2024-2025學(xué)年山東省青島市高三上冊(cè)12月月考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年山東省青島市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，是偶函?shù)，且對(duì)于任意的，，都有成立，則（

）A． B． C． D．4．已知直線和平面，則下列命題正確的是（

）A．平面內(nèi)不一定存在和直線垂直的直線B．若，則C．若異面且，則D．若，則直線可能兩兩相交且不過同一點(diǎn)5．已知為等差數(shù)列，若，則的值為（

）A． B． C． D．6．已知橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)、，是和的一個(gè)公共點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．7．已知，均為銳角，，則取得最大值時(shí)，的值為（

）A． B． C．2 D．18．函數(shù)，不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列各組向量中，可以作為基底的是（

）A．， B．，C．， D．，10．已知函數(shù)，則（

）A．是的一個(gè)周期 B．是的一條對(duì)稱軸C．的值域?yàn)?D．在上單調(diào)遞減11．已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為，．過的直線交雙曲線的右支于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限．的內(nèi)心為，與軸的交點(diǎn)為，記的內(nèi)切圓的半徑為，的內(nèi)切圓的半徑為，則下列說法正確的有（

）A．若雙曲線漸近線的夾角為，則雙曲線的離心率為B．若，且，則雙曲線的離心率為C．若，，則的取值范圍是D．若直線的斜率為，，則雙曲線的離心率為三、填空題（本大題共3小題）12．命題“，”的否定是．13．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為．14．在三棱錐中，平面平面，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐外接球表面積的最小值為.

四、解答題（本大題共5小題）15．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知．(1)求A；(2)若D是BC邊上一點(diǎn)，且，，求的值．16．已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)是，左、右頂點(diǎn)分別是和．直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上方，且當(dāng)時(shí)，．(1)求橢圓的方程；(2)若直線、的斜率分別是和，求的取值范圍．17．如圖，在圓錐中，為圓錐頂點(diǎn)，為圓錐底面的直徑，為底面圓的圓心，為底面圓周上一點(diǎn)，四邊形為矩形，且，．

(1)若為的中點(diǎn)，求證：平面；(2)若與平面所成角為，求二面角的余弦值．18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記集合，若中有3個(gè)元素，求的取值范圍；(3)是否存在等差數(shù)列，使得對(duì)一切都成立?若存在，寫出通項(xiàng)并證明上式成立；若不存在，說明理由．19．偏導(dǎo)數(shù)在微積分領(lǐng)域中有重要意義.定義：設(shè)二元函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，當(dāng)固定在而在處有改變量時(shí)，相應(yīng)的二元函數(shù)有改變量，如果存在，那么稱此極限為二元函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)（計(jì)算時(shí)相當(dāng)于將視為常數(shù)），記作，若在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是一個(gè)關(guān)于的偏導(dǎo)函數(shù)，它被稱為二元函數(shù)對(duì)的偏導(dǎo)函數(shù)，記作.以上定義同樣適用于三元函數(shù).(1)氣體狀態(tài)方程描述的三個(gè)變量滿足：（是非零常量）.求的值，并說明其為常數(shù).(2)求值：對(duì)的偏導(dǎo)數(shù).(3)將偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)用于包絡(luò)線在金融領(lǐng)域可以發(fā)揮重要價(jià)值.在幾何學(xué)中，某個(gè)平面內(nèi)曲線族的包絡(luò)線是跟該曲線族的每條線都至少有一點(diǎn)相切的一條曲線，例如：曲線族的包絡(luò)線為.不難發(fā)現(xiàn)：對(duì)于任何一個(gè)給定的的值，包絡(luò)線與原曲線的切點(diǎn)的總是對(duì)應(yīng)值在參數(shù)取遍后得到的極值.已知函數(shù)的包絡(luò)線為.（i）求證.（ⅱ）設(shè)的極值點(diǎn)構(gòu)成曲線，求證：當(dāng)時(shí)，與有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).

答案1．【正確答案】A【詳解】由題意可知，所以，則.故選：A2．【正確答案】B【詳解】若，假設(shè)，則由可知，矛盾，所以，這表明條件是必要的；對(duì)，有，，這表明條件不是充分的.所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.3．【正確答案】D【詳解】根據(jù)題意由是偶函數(shù)可得關(guān)于對(duì)稱，又任意的，，都有成立，可得在上單調(diào)遞增；由所以可得，即，可得A錯(cuò)誤；又，即，即B錯(cuò)誤；同理，即，可得C錯(cuò)誤；，即，可得D正確.故選：D4．【正確答案】C【詳解】對(duì)于A，我們要討論平面和直線的關(guān)系，當(dāng)時(shí)，平面內(nèi)一定存在和直線垂直的直線，當(dāng)直線時(shí)，在平面內(nèi)有無數(shù)條直線與直線是異面垂直直線；當(dāng)直線平面時(shí)，在平面內(nèi)有無數(shù)條平行直線與直線相交且垂直；當(dāng)直線與平交但不垂直時(shí)，在平面內(nèi)有無數(shù)條平行直線與直線垂直，故平面內(nèi)一定存在和直線垂直的直線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，一定有或相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖，因?yàn)?，過直線，一定存在平面，使得，，所以，而，，故，因?yàn)楫惷?，所以一定相交，而，，故成立，故C正確；對(duì)于D，如圖，

