2019屆江蘇專用高考數(shù)學一輪復習第三章三角函數(shù)3.2三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)講義

高考數(shù)學

(江蘇省專用)§3.2三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)1.(2016江蘇,9,5分)定義在區(qū)間[0,3π]上的函數(shù)y=sin2x的圖象與y=cosx的圖象的交點個數(shù)是

.A組自主命題·江蘇卷題組五年高考答案7解析解法一:在同一平面直角坐標系中作出y=sin2x與y=cosx在區(qū)間[0,3π]上的圖象(如圖).由

圖象可知,共有7個交點.解法二:由sin2x=cosx?cosx=0或sinx=

,因為x∈[0,3π],所以x=

,

,

,

,

,

,

,故兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)是7.2.(2017江蘇,16,14分)已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-

),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)記f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及對應的x的值.解析(1)因為a=(cosx,sinx),b=(3,-

),a∥b,所以-

cosx=3sinx.若cosx=0,則sinx=0,與sin2x+cos2x=1矛盾,故cosx≠0.于是tanx=-

.又x∈[0,π],所以x=

.(2)f(x)=a·b=(cosx,sinx)·(3,-

)=3cosx-

sinx=2

cos

.因為x∈[0,π],所以x+

∈

,從而-1≤cos

≤

.于是,當x+

=

,即x=0時,f(x)取到最大值3;當x+

=π,即x=

時,f(x)取到最小值-2

.考點一三角函數(shù)的圖象及其變換1.(2017課標全國Ⅰ理改編,9,5分)已知曲線C1:y=cosx,C2:y=sin

,則下面結(jié)論正確的是

.①把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向右平移

個單位長度,得到曲線C2;②把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向左平移

個單位長度,得到曲線C2;③把C1上各點的橫坐標縮短到原來的

,縱坐標不變,再把得到的曲線向右平移

個單位長度,得到曲線C2;④把C1上各點的橫坐標縮短到原來的

,縱坐標不變,再把得到的曲線向左平移

個單位長度,得到曲線C2.B組

統(tǒng)一命題·省(區(qū)、市)卷題組答案④解析本題考查三角函數(shù)的誘導公式及圖象變換.首先利用誘導公式化異名為同名.y=sin

=cos

=cos

=cos

,由y=cosx的圖象得到y(tǒng)=cos2x的圖象,需將曲線C1上各點的橫坐標縮短到原來的

,縱坐標不變;由y=cos2x的圖象得到y(tǒng)=cos

的圖象,需將y=cos2x的圖象上的各點向左平移

個單位長度,故填④.方法總結(jié)(1)三角函數(shù)圖象變換:①伸縮變換:將y=sinx圖象上的各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼摩乇?縱坐標不變,可得到y(tǒng)=sin

的圖象;將y=sinx圖象上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍,橫坐標不變,可得到y(tǒng)=Asinx的圖象.②平移變換:函數(shù)圖象的平移變換遵循“左加右減”的法則,但是要注意平移量是指自變量x的

變化量.(2)解決三角函數(shù)圖象變換題時,若兩函數(shù)異名,則通常利用公式sinx=cos

和cosx=sin

將異名三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為同名三角函數(shù),然后分析變換過程.2.(2016課標全國Ⅰ改編,6,5分)將函數(shù)y=2sin

的圖象向右平移

個周期后,所得圖象對應的函數(shù)為

.答案

y=2sin

解析該函數(shù)的周期為π,將其圖象向右平移

個單位后,得到的圖象對應的函數(shù)為y=2sin

2+

=2sin

.易錯警示三角函數(shù)圖象的平移變換中,“左加右減”是對x而言的,將x變?yōu)閤-

,而不是將2x變?yōu)?x-

.評析本題主要考查三角函數(shù)圖象的平移變換,注意“左加右減”僅針對x.3.(2016四川改編,4,5分)為了得到函數(shù)y=sin

的圖象,只需把函數(shù)y=sinx的圖象上所有的點向

平移

個單位長度.答案左;

解析根據(jù)“左加右減”的原則可知,把函數(shù)y=sinx的圖象上所有的點向左平行移動

個單位長度可得y=sin

的圖象.評析本題考查三角函數(shù)圖象的平移變換.4.(2016四川理改編,3,5分)為了得到函數(shù)y=sin

的圖象,只需把函數(shù)y=sin2x的圖象上所有的點向

平移

個單位長度.答案右;

