2025年北師版八年級數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí) 第12講 一元一次不等式與一次函數(shù)

第12講一元一次不等式與一次函數(shù)模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測通過觀察函數(shù)圖象、求方程的解和不等式的解集，從中體會一元一次方程、一元一次不等式與一次函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系.通過具體問題初步體會一次函數(shù)的變化規(guī)律與一元一次不等式解集的聯(lián)系.感知不等式、方程、函數(shù)的不同作用與內(nèi)在聯(lián)系.知識點1知識引入（數(shù)形結(jié)合）函數(shù)y=2x-5的圖象如圖2-6所示，觀察圖象回答下列問題：(1)x取何值時，2x-5=0?(2)x取哪些值時，2x-5>0?(3)x取哪些值時，2x-5<0?(4)x取哪些值時，2x-5>1?知識點2一次函數(shù)與一元一次不等式由于任何一個一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為＞0或＜0或≥0或≤0（、為常數(shù)，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）時求相應(yīng)的自變量的取值范圍.要點：求關(guān)于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，從“數(shù)”的角度看，就是為何值時，函數(shù)的值大于0？從“形”的角度看，確定直線在軸（即直線＝0）上方部分的所有點的橫坐標(biāo)的范圍.知識點3從一次函數(shù)的角度求一元一次不等式的解集我們已經(jīng)學(xué)過，利用不等式的性質(zhì)可以解得一個一元一次不等式的解集，這個不等式的解集的端點值就是我們把不等式中的不等號變?yōu)榈忍枙r對應(yīng)方程的解.知識點4如何確定兩個不等式的大小關(guān)系（≠，且）的解集的函數(shù)值大于的函數(shù)值時的自變量取值范圍直線在直線的上方對應(yīng)的點的橫坐標(biāo)范圍．知識點5從一次函數(shù)的角度解決一元一次不等式問題例某單位計劃在新年期間組織員工到某地旅游，參加旅游的人數(shù)估計為10至25人，甲、乙兩家旅行社的服務(wù)質(zhì)量相同，且報價都是每人200元.經(jīng)過協(xié)商，甲旅行社表示可給予每位游客七五折優(yōu)惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游費用，然后給予其余游客八折優(yōu)惠.該單位選擇哪一家旅行社支付的旅游費用較少?解：設(shè)該單位參加這次旅游的人數(shù)是x人，選擇甲旅行社時，所需的費用為y元，選擇乙旅行社時，所需的費用為y?元，則y?=200×0.75x,即y=150x;y?=200×0.8(x-1),即y?=160x-160.由y?=y?,得150x=160x-160,解得x=16;由y?>y?,得150x>160x-160,解得x<16;由y?<y?,得150x<160x-160,解得x>16.因為參加旅游的人數(shù)為10至25人，所以，當(dāng)x=16時，甲、乙兩家旅行社的收費相同；當(dāng)17<x<25時，選擇甲旅行社費用較少；當(dāng)10<x<15時，選擇乙旅行社費用較少在本節(jié)問題中，一次函數(shù)刻畫了問題中兩個變量之間存在的一種相互依賴關(guān)系，而一元一次不等式則描述了問題中這兩個變量滿足某些特定條件時的狀態(tài).因此，可以從一次函數(shù)的角度解決一元一次不等式的問題，也可以利用一元一次不等式解決一次函數(shù)的相關(guān)問題.考點一:一元一次方程與一次函數(shù)例1．如圖，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過和兩點，則關(guān)于的方程的解為．【變式1-1】．如圖，直線過點和點，則方程的解是（

）A． B． C． D．【變式1-2】．如圖，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則關(guān)于的一元一次方程的解為．【變式1-3】．一次函數(shù)的圖象交x軸于點，則一元一次方程的解是．考點二:一元一次不等式與一次函數(shù)例2．如圖，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點，那么當(dāng)時，的取值范圍是．

【變式2-1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過兩點，則關(guān)于x的不等式的解集是（

）A． B． C． D．【變式2-2】．直線過點，，則關(guān)于x的方程的解為．當(dāng)時，自變量x的取值范圍是．【變式2-3】．一次函數(shù)中兩個變量x，y的部分對應(yīng)值如下表所示：x…01…y…7531…那么關(guān)于x的不等式的解集是．考點三:二元一次方程組與一次函數(shù)例3．如圖，直線與相交于點，則方程組的解為（

）

A． B． C． D．【變式3-1】．如圖，直線與交點的橫坐標(biāo)為1，則關(guān)于x、y的二元一次方程組的解為．【變式3-2】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線交于點，則關(guān)于，的方程組的解為（

）A． B． C． D．【變式3-3】．如圖，一次函數(shù)的圖象與的圖象相交于點，則關(guān)于x，y的方程組的解是（

）A． B． C． D．考點四:從一次函數(shù)的角度求一元一次不等式的解集例4．“數(shù)形結(jié)合”是我們解決問題常用的一種數(shù)學(xué)思想，請根據(jù)圖象，可得關(guān)于的不等式的解集是（

）A． B． C． D．【變式4-1】．直線與直線在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則關(guān)于的不等式的解為（）A． B． C． D．無法確定【變式4-2】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線和相交于點，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【變式4-3】．如圖，直線與直線相交于點，則關(guān)于x的不等式的解集為（

）A． B． C． D．考點五：一元一次不等式組與一次函數(shù)例5．函數(shù)的圖像，如圖所示與x軸的交點坐標(biāo)為2,0，與y軸的交點坐標(biāo)為0,3，若時，則y的取值范圍是．【變式5-1】．如圖，直線與交點的橫坐標(biāo)為，則關(guān)于的不等式的解集為（

）．A． B． C． D．【變式5-2】．如圖，直線經(jīng)過點和，直線過點，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【變式5-3】．如圖所示，已知函數(shù)和的圖象交點為，若，則函數(shù)中的取值范圍是．考點六：一元一次不等式與一次函數(shù)的應(yīng)用例6．已知一次函數(shù)和，當(dāng)時，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象上方，則a的取值范圍為【變式6-1】．在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象與函數(shù)（）的圖象交于點．(1)求m與k的值；(2)當(dāng)時，對于x每一個值，總有函數(shù)（）的值大于函數(shù)（）的值，直接寫出n的取值范圍．考點七：一元一次不等式、方程（組）、一次函數(shù)綜合例7．如圖，一次函數(shù)與的圖象交于點P．下列結(jié)論中，正確的有．①；②；③；④當(dāng)時，【變式7-1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，若直線與直線相交于點P，則下列結(jié)論正確的是（

）A．方程的解是B．不等式和不等式的解集相同C．不等式組的解集是D．方程組的解是解為【變式7-2】．一次函數(shù)與的圖象如圖，則下列結(jié)論：①；②；③關(guān)于x的方程的解是；④當(dāng)時，中．則正確的序號有．【變式7-3】．一次函數(shù)與的圖象如圖所示，下列結(jié)論中正確的有（

