2025年北師版八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí) 第05講 線段的垂直平分線

第05講線段的垂直平分線模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1．了解線段垂直平分線的性質(zhì)；2．學(xué)會(huì)線段垂直平分線的判定；3.掌握三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)的性質(zhì)；4.掌握線段的垂直平分線有關(guān)的尺規(guī)作圖.知識(shí)點(diǎn)1線段垂直平分線的性質(zhì)定理線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.已知：如圖1-17,直線MN⊥AB,垂足為C,且AC=BC,P是MN上的任意一點(diǎn).求證：PA=PB.證明：∵M(jìn)N⊥AB,∴∠PCA=∠PCB=90°.∵AC=BC,PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS).∴PA=PB(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等).注：如果點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，那么結(jié)論顯然成立.知識(shí)點(diǎn)2線段垂直平分線的判定思考：你能寫出上面這個(gè)定理的逆命題嗎?它是真命題嗎?如果是，請(qǐng)你加以證明.定理到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.下面證明過(guò)程供參考.已知：如圖，線段AB,PA=PB.求證：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.證明：過(guò)點(diǎn)P作直線MN⊥AB,垂足為C,則PC是△PAB的高.∵PA=PB,∴△PAB是等腰三角形.∴PC是△PAB的中線(三線合一).∴AC=BC.∴直線MN是線段AB的垂直平分線.∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.證明這一判定定理有多種思路，除了上面的方法，還可以取AB的中點(diǎn)C,證明PC⊥AB;或作∠APB的平分線PC,證明PC⊥AB,且AC=BC總結(jié)：線段的垂直平分線可以看成是到線段兩端距離相等的所有點(diǎn)的集合；線段是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，線段的垂直平分線是它的一條對(duì)稱軸.知識(shí)點(diǎn)3三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)例1求證：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.已知：如圖1-19,在△ABC中，邊AB的垂直平分線與邊BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P.求證：邊AC的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,且PA=PB=PC.證明：∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，∴PA=PB(線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等).同理，PB=PC.∴PA=PB=PC.∴點(diǎn)P在線段AC的垂直平分線上(到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上),即邊AC的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P.知識(shí)點(diǎn)4尺規(guī)作圖例2已知一個(gè)等腰三角形的底邊及底邊上的高，求作這個(gè)等腰三角形已知：如圖1-20(1),線段a,h.求作：△ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h.作法：(1)作線段BC=a(如圖1-20(2)).(2)作線段BC的垂直平分線1,交BC于點(diǎn)D.(3)在1上作線段DA,使DA=h.(4)連接AB,AC.△ABC為所求的等腰三角形.議一議已知三角形的一條邊及這條邊上的高，你能畫出滿足條件的三角形嗎?如果能，能畫出幾個(gè)?所畫出的三角形都全等嗎?答：這樣的三角形可以畫無(wú)數(shù)個(gè)，由于高的位置可以不同，因此所畫的三角形不都全等(2)已知等腰三角形的底邊及底邊上的高，你能用尺規(guī)作出滿足條件的一個(gè)等腰三角形嗎?答：滿足條件的三角形可以作出兩個(gè)，但因?yàn)樗鼈內(nèi)?，故只有一?線段垂直平分線的做法:求作線段AB的垂直平分線.作法：（1）分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點(diǎn)；（2）作直線CD，CD即為所求直線．要點(diǎn)：(1)作弧時(shí)的半徑必須大于AB的長(zhǎng)，否則就不能得到兩弧的交點(diǎn)了．(2)線段的垂直平分線的實(shí)質(zhì)是一條直線.考點(diǎn)一：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求長(zhǎng)度例1．如圖所示，線段的垂直平分線與相交于點(diǎn)D，已知，則的長(zhǎng)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【變式1-1】．如圖，在中，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)D、E，連接，若，，則的長(zhǎng)是（

）A．8 B．6 C．4 D．2【變式1-2】．如圖，直線為線段的垂直平分線，交于點(diǎn)D，連，若，，則長(zhǎng)為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【變式1-3】．如圖，在中，邊的垂直平分線l與交于點(diǎn)D，垂足為點(diǎn)E．試比較與的大?。海ㄌ睢啊薄啊被颉啊保┛键c(diǎn)二：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求角度例2．如圖，在中，，，垂直平分，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式2-1】．如圖，是等腰底邊上的中線，點(diǎn)在上，且，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式2-2】．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．已知∠C＝7∠BAE，則∠C的度數(shù)為（）A．41° B．42° C．43° D．44°【變式2-3】．如圖，在銳角中，，和分別垂直平分邊、，則的度為°．考點(diǎn)三：三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)例3．到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離都相等的點(diǎn)是（）A．三角形的三條角平分線的交點(diǎn)B．三角形的三邊垂直平分線的交點(diǎn)C．三角形的三條高線的交點(diǎn)D．三角形的三條中線的交點(diǎn)【變式3-1】．如圖，有，，三個(gè)居民小區(qū)，它們的位置可連接成一個(gè)三角形，現(xiàn)決定在三個(gè)小區(qū)之間修建一個(gè)購(gòu)物超市，使超市到三個(gè)小區(qū)的距離相等，則超市應(yīng)建在（）A．三條中線的交點(diǎn)處 B．三條角平分線的交點(diǎn)處C．三條高線的交點(diǎn)處 D．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)處【變式3-2】．如圖所示，在正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，在內(nèi)部有、、、四個(gè)格點(diǎn)，到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是．【變式3-3】．如圖，在中，分別是邊的垂直平分線，連接，若，則的大小為（度）．考點(diǎn)四：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求周長(zhǎng)、面積例4．如圖，在中，是的垂直平分線，，的周長(zhǎng)為，則的周長(zhǎng)是（）．A． B． C． D．【變式4-1】．如圖，為中邊的中垂線，，則的周長(zhǎng)是（

）A．16 B．18 C．26 D．28【變式4-2】．如圖，在中，于點(diǎn)D，，若，，則圖中陰影部分的面積為．【變式4-3】．如圖，在中，、分別是線段、的垂直平分線，若，則的周長(zhǎng)是（

）A．120 B．50 C．100 D．90考點(diǎn)五：尺規(guī)作圖（選填題）例5．用直尺和圓規(guī)作線段的垂直平分線，下列作法正確的是（）A． B． C． D．【變式5-1】．如圖所示，直線l是一條河的河岸，P，Q是河同側(cè)的水產(chǎn)的生產(chǎn)基地，現(xiàn)從河岸某點(diǎn)M處分別派出兩輛水產(chǎn)車運(yùn)送水產(chǎn)如下有四種運(yùn)輸方案，則運(yùn)輸路程合理且最短的是（