解析將y=sin2x的圖象向右平行移動

個單位長度得到y(tǒng)=sin

=sin

的圖象.解后反思將y=sin

化為y=sin

是解題的關(guān)鍵.5.(2015湖南改編,9,5分)將函數(shù)f(x)=sin2x的圖象向右平移φ

個單位后得到函數(shù)g(x)的圖象.若對滿足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=

,則φ=

.答案

解析

g(x)=sin[2(x-φ)]=sin(2x-2φ).∵|f(x)|≤1,|g(x)|≤1,∴|f(x1)-g(x2)|≤2,當且僅當f(x1)=1,g(x2)=-1或f(x1)=-1,g(x2)=1時,滿足|f(x1)-g(x2)|=2.不妨設(shè)A(x1,-1)是函數(shù)f(x)圖象的一個最低點,B(x2,1)是函數(shù)g(x)圖象的一個最高點,于是x1=k1π+

(k1∈Z),x2=k2π+

+φ(k2∈Z),∴|x1-x2|≥

=

.∵φ∈

,∴|x1-x2|≥

-φ.又∵|x1-x2|min=

,∴

-φ=

,即φ=

.評析本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),對邏輯思維能力與數(shù)形結(jié)合能力要求較高,要求考生能

準確地畫圖并理解題意.屬中等難度題.6.(2014遼寧改編,9,5分)將函數(shù)y=3sin

的圖象向右平移

個單位長度,所得圖象對應的函數(shù)在區(qū)間

上單調(diào)遞增.答案

(k∈Z)評析本題主要考查三角函數(shù)圖象變換及正弦函數(shù)性質(zhì),難度不大.解析函數(shù)y=3sin

的圖象向右平移

個單位長度所得圖象對應的函數(shù)為y=3sin

=3sin

.由2kπ-

≤2x-

≤2kπ+

,k∈Z,得該函數(shù)的遞增區(qū)間為

kπ+

,kπ+

(k∈Z).7.(2013湖北理改編,4,5分)將函數(shù)y=

cosx+sinx(x∈R)的圖象向左平移m(m>0)個單位長度后,所得到的圖象關(guān)于y軸對稱,則m的最小值是

.答案

ωx+φ0

π

2πx

Asin(ωx+φ)05

-508.(2015湖北,17,11分)某同學用“五點法”畫函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)

在某一個周期內(nèi)的圖象時,列表并填入了部分數(shù)據(jù),如下表:(1)請將上表數(shù)據(jù)補充完整,并直接寫出函數(shù)f(x)的解析式;(2)將y=f(x)圖象上所有點向左平行移動θ(θ>0)個單位長度,得到y(tǒng)=g(x)的圖象.若y=g(x)圖象的一