）對于函數(shù)來說，的值隨值的增大而減小函數(shù)的圖象不經(jīng)過第一象限A．個 B．個 C．個 D．個考點八：利用一次函數(shù)解決一元一次不等式的實際問題例8．某商場準(zhǔn)備購進甲乙兩種服裝進行銷售．甲種服裝每件進價160元，售價210元；乙種服裝每件進價120元，售價150元．現(xiàn)計劃購進兩種服裝共100件，其中甲種服裝不少于60件．設(shè)購進甲種服裝x件，兩種服裝全部售完，商場獲利y元．(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若購進100件服裝的總費用不超過15000元，求最大利潤為多少元？【變式8-1】．2024年是中國農(nóng)歷甲辰龍年，某購物中心有A，B兩種龍年吉祥物出售．B種每個售價比A種多2元；購買20個A種龍年吉祥物和30個B種龍年吉祥物共需花費360元．(1)A，B兩種吉祥物每件售價各是多少？(2)購買A，B兩種龍年吉祥物共60個，且購買A種的數(shù)量不多于B種的3倍，購買多少個A種龍年吉祥物花費最少？最少花費是多少？【變式8-2】．無人機制造商“大疆創(chuàng)新科技”享譽全球．該公司旗下無人機配件銷售部現(xiàn)有和兩種配件，它們的進價和售價如表．用元可購進產(chǎn)品件和產(chǎn)品件．（利潤售價進價）種類種配件種配件進價（元/件）售價（元/件）(1)求種配件進價的值．(2)若該配件銷售部購進種配件和種配件共件，據(jù)市場銷售分析，種配件進貨件數(shù)不低于種配件件數(shù)的倍．如何進貨才能使本次銷售獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？【變式8-3】．五月是圣女果與羊角蜜成熟的季節(jié)，這兩種水果深受人們的喜愛．水果經(jīng)銷商小明每次從兩種水果的產(chǎn)地購進兩種水果進行銷售，圣女果的批發(fā)價為5元/千克，羊角蜜每千克的批發(fā)價根據(jù)購買量給予優(yōu)惠．設(shè)小明購進羊角蜜x千克，付款y元，y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．(1)直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；(2)若小明計劃一次性購進圣女果、羊角蜜共100千克，且圣女果不少于45千克，但又不超過60千克，如何分配圣女果與羊角蜜的購進量，才能使小明付款總金額元)最少？(3)在（2）的結(jié)論下，小明將圣女果與羊角蜜的銷售價格分別定為7元/千克和10元/千克，當(dāng)全部銷售完兩種水果時，小明決定將總利潤的為正整數(shù))捐贈給兒童福利院，捐贈后使總利潤不低于256元，求m的最大值．考點九：解答綜合題例9．已知函數(shù)的圖象，利用圖象回答下列問題：(1)直接寫出方程的解；(2)直接寫出不等式的解集；(3)若，直接寫出的取值范圍．【變式9-1】．如圖，直線：與x軸交于點B，，直線：經(jīng)過點C，且與交于點．(1)求直線的解析式；(2)記直線與y軸的交點為D，記直線與y軸的交點為E，求的面積；(3)根據(jù)圖象，直接寫出的解集．【變式9-2】．某校長暑假帶領(lǐng)該校“三好學(xué)生”去旅游，甲旅行社說：“若校長買全票一張，則學(xué)生可享受半價優(yōu)惠．”乙旅行社說：“包括校長在內(nèi)都6折優(yōu)惠”若全票價是1200元，則：設(shè)學(xué)生數(shù)為，甲旅行社收費，乙旅行社收費，求：(1)分別寫出兩家旅行社的收費與學(xué)生人數(shù)的關(guān)系式．(2)當(dāng)學(xué)生人數(shù)是多少時，兩家旅行社的收費是一樣的？(3)就學(xué)生人數(shù)討論哪家旅行社更優(yōu)惠．【變式9-3】．如圖，已知函數(shù)的圖象與軸交于點，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，與軸以及的圖象分別交于點，且點的坐標(biāo)為．(1)則_________，_________；(2)關(guān)于的不等式的解集是_________；(3)四邊形的面積_________；(4)在平面內(nèi)是否存在點，使得以點為頂點的三角形是以為腰的等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．一、單選題1．已知方程的解是，則函數(shù)的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

2．如圖，直線y=kx+b與坐標(biāo)軸的兩個交點分別為A（2，0）和點B（0，-3），則不等式kx+b≥-3的解集為（

）A．x≥0 B．x≤0 C．x≥2 D．x≤23．直線和把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四個部分（包括邊界在內(nèi)，如圖），則滿足且的點必在（）．A．第Ⅰ部分 B．第Ⅱ部分 C．第Ⅲ部分 D．第Ⅳ部分4．直線l1：y＝kx+b與直線l2：y＝k2x的圖象如圖所示．則關(guān)于x的不等式k2x＞k1x+b的解集是（）A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜3 D．x＞35．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AC：y＝kx＋b與x軸交于點B(－2，0)，與y軸交于點C，則“不等式kx＋b≥0的解集”對應(yīng)的圖形是（

）

A．射線BD上的點的橫坐標(biāo)的取值范圍 B．射線BA上的點的橫坐標(biāo)的取值范圍C．射線CD上的點的橫坐標(biāo)的取值范圍 D．線段BC上的點的橫坐標(biāo)的取值范圍6．如圖，直線與相交于點P，點P的橫坐標(biāo)為，則關(guān)于x的不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是（

）A． B．C． D．7．函數(shù)與的部分自變量和對應(yīng)函數(shù)值如下：x-4-3-2-1y-1-2-3-4x-4-3-2-1y-9-6-30當(dāng)時，自變量x的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．如圖，已知正比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點P.下面有四個結(jié)論:①k>0；②b>0；③當(dāng)x>0時，>0；④當(dāng)x<-2時，kx>-x+b.其中正確的是(

)A．①③ B．②③ C．③④ D．①④9．如圖所示，函數(shù)和的圖像相交于，兩點，當(dāng)時，的取值范圍是（）A． B． C．或 D．10．對于實數(shù)，定義符號其意義為：當(dāng)時，；當(dāng)時，．例如：，若關(guān)于的函數(shù)，則該函數(shù)的最大值是（

）A． B． C． D．二、填空題11．如圖，若，則y．

12．如圖，已知一次函數(shù)y＝kx+b經(jīng)過A（2，0），B（0，﹣1），當(dāng)y＞0時，則x的取值范圍是．13．如圖是一次函數(shù)的圖象，則關(guān)于x的不等式的解集為．14．一次函數(shù)與的圖象如圖所示，則當(dāng)x時，；當(dāng)x時，；當(dāng)x時，．15．如圖所示，次函數(shù)與的圖像相交于點，則不等式的解集是．16．已知直線和，當(dāng)時，；當(dāng)時，則直線與的交點坐標(biāo)為．17．如圖，兩個一次函數(shù)y＝kx+b與y＝mx+n的圖象分別為直線l1和l2，l1與l2交于點A（1，p），l1與x軸交于點B（-2，0），l2與x軸交于點C（4，0），則不等式組0＜mx+n＜kx+b的解集為．18．在平面直角坐標(biāo)系中，垂直x軸的直線l分別與函數(shù)的圖像交于P、Q兩點，若平移直線l，可以使P、Q都在x軸的下方，則實數(shù)a的取值范圍是．三、解答題19．已知函數(shù)和相交于點．（1）求k、b的值；（2）在同一坐標(biāo)系中畫出兩個函數(shù)的圖象，利用圖象求當(dāng)x取何值時有：①；②且．20．如圖，直線與直線交于點．（1）求點的坐標(biāo)；（2）根據(jù)圖象，寫出當(dāng)時，的取值范圍．21．在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出二元一次方程和的圖象．利用圖象求：

方程的解；

不等式的解集；根據(jù)圖像寫出方程組的解．22．如圖，根據(jù)圖中信息解答下列問題：（1）關(guān)于x的不等式ax+b>0的解集是；（2）關(guān)于x的不等式mx+n<1的解集是；（3）當(dāng)x滿足的條件時，y1?y2；（4）當(dāng)x滿足的條件時，0<y2<y1．23．泉州木偶造型優(yōu)美，彩繪精致，個性鮮明，具有獨特的藝術(shù)風(fēng)格和地方色彩．某店銷售，兩款木偶工藝品，如下是甲、乙兩位銷售員的對話：(1)求兩款木偶工藝品的售價各為多少元；(2)某公司想購買40件木偶工藝品送給員工（兩種款式均需購買），且購買款木偶工藝品的數(shù)量不超過款木偶工藝品數(shù)量的，為使購買總費用最低，應(yīng)購買款木偶工藝品和款木偶工藝品各多少件？總費用最低為多少元？24．如圖，直線：與直線：交于點，直線分別交軸、軸于點、，直線交軸于點．（1）求、的值．（2）請直接寫出使得不等式成立的的取值范圍．（3）在直線上找點，使得，求點的坐標(biāo)．25．如圖，直線：與軸交于點，直線分別與軸交于點，與軸交于點兩條直線相交于點，連接AB．