，，，.∵直線和不平行，相交.設(shè)，則，.又.三條直線相交于同一點(diǎn)，故D錯(cuò)誤，故選：C5．【正確答案】B【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，解得，，，故選.6．【正確答案】D【詳解】如下圖所示：依題意由橢圓定義可得，所以；即；依題意由雙曲線定義可得，所以；即；因此可得；又易知，即可得；因此，而，即滿足，所以；又為的中點(diǎn)，因此.故選：D7．【正確答案】A【詳解】由，兩邊同時(shí)除以得，所以，因?yàn)?，均為銳角，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以取得最大值時(shí)，.故選：A.8．【正確答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，令，則，得為奇函數(shù)，又，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立；所以，得在R上為增函數(shù)，因?yàn)?，所以在R上恒成立，顯然時(shí)滿足；當(dāng)，需滿足，解得，綜上，.故選：D9．【正確答案】BC【詳解】A選項(xiàng)：，與共線，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，與不共線，B正確；C選項(xiàng)：，與不共線，C正確；D選項(xiàng)：，與共線，D錯(cuò)誤；故選：BC.10．【正確答案】BCD【詳解】，圖像如圖所示：由圖像可得，函數(shù)的最小正周期為2π，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；是的一條對(duì)稱軸，故選項(xiàng)B正確，符合題意；的值域?yàn)?，故選項(xiàng)C正確，符合題意；在上單調(diào)遞減，選項(xiàng)D正確，符合題意；故選：BCD.11．【正確答案】BD【詳解】對(duì)于A，若雙曲線漸近線的夾角為，則或，故可得或，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)，則由以及雙曲線定義可得，故，則又，即可得，因此，解得，又AF22可得，即，故雙曲線的離心率為，即B正確；對(duì)于C，如下圖所示：令的內(nèi)切圓切分別為，則，所以，令點(diǎn)，而，因此，解得；又，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，同理可得的橫坐標(biāo)也為，即所在直線方程為；設(shè)直線的傾斜角為，則，在中，，在中，，又，可得漸近線斜率為，且，因?yàn)榫谟抑?，故，即，因此，可知C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由可得,故，而，可得，又直線的斜率為，所以，由余弦定理可得，解得，即則雙曲線的離心率為，可得D正確.故選：BD12．【正確答案】【詳解】命題“”的否定是“”.故答案為.13．【正確答案】【詳解】在橢圓中，，，則，即點(diǎn)、，如圖，為橢圓上任意一點(diǎn)，則，又因?yàn)闉閳A上任意一點(diǎn)，.當(dāng)且僅當(dāng)、、、共線且、在、之間時(shí)等號(hào)成立．所以的最小值為.故答案為.14．【正確答案】【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫妫?且平面平面，平面,所以平面，平面,所以.在△中，因?yàn)?，，∴，，所以以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，過且垂直于平面ABC的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴，，設(shè)△的重心為，則，三棱錐外接球的球心為，則，則有，即則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.設(shè)三棱錐外接球半徑為，表面積為，則所以.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，即，由余弦定理，所以，又，所以；?）因?yàn)?，記，則，因?yàn)?，設(shè)，，在中，，即，在中，，所以，所以，所以，即，在中由余弦定理有，整理得，即，所以，即.16．【正確答案】(1)；(2).【詳解】（1）由橢圓對(duì)稱性知：，即，又，所以，，所以橢圓的方程為；（2）將代入得，設(shè)，，則，，由（1）得，，所以，將式代入上式得，因?yàn)?，，所以，即的取值范圍是；綜上，橢圓C的方程為，的取值范圍是.17．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接，在中，分別為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?，在矩形中，，同理可得平面，又，平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面；?）過點(diǎn)做交于點(diǎn)，連接由題可知平面，且，所以平面則，又，平面，所以平面，∴在平面內(nèi)射影為，則即為與平面所成的角，所以在中，由可知?jiǎng)t，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，過點(diǎn)垂直于平面為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，

設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，所以，所以，因?yàn)槎娼菫殇J二面角，所以二面角的余弦值為.18．【正確答案】(1)(2)(3)存在滿足題意，證明見解析；【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，可得，即;當(dāng)時(shí)，由可得，兩式相減可得，即，所以，因此是以首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，可得.（2）由已知可得，即，令，可得，又，當(dāng)時(shí)，，即，因此時(shí)，單調(diào)遞減；因?yàn)橹杏?個(gè)元素，所以不等式的解有3個(gè)，所以，即的取值范圍為；（3）設(shè)存在等差數(shù)列使得條件成立，則當(dāng)時(shí)，有，所以；當(dāng)時(shí)，有，所以；因此等差數(shù)列的公差為1，可得；證明如下：設(shè)即，所以，兩式相減可得，所以存在等差數(shù)列，滿足題意.19．【正確答案】(1)，說明見解析(2)(3)（i）證明見解析；（ⅱ）證明見解析【詳解】（1）；，；，.，為常數(shù).（2），故.（3）（?。┝睿瑒t.由于在上，故：，①由于取極值，故：，即：，②由①②消去得.下試證：，即證.，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，，故.（ⅱ），令：，令