）A． B．C． D．【變式5-2】．如圖，C，E是直線l兩側(cè)的點(diǎn)，以點(diǎn)C為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫弧交直線l于A，B兩點(diǎn)，再分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)D，連接，交直線l于點(diǎn)F，則下列結(jié)論不一定正確的是（

）A． B．直線lC． D．平分線段【變式5-3】．如圖，在中，，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作弧交于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．再分別以點(diǎn)C，D為圓心，大于CD長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于F，G兩點(diǎn)，作直線．若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，則的度數(shù)為．考點(diǎn)六：線段垂直平分線的判定例6．如圖，在中，，，，．【變式6-1】．如圖，在中，已知點(diǎn)D在上，且．求證：點(diǎn)D在邊的垂直平分線上．【變式6-2】．如圖，平面上的四邊形是一個(gè)“風(fēng)箏”形的骨架，其中是的平分線，．求證：是線段BD的垂直平分線．【變式6-3】．如圖，在中，D為中點(diǎn)，作交于E，交于F，連接，，則的取值范圍是．考點(diǎn)七：線段垂直平分線的判定與性質(zhì)綜合辨析例7．如圖，AC＝AD，BC＝BD，則有（）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分ABC．AB與CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB【變式7-1】．有下列命題：①線段垂直平分線上任一點(diǎn)到線段兩端的距離相等；②線段上任一點(diǎn)到垂直平分線兩端的距離相等；③經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)的直線只有一條；④點(diǎn)在線段外且，過(guò)點(diǎn)作直線，則是線段的垂直平分線；⑤過(guò)線段上任一點(diǎn)可以作這條線段的中垂線．其中正確的是（填序號(hào)）．【變式7-2】．如圖，在中，，分別以點(diǎn)，為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連結(jié)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()

A．B．C．D．四邊形的面積為【變式7-3】．如圖，四邊形中，，，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，根據(jù)所學(xué)知識(shí)，請(qǐng)?jiān)谙铝羞x項(xiàng)中選出不正確的一項(xiàng)（

）A．“箏形”是軸對(duì)稱圖形 B．垂直平分C．平分一組對(duì)角 D．平分一組對(duì)角考點(diǎn)八：線段垂直平分線的判定與性質(zhì)綜合應(yīng)用例8．，，若，．【變式8-1】．如圖，在中，E為邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)D，若，的周長(zhǎng)為20，則的周長(zhǎng)為（

）A．20 B．23 C．26 D．29【變式8-2】．如圖，在中，，是上的一點(diǎn)，O是上一點(diǎn)，且，若，則的長(zhǎng)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式8-3】．在中，．若，點(diǎn)A到的距離是6，點(diǎn)O到的距離是4，則（）A．2 B．8或10 C．2或10 D．8考點(diǎn)九：尺規(guī)作圖（解答題）例9．如圖，在中，．

(1)作線段的垂直平分線，交斜邊于點(diǎn)（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，若，求的長(zhǎng)．【變式9-1】．在中，．(1)尺規(guī)作圖：求作的垂直平分線，分別交，于點(diǎn)D、E；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，連接，若，求的度數(shù)．【變式9-2】．小兵遇到一個(gè)作圖問題：如圖，在中，，如何用尺規(guī)作圖把分成三個(gè)等腰三角形．下面是小兵設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程．作法：①以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交線段于另一點(diǎn)D；②作線段的垂直平分線，直線交線段于點(diǎn)E；③連接，，則，，即為所求的等腰三角形．根據(jù)小兵設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）(2)完成下面的證明．證明：由作圖可知，①∴________．∵，∴．∵直線為線段的垂直平分線，∴（__________）（填推理的依據(jù)）．②∴．∴∵，∴．∴．∴（__________）（填推理的依據(jù)）．③由①②③得：，，均為等腰三角形．【變式9-3】．如圖，已知．(1)尺規(guī)作圖：作線段的垂直平分線，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)，，點(diǎn)P是直線上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_______．考點(diǎn)十：最值問題例10．如圖，是等邊三角形，是邊上的高，點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式10-1】．如圖，等腰三角形的底邊長(zhǎng)為4，面積是12，腰的垂直平分線分別交于點(diǎn)E、F，若點(diǎn)D為底邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為．【變式10-2】．如圖，在等腰中，，于點(diǎn)，、兩動(dòng)點(diǎn)分別在線段、上運(yùn)動(dòng)，若，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的度數(shù)為．【變式10-3】．如圖，在中，，若，，，將折疊，使得點(diǎn)C恰好落在邊上的點(diǎn)E處，折痕為，點(diǎn)F為上一動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)最小值為．考點(diǎn)十一：線段垂直平分線的綜合解答題例11．如圖，在中，AB的垂直平分線交于點(diǎn)，邊的垂直平分線交于點(diǎn)．(1)已知的周長(zhǎng)是7cm，求的長(zhǎng)；(2)若，，求的度數(shù)．【變式11-1】．如圖，在中，，為上一點(diǎn)，，在上截取，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．(1)請(qǐng)判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(2)求證：；(3)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．【變式11-2】．在中，，D為中點(diǎn)，于E，交的延長(zhǎng)線于F．(1)求證：；(2)求證：垂直平分．【變式11-3】．如圖，在等邊三角形中，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，且，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，分別交于點(diǎn)，，(1)依題意補(bǔ)全圖形．(2)改變的大小，在變化過(guò)程中，的大小是否發(fā)生變化？若有變化，請(qǐng)寫出的變化范圍；若不變，請(qǐng)求出的大?。?3)試判斷線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．一、單選題1．如圖所示，在中，，是的垂直平分線，垂足為E．若，則的長(zhǎng)為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．如圖，三條公路將A，B，C三個(gè)村莊連成一個(gè)如圖的三角形區(qū)域，如果在這個(gè)區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，要使集貿(mào)市場(chǎng)到三個(gè)村莊的距離相等，那么這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建的位置是（

）A．三條高線的交點(diǎn) B．三條中線的交點(diǎn)C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三邊垂直平分線的交點(diǎn)3．下列條件中，不能判定直線CD是線段AB(C，D不在線段AB上)的垂直平分線的是（

）A．CA=CB，DA=DB B．CA=CB，CD⊥ABC．CA=DA，CB=DB D．CA=CB，CD平分AB4．如圖，在四邊形中，垂直平分，垂足為點(diǎn)E，下列結(jié)論不一定成立的是（