(1)求直線的表達式；(2)求兩直線交點的坐標(biāo)；(3)根據(jù)圖象直接寫出時自變量的取值范圍．26．已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且與軸交于點．(1)求函數(shù)表達式；(2)若一次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)圖象交于點，求，的值；(3)當(dāng)時，對于的每一個值，函數(shù)的值大于的值，則的取值范圍為______．27．我們曾研究過“函數(shù)的圖象上點的坐標(biāo)的特征”，了解了一元一次不等式的解集與相應(yīng)的一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的關(guān)系．發(fā)現(xiàn)一元一次不等式的解集是函數(shù)圖象在軸上方的點的橫坐標(biāo)的集合．結(jié)論：一元一次不等式：（或）的解集，是函數(shù)圖象在軸上方（或軸下方）部分的點的橫坐標(biāo)的集合．【解決問題】：（1）如圖1，觀察圖象，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則不等式的解集是__________．（2）如圖2，觀察圖象，兩條直線的交點坐標(biāo)為__________；不等式的解集是__________．【拓展延伸】：（3）如圖3，一次函數(shù)和的圖象相交于點，分別與軸相交于點和點．①結(jié)合圖象，直接寫出關(guān)于的不等式組的解集是__________．②若在圖像上有一動點，是否存在點，使得為等腰三角形，若存在，請直接寫出點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．28．把一次函數(shù)（k、b為常數(shù)，）．在y軸右側(cè)的圖像沿y軸向左翻折，與原來在y軸及右側(cè)的圖像組合，得到一個新的函數(shù)圖像，這個新函數(shù)的解析式為（k、b為常數(shù)，）．例如：的圖像如圖①所示．(1)請在圖②中畫出函數(shù)的圖像，并直接寫出該圖像與y軸交點A的坐標(biāo)_________；(2)若函數(shù)的圖像與y軸交于點C，與函數(shù)的圖像交于B，D兩點（點B在點D的右側(cè)），求四邊形的面積；(3)已知函數(shù)與函數(shù)，若對于，都有，直接寫出k的取值范圍．

第12講一元一次不等式與一次函數(shù)模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測通過觀察函數(shù)圖象、求方程的解和不等式的解集，從中體會一元一次方程、一元一次不等式與一次函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系.通過具體問題初步體會一次函數(shù)的變化規(guī)律與一元一次不等式解集的聯(lián)系.感知不等式、方程、函數(shù)的不同作用與內(nèi)在聯(lián)系.知識點1知識引入（數(shù)形結(jié)合）函數(shù)y=2x-5的圖象如圖2-6所示，觀察圖象回答下列問題：(1)x取何值時，2x-5=0?(2)x取哪些值時，2x-5>0?(3)x取哪些值時，2x-5<0?(4)x取哪些值時，2x-5>1?知識點2一次函數(shù)與一元一次不等式由于任何一個一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為＞0或＜0或≥0或≤0（、為常數(shù)，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）時求相應(yīng)的自變量的取值范圍.要點：求關(guān)于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，從“數(shù)”的角度看，就是為何值時，函數(shù)的值大于0？從“形”的角度看，確定直線在軸（即直線＝0）上方部分的所有點的橫坐標(biāo)的范圍.知識點3從一次函數(shù)的角度求一元一次不等式的解集我們已經(jīng)學(xué)過，利用不等式的性質(zhì)可以解得一個一元一次不等式的解集，這個不等式的解集的端點值就是我們把不等式中的不等號變?yōu)榈忍枙r對應(yīng)方程的解.知識點4如何確定兩個不等式的大小關(guān)系（≠，且）的解集的函數(shù)值大于的函數(shù)值時的自變量取值范圍直線在直線的上方對應(yīng)的點的橫坐標(biāo)范圍．知識點5從一次函數(shù)的角度解決一元一次不等式問題例某單位計劃在新年期間組織員工到某地旅游，參加旅游的人數(shù)估計為10至25人，甲、乙兩家旅行社的服務(wù)質(zhì)量相同，且報價都是每人200元.經(jīng)過協(xié)商，甲旅行社表示可給予每位游客七五折優(yōu)惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游費用，然后給予其余游客八折優(yōu)惠.該單位選擇哪一家旅行社支付的旅游費用較少?解：設(shè)該單位參加這次旅游的人數(shù)是x人，選擇甲旅行社時，所需的費用為y元，選擇乙旅行社時，所需的費用為y?元，則y?=200×0.75x,即y=150x;y?=200×0.8(x-1),即y?=160x-160.由y?=y?,得150x=160x-160,解得x=16;由y?>y?,得150x>160x-160,解得x<16;由y?<y?,得150x<160x-160,解得x>16.因為參加旅游的人數(shù)為10至25人，所以，當(dāng)x=16時，甲、乙兩家旅行社的收費相同；當(dāng)17<x<25時，選擇甲旅行社費用較少；當(dāng)10<x<15時，選擇乙旅行社費用較少在本節(jié)問題中，一次函數(shù)刻畫了問題中兩個變量之間存在的一種相互依賴關(guān)系，而一元一次不等式則描述了問題中這兩個變量滿足某些特定條件時的狀態(tài).因此，可以從一次函數(shù)的角度解決一元一次不等式的問題，也可以利用一元一次不等式解決一次函數(shù)的相關(guān)問題.考點一:一元一次方程與一次函數(shù)例1．如圖，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過和兩點，則關(guān)于的方程的解為．【答案】【分析】本題主要考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；根據(jù)圖象可直接進行求解．【解析】解：由圖象可知：關(guān)于的方程的解為；故答案為．【變式1-1】．如圖，直線過點和點，則方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系：一次函數(shù)與軸交點的橫坐標(biāo)即為一元一次方程的解．利用一次函數(shù)與軸交點的橫坐標(biāo)即為一元一次方程的解直接判斷即可得出正確結(jié)果．【解析】解：方程的解，即為函數(shù)圖象與軸交點的橫坐標(biāo)，直線過點，方程的解是，故選：C．【變式1-2】．如圖，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則關(guān)于的一元一次方程的解為．【答案】【分析】本題主要考查一次函數(shù)與一元一次方程，熟練掌握一次函數(shù)的圖像是解題的關(guān)鍵．根據(jù)的解就是函數(shù)與直線的交點即可得到答案．【解析】解：一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，故關(guān)于的一元一次方程的解為，故答案為：．【變式1-3】．一次函數(shù)的圖象交x軸于點，則一元一次方程的解是．【答案】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與關(guān)于的一元一次方程的解的關(guān)系．一次函數(shù)與關(guān)于的一元一次方程的解是一次函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)，據(jù)此即可得出本題答案．【解析】解：∵由一次函數(shù)的圖象交x軸于點，∴關(guān)于的一元一次方程的解就是．故答案為：．考點二:一元一次不等式與一次函數(shù)例2．如圖，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點，那么當(dāng)時，的取值范圍是．