個對稱中心為

,求θ的最小值.解析

y=f(x)=

cosx+sinx=2sin

,向左平移m(m>0)個單位長度后得f(x+m)=2sin

,圖象關(guān)于y軸對稱,令x=0,得

=2,從而m+

=2kπ±

,k∈Z,故m=2kπ+

或m=2kπ-

,k∈Z,又m>0,所以mmin=

.解析(1)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù),解得A=5,ω=2,φ=-

.數(shù)據(jù)補全如下表:ωx+φ0

π

2πx

?πAsin(ωx+φ)050-50且函數(shù)表達式為f(x)=5sin

.(2)由(1)知f(x)=5sin

,得g(x)=5sin

.因為y=sinx的對稱中心為(kπ,0),k∈Z.令2x+2θ-

=kπ,k∈Z,解得x=

+

-θ,k∈Z.由于函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于點

中心對稱,令

+

-θ=

,k∈Z,解得θ=

-

,k∈Z.由θ>0可知,當k=1時,θ取得最小值

.1.(2017課標全國Ⅲ文改編,6,5分)函數(shù)f(x)=

sin

+cos

的最大值為

.考點二三角函數(shù)的性質(zhì)及其應用答案

解析∵f(x)=

sin

+cos

=

+

cosx+

sinx=

sinx+

cosx=

×2sin

=

sin

,∴f(x)的最大值為

.一題多解∵cos

=cos

=sin

=sin

,∴f(x)=

sin

,∴f(x)max=

.2.(2017課標全國Ⅱ文,13,5分)函數(shù)f(x)=2cosx+sinx的最大值為

.答案

解析本題主要考查三角函數(shù)的最值.由題意可知f(x)=2cosx+sinx=

sin(x+φ)(tanφ=2),∴f(x)的最大值為

.3.(2017課標全國Ⅱ理,14,5分)函數(shù)f(x)=sin2x+

cosx-

的最大值是

.答案1解析本題主要考查三角函數(shù)的最值.由題意可得f(x)=-cos2x+

cosx+

=-

+1.∵x∈

,∴cosx∈[0,1].∴當cosx=

時,f(x)max=1.4.(2016課標全國Ⅱ理改編,7,5分)若將函數(shù)y=2sin2x的圖象向左平移

個單位長度,則平移后圖象的對稱軸為

.答案

x=

+

(k∈Z)解析將函數(shù)y=2sin2x的圖象向左平移

個單位長度得到函數(shù)y=2sin2

=2sin

的圖象,由2x+

=kπ+

(k∈Z),可得x=

+

(k∈Z).則平移后圖象的對稱軸為x=

+

(k∈Z).易錯警示本題易犯的錯誤是將原函數(shù)的圖象平移后得到函數(shù)y=2sin

的圖象.5.(2017浙江,18,14分)已知函數(shù)f(x)=sin2x-cos2x-2

sinxcosx(x∈R).(1)求f

的值;(2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.解析本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)及其變換等基礎(chǔ)知識,同時考查運算求解能力.(1)由sin

=

,cos

=-

,f

=

-

-2

×

×

,得f

=2.(2)由cos2x=cos2x-sin2x與sin2x=2sinxcosx得f(x)=-cos2x-

sin2x=-2sin

.所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函數(shù)的性質(zhì)得

+2kπ≤2x+

≤

+2kπ,k∈Z,解得

+kπ≤x≤

+kπ,k∈Z.所以,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是

(k∈Z).6.(2015山東,16,12分)設(shè)f(x)=sinxcosx-cos2

.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)在銳角△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若f

=0,a=1,求△ABC面積的最大值.解析(1)由題意知f(x)=

-

=

-

=sin2x-

.由-

+2kπ≤2x≤

+2kπ,k∈Z,可得-

+kπ≤x≤

+kπ,k∈Z;由

+2kπ≤2x≤

+2kπ,k∈Z,可得

+kπ≤x≤

+kπ,k∈Z.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是

(k∈Z);單調(diào)遞減區(qū)間是

(k∈Z).(2)由f

=sinA-

=0,得sinA=

,由題意知A為銳角,所以cosA=

.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得1+

bc=b2+c2≥2bc,即bc≤2+

,且當b=c時等號成立.因此

bcsinA≤

.所以△ABC面積的最大值為

.評析本題考查三角恒等變換,三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及解三角形等基礎(chǔ)知識和基本方法,對

運算能力有較高要求.屬中等難度題.1.(2016課標全國Ⅲ,14,5分)函數(shù)y=sinx-

cosx的圖象可由函數(shù)y=2sinx的圖象至少向右平移

個單位長度得到.C組教師專用題組答案

解析函數(shù)y=sinx-

cosx=2sin

的圖象可由函數(shù)y=2sinx的圖象至少向右平移

個單位長度得到.方法總結(jié)本題首先要將函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的形式再求解,另外要注意圖象

平移的方向.評析本題考查了三角函數(shù)的圖象平移及兩角差的正弦公式的逆用,屬于中檔題.2.(2015福建,19,13分)已知函數(shù)f(x)的圖象是由函數(shù)g(x)=cosx的圖象經(jīng)如下變換得到:先將g(x)圖

象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變),再將所得到的圖象向右平移

個單位長度.(1)求函數(shù)f(x)的解析式,并求其圖象的對稱軸方程;(2)已知關(guān)于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)內(nèi)有兩個不同的解α,β.(i)求實數(shù)m的取值范圍;(ii)證明:cos(α-β)=

-1.解析解法一:(1)將g(x)=cosx的圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)得到y(tǒng)=2

cosx的圖象,再將y=2cosx的圖象向右平移

個單位長度后得到y(tǒng)=2cos

的圖象,故f(x)=2sin

x.從而函數(shù)f(x)=2sinx圖象的對稱軸方程為x=kπ+

(k∈Z).(2)(i)f(x)+g(x)=2sinx+cosx=

=

sin(x+φ)

