2019屆江蘇專用高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何8.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其表面積體積講義文蘇教版

§8.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其表面積、體積基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)1.多面體的結(jié)構(gòu)特征知識(shí)梳理互相平行全等公共頂點(diǎn)平行于底面相似2.旋轉(zhuǎn)體的形成幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸圓柱矩形

所在的直線圓錐直角三角形

所在的直線圓臺(tái)直角梯形

所在的直線球半圓

所在的直線任一邊任一直角邊垂直于底邊的腰直徑3.空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀圖常用

畫法來(lái)畫，其規(guī)則是(1)在空間圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸交于O點(diǎn)，再取z軸，使∠xOz＝

，且∠yOz＝

.(2)畫直觀圖時(shí)把它們畫成對(duì)應(yīng)的x′軸、y′軸和z′軸，它們相交于O′，并使∠x′O′y′＝

，∠x′O′z′＝

，x′軸和y′軸所確定的平面表示水平面.(3)已知圖形中平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成

于x′軸、y′軸或z′軸的線段.(4)已知圖形中平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中

；平行于y軸的線段，

.斜二測(cè)90°90°45°(或135°)90°平行保持原長(zhǎng)度不變長(zhǎng)度為原來(lái)的一半4.柱、錐、臺(tái)和球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝___錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝____Sh臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝

(S上＋S下＋)h球S＝____V＝_____4πR25.常用結(jié)論(1)與體積有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論①一個(gè)組合體的體積等于它的各部分體積的和或差.②底面面積及高都相等的兩個(gè)同類幾何體的體積相等.(2)幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論a.正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R，①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝

；②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則2R＝.b.若長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝.c.正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.(3)斜二測(cè)畫法中的“三變”與“三不變”“三變”“三不變”思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.(

)(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.(

)(3)用斜二測(cè)畫法畫水平放置的∠A時(shí)，若∠A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且∠A＝90°，則在直觀圖中，∠A＝45°.(

)(4)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形.(

)(5)臺(tái)體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之差來(lái)計(jì)算.(

)(6)菱形的直觀圖仍是菱形.(

)×××√√×考點(diǎn)自測(cè)1.(教材改編)下列說(shuō)法正確的是_____.①相等的角在直觀圖中仍然相等；②相等的線段在直觀圖中仍然相等；③正方形的直觀圖是正方形；④若兩條線段平行，則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段仍然平行.答案解析④由直觀圖的畫法規(guī)則知，角度、長(zhǎng)度都有可能改變，而線段的平行性不變.故④正確.2.(教材改編)已知圓錐的表面積等于12πcm2，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為_(kāi)___cm.答案解析2S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm).3.如圖，直觀圖所表示的平面圖形是____.(填序號(hào))①正三角形

②銳角三角形③鈍角三角形

④直角三角形答案解析④由直觀圖中，A′C′∥y′軸，B′C′∥x′軸，還原后原圖AC∥y軸，BC∥x軸.直觀圖還原為平面圖形是直角三角形.故④正確.4.(2016·南通、揚(yáng)州、泰州三模)已知一個(gè)空間幾何體的所有棱長(zhǎng)均為1cm，其表面展開(kāi)圖如圖所示，那么該空間幾何體的體積V＝______cm3.答案解析由表面展開(kāi)圖知該幾何體是一個(gè)正方體與一個(gè)正四棱錐的組合體，所有棱長(zhǎng)均為1，則正四棱錐的高為

，5.用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個(gè)正方形，則原來(lái)的圖形是____.答案解析①平面圖形的直觀圖為正方形，且其邊長(zhǎng)為1，對(duì)角線長(zhǎng)為

，所以原平面圖形為平行四邊形，且位于x軸上的邊長(zhǎng)仍為1，位于y軸上的對(duì)角線長(zhǎng)為題型分類深度剖析題型一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1

給出下列命題：①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；②在四棱柱中，若兩個(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；③存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體；④棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn).其中正確命題的序號(hào)是________.答案解析②③④①不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；②正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；③正確，如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中的三棱錐C1－ABC，四個(gè)面都是直角三角形；④正確，由棱臺(tái)的概念可知.(1)解決本類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，可以根據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在幾何模型中進(jìn)行判斷.(2)解決本類題目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱錐、四棱錐是常用的幾何模型，有些問(wèn)題可以利用它們舉特例解決或者學(xué)會(huì)利用反例對(duì)概念類的命題進(jìn)行辨析.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(1)以下命題：①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；③圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面；④一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái).其中正確命題的個(gè)數(shù)為_(kāi)___.答案解析1命題①錯(cuò)，因?yàn)檫@條邊若是直角三角形的斜邊，則得不到圓錐；命題②錯(cuò)，因?yàn)檫@條腰必須是垂直于兩底的腰；命題③對(duì)；命題④錯(cuò)，必須用平行于圓錐底面的平面截圓錐才可以，故正確的命題個(gè)數(shù)為1.(2)給出下列四個(gè)命題：①有兩個(gè)側(cè)面是矩形的圖形是直棱柱；②側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐；③側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長(zhǎng)方體；④底面為正多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱.其中不正確的命題為_(kāi)_______.答案解析①②③對(duì)于①，平行六面體的兩個(gè)相對(duì)側(cè)面也可能是矩形，故①錯(cuò)；對(duì)于②，對(duì)等腰三角形的腰是否為側(cè)棱未作說(shuō)明(如圖)，故②錯(cuò)；對(duì)于③，若底面不是矩形，則③錯(cuò)；④由線面垂直的判定，側(cè)棱垂直于底面，故④正確.綜上，命題①②③不正確.題型二空間幾何體的直觀圖例2