【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，找出當(dāng)時，自變量的取值范圍即可．【解析】解：∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過，∴由圖可知，當(dāng)時，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握根據(jù)函數(shù)圖象寫出不等式解集的方法．【變式2-1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過兩點，則關(guān)于x的不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了一次函數(shù)與不等式的關(guān)系，一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得出y隨x的增大而增大，只需要找出函數(shù)圖象在點的對應(yīng)的自變量的取值范圍即可．【解析】解：∵直線經(jīng)過兩點，函數(shù)圖象y隨x的增大而增大，∴的解集是，故選：A．【變式2-2】．直線過點，，則關(guān)于x的方程的解為．當(dāng)時，自變量x的取值范圍是．【答案】【分析】此題考查了一次函數(shù)與一元一次方程，一次函數(shù)與一元一次不等式．所求方程的解，即函數(shù)圖像與軸的交點橫坐標(biāo)；根據(jù)直線過點，，判斷出函數(shù)的增減性，即可寫出不等式的解集．【解析】解：關(guān)于x的方程的解，即為函數(shù)圖像與軸的交點橫坐標(biāo)，直線過點，方程的解為，直線過點，，直線隨x的增大而減小，當(dāng)時，自變量x的取值范圍是，故答案為：，．【變式2-3】．一次函數(shù)中兩個變量x，y的部分對應(yīng)值如下表所示：x…01…y…7531…那么關(guān)于x的不等式的解集是．【答案】【分析】本題考查一次函數(shù)與不等式，根據(jù)表格可知，隨著的增大而減小，且時，，進而得到當(dāng)時，，即可．【解析】解：根據(jù)表格可知，隨著的增大而減小，且時，，∴當(dāng)時，，故答案為：．考點三:二元一次方程組與一次函數(shù)例3．如圖，直線與相交于點，則方程組的解為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系，先求得點的坐標(biāo)；根據(jù)方程組的解即為直線與直線的交點坐標(biāo)．根據(jù)圖象交點坐標(biāo)直接判斷即可．【解析】解：∵直線與相交于點，∴，解得：∴∴方程組的解為，故選：A【變式3-1】．如圖，直線與交點的橫坐標(biāo)為1，則關(guān)于x、y的二元一次方程組的解為．【答案】【分析】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程的綜合，理解圖示，掌握兩直線交點的含義是解題的關(guān)鍵．把x=1代入直線得交點坐標(biāo)為1,2，根據(jù)兩直線的交點即為直線組成的方程組的解即可求解．【解析】解：把x=1代入直線得，，∴直線與交點坐標(biāo)為1,2，∴關(guān)于x、y的二元一次方程組的解為，故答案為：．【變式3-2】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線交于點，則關(guān)于，的方程組的解為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組的解，將點點代入得出，即可求解．【解析】解：∵直線與直線交于點，當(dāng)時，∴，∴關(guān)于，的方程組的解為，故選：A．【變式3-3】．如圖，一次函數(shù)的圖象與的圖象相交于點，則關(guān)于x，y的方程組的解是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了兩直線的交點與二元一次方程組的解，兩直線的交點坐標(biāo)即為對應(yīng)二元一次方程組的解，據(jù)此即可求解．【解析】解：關(guān)于，的方程組，故一次函數(shù)的圖像與的圖像的交點坐標(biāo)即為方程組的解，將代入得：，∴故關(guān)于，的方程組的解是故選：A．考點四:從一次函數(shù)的角度求一元一次不等式的解集例4．“數(shù)形結(jié)合”是我們解決問題常用的一種數(shù)學(xué)思想，請根據(jù)圖象，可得關(guān)于的不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與不等式之間的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)圖象找到當(dāng)一次函數(shù)的函數(shù)圖象在正比例函數(shù)的函數(shù)圖象下方時，自變量的取值范圍即可得到答案．【解析】解：由函數(shù)圖象可知當(dāng)一次函數(shù)的函數(shù)圖象在正比例函數(shù)的函數(shù)圖象下方時，自變量的取值范圍為，∴不等式的解集為，∴關(guān)于的不等式的解集是，故選：C．【變式4-1】．直線與直線在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則關(guān)于的不等式的解為（）A． B． C． D．無法確定【答案】C【分析】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，熟練掌握函數(shù)圖象法是解題關(guān)鍵．關(guān)于的不等式表示的是直線位于直線的上方，結(jié)合函數(shù)圖象求解即可得．【解析】解：關(guān)于的不等式表示的是直線位于直線的上方，則由函數(shù)圖象可知，關(guān)于的不等式的解為，故選：C．【變式4-2】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線和相交于點，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系，觀察圖象，寫出直線在的上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可．【解析】解：∵直線和相交于點，∴直線在的上方解集為，∴不等式的解集為，故選：D．【變式4-3】．如圖，直線與直線相交于點，則關(guān)于x的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查根據(jù)兩直線的交點求不等式的解集．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．根據(jù)點在直線上，求出a的值，求的解集，即求直線在直線上方時（包括交點），x的取值范圍，結(jié)合圖象即可求解．【解析】解：點在直線上，，解得：，由圖可知當(dāng)時，直線在直線上方（包括交點），∴的解集為．故選：D．考點五：一元一次不等式組與一次函數(shù)例5．函數(shù)的圖像，如圖所示與x軸的交點坐標(biāo)為2,0，與y軸的交點坐標(biāo)為0,3，若時，則y的取值范圍是．【答案】/【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式之間的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)圖象找到當(dāng)時，y的取值范圍即可．【解析】解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時，y的取值范圍是，故答案為：．【變式5-1】．如圖，直線與交點的橫坐標(biāo)為，則關(guān)于的不等式的解集為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查二元一次方程組與一元一次不等式，解答本題的關(guān)鍵在于熟練掌握利用圖象解一元一次不等式．【解析】解：∵直線與的交點的橫坐標(biāo)為，∴由圖象可知，當(dāng)時，；當(dāng)時，的圖象在直線的上方，此時，；當(dāng)時，的圖象在直線的下方，此時，，∴的解集為：．故選：A．【變式5-2】．如圖，直線經(jīng)過點和，直線過點，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的綜合運用.首先根據(jù)題意可知不等式的解集為相當(dāng)于直線在直線的下方且都在軸的下方所對應(yīng)的的取值范圍，據(jù)此進一步分析求解即可.【解析】解：由題意可得：直線與直線相交于點A，∴不等式的解集為相當(dāng)于直線在直線的下方且都在軸的下方所對應(yīng)的的取值范圍，觀察圖象可知，當(dāng)時，直線在直線的下方且都在軸的下方，∴不等式的解集為：，故選：A.【變式5-3】．如圖所示，已知函數(shù)和的圖象交點為，若，則函數(shù)中的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查利用函數(shù)圖象解不等式，涉及待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，先根據(jù)函數(shù)和的圖象交點為，進而求出，再利用待定系數(shù)法確定的解析式，數(shù)形結(jié)合，利用函數(shù)圖象解不等式即可得到答案，根據(jù)題意求出函數(shù)解析式是解決問題的關(guān)鍵．【解析】解：函數(shù)和的圖象交點為，由圖可知點的橫坐標(biāo)為，，即，將代入得到，解得，，若，則函數(shù)中的取值范圍是，故答案為：．考點六：一元一次不等式與一次函數(shù)的應(yīng)用例6．已知一次函數(shù)和，當(dāng)時，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象上方，則a的取值范圍為【答案】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)綜合．熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)與不等式，分類討論，是解決問題的關(guān)鍵．可知過原點，當(dāng)過點時，；當(dāng)與平行時，，由函數(shù)圖象知，．【解析】解：可知過原點，∵中，時，，∴當(dāng)過點時，，得；當(dāng)與平行時，得．由函數(shù)圖象知，當(dāng)時，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象上方，a的取值范圍為：．故答案為：．【變式6-1】．在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象與函數(shù)（）的圖象交于點．(1)求m與k的值；(2)當(dāng)時，對于x每一個值，總有函數(shù)（）的值大于函數(shù)（）的值，直接寫出n的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)性質(zhì)，兩條直線相交或平行問題，正確理解一次函數(shù)性質(zhì)，并熟練掌握兩條直線相交或平行情況是解題的關(guān)鍵．（1）將點代入函數(shù)求解，即可得到m的值，再結(jié)合待定系數(shù)法求解即可得到k的值；（2）聯(lián)立與求出交點橫坐標(biāo)為，再結(jié)合題意和一次函數(shù)性質(zhì)得到，求解，即可解題．【解析】（1）解：將點代入函數(shù)有：，解得，，，解得；（2）解：由（1）知，，聯(lián)立與有：，解得，當(dāng)時，對于x每一個值，總有函數(shù)（）的值大于函數(shù)（）的值，又時，直線與直線平行，，，當(dāng)時，解得，即n的取值范圍為．考點七：一元一次不等式、方程（組）、一次函數(shù)綜合例7．如圖，一次函數(shù)與的圖象交于點P．下列結(jié)論中，正確的有．①；②；③；④當(dāng)時，【答案】③【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行判斷即可．【解析】解：由圖象可知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、四象限，則，故①錯誤；由圖象可知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、三象限，則，則，故②錯誤；由函數(shù)圖象可知：一次函數(shù)與的圖象交于點P，且點P的橫坐標(biāo)為1，∴，故③正確；根據(jù)圖象可知，當(dāng)時，，故④錯誤故答案為：③．【變式7-1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，若直線與直線相交于點P，則下列結(jié)論正確的是（

