2019屆江蘇專(zhuān)用高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.1導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算講義文蘇教版

§3.1導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類(lèi)深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)1.導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的概念(1)設(shè)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上有定義，x0∈(a，b)，若Δx無(wú)限趨近于0時(shí)，比值

無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)A，則稱(chēng)f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，并稱(chēng)該常數(shù)A為函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)(derivative)，記作

.(2)如果函數(shù)y＝f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，其導(dǎo)數(shù)值在(a，b)內(nèi)構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱(chēng)為函數(shù)y＝f(x)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù).記作f′(x)或y′.知識(shí)梳理f′(x0)2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率k，即k＝

.3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝C(C為常數(shù))f′(x)＝__f(x)＝xα(α為常數(shù))f′(x)＝______f(x)＝sinxf′(x)＝_____f′(x0)0αxα－1cosxf(x)＝cos

xf′(x)＝______f(x)＝exf′(x)＝___f(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝______f(x)＝lnxf′(x)＝___f(x)＝logax(a>0，a≠1)f′(x)＝_____－sinxexaxln

a4.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則若f′(x)，g′(x)存在，則有(1)[f(x)±g(x)]′＝

；(2)[f(x)·g(x)]′＝

；(3)[]′＝

(g(x)≠0).f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)知識(shí)拓展1.奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù).3.[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x).4.函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時(shí)變化趨勢(shì)，其正負(fù)號(hào)反映了變化的方向，其大小|f′(x)|反映了變化的快慢，|f′(x)|越大，曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡”.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函數(shù)y＝f(x)在x＝x0附近的平均變化率.(

)(2)f′(x0)與[f(x0)]′表示的意義相同.(

)(3)曲線的切線不一定與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).(

)(4)與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線一定是曲線的切線.(

)(5)函數(shù)f(x)＝sin(－x)的導(dǎo)數(shù)是f′(x)＝cos

x.(

)××√××考點(diǎn)自測(cè)1.(教材改編)若f(x)＝x·ex，則f′(1)＝

.答案解析2ef′(x)＝ex＋x·ex，∴f′(1)＝2e.1因?yàn)?cos

x)′＝－sinx，所以①錯(cuò)誤；答案解析3.(教材改編)曲線y＝－5ex＋3在點(diǎn)(0，－2)處的切線方程為

.答案解析5x＋y＋2＝0因?yàn)閥′|x＝0＝－5e0＝－5，所以曲線在點(diǎn)(0，－2)處的切線方程為y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.4.(教材改編)若過(guò)曲線y＝

上一點(diǎn)P的切線的斜率為－4，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

.答案解析5.(教材改編)函數(shù)f(x)＝x3的斜率等于1的切線有

條.答案解析2∵y′＝3x2，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，題型分類(lèi)深度剖析題型一導(dǎo)數(shù)的計(jì)算例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y＝x2sinx；(2)y＝ln

x＋

；解答y′＝(x2)′·sinx＋x2.(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.解答(3)y＝

；解答求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后求導(dǎo)，這樣可以減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度，減少差錯(cuò)；遇到函數(shù)的商的形式時(shí)，如能化簡(jiǎn)則化簡(jiǎn)，這樣可避免使用商的求導(dǎo)法則，減少運(yùn)算量.思維升華跟蹤訓(xùn)練1(1)f(x)＝x(2016＋ln

x)，若f′(x0)＝2017，則x0＝

.答案解析f′(x)＝2016＋ln

x＋x×＝2017＋ln

x，故由f′(x0)＝2017，得2017＋ln

x0＝2017，則ln

x0＝0，解得x0＝1.1(2)若函數(shù)f(x)＝ax4＋bx2＋c滿足f′(1)＝2，則f′(－1)＝

.答案解析－2f′(x)＝4ax3＋2bx，∵f′(x)為奇函數(shù)且f′(1)＝2，∴f′(－1)＝－2.題型二導(dǎo)數(shù)的幾何意義命題點(diǎn)1求切線方程例2

(1)(2016·南通一調(diào))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與曲線y＝x2(x>0)和y＝x3(x>0)均相切，切點(diǎn)分別為A(x1，y1)和B(x2，y2)，則

的值為

.答案解析(2)已知函數(shù)f(x)＝xln

x，若直線l過(guò)點(diǎn)(0，－1)，并且與曲線y＝f(x)相切，則直線l的方程為

.答案解析x－y－1＝0∵點(diǎn)(0，－1)不在曲線f(x)＝xln

x上，∴設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0).解得x0＝1，y0＝0.∴切點(diǎn)為(1，0)，∴f′(1)＝1＋ln1＝1.∴直線l的方程為y＝x－1，即x－y－1＝0.命題點(diǎn)2求參數(shù)的值例3

(1)(2016·徐州模擬)函數(shù)y＝ex的切線方程為y＝mx，則m＝

.答案解析e設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為P(x0，y0)，由y′＝ex，得

，從而切線方程為

，又切線過(guò)定點(diǎn)(0，0)，從而

，解得x0＝1，則m＝e.幾何畫(huà)板展示(2)(2016·蘇州暑假測(cè)試)已知函數(shù)f(x)＝x－1＋

，若直線l：y＝kx－1與曲線y＝f(x)相切，則實(shí)數(shù)k＝

.答案解析則f′(x0)＝k，即1－

＝k，且kx0－1＝x0－1＋

，1－e幾何畫(huà)板展示命題點(diǎn)3導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系例4