）A． B． C． D．5．如圖，在中，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)、，連接，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．若的周長(zhǎng)等于，的周長(zhǎng)為，那么線段的長(zhǎng)等于（

）A． B． C． D．6．如圖，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn)D，，則（

）A．30° B．50° C．70° D．80°7．如圖，線段AB，DE的垂直平分線交于點(diǎn)C，且∠ABC=∠EDC=72°，∠AEB=92°，則∠EBD的度數(shù)為（

）A．118° B．128° C．126° D．136°8．如圖，已知每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1，、兩點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)趫D形中找一個(gè)格點(diǎn)，使是等腰三角形，這樣的格點(diǎn)有（

）A．6個(gè) B．7個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)二、填空題9．如圖，在中，DE垂直平分AB．若，，則的長(zhǎng)為．10．如圖，在中，直平分，，，則的周長(zhǎng)為．11．如圖，中，，于點(diǎn)H，若，，則．12．如圖，周長(zhǎng)為16cm，，垂直平分，則cm．

13．如圖，已知四邊形中，，，，若線段平分四邊形的面積，則．

14．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長(zhǎng)為6，面積是18，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB于E，F(xiàn)點(diǎn)，若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△CDM的周長(zhǎng)的最小值為．三、解答題15．如圖，點(diǎn)E是△ABC的邊AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠BCE＝∠A＋∠ACB，求證：點(diǎn)E在BC的垂直平分線上．16．如圖,AD是△ADC中∠A的平分線,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,聯(lián)結(jié)EF．求證：AD⊥EF

17．如圖，已知，，是上一點(diǎn).求證：.18．如圖，已知．(1)請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在邊上作出點(diǎn)，使得（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)若，，求的周長(zhǎng)．19．如圖，，，，．(1)求證：；(2)連接EC，AO，求證：AO垂直平分EC．20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，點(diǎn)是軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求證：y軸是線段的垂直平分線；(2)以為邊作等邊，點(diǎn)在第一象限，作射線交軸于點(diǎn)，設(shè)；若，求的度數(shù)(用含有的式子表示)；探究線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．21．如圖，在中，，于點(diǎn)D，，分別交、于E、F．

(1)如圖1，，，求的長(zhǎng)度；(2)如圖2，取中點(diǎn)G，若，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)N，并延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，請(qǐng)直接寫出的值

第05講線段的垂直平分線模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1．了解線段垂直平分線的性質(zhì)；2．學(xué)會(huì)線段垂直平分線的判定；3.掌握三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)的性質(zhì)；4.掌握線段的垂直平分線有關(guān)的尺規(guī)作圖.知識(shí)點(diǎn)1線段垂直平分線的性質(zhì)定理線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.已知：如圖1-17,直線MN⊥AB,垂足為C,且AC=BC,P是MN上的任意一點(diǎn).求證：PA=PB.證明：∵M(jìn)N⊥AB,∴∠PCA=∠PCB=90°.∵AC=BC,PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS).∴PA=PB(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等).注：如果點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，那么結(jié)論顯然成立.知識(shí)點(diǎn)2線段垂直平分線的判定思考：你能寫出上面這個(gè)定理的逆命題嗎?它是真命題嗎?如果是，請(qǐng)你加以證明.定理到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.下面證明過(guò)程供參考.已知：如圖，線段AB,PA=PB.求證：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.證明：過(guò)點(diǎn)P作直線MN⊥AB,垂足為C,則PC是△PAB的高.∵PA=PB,∴△PAB是等腰三角形.∴PC是△PAB的中線(三線合一).∴AC=BC.∴直線MN是線段AB的垂直平分線.∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.證明這一判定定理有多種思路，除了上面的方法，還可以取AB的中點(diǎn)C,證明PC⊥AB;或作∠APB的平分線PC,證明PC⊥AB,且AC=BC總結(jié)：線段的垂直平分線可以看成是到線段兩端距離相等的所有點(diǎn)的集合；線段是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，線段的垂直平分線是它的一條對(duì)稱軸.知識(shí)點(diǎn)3三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)例1求證：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.已知：如圖1-19,在△ABC中，邊AB的垂直平分線與邊BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P.求證：邊AC的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,且PA=PB=PC.證明：∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，∴PA=PB(線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等).同理，PB=PC.∴PA=PB=PC.∴點(diǎn)P在線段AC的垂直平分線上(到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上),即邊AC的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P.知識(shí)點(diǎn)4尺規(guī)作圖例2已知一個(gè)等腰三角形的底邊及底邊上的高，求作這個(gè)等腰三角形已知：如圖1-20(1),線段a,h.求作：△ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h.作法：(1)作線段BC=a(如圖1-20(2)).(2)作線段BC的垂直平分線1,交BC于點(diǎn)D.(3)在1上作線段DA,使DA=h.(4)連接AB,AC.△ABC為所求的等腰三角形.議一議已知三角形的一條邊及這條邊上的高，你能畫出滿足條件的三角形嗎?如果能，能畫出幾個(gè)?所畫出的三角形都全等嗎?答：這樣的三角形可以畫無(wú)數(shù)個(gè)，由于高的位置可以不同，因此所畫的三角形不都全等(2)已知等腰三角形的底邊及底邊上的高，你能用尺規(guī)作出滿足條件的一個(gè)等腰三角形嗎?答：滿足條件的三角形可以作出兩個(gè)，但因?yàn)樗鼈內(nèi)?，故只有一?線段垂直平分線的做法:求作線段AB的垂直平分線.作法：（1）分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點(diǎn)；（2）作直線CD，CD即為所求直線．要點(diǎn)：(1)作弧時(shí)的半徑必須大于AB的長(zhǎng)，否則就不能得到兩弧的交點(diǎn)了．(2)線段的垂直平分線的實(shí)質(zhì)是一條直線.考點(diǎn)一：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求長(zhǎng)度例1．如圖所示，線段的垂直平分線與相交于點(diǎn)D，已知，則的長(zhǎng)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)．根據(jù)“線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”即可求解．【解析】解：∵是線段的垂直平分線，∴，故選：B．【變式1-1】．如圖，在中，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)D、E，連接，若，，則的長(zhǎng)是（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．【解析】解：是的垂直平分線，，，．故選：A．【變式1-2】．如圖，直線為線段的垂直平分線，交于點(diǎn)D，連，若，，則長(zhǎng)為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)；根據(jù)此性質(zhì)得，即可求解．【解析】解：∵直線為線段的垂直平分線，且，，∴；故選：B．【變式1-3】．如圖，在中，邊的垂直平分線l與交于點(diǎn)D，垂足為點(diǎn)E．試比較與的大?。海ㄌ睢啊薄啊被颉啊保敬鸢浮俊痉治觥勘绢}主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，垂線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)及直角三角形的斜邊大于直角邊是解題的關(guān)鍵．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，根據(jù)垂線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)直角三角形的斜邊大于直角邊判斷即可．【解析】解：直線l是邊的垂直平分線，，，，，，故答案為：．考點(diǎn)二：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求角度例2．如圖，在中，，，垂直平分，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)垂直平分，得出，求出，根據(jù)，利用等邊對(duì)等角，最后求出結(jié)果即可．【解析】解：∵垂直平分，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，垂直平分線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】．如圖，是等腰底邊上的中線，點(diǎn)在上，且，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了等腰三角形的判定及性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，垂直平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，掌握等腰三角形的判定及性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的定義可得，，由AD是中線可得，，，則AD是的垂直平分線，由此可得，，由，可得，根據(jù)即可求解．【解析】解：∵是等腰三角形，，∴，，∵AD是上的中線，且，∴AD是的垂直平分線，∴，∴，∴，故選：A．【變式2-2】．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．已知∠C＝7∠BAE，則∠C的度數(shù)為（）A．41° B．42° C．43° D．44°【答案】B【分析】設(shè)∠BAE＝x°，則∠C＝7x°，根據(jù)ED是AC的垂直平分線，有AE＝EC，即有∠EAC＝∠C＝7x°，根據(jù)直角三角形中兩銳角互余建立方程，解方程即可求解．【解析】設(shè)∠BAE＝x°，則∠C＝7x°，∵ED是AC的垂直平分線，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C＝7x°，∵∠B＝90°，∴∠C+∠BAC＝90°，∴7x+7x+x＝90，解得：x＝6，∴∠C＝7×6°＝42°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出AE＝CE是解此題的關(guān)鍵．【變式2-3】．如圖，在銳角中，，和分別垂直平分邊、，則的度為°．【答案】【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．連接、，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到，，進(jìn)而得到，，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【解析】解：連接、，∵，∴，∵DE和分別垂直平分邊AB、，∴，，∴，，，∴，∴，故答案為：．考點(diǎn)三：三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)例3．到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離都相等的點(diǎn)是（）A．三角形的三條角平分線的交點(diǎn)B．三角形的三邊垂直平分線的交點(diǎn)C．三角形的三條高線的交點(diǎn)D．三角形的三條中線的交點(diǎn)【答案】B【分析】本題考查了線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，掌握線段垂直平分線的交點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等是解決問題的關(guān)鍵．【解析】解：