）A．方程的解是B．不等式和不等式的解集相同C．不等式組的解集是D．方程組的解是解為【答案】C【分析】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．由圖象可得直線與直線相交于點即可判斷選項A；由圖象可得的解集為，由圖象可得的解集為，即可判斷選項B；求出的解集是，當(dāng)時，，即可判斷選項C；由圖象可得方程組的解為，即可判斷選項D．【解析】解：A．由圖象可得直線與直線相交于點，∴方程的解是，故選項錯誤，不符合題意；B．由圖象可得的解集為，由圖象可得的解集為，∴不等式和不等式的解集不相同，故選項錯誤，不符合題意；C．將代入得，解得，∴，將代入得，由圖象可知，的解集是，由圖象可知，當(dāng)時，直線在直線的下方，∴當(dāng)時，，∴不等式組的解集是，故選項正確，符合題意；D．∵直線與直線相交于點P，∴方程組的解為，故選項錯誤，不符合題意．故選：C．【變式7-2】．一次函數(shù)與的圖象如圖，則下列結(jié)論：①；②；③關(guān)于x的方程的解是；④當(dāng)時，中．則正確的序號有．【答案】①③/③①【分析】本題考查一次函數(shù)與一元一次方程、一次函數(shù)與一元一次不等式、一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．根據(jù)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)對①②進行判斷；利用一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系對③進行判斷；利用函數(shù)圖象，當(dāng)時，一次函數(shù)在直線的上方，則可對④進行判斷．【解析】解：∵一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、四象限，∴，，所以①正確；∵直線的圖象與y軸的交點在x軸下方，∴，所以②錯誤；∵一次函數(shù)與的圖象的交點的橫坐標(biāo)為3，∴時，，，所以③正確；當(dāng)時，的圖像在圖像的上方，∴，所以④錯誤．故答案為①③．【變式7-3】．一次函數(shù)與的圖象如圖所示，下列結(jié)論中正確的有（

