雙曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及練習(xí)題

雙曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及練習(xí)題一、雙曲線的定義1、第一定義：到兩個(gè)定點(diǎn)F1與F2的距離之差的絕對(duì)值等于定長（＜|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡（（為常數(shù)））。這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)。要注意兩點(diǎn)：（1）距離之差的絕對(duì)值。（2）2a＜|F1F2|當(dāng)|MF1|－|MF2|=2a時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)F2當(dāng)|MF1|－|MF2|=－2a時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)F1當(dāng)2a=|F1F2|時(shí)，軌跡是一直線上以F1、F2為端點(diǎn)向外的兩條射線；當(dāng)2a＞|F1F2|二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（，其中||=2c）焦點(diǎn)在x軸上：（a＞0，b＞0）焦點(diǎn)在y軸上：（a＞0，b＞0）（2）與雙曲線共焦點(diǎn)的雙曲線系方程是（3）雙曲線方程也可設(shè)為：三、雙曲線的性質(zhì)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程（焦點(diǎn)在軸）標(biāo)準(zhǔn)方程（焦點(diǎn)在軸）定義第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫焦距。PPPP第二定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離的比是常數(shù)，當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線。定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)（）叫做雙曲線的離心率。PPPPPP范圍，，對(duì)稱軸軸，軸；實(shí)軸長為,虛軸長為對(duì)稱中心原點(diǎn)焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)在實(shí)軸上，；焦距：頂點(diǎn)坐標(biāo)（,0）(,0)(0,,)(0，)離心率1)，，e越大則雙曲線開口的開闊度越大準(zhǔn)線方程準(zhǔn)線垂直于實(shí)軸且在兩頂點(diǎn)的內(nèi)側(cè)；兩準(zhǔn)線間的距離：頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離頂點(diǎn)（）到準(zhǔn)線（）的距離為頂點(diǎn)（）到準(zhǔn)線（）的距離為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離焦點(diǎn)（）到準(zhǔn)線（）的距離為焦點(diǎn)（）到準(zhǔn)線（）的距離為漸近線方程()，和()將右邊的常數(shù)設(shè)為0，即可用解二元二次的方法求出漸近線的解共漸近線的雙曲線系方程（）（）直線和雙曲線的位置雙曲線與直線的位置關(guān)系：利用轉(zhuǎn)化為一元二次方程用判別式確定。二次方程二次項(xiàng)系數(shù)為零直線與漸近線平行。相交弦AB的弦長通徑：與橢圓一樣過雙曲線上一點(diǎn)的切線或利用導(dǎo)數(shù)或利用導(dǎo)數(shù)四、雙曲線的參數(shù)方程：橢圓為五、弦長公式1、直線被雙曲線截得的弦長公式，設(shè)直線與橢圓交于A（x1,y1）B（x2,y2）兩點(diǎn)，則k為直線斜率[提醒]解決直線與橢圓的位置關(guān)系問題時(shí)常利用數(shù)形結(jié)合法、根與系數(shù)的關(guān)系、整體代入、設(shè)而不求的思想方法。2、通徑的定義：過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)，則弦長。3、特別地，焦點(diǎn)弦的弦長的計(jì)算是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解六、焦半徑公式雙曲線（a＞0，b＞0）上有一動(dòng)點(diǎn) 左焦半徑：r=│ex+a│右焦半徑：r=│ex-a│當(dāng)在左支上時(shí),當(dāng)在右支上時(shí),左支上絕對(duì)值加-號(hào)，右支上不用變化雙曲線焦點(diǎn)半徑公式也可用“長加短減”原則：（與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號(hào)計(jì)算，而雙曲線不帶符號(hào)）構(gòu)成滿足注：焦半徑公式是關(guān)于的一次函數(shù)，具有單調(diào)性，當(dāng)在左支端點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)在左支端點(diǎn)時(shí)，七、等軸雙曲線（a＞0，b＞0）當(dāng)時(shí)稱雙曲線為等軸雙曲線1。；2。離心率；3。兩漸近線互相垂直，分別為y=；4。等軸雙曲線的方程，；八、共軛雙曲線以已知.htm"雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線，通常稱它們互為共軛雙曲線。與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：.