∵在AB的垂直平分線上，∴，∵在的垂直平分線上，∴，∴，即是到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，故選：B．【變式3-1】．如圖，有，，三個(gè)居民小區(qū)，它們的位置可連接成一個(gè)三角形，現(xiàn)決定在三個(gè)小區(qū)之間修建一個(gè)購(gòu)物超市，使超市到三個(gè)小區(qū)的距離相等，則超市應(yīng)建在（）A．三條中線的交點(diǎn)處 B．三條角平分線的交點(diǎn)處C．三條高線的交點(diǎn)處 D．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)處【答案】D【分析】本題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；要求到三小區(qū)的距離相等，首先思考到小區(qū)、小區(qū)距離相等，根據(jù)線段垂直平分線定理的逆定理知滿足條件的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，同理到小區(qū)、小區(qū)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，于是到三個(gè)小區(qū)的距離相等的點(diǎn)應(yīng)是其交點(diǎn)，又因?yàn)槿切稳叺拇怪逼椒志€相交于一點(diǎn)，所以答案可得．【解析】解：根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．則超市應(yīng)建在三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)處．故選：D．【變式3-2】．如圖所示，在正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，在內(nèi)部有、、、四個(gè)格點(diǎn)，到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是．【答案】【分析】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三邊垂直平分線交點(diǎn)求解即可．【解析】解：如圖所示，點(diǎn)在，的垂直平分線上，故答案為：．【變式3-3】．如圖，在中，分別是邊的垂直平分線，連接，若，則的大小為（度）．【答案】【分析】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求解即可．【解析】解：∵分別是邊的垂直平分線，∴，∴，，，∵，∴，即，∵，∴，故答案為：．考點(diǎn)四：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求周長(zhǎng)、面積例4．如圖，在中，是的垂直平分線，，的周長(zhǎng)為，則的周長(zhǎng)是（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件，利用線段的垂直平分線的性質(zhì)，得到AD=CD，AC=2AE，結(jié)合周長(zhǎng)，進(jìn)行線段的等量代換可得答案．【解析】解：∵DE是AC的垂直平分線，∴AD=CD，AC=2AE=6cm，又∵△ABD的周長(zhǎng)=AB+BD+AD=13cm，∴AB+BD+CD=13cm，即AB+BC=13cm，∴△ABC的周長(zhǎng)=AB+BC+AC=13+6=19cm．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)（垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等），進(jìn)行線段的等量代換是正確解題關(guān)鍵．【變式4-1】．如圖，為中邊的中垂線，，則的周長(zhǎng)是（

）A．16 B．18 C．26 D．28【答案】B【分析】利用線垂直平分線的性質(zhì)得,再等量代換即可求得三角形的周長(zhǎng)．【解析】∵是ΔABC中邊的垂直平分線，∴，∴，∴的周長(zhǎng)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)；利用線段進(jìn)行等量代換，把線段進(jìn)行等效轉(zhuǎn)移是正確解答本題的關(guān)鍵．【變式4-2】．如圖，在中，于點(diǎn)D，，若，，則圖中陰影部分的面積為．【答案】10【分析】根據(jù)線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解答即可．本題考查了線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【解析】解：∵，，∴直線垂直平分線段，∴，∴直線是等腰三角形的對(duì)稱軸，∴陰影面積等于等腰三角形的面積的一半，∵，，∴等腰三角形的面積為，∴陰影面積為10．故答案為：10．【變式4-3】．如圖，在中，、分別是線段、的垂直平分線，若，則的周長(zhǎng)是（