）對于函數(shù)來說，的值隨值的增大而減小函數(shù)的圖象不經(jīng)過第一象限A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)圖象直接得到結(jié)論；根據(jù)、的符號即可判斷；當(dāng)時，；當(dāng)時，根據(jù)圖象得不等式，利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【解析】解：由圖象可得：對于函數(shù)來說，隨的增大而減小，故正確；由于，，∴函數(shù)的圖象經(jīng)過第二，三，四象限，不經(jīng)過第一象限，故正確；∵一次函數(shù)與的圖象的交點的橫坐標(biāo)為，∴，∴，即，故正確；當(dāng)時，，，由圖象可知，∴，故錯誤；綜上都正確，故選：．考點八：利用一次函數(shù)解決一元一次不等式的實際問題例8．某商場準(zhǔn)備購進甲乙兩種服裝進行銷售．甲種服裝每件進價160元，售價210元；乙種服裝每件進價120元，售價150元．現(xiàn)計劃購進兩種服裝共100件，其中甲種服裝不少于60件．設(shè)購進甲種服裝x件，兩種服裝全部售完，商場獲利y元．(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若購進100件服裝的總費用不超過15000元，求最大利潤為多少元？【答案】(1)；(2)若購進100件服裝的總費用不超過15000元，最大利潤為4500元．【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，寫出函數(shù)關(guān)系式、掌握一元一次不等式的解法及一次函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)商場獲利（甲種服裝每件售價甲種服裝每件進價）甲種服裝購進數(shù)量（乙種服裝每件售價乙種服裝每件進價）乙種服裝購進數(shù)量解答即可；（2）根據(jù)題意列出一元一次不等式，求出的取值范圍，再結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可得解．【解析】（1）解：根據(jù)題意，得，答：y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為．（2）解：根據(jù)題意，得，解得，∵，∴，∵中，∴y隨x的增大而增大，∵，∴當(dāng)時，y值最大，．答：若購進100件服裝的總費用不超過15000元，最大利潤為4500元．【變式8-1】．2024年是中國農(nóng)歷甲辰龍年，某購物中心有A，B兩種龍年吉祥物出售．B種每個售價比A種多2元；購買20個A種龍年吉祥物和30個B種龍年吉祥物共需花費360元．(1)A，B兩種吉祥物每件售價各是多少？(2)購買A，B兩種龍年吉祥物共60個，且購買A種的數(shù)量不多于B種的3倍，購買多少個A種龍年吉祥物花費最少？最少花費是多少？【答案】(1)A種吉祥物每件售價6元，B種吉祥物每件售價8元(2)購買45個種龍年吉祥物花費最少，最少花費是390元【分析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，（1）設(shè)種吉祥物每件售價元，則種吉祥物每件售價元，根據(jù)題意列方程并求解即可；（2）設(shè)購買種吉祥物個，則購買種吉祥物個，根據(jù)題意列關(guān)于的一元一次不等式并求其解集，設(shè)購買，兩種龍年吉祥物共花費元，寫出關(guān)于的函數(shù)，根據(jù)它的增減性和的取值范圍，確定當(dāng)取何值時的值最大，求出其最大值即可．【解析】（1）解：設(shè)種吉祥物每件售價元，則種吉祥物每件售價元．根據(jù)題意，得，解得，（元，∴A種吉祥物每件售價6元，B種吉祥物每件售價8元．（2）解：設(shè)購買種吉祥物個，則購買種吉祥物個．根據(jù)題意，得，解得．設(shè)購買，兩種龍年吉祥物共花費元，則，，隨的增大而減小，，當(dāng)時，取最小值，，購買45個種龍年吉祥物花費最少，最少花費是390元．【變式8-2】．無人機制造商“大疆創(chuàng)新科技”享譽全球．該公司旗下無人機配件銷售部現(xiàn)有和兩種配件，它們的進價和售價如表．用元可購進產(chǎn)品件和產(chǎn)品件．（利潤售價進價）種類種配件種配件進價（元/件）售價（元/件）(1)求種配件進價的值．(2)若該配件銷售部購進種配件和種配件共件，據(jù)市場銷售分析，種配件進貨件數(shù)不低于種配件件數(shù)的倍．如何進貨才能使本次銷售獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】(1)260(2)當(dāng)購進種配件件，種配件件時，本次銷售獲得的利潤最大，最大利潤是元【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意并正確列式是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)“用元可購進產(chǎn)品件和產(chǎn)品件”列方程求解即可；（2）設(shè)購進種配件件，則購進種配件件，根據(jù)“種配件進貨件數(shù)不低于種配件件數(shù)的倍”列不等式，得出（為正整數(shù)），再設(shè)兩種配件全部售出后獲得的總利潤為元，根據(jù)“利潤售價進價”列函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的增減性求解即可．【解析】（1）解：依題意得：，解得：，答：的值為；（2）解：設(shè)購進種配件件，則購進種配件件，依題意得：，解得：，∴（為正整數(shù)），設(shè)兩種配件全部售出后獲得的總利潤為元，∴，∵，∴隨的增大而增大，∴當(dāng)時，取得最大值，最大值為：，此時，答：當(dāng)購進種配件件，種配件件時，本次銷售獲得的利潤最大，最大利潤是元．【變式8-3】．五月是圣女果與羊角蜜成熟的季節(jié)，這兩種水果深受人們的喜愛．水果經(jīng)銷商小明每次從兩種水果的產(chǎn)地購進兩種水果進行銷售，圣女果的批發(fā)價為5元/千克，羊角蜜每千克的批發(fā)價根據(jù)購買量給予優(yōu)惠．設(shè)小明購進羊角蜜x千克，付款y元，y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．(1)直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；(2)若小明計劃一次性購進圣女果、羊角蜜共100千克，且圣女果不少于45千克，但又不超過60千克，如何分配圣女果與羊角蜜的購進量，才能使小明付款總金額元)最少？(3)在（2）的結(jié)論下，小明將圣女果與羊角蜜的銷售價格分別定為7元/千克和10元/千克，當(dāng)全部銷售完兩種水果時，小明決定將總利潤的為正整數(shù))捐贈給兒童福利院，捐贈后使總利潤不低于256元，求m的最大值．【答案】(1)(2)購進圣女果為千克，則購進羊角蜜40千克，才能使小明付款總金額(元)最少(3)8【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的實際應(yīng)用中的最優(yōu)解問題及一元一次不等式的應(yīng)用．（1）由圖已知與的函數(shù)關(guān)系式是分段函數(shù)，待定系數(shù)法求解析式即可；（2）設(shè)購進圣女果為千克，則購進羊角蜜千克，根據(jù)實際意義可以確定的范圍，結(jié)合付款總金額(元)與兩種水果的購進量之間的函數(shù)關(guān)系可以分類討論最少費用；（3）根據(jù)題意求出羊角蜜此時的進價，再根據(jù)題意列出一元一次不等式求解即可．【解析】（1）解：當(dāng)時,設(shè),根據(jù)題意得，解得，∴；當(dāng)x=50時，，當(dāng)時,設(shè)，根據(jù)題意得解得，∴，；（2）解：設(shè)購進圣女果為千克，則購進羊角蜜千克，∴，當(dāng)時，則，，當(dāng)時.元；當(dāng)時,則，，當(dāng)時,元，，∴當(dāng)時,總費用最少,最少總費用為元，此時購進羊角蜜(千克)，答：購進圣女果為千克，則購進羊角蜜40千克，才能使小明付款總金額(元)最少；（3）解：由（2）知購進圣女果為千克，則購進羊角蜜40千克，此時，羊角蜜的進價為6元，根據(jù)題意得：，即，解得，，∴m的最大值為．考點九：解答綜合題例9．已知函數(shù)的圖象，利用圖象回答下列問題：(1)直接寫出方程的解；(2)直接寫出不等式的解集；(3)若，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象解不等式，（1）根據(jù)圖示，時，，結(jié)合圖象可求解；（2）根據(jù)圖示，當(dāng)時，圖象在軸上方，由此即可求解；（3）根據(jù)圖示，結(jié)合（2）的結(jié)果，當(dāng)時，滿足條件，即可求解．【解析】（1）解：如圖所示，當(dāng)x=2時，，∴的解為x=2；（2）解：根據(jù)圖示，當(dāng)時，圖象在軸上方，即，∴不等式的解集為；（3）解：由（2）可得，當(dāng)時，，當(dāng)x=0時，，∴時，．【變式9-1】．如圖，直線：與x軸交于點B，，直線：經(jīng)過點C，且與交于點．(1)求直線的解析式；(2)記直線與y軸的交點為D，記直線與y軸的交點為E，求的面積；(3)根據(jù)圖象，直接寫出的解集．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，一次函數(shù)與不等式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是求得兩條直線的解析式．（1）先求出直線表達式，再求點B坐標(biāo)，根據(jù)，即得點C坐標(biāo)，結(jié)合點，即可求出直線的解析式；（2）先求出點和點的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式建立等式，即可作答；（3）根據(jù)圖象，要找滿足的解集，只需找到對應(yīng)的x的范圍，滿足直線的圖象在的圖象上方，且的圖象在x軸的上方．【解析】（1）解：∵的直線解析式為，令，則，解得∴，∵，∴，∵：經(jīng)過點C和點A，，解得，∴的直線解析式為；（2）解：在直線的解析式中，令，則，∴，在直線的解析式中令，則，∴，∴，∴；（3）解：根據(jù)圖象，因為，且，則，又因為，且直線與交于點，所以，故的解集為．【變式9-2】．某校長暑假帶領(lǐng)該?！叭脤W(xué)生”去旅游，甲旅行社說：“若校長買全票一張，則學(xué)生可享受半價優(yōu)惠．”乙旅行社說：“包括校長在內(nèi)都6折優(yōu)惠”若全票價是1200元，則：設(shè)學(xué)生數(shù)為，甲旅行社收費，乙旅行社收費，求：(1)分別寫出兩家旅行社的收費與學(xué)生人數(shù)的關(guān)系式．(2)當(dāng)學(xué)生人數(shù)是多少時，兩家旅行社的收費是一樣的？(3)就學(xué)生人數(shù)討論哪家旅行社更優(yōu)惠．【答案】(1)；(2)4人(3)當(dāng)學(xué)生人數(shù)為4人時，兩旅行社一樣優(yōu)惠；當(dāng)學(xué)生人數(shù)小于4人時，乙旅行社優(yōu)惠；當(dāng)學(xué)生人數(shù)大于4人時，甲旅行社優(yōu)惠【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用-方案設(shè)計問題，在解答時根據(jù)兩個解析式建立方程或不等式是關(guān)鍵．（1）根據(jù)收費總額學(xué)生人數(shù)單價校長的票價就可以分別求出兩個旅行社的收費；（2）利用時，得出，進而求出即可，（3）分兩種情況討論，當(dāng)、時，求出哪種情況更優(yōu)惠．【解析】（1）解：設(shè)學(xué)生人數(shù)為人，由題意，得，；（2）當(dāng)時，，解得：，故當(dāng)時，兩旅行社一樣優(yōu)惠；（3）時，，解得：故當(dāng)時，乙旅行社優(yōu)惠．當(dāng)時，，解得：，故當(dāng)時，甲旅行社優(yōu)惠．【變式9-3】．如圖，已知函數(shù)的圖象與軸交于點，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，與軸以及的圖象分別交于點，且點的坐標(biāo)為．(1)則_________，_________；(2)關(guān)于的不等式的解集是_________；(3)四邊形的面積_________；(4)在平面內(nèi)是否存在點，使得以點為頂點的三角形是以為腰的等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)3，(2)(3)(4)，，，【分析】（1）把點的坐標(biāo)為代入得，從而得到點的坐標(biāo)，將點、的坐標(biāo)代入，可求得到，；（2）要使得函數(shù)的值大于函數(shù)的函數(shù)值，只需函數(shù)的圖象在函數(shù)上方，由此直接根據(jù)函數(shù)圖象即可得到答案；（3）連接，由函數(shù)解析式求得、坐標(biāo)，再根據(jù)即可求解；（4）分四種情況：當(dāng)，，點在右側(cè)時，當(dāng)，，點在左側(cè)時，當(dāng)，，點在右側(cè)時，當(dāng)，，點在左側(cè)時，構(gòu)造全等三角形，根據(jù)，兩點坐標(biāo)求出相應(yīng)邊的長度，進而求得點的坐標(biāo)．【解析】（1）解：把點的坐標(biāo)為代入得：，∴，即：點的坐標(biāo)為，將點，點代入得：，解得：；（2）解：由（1）得點的坐標(biāo)為，要使得函數(shù)的值大于函數(shù)的函數(shù)值，只需函數(shù)的圖象在函數(shù)上方，∴由圖象可得：當(dāng)時，函數(shù)的函數(shù)值大于函數(shù)的函數(shù)值，∴關(guān)于的不等式的解集是：；（3）解：由（1）可知：直線的解析式為，，，當(dāng)時，，得，∴點的坐標(biāo)為，∵函數(shù)的圖象與軸交于點，則當(dāng)時，，即：，連接，∴；（4）當(dāng)，，點在右側(cè)時，如圖，過點作軸，過點作，則，∴，∴，又∵，∴，∴，，∵，，∴，，，則，∴，∴，則點坐標(biāo)為；當(dāng)，，點在左側(cè)時，如圖，過點作軸，過點，點作，，同上可得：點坐標(biāo)為；當(dāng)，，點在右側(cè)時，如圖，過點，點作，，同上可得：點坐標(biāo)為；當(dāng)，，點在左側(cè)時，如圖，過點，點作，，同上可得：點坐標(biāo)為；綜上：坐標(biāo)為或或或．【點睛】此題考查了一次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，涉及了勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)，利用分類討論和數(shù)形結(jié)合思想方法求解．一、單選題1．已知方程的解是，則函數(shù)的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】由于方程的解是，即時，，所以直線經(jīng)過點，然后對各選項進行判斷．【解析】解：方程的解是，經(jīng)過點．故選：C．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次方程：已知一次函數(shù)的函數(shù)值求對應(yīng)的自變量的值的問題就是一元一次方程的問題．2．如圖，直線y=kx+b與坐標(biāo)軸的兩個交點分別為A（2，0）和點B（0，-3），則不等式kx+b≥-3的解集為（

