高考數(shù)學(xué)模擬大題規(guī)范訓(xùn)練(2)含答案及解析

高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（2）15.如圖，四面體中，是的中點(diǎn)，，（1）求異面直線AB與CD所成角余弦值的大??；（2）求點(diǎn)E到平面ACD的距離.16.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求的最小值．17.11分制乒乓球比賽規(guī)則如下：在一局比賽中，每兩球交換發(fā)球權(quán)，每贏一球得1分，先得11分且至少領(lǐng)先2分者勝，該局比賽結(jié)束：當(dāng)某局比分打成10∶10后，每球交換發(fā)球權(quán)，領(lǐng)先2分者勝，該局比賽結(jié)束現(xiàn)有甲、乙兩人進(jìn)行一場五局三勝、每局11分制的乒乓球比賽，比賽開始前通過拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣來確定誰先發(fā)球假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，各球的比賽結(jié)果相互獨(dú)立，且各局的比賽結(jié)果也相互獨(dú)立．（1）若每局比賽甲獲勝概率，求該場比賽甲獲勝的概率.（2）已知第一局目前比分為10∶10，求（?。┰俅騼蓚€(gè)球甲新增的得分的分布列和均值；（ⅱ）第一局比賽甲獲勝的概率；18.如圖，小明同學(xué)先把一根直尺固定在畫板上面，把一塊三角板的一條直角邊緊靠在直尺邊沿，再取一根細(xì)繩，它的長度與另一直角邊相等，讓細(xì)繩的一端固定在三角板的頂點(diǎn)A處，另一端固定在畫板上點(diǎn)F處，用鉛筆尖扣緊繩子（使兩段細(xì)繩繃直），靠住三角板，然后將三角板沿著直尺上下滑動，這時(shí)筆尖在平面上畫出了圓錐曲線C的一部分圖象.已知細(xì)繩長度為3，經(jīng)測量，當(dāng)筆尖運(yùn)動到點(diǎn)P處，此時(shí)，，.設(shè)直尺邊沿所在直線為a，以過F垂直于直尺的直線為x軸，以過F垂直于a的垂線段的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.（1）求曲線C的方程；（2）斜率為k的直線過點(diǎn)，且與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，已知k的取值范圍為0,2，若，求的范圍.19.定義1進(jìn)位制：進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞?jì)數(shù)和運(yùn)算方便而約定的記數(shù)系統(tǒng)，約定滿二進(jìn)一，就是二進(jìn)制：滿十進(jìn)一，就是十進(jìn)制；滿十二進(jìn)一，就是十二進(jìn)制；滿六十進(jìn)一，就是六十進(jìn)制；等等．也就是說，“滿幾進(jìn)一”就是幾進(jìn)制，幾進(jìn)制的基數(shù)就是幾，一般地，若是一個(gè)大于1的整數(shù)，那么以為基數(shù)的進(jìn)制數(shù)可以表示為一串?dāng)?shù)字符號連寫在一起的形式進(jìn)制的數(shù)也可以表示成不同位上數(shù)字符號與基數(shù)的冪的乘積之和的形式．如．定義2三角形數(shù)：形如，即的數(shù)叫做三角形數(shù)．（1）若是三角形數(shù)，試寫出一個(gè)滿足條件的的值；（2）若是完全平方數(shù)，求的值；（3）已知，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：當(dāng)時(shí)，．

高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（2）15.如圖，四面體中，是的中點(diǎn)，，（1）求異面直線AB與CD所成角余弦值的大?。唬?）求點(diǎn)E到平面ACD的距離.【答案】（1）（2）【解答】【分析】（1）根據(jù)異面直線夾角的定義，結(jié)合中位線性質(zhì)和余弦定理，可得答案；（2）根據(jù)等體積法，結(jié)合三角形面積公式，可得答案.【小問1詳解】取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點(diǎn)知，則直線OE與EM所成的角就是異面直線AB與CD所成的角，在中，，因?yàn)槭侵苯切边匒C上的中線，則，可得，所以異面直線AB與CD所成角的余弦值為.【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為因?yàn)?，即，在中，，可得，且，可得，所以點(diǎn)E到平面ACD的距離為16.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求的最小值．【答案】（1）答案見詳解（2）【解答】【分析】（1）求導(dǎo)后，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，對與分類討論即可得；（2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，即可得解.【小問1詳解】（），當(dāng)時(shí)，由于，所以恒成立，從而在上遞增；當(dāng)時(shí)，，；，，從而在上遞增，在遞減；綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，沒有單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】令，要使恒成立，只要使恒成立，也只要使.