2024-2025學(xué)年四川省成都市高三上冊(cè)12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年四川省成都市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．一個(gè)容量為10的樣本，其數(shù)據(jù)依次為：9，2，5，10，16，7，18，23，20，3，則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為（

）A．15 B．16 C．17 D．182．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．3．若，則（）A． B． C． D．4．直線被圓截得的最短弦的弦長(zhǎng)為（

）A． B．C． D．5．已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．已知四面體的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若，平面平面，則該球的表面積是（

）A． B． C． D．7．已知直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．8．點(diǎn)是所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且有，直線分別交于點(diǎn)，記的面積分別為，則（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．一口袋中有除顏色外完全相同的3個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中無(wú)放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，記事件A1：第一次取出的是紅球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的兩球同色；事件C：取出的兩球中至少有一個(gè)紅球，則（

）A．事件，為互斥事件 B．事件B，C為獨(dú)立事件C． D．10．下列命題為真命題的是（

）A．已知是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，則雙曲線C的離心率為B．“”在上恒成立的充要條件是“”C．已知函數(shù)的定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，則D．設(shè)，，，則的大小關(guān)系為11．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，對(duì)，滿足，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則B．若函數(shù)在上恰存在個(gè)極值點(diǎn)，則C．函數(shù)在上有四個(gè)零點(diǎn)，則D．若，，則三、填空題（本大題共3小題）12．已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），.13．為進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)校美育育人功能，構(gòu)建德智體美勞全面培養(yǎng)的教育體系，某校開(kāi)設(shè)了音樂(lè)?美術(shù)?書(shū)法三門選修課程.該校某班級(jí)有5名同學(xué)分別選修其中一門課程學(xué)習(xí)，每門課程至少有一位同學(xué)選修，則恰好有2位同學(xué)選修音樂(lè)的概率為.14．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為.四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，在直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，，.

(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.16．在三角形中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.(1)求；(2)若，且，求的取值范圍.17．已知橢圓的離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，且當(dāng)軸時(shí)，.(1)求橢圓的方程；(2)記橢圓的左焦點(diǎn)為，若過(guò)三點(diǎn)的圓的圓心恰好在軸上，求直線的方程.18．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；(2)若存在極大值，求a的取值范圍.19．對(duì)于一個(gè)給定的數(shù)列，令，則數(shù)列稱為數(shù)列的一階和數(shù)列，再令，則數(shù)列是數(shù)列的二階和數(shù)列，以此類推，可得數(shù)列的p階和數(shù)列.(1)若的二階和數(shù)列是等比數(shù)列，且，，，，求；(2)若，求的二階和數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)若是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，是的一階和數(shù)列，且，，求正整數(shù)k的最大值，以及k取最大值時(shí)的公差.

答案1．【正確答案】D【詳解】將這些數(shù)從小到大重新排列后為：2，3，5，7，9，10，16，18，20，23，，則取從小到大排列后的第8個(gè)數(shù)，即該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為18.故選：D.2．【正確答案】B【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和，且，所以，解得，又公差，所以，，所以，故選：B.3．【正確答案】A【詳解】.因，則.故選：A4．【正確答案】C【詳解】設(shè)圓的圓心為點(diǎn)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，圓心坐標(biāo)為，半徑，直線的方程可化為：，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)直線時(shí)，直線截圓的弦長(zhǎng)最小，根據(jù)勾股定理可知：弦長(zhǎng)的最小值.故選：C5．【正確答案】B【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且時(shí)，單調(diào)遞增，則需滿足，解得，即a的范圍是.故選：B.6．【正確答案】C【詳解】過(guò)三角形的中心作平面的垂線，過(guò)三角形的中心作平面的垂線，兩垂線交于點(diǎn)，連接，依據(jù)題中條件可知，為四面體的外接球球心，因?yàn)椋?則,即外接球半徑為，則該球的表面積為，故選：C.7．【正確答案】C【詳解】由題意知，拋物線的準(zhǔn)線為，即，解得，因?yàn)?，所以拋物線的方程為：，其焦點(diǎn)為，又直線，所以直線恒過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)Ax1,y1聯(lián)立方程，兩式相減可得，，設(shè)的中點(diǎn)為，則，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，解得可得，所以點(diǎn)是以為直徑的圓的圓心，由拋物線的定義知，圓的半徑，因?yàn)椋?，解得，則，則.故選：C.8．【正確答案】D【詳解】