）A．x≥0 B．x≤0 C．x≥2 D．x≤2【答案】A【分析】結(jié)合函數(shù)的圖象利用數(shù)形結(jié)合的方法確定不等式的解集即可．【解析】觀察圖象知：當(dāng)時，，故選：A．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的圖象解答，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．3．直線和把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四個部分（包括邊界在內(nèi)，如圖），則滿足且的點必在（）．A．第Ⅰ部分 B．第Ⅱ部分 C．第Ⅲ部分 D．第Ⅳ部分【答案】B【分析】y=x和y=-x+1把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四個部分，滿足的點都在直線的下方，滿足的點都在直線的上方，由圖即可得出答案．【解析】由圖可知，滿足的點都在直線的下方，滿足的點都在直線的上方，故同時滿足且的點為兩者的重合部分，由圖知，點必定在第Ⅱ部分，故選：B．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，即利用圖象解決問題的方法，這也是一元一次不等式與一次函數(shù)知識的具體應(yīng)用．4．直線l1：y＝kx+b與直線l2：y＝k2x的圖象如圖所示．則關(guān)于x的不等式k2x＞k1x+b的解集是（）A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜3 D．x＞3【答案】A【分析】直接利用一次函數(shù)的交點為（﹣1，3），進而得出不等式k2x＞k1x+b的解集．【解析】解：如圖所示：關(guān)于x的不等式k2x＞k1x+b的解集是：x＜﹣1．故選：A．【點睛】此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，正確數(shù)形結(jié)合是解題關(guān)鍵．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AC：y＝kx＋b與x軸交于點B(－2，0)，與y軸交于點C，則“不等式kx＋b≥0的解集”對應(yīng)的圖形是（

）

A．射線BD上的點的橫坐標(biāo)的取值范圍 B．射線BA上的點的橫坐標(biāo)的取值范圍C．射線CD上的點的橫坐標(biāo)的取值范圍 D．線段BC上的點的橫坐標(biāo)的取值范圍【答案】A【分析】根據(jù)圖象即可得出不等式kx＋b≥0的解集，從而判斷出結(jié)論．【解析】解：由圖象可知：不等式kx＋b≥0的解集為x≤-2∴“不等式kx＋b≥0的解集”對應(yīng)的圖形是射線BD上的點的橫坐標(biāo)的取值范圍故選A．【點睛】此題考查的是根據(jù)一次函數(shù)的圖象和不等式，求自變量的取值范圍，掌握利用一次函數(shù)的圖象，解一元一次不等式是解決此題的關(guān)鍵．6．如圖，直線與相交于點P，點P的橫坐標(biāo)為，則關(guān)于x的不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)x＞-1時，函數(shù)y=x+b的圖象都在y=kx-1的圖象上方，所以不等式x+b＞kx-1的解集為x＞-1，然后根據(jù)用數(shù)軸表示不等式解集的方法對各選項進行判斷．【解析】解：當(dāng)x＞-1時，x+b＞kx-1，即不等式x+b＞kx-1的解集為x＞-1．故選：A．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y=ax+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y=kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．也考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集．7．函數(shù)與的部分自變量和對應(yīng)函數(shù)值如下：x-4-3-2-1y-1-2-3-4x-4-3-2-1y-9-6-30當(dāng)時，自變量x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)表格可確定兩個函數(shù)的增減性以及函數(shù)的交點，然后根據(jù)增減性判斷．【解析】解：根據(jù)表格可得y1=k2x+b1中y隨x的增大而減小，y2=k2x+b2中y隨x的增大而增大．且兩個函數(shù)的交點坐標(biāo)是（-2，-3）．則當(dāng)x＜-2時，y1＞y2．故選：B．【點睛】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，正確確定增減性以及兩函數(shù)交點坐標(biāo)是關(guān)鍵．8．如圖，已知正比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點P.下面有四個結(jié)論:①k>0；②b>0；③當(dāng)x>0時，>0；④當(dāng)x<-2時，kx>-x+b.其中正確的是(

)A．①③ B．②③ C．③④ D．①④【答案】A【分析】根據(jù)正比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．【解析】解：∵直線y1=kx經(jīng)過第一、三象限，∴k＞0，故①正確；∵y2=-x+b與y軸交點在負(fù)半軸，∴b＜0，故②錯誤；∵正比例函數(shù)y1=kx經(jīng)過原點，且y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＞0時，y1＞0；故③正確；當(dāng)x＜-2時，正比例函數(shù)y1=kx在一次函數(shù)y2=-x+b圖象的下方，即kx＜-x+b，故④錯誤．故選A．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，關(guān)鍵是根據(jù)正比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)判斷．9．如圖所示，函數(shù)和的圖像相交于，兩點，當(dāng)時，的取值范圍是（）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】首先由已知得出y1＝x或y1＝?x又相交于（?1，1），（2，2）兩點，根據(jù)y1＞y2結(jié)合圖像的位置關(guān)系，即可求出x的取值范圍．【解析】解：∵當(dāng)x≥0時，y1＝x；當(dāng)x＜0時，y1＝?x，兩直線的交點為（2，2），（?1，1），∴由圖象可知：當(dāng)y1＞y2時x的取值范圍為：x＜?1或x＞2．故選C．【點睛】此題考查的是兩條直線相交問題，關(guān)鍵是掌握，當(dāng)y1＞y2時x的取值范圍等價于y1所對應(yīng)的圖像在y2所對應(yīng)的圖像上方部分圖像上點的橫坐標(biāo)的范圍．10．對于實數(shù)，定義符號其意義為：當(dāng)時，；當(dāng)時，．例如：，若關(guān)于的函數(shù)，則該函數(shù)的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)定義先列不等式：和，確定其，對應(yīng)的函數(shù)，畫圖象可知其最大值．【解析】解：由題意得：，解得：，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，由圖象可知：此時該函數(shù)的最大值為；當(dāng)時，，當(dāng)時，，，由圖象可知：此時該函數(shù)的最大值為；綜上所述，，的最大值是當(dāng)所對應(yīng)的的值，如圖所示，當(dāng)時，，故選：C【點睛】本題考查了新定義、一元一次不等式及一次函數(shù)的交點問題，認(rèn)真閱讀理解其意義，并利用數(shù)形結(jié)合的思想解決函數(shù)的最值問題．二、填空題11．如圖，若，則y．