九、點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系，直線與雙曲線的位置關(guān)系2、直線與雙曲線代數(shù)法：設(shè)直線，雙曲線聯(lián)立解得（1）時(shí)，，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)（左支一個(gè)點(diǎn)右支一個(gè)點(diǎn)）；，，或k不存在時(shí)，直線與雙曲線沒有交點(diǎn)；（2）時(shí)，存在時(shí)，若，，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)；相交若，時(shí)，，直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)；時(shí)，，直線與雙曲線相離，沒有交點(diǎn)；時(shí)，直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)；相切不存在，時(shí)，直線與雙曲線沒有交點(diǎn)；直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)；十、雙曲線與漸近線的關(guān)系十一、雙曲線與切線方程十二、頂點(diǎn)連線斜率十三、面積公式雙曲線上一點(diǎn)P與雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形稱之為雙曲線焦點(diǎn)三角形，面積公式推導(dǎo)：解：在中，設(shè)，，，由余弦定理得圖3F圖3F1xyOPF2∴即，∴=．橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形稱之為橢圓焦點(diǎn)三角形．面積公式推導(dǎo)解：在中，設(shè)，，，由余弦定理得圖1F圖1F1xyOPF2∴即，∴=．十四、(雙曲線中點(diǎn)弦的斜率公式)：設(shè)為雙曲線弦（不平行軸）的中點(diǎn)，則有證明：設(shè)，，則有，兩式相減得：整理得：，即，因?yàn)槭窍业闹悬c(diǎn)，所以，所以橢圓中線弦斜率公式

雙曲線基礎(chǔ)題1．雙曲線2x2－y2＝8的實(shí)軸長是()A．2B．2eq\r(2)C．4D．4eq\r(2)2．設(shè)集合P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)－y2＝1))))，Q＝{(x，y)|x－2y＋1＝0}，記A＝P∩Q，則集合A中元素的個(gè)數(shù)是()A．3B．1C．2D3．雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的焦點(diǎn)到漸近線的距離為()A．2B．3C．4D4．雙曲線eq\f(y2,7)－eq\f(x2,9)＝1的共軛雙曲線的離心率是________．eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(4，－2)，則它的離心率為()A.eq\r(6)B.eq\r(5)C.eq\f(\r(6),2)D.eq\f(\r(5),2)6．設(shè)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1(a>0)的漸近線方程為3x±2y＝0，則a的值為()A．4B．3C．2D7．從eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(其中m，n∈{－1,2,3})所表示的圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)方程中任取一個(gè)，則此方程是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程的概率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(4,7)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)8．雙曲線eq\f(y2,6)－eq\f(x2,3)＝1的漸近線與圓(x－3)2＋y2＝r2(r>0)相切，則r＝()A.eq\r(6)B．3C．4D．6圖K51－19．如圖K51－1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB＝2AD，設(shè)∠DAB＝θ，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，以A、B為焦點(diǎn)且過點(diǎn)D的雙曲線的離心率為e1，以C、D為焦點(diǎn)且過點(diǎn)A的橢圓的離心率為e2，則e1·e2＝________.10．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是________．11．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為y＝eq\r(3)x，它的一個(gè)焦點(diǎn)為F(6,0)，則雙曲線的方程為________．12．(13分)雙曲線C與橢圓eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,36)＝1有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)(eq\r(15)，4)．(1)求雙曲線C的方程；(2)若F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C上，且∠F1PF2＝120°，求△F1PF2的面積．eq\a\vs4\al\co1(難點(diǎn)突破)13．(1)(6分)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1和橢圓eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>0，m>b>0)的離心率互為倒數(shù)，那么以a，b，m為邊長的三角形是()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．銳角三角形或鈍角三角形(2)(6分)已知F1、F2為雙曲線C：x2－y2＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C上，且∠F1PF2＝60°，則|PF1|·|PF2|＝()A．2B．4C．6D