）A．120 B．50 C．100 D．90【答案】C【分析】利用垂直平分線的性質(zhì)得，，等量代換即可求解．【解析】解：∵、分別是線段、的垂直平分線，∴，，∴的周長(zhǎng)．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等．考點(diǎn)五：尺規(guī)作圖（選填題）例5．用直尺和圓規(guī)作線段的垂直平分線，下列作法正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用尺規(guī)作圖畫出AB的垂直平分線，即可據(jù)此作出選擇．【解析】1．以AB為圓心，大于AB為半徑作弧相交于E、F，【變式1-1】．過(guò)EF作直線即為AB的垂直平分線．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖--基本作圖，熟悉垂直平分線的作法是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】．如圖所示，直線l是一條河的河岸，P，Q是河同側(cè)的水產(chǎn)的生產(chǎn)基地，現(xiàn)從河岸某點(diǎn)M處分別派出兩輛水產(chǎn)車運(yùn)送水產(chǎn)如下有四種運(yùn)輸方案，則運(yùn)輸路程合理且最短的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)“將軍飲馬”模型求最短路線題型，作點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，連接Q交直線l于點(diǎn)M，作圖即可.【解析】根據(jù)“將軍飲馬”模型求最短路線題型，作點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，連接Q交直線l于點(diǎn)M，利用兩點(diǎn)之間線段最短和線段垂直平分線的性質(zhì)作圖即可，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了“將軍飲馬”模型求最短路線題型，掌握兩點(diǎn)之間線段最短和線段垂直平分線的性質(zhì)作圖方法.【變式5-2】．如圖，C，E是直線l兩側(cè)的點(diǎn)，以點(diǎn)C為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫弧交直線l于A，B兩點(diǎn)，再分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)D，連接，交直線l于點(diǎn)F，則下列結(jié)論不一定正確的是（

）A． B．直線lC． D．平分線段【答案】A【分析】本題考查作圖基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息．根據(jù)作圖信息，一一判斷即可．【解析】解：由作圖可知，垂直平分線段，故D選項(xiàng)是正確的∴，故B選項(xiàng)是正確的；∴，故C選項(xiàng)是正確的；則不一定正確的是故選：A【變式5-3】．如圖，在中，，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作弧交于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．再分別以點(diǎn)C，D為圓心，大于CD長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于F，G兩點(diǎn)，作直線．若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，則的度數(shù)為．【答案】/36度【分析】本題考查了作圖復(fù)雜作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．連接、，如圖，設(shè)，利用基本作圖得到，則，所以，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和得到，接著利用得到，則根據(jù)求出．【解析】解：連接、，如圖，設(shè)，由作法得垂直平分，，，，，，，，，，，，，解得，．故答案為：．考點(diǎn)六：線段垂直平分線的判定例6．如圖，在中，，，，．【答案】5【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)與判定，根據(jù)題意可得垂直平分，則由線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等可得．【解析】解：∵，，∴垂直平分，∴，故答案為：．【變式6-1】．如圖，在中，已知點(diǎn)D在上，且．求證：點(diǎn)D在邊的垂直平分線上．【答案】見解析【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的判定，熟練掌握垂直平分線的判定是解題的關(guān)鍵．根據(jù)垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等證明即可．【解析】證明：，，，點(diǎn)D在AC邊的垂直平分線上．【變式6-2】．如圖，平面上的四邊形是一個(gè)“風(fēng)箏”形的骨架，其中是的平分線，．求證：是線段BD的垂直平分線．【答案】見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，熟練掌握線段垂直平分線的判定是解題的關(guān)鍵，實(shí)際上，要判定一條直線是一條線段的垂直平分線，至少應(yīng)找出直線上的兩點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．證明．得，．再利用線段垂直平分線的判定即可得證．【解析】∵是的平分線，∴．在和中，∴．∴，．∴，兩點(diǎn)都在線段BD的垂直平分線上．∴垂直平分BD，即是線段BD的垂直平分線．【變式6-3】．如圖，在中，D為中點(diǎn)，作交于E，交于F，連接，，則的取值范圍是．【答案】【分析】延長(zhǎng)到M，使，連接，利用證明，得到，再根據(jù)三線合一的逆定理得出，最后根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得解．【解析】解：延長(zhǎng)到M，使，連接，∵D為中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，又∵，∴，在中，，∴，即，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，作出合理的輔助線并根據(jù)SAS證明是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)七：線段垂直平分線的判定與性質(zhì)綜合辨析例7．如圖，AC＝AD，BC＝BD，則有（）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分ABC．AB與CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB【答案】A【分析】由AC＝AD，BC＝BD，可得點(diǎn)A在CD的垂直平分線上，點(diǎn)B在CD的垂直平分線上，又由兩點(diǎn)確定一條直線，可得AB是CD的垂直平分線．【解析】∵AC＝AD，BC＝BD，∴點(diǎn)A在CD的垂直平分線上，點(diǎn)B在CD的垂直平分線上，∴AB是CD的垂直平分線．即AB垂直平分CD．故選A【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的判定定理，熟悉垂直平分線的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】．有下列命題：①線段垂直平分線上任一點(diǎn)到線段兩端的距離相等；②線段上任一點(diǎn)到垂直平分線兩端的距離相等；③經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)的直線只有一條；④點(diǎn)在線段外且，過(guò)點(diǎn)作直線，則是線段的垂直平分線；⑤過(guò)線段上任一點(diǎn)可以作這條線段的中垂線．其中正確的是（填序號(hào)）．【答案】①/1【分析】本題考查了線段的垂直平分線及其性質(zhì)：線段垂直平分線的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，熟記相關(guān)結(jié)論即可求解．【解析】解：線段垂直平分線上任一點(diǎn)到線段兩端的距離相等，故①正確；因?yàn)榇怪逼椒志€不一定被線段本身平分，所以線段上任一點(diǎn)到垂直平分線兩端的距離不一定相等，故②錯(cuò)誤；經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)的直線有無(wú)數(shù)條，故③錯(cuò)誤；點(diǎn)在線段外且，過(guò)點(diǎn)作直線，當(dāng)時(shí)，則是線段的垂直平分線，故④錯(cuò)誤；過(guò)線段的中點(diǎn)才能作這條線段的中垂線．故⑤錯(cuò)誤；故答案為：①【變式7-2】．如圖，在中，，分別以點(diǎn)，為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連結(jié)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()

A．B．C．D．四邊形的面積為【答案】D【分析】根據(jù)作圖方法可得，進(jìn)而可得是等邊三角形，再利用垂直平分線的判定方法可得BD垂直平分，利用等腰三角形的性質(zhì)可得，，利用面積公式可計(jì)算四邊形的面積．【解析】解：根據(jù)作圖方法可得，，點(diǎn)在的垂直平分線上，∵AD=CD，點(diǎn)在的垂直平分線上，是的垂直平分線，故A結(jié)論正確；，則，則，故C結(jié)論正確；，，故B結(jié)論正確；，則四邊形的面積，故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等邊三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握等腰三角形三線合一．【變式7-3】．如圖，四邊形中，，，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，根據(jù)所學(xué)知識(shí)，請(qǐng)?jiān)谙铝羞x項(xiàng)中選出不正確的一項(xiàng)（