【答案】>3【分析】根據(jù)函數(shù)圖象進行求解即可．【解析】解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式之間的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．12．如圖，已知一次函數(shù)y＝kx+b經(jīng)過A（2，0），B（0，﹣1），當(dāng)y＞0時，則x的取值范圍是．【答案】x＞2【分析】利用待定系數(shù)法可得直線AB的解析式為y＝x?1，依據(jù)當(dāng)y＞0時，x?1＞0，即可得到x的取值范圍．【解析】解：由A（2，0），B（0，﹣1），可得直線AB的解析式為y＝x﹣1，∴當(dāng)y＞0時，x﹣1＞0，解得x＞2，故答案為x＞2．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與不等式之間的聯(lián)系，直線上任意一點的坐標(biāo)都滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝kx＋b，解題關(guān)鍵是求出直線解析式.13．如圖是一次函數(shù)的圖象，則關(guān)于x的不等式的解集為．【答案】【分析】根據(jù)圖象得：當(dāng)時，函數(shù)圖象位于軸下方，此時，即可求解．【解析】解：根據(jù)圖象得：當(dāng)時，函數(shù)圖象位于軸下方，此時，∴關(guān)于x的不等式的解集為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，根據(jù)函數(shù)y=ax+b（）與y=0的上下位置關(guān)系找出不等式ax+b<0的解集是解題的關(guān)鍵．14．一次函數(shù)與的圖象如圖所示，則當(dāng)x時，；當(dāng)x時，；當(dāng)x時，．【答案】【分析】利用函數(shù)圖像交點的位置，比較函數(shù)值的大小，來確定自變量的范圍，【解析】解：∵一次函數(shù)與的圖象的交點坐標(biāo)為（1，-3），在交點的右側(cè)一次函數(shù)的圖象在一次函數(shù)的圖象的下方即∴x＞1，當(dāng)x＞1時，；一次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象相交時，即，∴x=1，當(dāng)x=1時，：在交點的左側(cè)，一次函數(shù)的圖象在一次函數(shù)的圖象的上方即∴x＜1，當(dāng)x＜1時，；故答案為；；．【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)值的大小確定自變量的大小，掌握函數(shù)圖像的交點左側(cè)與右側(cè)的圖像位置確定函數(shù)值的大小是解題關(guān)鍵．15．如圖所示，次函數(shù)與的圖像相交于點，則不等式的解集是．【答案】【分析】先求出，然后根據(jù)圖象可知：在交點的左側(cè)，，即當(dāng)時，，從而求出不等式的解集．【解析】解：由圖象可知：在交點的左側(cè)，即當(dāng)時，∴的解集是．故答案為：．【點睛】此題考查的是根據(jù)交點坐標(biāo)求不等式的解集，掌握一次函數(shù)和一元一次不等式的關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵．16．已知直線和，當(dāng)時，；當(dāng)時，則直線與的交點坐標(biāo)為．【答案】【分析】由題意可得，交點的橫坐標(biāo)為3，代入直線解析式即可求解．【解析】解：由題意可得，直線與的交點橫坐標(biāo)為3將代入直線，得，即交點坐標(biāo)為故答案為【點睛】此題考查了求解直線的交點坐標(biāo)，理解一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．17．如圖，兩個一次函數(shù)y＝kx+b與y＝mx+n的圖象分別為直線l1和l2，l1與l2交于點A（1，p），l1與x軸交于點B（-2，0），l2與x軸交于點C（4，0），則不等式組0＜mx+n＜kx+b的解集為．【答案】1＜x＜4【分析】先解不等式0＜mx+n，結(jié)合圖像可知上的點在軸的上方，可得＜再解mx+n＜kx+b，結(jié)合圖像可知上的點在的上方，可得＞從而可得0＜mx+n＜kx+b的解集．【解析】解：不等式0＜mx+n，上的點在軸的上方，＜mx+n＜kx+b，上的點在的上方，，＞不等式組0＜mx+n＜kx+b的解集為1＜＜4，故答案為：1＜＜4，【點睛】本題考查的是一次函數(shù)與不等式組的關(guān)系，掌握利用一次函數(shù)的圖像解不等式組是解題的關(guān)鍵．18．在平面直角坐標(biāo)系中，垂直x軸的直線l分別與函數(shù)的圖像交于P、Q兩點，若平移直線l，可以使P、Q都在x軸的下方，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)題意可知在時，有公共解，因此可以列出不等式，從而得到答案．【解析】令，則，令，則，∵平移直線，可以使P、Q都在軸的下方，∴可知在時，有公共解，∴，解得：，故填：．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)與不等式的關(guān)系，解答的關(guān)鍵是將圖象問題轉(zhuǎn)化為不等式．三、解答題19．已知函數(shù)和相交于點．（1）求k、b的值；（2）在同一坐標(biāo)系中畫出兩個函數(shù)的圖象，利用圖象求當(dāng)x取何值時有：①；②且．【答案】（1），；（2）畫圖見解析，①，②【分析】（1）將點分別代入函數(shù)和即可求解；（2）根據(jù)描點法畫出函數(shù)圖像，①通過函數(shù)圖像得到時，自變量的取值范圍即可；②觀察函數(shù)圖像，求得且時，自變量的取值范圍即可．【解析】解：（1）將點代入函數(shù)得，解得將點代入函數(shù)得，解得故答案為，（2）列表，如下02-2-15-1函數(shù)圖像如下：①由圖像可得：當(dāng)時，，故答案為②將代入得，，由圖像可知時，將代入得，，由圖像可知時，由此可得【點睛】此題考查了待定系數(shù)法求解一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系，熟練掌握待定系數(shù)法以及一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．20．如圖，直線與直線交于點．（1）求點的坐標(biāo)；（2）根據(jù)圖象，寫出當(dāng)時，的取值范圍．【答案】（1）；（2）【分析】（1）聯(lián)立兩函數(shù)即可求解；（2）根據(jù)函數(shù)圖象即可求解．【解析】解：（1）由于兩直線相交，聯(lián)立方程得：解得：∴點的坐標(biāo)為．（2）由圖象知，當(dāng)，即在時上方時，．∴當(dāng)時，的取值范圍是．【點睛】此題主要考查一次函數(shù)與二元一次方程（組）一次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知二元一次方程組的解法．21．在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出二元一次方程和的圖象．利用圖象求：

方程的解；

不等式的解集；根據(jù)圖像寫出方程組的解．【答案】作圖見解析，（1）；（2）；（3）【分析】（1）首先畫出，圖象，方程的解看兩直線的交點，橫坐標(biāo)即為的值；（2）根據(jù)圖象可知，以交點為分界，直線在上面的函數(shù)值大；（3）分別解不等式，再求公共部分．【解析】解：畫和的圖象，方程變形為：，，根據(jù)圖象可知：方程的解為：；根據(jù)圖象可知：不等式的解集為：；方程組的解為，所以不等式的解集為.【點睛】一次函數(shù)與一元一次不等式，一次函數(shù)與二元一次方程（組），一次函數(shù)與一元一次方程，一元一次不等式組的定義.22．如圖，根據(jù)圖中信息解答下列問題：（1）關(guān)于x的不等式ax+b>0的解集是；（2）關(guān)于x的不等式mx+n<1的解集是；（3）當(dāng)x滿足的條件時，y1?y2；（4）當(dāng)x滿足的條件時，0<y2<y1．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）求ax+b＞0的解集，只需確定直線y2在x軸上方時x的取值范圍即可；（2）求mx+n＜1的解集，也就是求直線y1在y=1下方時x的取值范圍，據(jù)此解答即可；（3）找出直線y1在直線y2的下方與相交時x的取值范圍，據(jù)此可確定y1≤y2時x的取值范圍；（4）根據(jù)函數(shù)圖象，找出直線y2在直線y1的下方且在x軸上方時x的取值范圍即可．【解析】(1)∵直線y2=ax+b與x軸的交點是(4,0)∴當(dāng)x<4時,y2>0，即不等式ax+b>0的解集是x<4(2)∵直線y1=mx+n與y軸的交點是(0,1)∴當(dāng)x<0時,y1<1，即不等式mx+n<1的解集是x<0(3)由一次函數(shù)的圖象知,兩條直線的交點坐標(biāo)是(2,1.8),當(dāng)函數(shù)y1的圖象在y2的下面時，有x?2∴當(dāng)x≤2時,y1≤y2(4)如圖所示,當(dāng)2<x<4時,0<y2<y1故答案為：（1）；（2）；（3）；（4）．【點睛】本題考查一次函數(shù)與一元一次不等式關(guān)系，能用函數(shù)觀點看一元一次不等式是解題關(guān)鍵．23．泉州木偶造型優(yōu)美，彩繪精致，個性鮮明，具有獨特的藝術(shù)風(fēng)格和地方色彩．某店銷售，兩款木偶工藝品，如下是甲、乙兩位銷售員的對話：(1)求兩款木偶工藝品的售價各為多少元；(2)某公司想購買40件木偶工藝品送給員工（兩種款式均需購買），且購買款木偶工藝品的數(shù)量不超過款木偶工藝品數(shù)量的，為使購買總費用最低，應(yīng)購買款木偶工藝品和款木偶工藝品各多少件？總費用最低為多少元？【答案】(1)款木偶工藝品的售價為20元，款木偶工藝品的售價為25元(2)應(yīng)購買款木偶工藝品10件和款木偶工藝品30件，總費用最低為950元【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一次函數(shù)解析式．（1）設(shè)款木偶工藝品的售價為元，款木偶工