如圖，點(diǎn)A(2，1)，B(3，0)，E(x，0)(x≥0)，過(guò)點(diǎn)E作OB的垂線l.記△AOB在直線l左側(cè)部分的面積為S，則函數(shù)S＝f(x)的圖象為右圖中的

.答案解析④函數(shù)的定義域?yàn)閇0，＋∞)，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，在單位長(zhǎng)度變化量Δx內(nèi)面積變化量ΔS大于0且越來(lái)越大，即斜率f′(x)在[0，2]內(nèi)大于0且越來(lái)越大，因此，函數(shù)S＝f(x)的圖象是上升的且圖象是下凸的；當(dāng)x∈(2，3)時(shí)，在單位長(zhǎng)度變化量Δx內(nèi)面積變化量ΔS大于0且越來(lái)越小，即斜率f′(x)在(2，3)內(nèi)大于0且越來(lái)越小，因此，函數(shù)S＝f(x)的圖象是上升的且圖象是上凸的；當(dāng)x∈[3，＋∞)時(shí)，在單位長(zhǎng)度變化量Δx內(nèi)面積變化量ΔS為0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)內(nèi)為常數(shù)0，此時(shí)，函數(shù)圖象為平行于x軸的射線.導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點(diǎn)處切線的斜率，應(yīng)用時(shí)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面(1)已知切點(diǎn)A(x0，f(x0))求斜率k，即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值：k＝f′(x0).(2)已知斜率k，求切點(diǎn)A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.(3)若求過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程，可設(shè)切點(diǎn)為(x1，y1)，由求解即可.(4)函數(shù)圖象在每一點(diǎn)處的切線斜率的變化情況反映函數(shù)圖象在相應(yīng)點(diǎn)處的變化情況，由切線的傾斜程度可以判斷出函數(shù)圖象升降的快慢.思維升華答案解析3設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，解得x0＝3或x0＝－2(舍去，不符合題意)，即切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3.答案解析－1典例若存在過(guò)點(diǎn)O(0，0)的直線l與曲線y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，求a的值.求曲線過(guò)一點(diǎn)的切線方程，要考慮已知點(diǎn)是切點(diǎn)和已知點(diǎn)不是切點(diǎn)兩種情況.錯(cuò)解展示

求曲線的切線方程現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)系列3現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)糾錯(cuò)心得幾何畫(huà)板展示返回解易知點(diǎn)O(0，0)在曲線y＝x3－3x2＋2x上.(1)當(dāng)O(0，0)是切點(diǎn)時(shí)，由y′＝3x2－6x＋2，得y′|x＝0＝2，即直線l的斜率為2，故直線l的方程為y＝2x.依題意Δ＝4－4a＝0，得a＝1.返回課時(shí)作業(yè)123456789101112131.(2016·天津)已知函數(shù)f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f′(0)的值為

.答案解析3因?yàn)閒(x)＝(2x＋1)ex，所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，所以f′(0)＝3e0＝3.2.已知曲線y＝ln

x的切線過(guò)原點(diǎn)，則此切線的斜率為

.答案解析因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)(0，0)，所以－ln

x0＝－1，123456789101112133.若直線y＝x是曲線y＝x3－3x2＋px的切線，則實(shí)數(shù)p的值為

.答案解析∵y′＝3x2－6x＋p，設(shè)切點(diǎn)為P(x0，y0)，123456789101112134.若f(x)＝2xf′(1)＋x2，則f′(0)＝

.答案解析－4f′(x)＝2f′(1)＋2x，令x＝1，則f′(1)＝2f′(1)＋2，得f′(1)＝－2，所以f′(0)＝2f′(1)＋0＝－4.123456789101112135.(2016·江蘇揚(yáng)州中學(xué)期中)若x軸是曲線f(x)＝ln

x－kx＋3的一條切線，則k＝

.答案解析e212345678910111213設(shè)點(diǎn)M(x0，y0)是曲線f(x)上的一點(diǎn)，則曲線f(x)＝ln

x－kx＋3在點(diǎn)M處的切線方程為∵x軸是曲線f(x)＝ln

x－kx＋3的一條切線，12345678910111213答案解析由題意可知f′(x)＝

，g′(x)＝

，123456789101112137.已知函數(shù)f(x)滿足f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋

x2，那么f(x)的解析式為

.答案解析由已知得f′(x)＝f′(1)ex－1－f(0)＋x，所以f′(1)＝f′(1)－f(0)＋1，即f(0)＝1.又f(0)＝f′(1)e－1，所以f′(1)＝e.123456789101112138.(2016·南京模擬)曲線y＝log2x在點(diǎn)(1，0)處的切線與坐標(biāo)軸所圍成三角形的面積等于

.答案解析123456789101112139.若函數(shù)f(x)＝

x2－ax＋ln

x存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.答案解析[2，＋∞)∵f(x)存在垂直于y軸的切線，∴f′(x)存在零點(diǎn)，12345678910111213*10.(2016·揚(yáng)州中學(xué)期末)已知點(diǎn)P在曲線y＝

上，α為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是

.答案解析∴－1≤tanα<0.123456789101112136答案解析1234567891011121312345678910111213解答(1)求曲線在點(diǎn)P(2，4)處的切線方程；∴在點(diǎn)P(2，4)處的切線的斜率為y′|x＝2＝4.