）A．“箏形”是軸對(duì)稱圖形 B．垂直平分C．平分一組對(duì)角 D．平分一組對(duì)角【答案】D【分析】由線段垂直平分線的判定可知是的垂直平分線，從而可判斷A、B選項(xiàng)正確；通過(guò)證明可得，可判定C選項(xiàng)正確；根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可判定D選項(xiàng)錯(cuò)誤．【解析】解：∵，∴點(diǎn)D在線段的垂直平分線上，∵，∴點(diǎn)B在線段的垂直平分線上，∴是的垂直平分線，∴箏形是軸對(duì)稱圖形，故A、B選項(xiàng)正確；∵，∴，∴，即平分一組對(duì)角，故C選項(xiàng)正確；∵直線不是箏形的對(duì)稱軸，∴不平分一組對(duì)角，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，軸對(duì)稱的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理．考點(diǎn)八：線段垂直平分線的判定與性質(zhì)綜合應(yīng)用例8．，，若，．【答案】【分析】根據(jù)，則垂直平分，又，則為等邊三角形，即可求得【解析】，為等邊三角形，點(diǎn)在的垂直平分線上則垂直平分故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，證明是的垂直平分線是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】．如圖，在中，E為邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)D，若，的周長(zhǎng)為20，則的周長(zhǎng)為（

）A．20 B．23 C．26 D．29【答案】C【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意可得垂直平分，，進(jìn)而得到，再由的周長(zhǎng)為20，推出，據(jù)此可得答案．【解析】解；∵E為邊的中點(diǎn)，，∴垂直平分，，∴，∵的周長(zhǎng)為20∴，∴，∴，∴的周長(zhǎng)，故選；C．【變式8-2】．如圖，在中，，是上的一點(diǎn)，O是上一點(diǎn)，且，若，則的長(zhǎng)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題考查了垂直平分線的判定與性質(zhì)，先根據(jù)，，得出直線是線段的垂直平分線，結(jié)合垂直平分線的性質(zhì)，即可作答．【解析】解：∵，∴直線是線段的垂直平分線，∴是的中點(diǎn)∴故選：B【變式8-3】．在中，．若，點(diǎn)A到的距離是6，點(diǎn)O到的距離是4，則（）A．2 B．8或10 C．2或10 D．8【答案】C【分析】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出是的垂直平分線，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．分兩種情況：①在內(nèi)，②在外，先根據(jù)線段垂直平分線求出是線段的垂直平分線，即可得出，，即可得到結(jié)論．【解析】解：如圖所示，，，、都在線段的垂直平分線上，，點(diǎn)到的距離為6，點(diǎn)到的距離為4，，，①在內(nèi)，，②在外，．故選：C．考點(diǎn)九：尺規(guī)作圖（解答題）例9．如圖，在中，．

(1)作線段的垂直平分線，交斜邊于點(diǎn)（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了作垂直平分線，等腰三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的兩個(gè)銳角互余；（1）作線段的垂直平分線交斜邊于點(diǎn)；（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，，進(jìn)而根據(jù)，得出，即可求解．【解析】（1）解：如圖所示，