(1)已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為_(kāi)____.答案解析如圖①②所示的實(shí)際圖形和直觀圖，由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝

，在圖②中作C′D′⊥A′B′于D′，則C′D′＝

.(2)如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，則原圖形是_____.①正方形；

②矩形；③菱形；

④一般的平行四邊形.答案解析③如圖，在原圖形OABC中，應(yīng)有OD＝2O′D′＝2×

＝cm，CD＝C′D′＝2cm.∴OA＝OC，故四邊形OABC是菱形.用斜二測(cè)畫法畫直觀圖的技巧在原圖形中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中與x′軸或y′軸平行，原圖中不與坐標(biāo)軸平行的直線段可以先畫出線段的端點(diǎn)再連線，原圖中的曲線段可以通過(guò)取一些關(guān)鍵點(diǎn)，作出在直觀圖中的相應(yīng)點(diǎn)后，用平滑的曲線連結(jié)而畫出.思維升華跟蹤訓(xùn)練2如圖是水平放置的某個(gè)三角形的直觀圖，D′是△A′B′C′中B′C′邊的中點(diǎn)且A′D′∥y′軸，A′B′，A′D′，A′C′三條線段對(duì)應(yīng)原圖形中的線段AB，AD，AC，那么下列說(shuō)法正確的有____.(填序號(hào))①最長(zhǎng)的是AB，最短的是AC；②最長(zhǎng)的是AC，最短的是AB；③最長(zhǎng)的是AB，最短的是AD；④最長(zhǎng)的是AD，最短的是AC.答案解析③A′D′∥y′軸，根據(jù)斜二測(cè)畫法規(guī)則，在原圖形中應(yīng)有AD⊥BC，又AD為BC邊上的中線，所以△ABC為等腰三角形.AD為BC邊上的高，則有AB，AC相等且最長(zhǎng)，AD最短.題型三求空間幾何體的表面積例3

(1)一個(gè)六棱錐的體積為

，其底面是邊長(zhǎng)為2的正六邊形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為_(kāi)____.答案解析12由題意知該六棱錐為正六棱錐，∴設(shè)正六棱錐的高為h，側(cè)面的斜高為h′.∴h＝1，∴斜高h(yuǎn)′＝

＝2，∴S側(cè)＝6××2×2＝12.(2)(2016·蘇州模擬)如圖，斜三棱柱ABC—A′B′C′中，底面是邊長(zhǎng)為a的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為b，側(cè)棱AA′與底面相鄰兩邊AB與AC都成45°角，求此斜三棱柱的表面積.解答如圖，過(guò)A′作A′D⊥平面ABC于D，過(guò)D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，連結(jié)A′E，A′F，AD.又由題意知A′E⊥AB，A′F⊥AC，得Rt△A′AE≌Rt△A′AF，∴A′E＝A′F，∴DE＝DF，∴AD平分∠BAC，∴BC⊥AD，∴BC⊥AA′，而AA′∥BB′，∴BC⊥BB′，∴四邊形BCC′B′是矩形，∴斜三棱柱的側(cè)面積為2×a×bsin45°＋ab＝(＋1)ab.則由∠A′AE＝∠A′AF，AA′＝AA′，又∵AB＝AC，又∵斜三棱柱的底面積為

，∴斜三棱柱的表面積為(＋1)ab＋

.(1)解決組合體問(wèn)題關(guān)鍵是分清該幾何體是由哪些簡(jiǎn)單的幾何體組成的以及這些簡(jiǎn)單的幾何體的組合情況.(2)在求多面體的側(cè)面積時(shí)，應(yīng)對(duì)每一側(cè)面分別求解后再相加，對(duì)于組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.(3)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和.思維升華跟蹤訓(xùn)練3

一個(gè)正三棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別是3cm和6cm，高是.(1)求三棱臺(tái)的斜高；解答設(shè)O1、O分別為正三棱臺(tái)ABC—A1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如圖所示，則O1O＝