由可得，即，設(shè)，因?yàn)槿c(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，將代入可得，即，由于不共線，則，解得，即，，同理，設(shè)，則，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即，又由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式可得，所以故選：D.9．【正確答案】ACD【詳解】第一次取出的球是紅球還是白球兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，它們是互斥的，A正確；由于是紅球有3個(gè)，白球有2個(gè)，事件發(fā)生時(shí)，兩球同為白色或同為紅色，，事件不發(fā)生，則兩球一白一紅，，不獨(dú)立，B錯(cuò)；，C正確；事件發(fā)生后，口袋中有3個(gè)紅球1個(gè)白球，只有從中取出一個(gè)紅球，事件才發(fā)生，所以，D正確．故選：ACD．10．【正確答案】AC【詳解】對(duì)于A，設(shè)，由雙曲線的定義可得，即，在中，由余弦定理可得，可得，所以，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，在上也成立，故B錯(cuò)誤對(duì)于C，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，即的對(duì)稱中心為，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，又，即，所以，所以，故的周期為8，因?yàn)樗裕蔆正確；對(duì)于D，對(duì)取對(duì)數(shù)可得，作差可得，因?yàn)椋?，故D錯(cuò)誤；故選：AC.11．【正確答案】ACD【詳解】由于，則關(guān)于對(duì)稱，又，故是的最小值點(diǎn)，結(jié)合在區(qū)間上單調(diào)，因此和是相鄰的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸，故,則，,故，由于，故，故，對(duì)于A，，當(dāng)，則，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則，解得，則，A正確，如圖：作出函數(shù)的圖象如下：函數(shù)在上恰存在個(gè)極值點(diǎn)，則，故B錯(cuò)誤，令，則，故的圖象與有四個(gè)交點(diǎn)，如圖，則關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于，故，則，故C正確，如圖，作出與的交點(diǎn)，可知：，，，則結(jié)合，則，故，則結(jié)合，則，故，故，則，故，D正確，故選：ACD12．【正確答案】【詳解】由題意可得，所以，所以模長(zhǎng)為，故答案為.13．【正確答案】/【詳解】5名同學(xué)分別選修其中一門課程學(xué)習(xí)，每門課程至少有一位同學(xué)選修，共有種情況.恰好有2位同學(xué)選修音樂(lè)共有.所以恰好有2位同學(xué)選修音樂(lè)的概率.故答案為.14．【正確答案】【詳解】由題設(shè)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上，不合題意；當(dāng)，若，可得或，若時(shí)，在上，，，則，不合題意，若時(shí)，在上，，，則，不合題意，若時(shí)，即，在上，，則，在上，，則，顯然在R上遞增，滿足題設(shè)，綜上，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以目標(biāo)式最大值為.故15．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）由為直三棱柱，得平面，又，以為原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)，由題意可得：，于是，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，顯然，即平面，而平面，所以平面.（2）由（1）可知，平面的一個(gè)法向量為，顯然軸垂直于平面，不妨取其法向量為，設(shè)所求的平面夾角為，則，即平面與平面夾角的余弦值為.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）根據(jù)正弦定理可知：，因?yàn)?，所以，所?（2）由余弦定理可知：，因?yàn)?，所以，，，因?yàn)?，所以，，由正弦定理得：，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以時(shí)，取得最小值，并且，所以的范圍是.17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意得：，得，又當(dāng)時(shí)，，則，所以，即，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)過(guò)三點(diǎn)的圓的圓心為，，又，則，即，又在橢圓上，故，代入上式化簡(jiǎn)得到：，①同理，根據(jù)可以得到：，②由①②可得：是方程的兩個(gè)根，則，設(shè)直線：，聯(lián)立方程：，整理得：，故，解得，所以，所以直線的方程為.18．【正確答案】(1)1(2)【詳解】（1）由題可知的定義域?yàn)?,+∞，當(dāng)時(shí)，，.令，解得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，取極大值，也是最大值，故的最大值為.（2）.令，則.當(dāng)時(shí)，，在0,+∞上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，；，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，得在0,2內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，在上，gx>0，，單調(diào)遞增；在上，gx<0，，單調(diào)遞減，存在極大值.當(dāng)時(shí)，令，解得，（舍去），在上，，單調(diào)遞減；在上，，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，取極小值，也是最小值，故.當(dāng)，即時(shí)，由于當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，在上，必定存在唯一的零點(diǎn).在上，gx>0，，單調(diào)遞增；在，gx<0，，單調(diào)遞減，存在極大值，當(dāng)時(shí)在0,+∞上，，單調(diào)遞增不