（2）解：如圖所示，連接，

∵在的垂直平分線上，∴，∴，∵，∴∴∴∴【變式9-1】．在中，．(1)尺規(guī)作圖：求作的垂直平分線，分別交，于點(diǎn)D、E；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，連接，若，求的度數(shù)．【答案】(1)圖見解析(2)【分析】本題考查作圖一基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)線段垂直平分線的作圖方法作圖即可．（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，．【解析】（1）解：如圖：即為所求．（2）解垂直平分，∴，，∵，∴．【變式9-2】．小兵遇到一個(gè)作圖問題：如圖，在中，，如何用尺規(guī)作圖把分成三個(gè)等腰三角形．下面是小兵設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程．作法：①以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交線段于另一點(diǎn)D；②作線段的垂直平分線，直線交線段于點(diǎn)E；③連接，，則，，即為所求的等腰三角形．根據(jù)小兵設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）(2)完成下面的證明．證明：由作圖可知，①∴________．∵，∴．∵直線為線段的垂直平分線，∴（__________）（填推理的依據(jù)）．②∴．∴∵，∴．∴．∴（__________）（填推理的依據(jù)）．③由①②③得：，，均為等腰三角形．【答案】(1)圖見詳解(2)；垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等；等角對(duì)等邊【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（1）按照作圖步驟作圖即可．（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)填空即可．【解析】（1）解：如圖所示．（2）證明：由作圖可知，①∴．∵，∴．∵直線為線段的垂直平分線，∴（垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等）（填推理的依據(jù)）．②∴．∴∵，∴．∴．∴（等角對(duì)等邊）（填推理的依據(jù)）．③由①②③得：，，均為等腰三角形．故答案為：；垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等；等角對(duì)等邊．【變式9-3】．如圖，已知．(1)尺規(guī)作圖：作線段的垂直平分線，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)，，點(diǎn)P是直線上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_______．【答案】(1)見解析(2)9【分析】本題考查作圖—基本作圖、軸對(duì)稱最短路線問題，熟練掌握線段垂直平分線的作圖方法、軸對(duì)稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)線段垂直平分線的作圖方法作圖即可；（2）由題意知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，為的長(zhǎng)，進(jìn)而可得答案．【解析】（1）解：如圖，直線即為所求．（2）解：連接，直線為線段的垂直平分線，，，∴，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，為最小值．，，，的最小值為9．故答案為：9．考點(diǎn)十：最值問題例10．如圖，是等邊三角形，是邊上的高，點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，最短路徑問題，掌握等邊三角形三線合一的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．連接，由等邊三角形的性質(zhì)，得出，進(jìn)而得到，即當(dāng)A、N、M三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，再利用三線合一性質(zhì)，得到，即可得到的度數(shù)，然后根據(jù)等邊對(duì)等角求解即可．【解析】解：如圖，連接，是等邊三角形，是邊上的高，是中點(diǎn)，即垂直平分，，，即當(dāng)A、N、M三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，，∵等邊中，，∴，，，故選：B．【變式10-1】．如圖，等腰三角形的底邊長(zhǎng)為4，面積是12，腰的垂直平分線分別交于點(diǎn)E、F，若點(diǎn)D為底邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為．【答案】8【分析】本題考查的是軸對(duì)稱最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．連接，交于點(diǎn)，依據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可證明，依據(jù)的面積為12可求得．然后由線段垂直平分線的性質(zhì)可知，則當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)重合時(shí)，有最小值，最小值為6．【解析】解：如圖，連接，AD，交于點(diǎn)，∵是等腰三角形，點(diǎn)D為底邊的中點(diǎn)，∴，，∴，∴，∵腰的垂直平分線分別交于點(diǎn)E、F，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)重合時(shí)，有最小值，最小值為6，∴的周長(zhǎng)的最小值為．故答案為：8【變式10-2】．如圖，在等腰中，，于點(diǎn)，、兩動(dòng)點(diǎn)分別在線段、上運(yùn)動(dòng)，若，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的度數(shù)為．【答案】/40度【分析】連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得到垂直平分，進(jìn)而得出當(dāng)、、三點(diǎn)共線，且時(shí)，有最小值，即取得最小值，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)，得出，進(jìn)而得到，從而求出，即可得到答案．【解析】解：如圖，連接，，，，垂直平分，，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線，且時(shí)，有最小值，即取得最小值，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，，，，垂直平分，，，，即當(dāng)取得最小值時(shí)，的度數(shù)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，線段最短問題，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，將的最值轉(zhuǎn)化為的最值是解題關(guān)鍵．【變式10-3】．如圖，在中，，若，，，將折疊，使得點(diǎn)C恰好落在邊上的點(diǎn)E處，折痕為，點(diǎn)F為上一動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)最小值為．【答案】6【分析】本題考查了折疊性質(zhì)，軸對(duì)稱-最短路線問題，連接，CF，根據(jù)折疊得出C和E關(guān)于對(duì)稱，，當(dāng)F和D重合時(shí)，的值最小，即可此時(shí)的周長(zhǎng)最小，最小值是，先求出長(zhǎng)，代入求出即可．【解析】解：連接，CF，∵沿折疊C和E重合，∴，，，∴，垂直平分，∴C和E關(guān)于對(duì)稱，∴，，∴的周長(zhǎng)，∴當(dāng)F和D重合時(shí)，的值最小，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，最小值是．故答案為：6．考點(diǎn)十一：線段垂直平分線的綜合解答題例11．如圖，在中，AB的垂直平分線交于點(diǎn)，邊的垂直平分線交于點(diǎn)．(1)已知的周長(zhǎng)是7cm，求的長(zhǎng)；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用．（1）利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得，，然后利用等量代換可得的周長(zhǎng)，即可解答；（2）利用等腰三角形的性質(zhì)可得，，然后再利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解析】（1）解：∵是的垂直平分線，∴，∵是的垂直平分線，∴，∵的周長(zhǎng)為，∴，∴，∴，∴的長(zhǎng)為；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴的度數(shù)為．【變式11-1】．如圖，在中，，為上一點(diǎn)，，在上截取，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．(1)請(qǐng)判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(2)求證：；(3)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．【答案】(1)是等腰直角三角形，理由見解析；(2)見解析；(3)．【分析】本題考查了勾股定理的逆定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)．利用勾股定理的逆定理判斷是直角三角形，又因?yàn)椋钥梢耘袛嗍堑妊苯侨切危焕门袛?；根?jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可證，從而可證是邊上的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得．【解析】（1）解：是等腰直角三角形，理由如下：，，，，∴，，是等腰直角三角形；（2）證明：如下圖所示，在和中，，；（3）解:當(dāng)時(shí)，是邊上的垂直平分線，【變式11-2】．在中，，D為中點(diǎn)，于E，交的延長(zhǎng)線于F．(1)求證：；(2)求證：垂直平分．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由證明，即可得出結(jié)論；（2）連接，交于點(diǎn)G，由（1）得，再由，得，則，然后由等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解析】（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴；（2）證明：如圖，連接，交于點(diǎn)G，由（1）得：，∵D為的中點(diǎn)，∴，∴，∴是等腰三角形，∵，∴，∴，∴，∴，，即垂直平分．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定等知識(shí)，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式11-3】．如圖，在等邊三角形中，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，且，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，分別交于點(diǎn)，，(1)依題意補(bǔ)全圖形．(2)改變的大小，在變化過(guò)程中，的大小是否發(fā)生變化？若有變化，請(qǐng)寫出的變化范圍；若不變，請(qǐng)求出的大??；(3)試判斷線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)補(bǔ)全圖形見解析；(2)的大小不會(huì)發(fā)生變化，；(3)，理由見解析．【分析】（）依題意補(bǔ)全圖形即可；（）連接，，在上截取，由點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則垂直平分，所以，，，，由，則垂直平分，則，故，設(shè)，則，，由內(nèi)角和定理得，從而有；（）由（）得：，則，，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得，最后由和差即可求解．【解析】（1）如圖，（2）的大小不會(huì)發(fā)生變化，，理由，如圖，連接，，在上截取，∵點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，∴垂直平分，∴，，，，由，則垂直平分，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，，由得，∴，∴，設(shè)，∴，∴，在中，由內(nèi)角和定理得，∵，∴，∴，∴，∴；（3），理由，如（）圖，由（）得：，∴，，∴，∴，由（）得：，，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，即，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．如圖所示，在中，，是的垂直平分線，垂足為E．若，則的長(zhǎng)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由是的垂直平分線，，，即可得到答案．【解析】解：∵是的垂直平分線，∴，∵，∴．故選：C2．如圖，三條公路將A，B，C三個(gè)村莊連成一個(gè)如圖的三角形區(qū)域，如果在這個(gè)區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，要使集貿(mào)市場(chǎng)到三個(gè)村莊的距離相等，那么這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建的位置是（

）A．三條高線的交點(diǎn) B．三條中線的交點(diǎn)C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三邊垂直平分線的交點(diǎn)【答案】D【分析】本題主要考查三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)的性質(zhì)．根據(jù)到三個(gè)村莊的距離相等，即確定一個(gè)點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)都相等，根據(jù)垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，可得這個(gè)點(diǎn)是三角形三個(gè)垂直平分線的交點(diǎn)．【解析】解：∵由三條公路連接的A，B，C三個(gè)村莊所構(gòu)成的三角形區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，且使集貿(mào)市場(chǎng)到三個(gè)村莊的距離相等，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，∴這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)處．故選：D．3．下列條件中，不能判定直線CD是線段AB(C，D不在線段AB上)的垂直平分線的是（