，過(guò)O1作O1D1⊥B1C1，OD⊥BC，則D1D為三棱臺(tái)的斜高；過(guò)D1作D1E⊥AD于E，則D1E＝O1O＝

，則DE＝OD－O1D1＝.在Rt△D1DE中，故三棱臺(tái)的斜高為.(2)求三棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積.解答設(shè)c、c′分別為上、下底的周長(zhǎng)，h′為斜高，故三棱臺(tái)的側(cè)面積為

，表面積為.題型四求簡(jiǎn)單幾何體的體積例4

(2016·江蘇改編)現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P－A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍.若AB＝6m，PO1＝2m，則倉(cāng)庫(kù)的容積為_(kāi)___m3.答案解析312由PO1＝2m，知O1O＝4PO1＝8m.因?yàn)锳1B1＝AB＝6m，所以正四棱錐P－A1B1C1D1的體積正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的體積V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3).所以倉(cāng)庫(kù)的容積V＝V錐＋V柱＝24＋288＝312(m3).空間幾何體體積問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解.(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解.思維升華跟蹤訓(xùn)練4正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為

，D為BC的中點(diǎn)，則三棱錐A－B1DC1的體積為_(kāi)__.答案解析在正△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，1又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB1C1C∩平面ABC＝BC，AD⊥BC，AD?平面ABC，∴AD⊥平面BB1C1C，即AD為三棱錐A－B1DC1底面上的高.題型五與球有關(guān)的切、接問(wèn)題例5

(2016·揚(yáng)州模擬)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為_(kāi)___.答案解析如圖所示，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點(diǎn)M.又AM＝

BC＝

，OM＝

AA1＝6，所以球O的半徑R＝OA＝

引申探究1.已知棱長(zhǎng)為4的正方體，則此正方體外接球和內(nèi)切球的體積各是多少？解答由題意可知，此正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)即為其外接球的直徑，正方體的棱長(zhǎng)即為其內(nèi)切球的直徑.設(shè)該正方體外接球的半徑為R，內(nèi)切球的半徑為r.又正方體的棱長(zhǎng)為4，故其體對(duì)角線長(zhǎng)為

，2.已知棱長(zhǎng)為a的正四面體，則此正四面體的表面積S1與其內(nèi)切球的表面積S2的比值為多少？解答正四面體的表面積為S1＝其內(nèi)切球半徑r為正四面體高的

，因此內(nèi)切球表面積為S2＝4πr2＝

，3.已知側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)都是

的正四棱錐，則其外接球的半徑是多少？解答依題意得，該正四棱錐的底面對(duì)角線的長(zhǎng)為

＝6，高為

＝3，因此底面中心到各頂點(diǎn)的距離均等于3，所以該正四棱錐的外接球的球心即為底面正方形的中心，其外接球的半徑為3.空間幾何體與球接、切問(wèn)題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解.(2)若球面上四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解.思維升華跟蹤訓(xùn)練5正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上.若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，則該球的表面積為_(kāi)___.答案解析如圖，設(shè)球心為O，半徑為r，則在Rt△AOF中，(4－r)2＋()2＝r2，解得r＝

，∴該球的表面積為4πr2＝4π×典例

(2016·鹽城模擬)如圖，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，F(xiàn)C＝4，AE＝5，則此幾何體的體積為_(kāi)____.巧用補(bǔ)形法解決立體幾何問(wèn)題思想與方法系列15解答本題時(shí)可用“補(bǔ)形法”完成.“補(bǔ)形法”是立體幾何中一種常見(jiàn)的重要方法，在解題時(shí)，把幾何體通過(guò)“補(bǔ)形”補(bǔ)成一個(gè)完整的幾何體或置于一個(gè)更熟悉的幾何體中，巧妙地破解空間幾何體的體積等問(wèn)題，常見(jiàn)的補(bǔ)形法有對(duì)稱補(bǔ)形、聯(lián)系補(bǔ)形與還原補(bǔ)形，對(duì)于還原補(bǔ)形，主要涉及臺(tái)體中“還臺(tái)為錐”，將不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體等.思想方法指導(dǎo)答案解析96幾何畫板展示用“補(bǔ)形法”把原幾何體補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V幾何體＝