.依題意知,sin(x+φ)=

在[0,2π)內(nèi)有兩個不同的解α,β,當且僅當

<1,故m的取值范圍是(-

,

).(ii)證明:因為α,β是方程

sin(x+φ)=m在[0,2π)內(nèi)的兩個不同的解,所以sin(α+φ)=

,sin(β+φ)=

.當1≤m<

時,α+β=2

,即α-β=π-2(β+φ);當-

<m<1時,α+β=2

,即α-β=3π-2(β+φ),所以cos(α-β)=-cos[2(β+φ)]=2sin2(β+φ)-1=2

-1=

-1.解法二:(1)同解法一.(2)(i)同解法一.(ii)證明:因為α,β是方程

sin(x+φ)=m在[0,2π)內(nèi)的兩個不同的解,所以sin(α+φ)=

,sin(β+φ)=

.當1≤m<

時,α+β=2

,即α+φ=π-(β+φ);當-

<m<1時,α+β=2

,即α+φ=3π-(β+φ).所以cos(α+φ)=-cos(β+φ).于是cos(α-β)=cos[(α+φ)-(β+φ)]=cos(α+φ)cos(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ)=-cos2(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ)=-

+

=

-1.評析本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力、

抽象概括能力、推理論證能力,考查函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)

形結(jié)合思想.3.(2013福建理,20,14分)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的周期為π,圖象的一個對稱中心為

.將函數(shù)f(x)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),再將所得到的圖象向右平移

個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象.(1)求函數(shù)f(x)與g(x)的解析式;(2)是否存在x0∈

,使得f(x0),g(x0),f(x0)g(x0)按照某種順序成等差數(shù)列?若存在,請確定x0的個數(shù);若不存在,說明理由;(3)求實數(shù)a與正整數(shù)n,使得F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ)內(nèi)恰有2013個零點.解析(1)由函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的周期為π,ω>0,得ω=

=2.又曲線y=f(x)的一個對稱中心為

,φ∈(0,π),故f

=sin

=0,得φ=

,所以f(x)=cos2x.將函數(shù)f(x)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)后可得到y(tǒng)=cosx的圖象,再將y

=cosx的圖象向右平移

個單位長度后得到函數(shù)g(x)=cos

的圖象,所以g(x)=sinx.(2)當x∈

時,

<sinx<

,0<cos2x<

,所以sinx>cos2x>sinxcos2x.問題轉(zhuǎn)化為方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在

內(nèi)是否有解.設(shè)G(x)=sinx+sinxcos2x-2cos2x,x∈

,則G'(x)=cosx+cosxcos2x+2sin2x(2-sinx).因為x∈

,所以G'(x)>0,G(x)在

內(nèi)單調(diào)遞增.又G

=-

<0,G

=

>0,且函數(shù)G(x)的圖象連續(xù)不斷,故可知函數(shù)G(x)在

內(nèi)存在唯一零點x0,即存在唯一的x0∈

滿足題意.(3)依題意得,F(x)=asinx+cos2x,令F(x)=asinx+cos2x=0.當sinx=0,即x=kπ(k∈Z)時,cos2x=1,從而x=kπ(k∈Z)不是方程F(x)=0的解,所以方程F(x)=0等價于