）A．CA=CB，DA=DB B．CA=CB，CD⊥ABC．CA=DA，CB=DB D．CA=CB，CD平分AB【答案】C【分析】根據(jù)垂直平分線的概念逐個(gè)判斷即可．【解析】解：A、CA=CB，DA=DB，可以判定直線CD是線段AB(C，D不在線段AB上)的垂直平分線，不符合題意；B、CA=CB，CD⊥AB，可以判定直線CD是線段AB(C，D不在線段AB上)的垂直平分線，不符合題意；C、CA=DA，CB=DB，不能判定直線CD是線段AB(C，D不在線段AB上)的垂直平分線，符合題意；D、CA=CB，CD平分AB，可以判定直線CD是線段AB(C，D不在線段AB上)的垂直平分線，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了垂直平分線的概念，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂直平分線的概念．4．如圖，在四邊形中，垂直平分，垂足為點(diǎn)E，下列結(jié)論不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AB＝AD，BC＝BD，再對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．【解析】解：∵垂直平分，∴，故A正確，該選項(xiàng)不符合題意；在和中，∴，故C正確，該選項(xiàng)不符合題意，；∴，故B正確，該選項(xiàng)不符合題意；；不一定等于，故D錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定，熟知線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．5．如圖，在中，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)、，連接，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．若的周長(zhǎng)等于，的周長(zhǎng)為，那么線段的長(zhǎng)等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)作圖過(guò)程可得是的垂直平分線，進(jìn)而可得，，再由的周長(zhǎng)等于，的周長(zhǎng)為，可得，，兩式相減可得答案．【解析】解：根據(jù)題意可得是的垂直平分線，的周長(zhǎng)為，，的周長(zhǎng)等于，，是的垂直平分線，，，，，．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了作線段的垂直平分線，以及線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的性質(zhì)．6．如圖，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn)D，，則（

）A．30° B．50° C．70° D．80°【答案】B【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，再由平角的定義求出的度數(shù)，最后利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．【解析】解：∵線段的垂直平分線交線段于點(diǎn)D，∴，∵，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．如圖，線段AB，DE的垂直平分線交于點(diǎn)C，且∠ABC=∠EDC=72°，∠AEB=92°，則∠EBD的度數(shù)為（

）A．118° B．128° C．126° D．136°【答案】B【分析】連接CE，依據(jù)線段AB，DE的垂直平分線交于點(diǎn)C，可得CA=CB，CE=CD，判定，可得∠AEC=∠BDC，設(shè)∠AEC=∠BDC=α，則∠BDE=72°?α，∠CEB=92°?α，∠BED=∠DEC?∠CEB=72°?(92°?α)=α?20°，即可得到△BDE中，∠EBD=180°?(72°?α)?(α?20°)=128°．【解析】如圖，連接CE，∵線段AB，DE的垂直平分線交于點(diǎn)C，∴CA=CB，CE=CD，∵∠ABC=∠EDC=72°=∠DEC，∴∠ACB=∠ECD=36°，∴∠ACB-∠BCE=∠ECD-∠BCE，即∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，CA=CB，∠ACE=∠BCD，CE=CD，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴∠AEC=∠BDC，設(shè)∠AEC=∠BDC=α，則∠BDE=72°?α，∠CEB=92°?α，∴∠BED=∠DEC?∠CEB=72°?(92°?α)=α?20°，∴在△BDE中，∠EBD=180°?(72°?α)?(α?20°)=128°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是依據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，以及三角形內(nèi)角和定理得出結(jié)論．8．如圖，已知每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1，、兩點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)趫D形中找一個(gè)格點(diǎn)，使是等腰三角形，這樣的格點(diǎn)有（

）A．6個(gè) B．7個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)．當(dāng)為底時(shí)，作的垂直平分線，當(dāng)為腰時(shí)，分別以、點(diǎn)為頂點(diǎn)，以為半徑作弧，分別找到格點(diǎn)即可求解．【解析】解：當(dāng)為底時(shí)，作的垂直平分線，可找出格點(diǎn)的個(gè)數(shù)有2個(gè)，當(dāng)為腰時(shí)，分別以、點(diǎn)為頂點(diǎn)，以為半徑作弧，可找出格點(diǎn)的個(gè)數(shù)有6個(gè)；這樣的頂點(diǎn)有8個(gè)．故選：C．二、填空題9．如圖，在中，DE垂直平分AB．若，，則的長(zhǎng)為．【答案】6【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線短兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【解析】解：∵DE垂直平分AB，∴，又∵，∴，故答案為：6．10．如圖，在中，直平分，，，則的周長(zhǎng)為．【答案】【分析】先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式和等量代換可得的周長(zhǎng)等于即可解答．本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解答本題的關(guān)鍵．【解析】解：∵垂直平分，∴，∴的周長(zhǎng)等于．故答案為：．11．如圖，中，，于點(diǎn)H，若，，則．【答案】8【分析】先作輔助線，然后根據(jù)線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，可以得到的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)和判定，可以得到的長(zhǎng)，從而可以求得的長(zhǎng)．【解析】解：如圖，在線段上截取，則，，垂直平分，，，，，，，，，，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形外角的性質(zhì)，作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．12．如圖，周長(zhǎng)為16cm，，垂直平分，則cm．

【答案】5【分析】由三角形的周長(zhǎng)求出，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出，，推出，由此求出，由此求出．【解析】解：∵周長(zhǎng)為16cm，，∴，∵，∴是的垂直平分線，∴∵垂直平分，∴∴∴，∴故答案為：5．【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，熟練線段垂直平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．13．如圖，已知四邊形中，，，，若線段平分四邊形的面積，則．

【答案】【分析】連接交于點(diǎn)O，作，可得垂直平分，進(jìn)而得出，再求出，即可得出四邊形的面積，然后求出，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)，，求出，即可得出答案．【解析】連接交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)M．

∵，，∴點(diǎn)A，C在的垂直平分線上，即垂直平分．∵，∴，，∴，∴，∴，∴四邊形的面積．∵，∴，∴．∵線段平分四邊形的面積，∴，，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，求三角形的面積，構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵．14．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長(zhǎng)為6，面積是18，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB于E，F(xiàn)點(diǎn)，若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△CDM的周長(zhǎng)的最小值為．【答案】9．【分析】連接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長(zhǎng)，再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點(diǎn)A關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，MA=MC，推出MC+DM=MA+DM≥AD，故AD的長(zhǎng)為BM+MD的最小值，由此即可得出結(jié)論．【解析】連接AD，MA．∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC?AD＝×6×AD＝18，解得AD＝6，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點(diǎn)A關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，MA＝MC，∴MC+DM＝MA+DM≥AD，∴AD的長(zhǎng)為CM+MD的最小值，∴△