V三棱柱＝

×S△ABC×AA′＝

×24×8＝96.課時(shí)作業(yè)12345678910111.給出下列命題：①在正方體上任意選擇4個(gè)不共面的頂點(diǎn)，它們可能是正四面體的4個(gè)頂點(diǎn)；②底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；③若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱.其中正確命題的序號(hào)是_____.答案①12132.(2016·連云港模擬)五棱柱中，不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點(diǎn)的連線稱為它的對(duì)角線，那么一個(gè)五棱柱對(duì)角線的條數(shù)為_(kāi)____.答案解析10如圖，在五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，從頂點(diǎn)A出發(fā)的對(duì)角線有兩條：AC1，AD1，同理從B，C，D，E點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線均有兩條，共2×5＝10(條).123456789101112133.用平面α截球O所得截面圓的半徑為3，球心O到平面α的距離為4，則此球的表面積為_(kāi)_____.答案解析100π依題意，設(shè)球半徑為R，滿足R2＝32＋42＝25，∴S球＝4πR2＝100π.123456789101112134.(2016·常州模擬)如圖所示，四邊形A′B′C′D′是一水平放置的平面圖形的斜二測(cè)畫法的直觀圖，在斜二測(cè)直觀圖中，四邊形A′B′C′D′是一直角梯形，A′B′∥C′D′，A′D′⊥C′D′，且B′C′與y′軸平行，若A′B′＝6，D′C′＝4，A′D′＝2，則原平面圖形的面積為_(kāi)_____.答案解析由題意得，直觀圖的面積S直＝

×(4＋6)×2＝10，則原平面圖形的面積S原123456789101112135.(2016·鹽城三模)若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為4π的半圓面，則該圓錐的體積為_(kāi)_____.答案解析由側(cè)面展開(kāi)圖是面積為4π的半圓面，知圓錐的底面半徑為

，高為

，從而圓錐的體積為123456789101112136.(2016·南京模擬)直三棱柱ABC—A1B1C1的各條棱長(zhǎng)均為2，E為棱CC1的中點(diǎn)，則三棱錐A1—B1C1E的體積為_(kāi)___.答案解析由題意得又因?yàn)镋為棱CC1的中點(diǎn)，所以EC1＝1，所以123456789101112137.已知四面體ABCD滿足AB＝CD＝

，AC＝AD＝BC＝BD＝2，則四面體ABCD的外接球的表面積是_____.答案解析7π12345678910111213(圖略)在四面體ABCD中，取線段CD的中點(diǎn)為E，連結(jié)AE，BE.∵AC＝AD＝BC＝BD＝2，∴AE⊥CD，BE⊥CD.在Rt△AED中，CD＝

，∴AE＝.同理BE＝.取AB的中點(diǎn)為F，連結(jié)EF.由AE＝BE，得EF⊥AB.在Rt△EFA中，∵AF＝

AB＝

，AE＝

，∴EF＝1.取EF的中點(diǎn)為O，連結(jié)OA，則OF＝.在Rt△OFA中，OA＝.同理得OA＝OB＝OC＝OD，∴該四面體的外接球的半徑是

，∴外接球的表面積是7π.123456789101112138.如圖所示，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A，B的點(diǎn)，PO垂直于圓O所在的平面，且PO＝OB＝1.則三棱錐P－ABC體積的最大值為_(kāi)__.答案解析VP－ABC＝

PO·S△ABC，當(dāng)△ABC的面積最大時(shí)，三棱錐P－ABC體積達(dá)到最大值.當(dāng)CO⊥AB時(shí)，△ABC的面積最大，最大值為

×2×1＝1，此時(shí)VP－ABC＝

PO·S△ABC＝.123456789101112139.(2016·徐州、連云港、宿遷聯(lián)考)如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥平面AB1C1，AA1＝1，底面△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則此三棱柱的體積為_(kāi)___.答案解析12345678910111213因?yàn)锳A1⊥平面AB1C1，AB1?平面AB1C1，所以AA1⊥AB1，又知AA1＝1，A1B1＝2，所以AB1＝

，同理可得AC1＝

，又知在△AB1C1中，B1C1＝2，所以△AB1C1的B1C1上的高為h＝

，于是三棱錐A—A1B1C1的體積進(jìn)而可得此三棱柱ABC—A1B1C1的體積1234567891011121310.(2015·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ改編)已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB＝90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為_(kāi)____.答案解析144π如圖，要使三棱錐O-ABC即C-OAB的體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C到平面OAB的距離，即三棱錐C-OAB底面OAB上的高最大，其最大值為球O的半徑R，則VO-ABC最大＝VC-OAB最大所以R＝6，得S球O＝4πR2＝4π×62＝144π.1234567891011121311.如圖是一個(gè)以A1B1C1為底面的直三棱柱被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求：(1)該幾何體的體積；解答12345678910111213過(guò)C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分別于A2，B2.由直三棱柱性質(zhì)及∠A1B1C1＝90°可知B2C⊥平面ABB2A2，則＝

×2×2×2＋

××(1＋2)×2×2＝6.12345678910111213(2)截面ABC的面積.解答在△ABC中，1234567891011121312.(2016·全國(guó)丙卷)如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，A