關(guān)于x的方程a=-

,x≠kπ(k∈Z).現(xiàn)研究x∈(0,π)∪(π,2π)時方程a=-

的解的情況.令h(x)=-

,x∈(0,π)∪(π,2π),則問題轉(zhuǎn)化為研究直線y=a與曲線y=h(x),x∈(0,π)∪(π,2π)的交點情況.h'(x)=

,令h'(x)=0,得x=

或x=

.x

h'(x)+0--0+h(x)↗1↘↘-1↗當x變化時,h'(x),h(x)的變化情況如下表:當x>0且x趨近于0時,h(x)趨向于-∞,當x<π且x趨近于π時,h(x)趨向于-∞,當x>π且x趨近于π時,h(x)趨向于+∞,當x<2π且x趨近于2π時,h(x)趨向于+∞.故當a>1時,直線y=a與曲線y=h(x)在(0,π)內(nèi)無交點,在(π,2π)內(nèi)有2個交點;當a<-1時,直線y=a與曲線y=h(x)在(0,π)內(nèi)有2個交點,在(π,2π)內(nèi)無交點;當-1<a<1時,直線y=a與曲線y=h(x)在(0,π)內(nèi)有2個交點,在(π,2π)內(nèi)有2個交點.由函數(shù)h(x)的周期性,可知當a≠±1時,直線y=a與曲線y=h(x)在(0,nπ)內(nèi)總有偶數(shù)個交點,從而不存在正整數(shù)n,使得直線y=a與曲線y=h(x)在(0,nπ)內(nèi)恰有2013個交點;又當a=1或a=-1時,直線y=a與曲線y=h(x)在(0,π)∪(π,2π)內(nèi)有3個交點,由周期性,2013=3×671,所

以依題意得n=671×2=1342.綜上,當a=1,n=1342或a=-1,n=1342時,函數(shù)F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ)內(nèi)恰有2013個零點.填空題(每題5分,共25分)1.(2017江蘇如東高級中學第二次學情調(diào)研,8)函數(shù)y=tan

的單調(diào)增區(qū)間為

.三年模擬A組2015—2017年高考模擬·基礎(chǔ)題組(時間：25分鐘分值：25分)答案

,k∈Z解析由題意得kπ-

<x-

<kπ+

,k∈Z,得kπ-

<x<kπ+

,k∈Z,故答案為

,k∈Z.2.(2017江蘇南通中學高三上學期期中,7)函數(shù)y=2sin

的圖象與y軸最近的對稱軸方程是

.答案

x=-

解析由題意得2x-

=

+kπ(k∈Z)?x=

+

(k∈Z),因此與y軸最近的對稱軸方程是x=-

.3.(2016江蘇揚州中學月考,7)關(guān)于x的方程cos2x+4sinx-a=0有解,則實數(shù)a的取值范圍是

.答案[-4,4]解析由cos2x+4sinx-a=0得a=cos2x+4sinx=-sin2x+4sinx+1=-(sinx-2)2+5,因為-1≤sinx≤1,所以-4≤a≤4,即實數(shù)a的取值范圍是[-4,4].4.(2016江蘇常州武進期中,9)已知函數(shù)f(x)=2sin

,x∈

的圖象與直線y=m的三個交點的橫坐標分別為x1,x2,x3,其中x1<x2<x3,那么x1+2x2+x3的值為

.答案

解析∵0≤x≤

,∴

≤x+

≤

.∴-1≤sin

≤1.要滿足直線y=m與f(x)的圖象有三個交點,需1≤m<2,不妨令m=1,則sin

=

.∴x1=0,x2=

,x3=2π,∴x1+2x2+x3=

.5.(2015江蘇無錫一模,10)設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)+

cos(ωx+φ)

的最小正周期為π,且滿足f(-x)=f(x),則函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為

.答案

(k∈Z)解析

f(x)=sin(ωx+φ)+

cos(ωx+φ)=2sin

,由題意得

=π,∴ω=2.∵f(-x)=f(x),且|φ|<

,∴φ+

=

,φ=

,∴f(x)=2cos2x,由2kπ-π≤2x≤2kπ(k∈Z),得函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為

(k∈Z).一、填空題(每題5分,共15分)1.(2017江蘇如東高級中學第二次學情調(diào)研)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)

的部分圖象如圖所示,現(xiàn)將函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移

個單位后,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,則函數(shù)g(x)的解析式為

.

B組2015—2017年高考模擬·綜合題組(時間：30分鐘分值：35分)答案

g(x)=sin

解析由題圖得A=1,

T=

-

=

π,所以T=π=

,故ω=2,所以sin

=1,結(jié)合|φ|<

,得φ=

,所以f(x)=sin

,將f(x)的圖象向右平移

個單位后得g(x)=sin

=sin

的圖象,故g(x)=sin

.思路分析由圖可知,A=1,

T=

-

=

π,從而得ω,由f

=1,結(jié)合|φ|<

可求得φ,從而得出f(x)的解析式,再利用圖象變換可得函數(shù)g(x)的解析式.2.(2017江蘇泰州中學第一學期期中,10)已知函數(shù)f(x)=

sin