，若，，所以恒成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以，解得：，可知的最小值為；若，，所以恒成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在內(nèi)無最大值，且當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，不合題意；綜上所述：的最小值為.17.11分制乒乓球比賽規(guī)則如下：在一局比賽中，每兩球交換發(fā)球權(quán)，每贏一球得1分，先得11分且至少領(lǐng)先2分者勝，該局比賽結(jié)束：當(dāng)某局比分打成10∶10后，每球交換發(fā)球權(quán)，領(lǐng)先2分者勝，該局比賽結(jié)束現(xiàn)有甲、乙兩人進(jìn)行一場五局三勝、每局11分制的乒乓球比賽，比賽開始前通過拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣來確定誰先發(fā)球假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，各球的比賽結(jié)果相互獨(dú)立，且各局的比賽結(jié)果也相互獨(dú)立．（1）若每局比賽甲獲勝的概率，求該場比賽甲獲勝的概率.（2）已知第一局目前比分為10∶10，求（?。┰俅騼蓚€(gè)球甲新增的得分的分布列和均值；（ⅱ）第一局比賽甲獲勝的概率；【答案】（1）（2）（?。┓植剂幸娫斀?，；（ⅱ）【解答】【分析】（1）由五局三勝制的規(guī)則，可知的所有可能取值為，求出對應(yīng)概率相加即可求得甲獲勝的概率為；（2）（?。┮字乃锌赡苋≈禐?，根據(jù)條件概率公式可求得對應(yīng)概率取值可得分布列和均值；（ⅱ）根據(jù)獲勝規(guī)則求出第一局比賽甲獲勝概率的表達(dá)式，解得.【小問1詳解】因?yàn)榧酌烤肢@勝的概率均為，根據(jù)五局三勝制的規(guī)則，設(shè)甲獲勝時(shí)的比賽總局?jǐn)?shù)為，因?yàn)槊烤值谋荣惤Y(jié)果相互獨(dú)立，所以的所有可能取值為，可得；故該場比賽甲獲勝的概率P=PY=3【小問2詳解】（?。┮李}意，的所有可能取值為設(shè)打成后甲先發(fā)球?yàn)槭录瑒t乙先發(fā)球?yàn)槭录?，且，所以P(X=0)=P(A)?P(X=0|A)+P(AP(X=2)=P(A)?P(X=2|A)+P(A所以的分布列為012故的均值為EX=0×（ⅱ）設(shè)第一局比賽甲獲勝事件，則PB|X=0=0,PB|X=1由（?。┲?，PX=0由全概率公式，得P解得PB=218.如圖，小明同學(xué)先把一根直尺固定在畫板上面，把一塊三角板的一條直角邊緊靠在直尺邊沿，再取一根細(xì)繩，它的長度與另一直角邊相等，讓細(xì)繩的一端固定在三角板的頂點(diǎn)A處，另一端固定在畫板上點(diǎn)F處，用鉛筆尖扣緊繩子（使兩段細(xì)繩繃直），靠住三角板，然后將三角板沿著直尺上下滑動，這時(shí)筆尖在平面上畫出了圓錐曲線C的一部分圖象.已知細(xì)繩長度為3，經(jīng)測量，當(dāng)筆尖運(yùn)動到點(diǎn)P處，此時(shí)，，.設(shè)直尺邊沿所在直線為a，以過F垂直于直尺的直線為x軸，以過F垂直于a的垂線段的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.（1）求曲線C的方程；（2）斜率為k的直線過點(diǎn)，且與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，已知k的取值范圍為0,2，若，求的范圍.【答案】（1）（2）【解答】【分析】（1）根據(jù)題意，得到筆尖留下的軌跡為以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，結(jié)合拋物線的定義，即可求得其軌跡方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合共線向量的坐標(biāo)表示，得到，列出函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得出不等式，即可求解.【小問1詳解】由題意，筆尖到點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等，所以筆尖留下的軌跡為以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)其方程為，則，因?yàn)?，，且，可得，由，可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，又由拋物線的準(zhǔn)線方程為，則，解得，所以曲線的軌跡方程為.【小問2詳解】假設(shè)存在，使得，設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，且，則，則，可得，由，可得，即，所以，令，則，所以，且，即，解得或，所以存在，使得成立.【小結(jié)】方法小結(jié)：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.19.定義1進(jìn)位制：進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞?jì)數(shù)和運(yùn)算方便而約定的記數(shù)系統(tǒng)，約定滿二進(jìn)一，就是二進(jìn)制：滿十進(jìn)一，就是十進(jìn)制；滿十二進(jìn)一，就是十二進(jìn)制；滿六十進(jìn)一，就是六十進(jìn)制；等等．也就是說，“滿幾進(jìn)一”就是幾進(jìn)制，幾進(jìn)制的基數(shù)就是幾，一般地，若是一個(gè)大于1的整數(shù)，那么以為基數(shù)的進(jìn)制數(shù)可以表示為一串?dāng)?shù)字符號連寫在一起的形式進(jìn)制的數(shù)也可以表示成不同位上數(shù)字符號與基數(shù)的冪的乘積之和的形式．如．定義2三角形數(shù)：形如，即的數(shù)叫做三角形數(shù)．（1）若是三角形數(shù)，試寫出一個(gè)滿足條件的的值；（2）若是完全平方數(shù)，求的值；（3）已知，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】（1）（2）（3）證明見解答【解答】【分析】（1）根據(jù)9進(jìn)制的概念，先計(jì)算，然后把因數(shù)分解成的形式，觀察可得的值.（2）