邊于點(diǎn)D．求證：AC=AB+BD．變1變2如圖所示，在四邊形ABCD中，BC＞BA，AD=DC，BD平分∠ABC，則∠A+∠C的度數(shù)是______度．變2例3如圖，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分線CD交AB于點(diǎn)D，已知AC=16，BC=9，則BD的長(zhǎng)為（例3A．6B．7C．8D．9變3如圖，在中，AD平分，，，，則AC的長(zhǎng)為（）變3A．3B．9C．11D．15例4如圖，，，分別平分和，經(jīng)過(guò)點(diǎn)E．求證：．例4例5如圖中，分別平分相交于點(diǎn)．例5（1）求的度數(shù)；（2）求證：變4如圖，，，，直線過(guò)點(diǎn)交于，交于點(diǎn)．求證：．變4知識(shí)點(diǎn)三一線三等角模型知識(shí)點(diǎn)三一線三等角模型全等三角形的判定原理內(nèi)容如圖所示，AB=AC，∠B=∠ADE=∠C（即一線三等角），則△ABD≌△DCE（AAS）.如圖所示，∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°（即一線三直角），則△ADC≌△CEB（AAS）.題型三一線三等角模型題型三一線三等角模型例1如圖，在中，，、、三點(diǎn)都在直線上，并且有，若，，求的長(zhǎng)．例1例2在直線上依次取互不重合的三個(gè)點(diǎn)，，，在直線上方有，且滿足．例2（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，猜想線段，，之間的數(shù)量關(guān)系是____________；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，問(wèn)題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．變1如圖所示．已知，，則：變1（1）嗎？（2）嗎？變2已知：D，A，E三點(diǎn)都在直線m上，在直線m的同一側(cè)作△ABC，使AB=AC，連接BD，CE．變2（1）如圖①，若∠BAC=90°，BD⊥m，CE⊥m，求證：△ABD≌△ACE；（2）如圖②，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，請(qǐng)判斷BD，CE，DE三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．例3在中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且于，于．例3（1）當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時(shí)，求證：①；②；（2）當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時(shí)，求證：；（3）當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時(shí)，請(qǐng)直接寫出，，之間的等量關(guān)系．變3在中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且于，于．變3（1）當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，①求證：；②若，，求長(zhǎng)．（2）當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，，，求長(zhǎng)；（3）當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，，，求長(zhǎng)．課后強(qiáng)化課后強(qiáng)化1.三角形兩邊長(zhǎng)分別為8cm和5cm，第三邊的中線長(zhǎng)可以是（）A．1cmB．2cmC．7cmD．8cm2.已知是中邊上的中線，，，則的取值范圍是（）A．B．C．D．3.已知：在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE=AC，延長(zhǎng)BE交AC于F，求證：AF=EF．4.如圖．AB=AE，AB⊥AE，AD=AC．AD⊥AC，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，求證：DE=2AM．5.（1）已知如圖1，在中，，求邊上的中線的取值范圍．（2）思考：已知如圖2，是的中線，，試探究線段與的數(shù)量和位置關(guān)系，并加以證明．6.如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C=2∠CDB，AB=12，CD=3，則△ABC的周長(zhǎng)為（）A．21B．24C．27D．307.如圖，中，平分，，，則的度數(shù)為______．8.如圖，在△ABC中，∠ACB=∠ABC=40o，BD是∠ABC的角平分線，延長(zhǎng)BD至點(diǎn)E，使得DE=DA，則∠ECA=______．9.如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC和∠BCD的平分線的交點(diǎn)E在AD上．求證：（1）點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)；（2）BC=AB+CD．10.（1）問(wèn)題解決：如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180°﹣α，BD平分∠ABC．①如圖1，若α=90°，根據(jù)教材中一個(gè)重要性質(zhì)直接可得AD=CD，這個(gè)性質(zhì)是__________________；②在圖2中，求證：AD=CD；（2）拓展探究：根據(jù)（1）的解題經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)解決如下問(wèn)題：如圖3，在等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，求證BD+AD=BC．11.如圖，在等腰直角三角形中，，，點(diǎn)在直線上，過(guò)作于，過(guò)作于．下列給出四個(gè)結(jié)論：①；②與互余；③．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③12.如圖，在中，，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，若，，則______