雙曲線綜合訓(xùn)練一、選擇題（本大題共7小題，每小題5分，滿分35分）1．動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)及點(diǎn)的距離之差為，則點(diǎn)的軌跡是（）A．雙曲線B．雙曲線的一支C．兩條射線D．一條射線2．設(shè)雙曲線的半焦距為，兩條準(zhǔn)線間的距離為，且，那么雙曲線的離心率等于（）A．B．C．D．3．過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作垂直于實(shí)軸的弦，是另一焦點(diǎn)，若∠，則雙曲線的離心率等于（）A．B．C．D．4．雙曲線的虛軸長是實(shí)軸長的2倍，則（） A． B． C． D．5．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為該雙曲線在第一象限的點(diǎn)，△PF1F2面積為1，且則該雙曲線的方程為（）A． B．C． D．6．若、為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線的左支上，點(diǎn)在雙曲線的右準(zhǔn)線上，且滿足，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．37．如果方程表示曲線,則下列橢圓中與該雙曲線共焦點(diǎn)的是 （） A． B． C． D．二、填空題：（本大題共3小題，每小題5分，滿分15分）8．雙曲線的漸近線方程為，焦距為，這雙曲線的方程為_______________。9．若曲線表示雙曲線，則的取值范圍是。10．若雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是_________．三、解答題：（本大題共2小題，滿分30分）11.（本小題滿分10分）雙曲線與橢圓有共同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線的漸近線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，求漸近線與橢圓的方程。12．（本小題滿分20分）已知三點(diǎn)P（5，2）、（－6，0）、（6，0）。（1）求以、為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)P、、關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)分別為、、，求以、為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【基礎(chǔ)熱身】1．C[解析]雙曲線方程可化為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1，所以a2＝4，得a＝2，所以2a＝4.故實(shí)軸長為4.2．B[解析]由于直線x－2y＋1＝0與雙曲線eq\f(x2,4)－y2＝1的漸近線y＝eq\f(1,2)x平行，所以直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，所以集合A中只有一個(gè)元素．故選B.3．B[解析]雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)是(5,0)，一條漸近線是3x－4y＝0，由點(diǎn)到直線的距離公式可得d＝eq\f(|3×5－0|,5)＝3.故選B.4.eq\f(4,3)[解析]雙曲線eq\f(y2,7)－eq\f(x2,9)＝1的共軛雙曲線是eq\f(x2,9)－eq\f(y2,7)＝1，所以a＝3，b＝eq\r(7)，所以c＝4，所以離心率e＝eq\f(4,3).【能力提升】5．D[解析]設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，所以其漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，因?yàn)辄c(diǎn)(4，－2)在漸近線上，所以eq\f(b,a)＝eq\f(1,2).根據(jù)c2＝a2＋b2，可得eq\f(c2－a2,a2)＝eq\f(1,4)，解得e2＝eq\f(5,4)，所以e＝eq\f(\r(5),2)，故選D.6．C[解析]根據(jù)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1的漸近線方程得：y＝±eq\f(3,a)x，即ay±3x＝0.又已知雙曲線的漸近線方程為3x±2y＝0且a>0，所以有a＝2，故選C.7．B[解析]若方程表示圓錐曲線，則數(shù)組(m，n)只有7種：(2，－1)，(3，－1)，(－1，－1)，(2,2)，(3,3)，(2,3)，(3,2)，其中后4種對(duì)應(yīng)的方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，所以概率為P＝eq\f(4,7).故選B.8．A[解析]雙曲線的漸近線為y＝±eq\r(2)x，圓心為(3,0)，所以半徑r＝eq\f(|±\r(2)×3－0|,\r(3))＝eq\r(6).故選A.9．1[解析]作DM⊥AB于M，連接BD，設(shè)AB＝2，則DM＝sinθ，在Rt△BMD中，由勾股定理得BD＝eq\r(5－4cosθ)，所以e1＝eq\f(|AB|,||BD|－|AD||)＝eq\f(2,\r(5－4cosθ)－1)，e2＝eq\f(|CD|,|AC|＋|AD|)＝eq\f(2－2cosθ,\r(5－4cosθ)＋1)，所以e1·e2＝1.10．[2，＋∞)[解析]依題意，雙曲線的漸近線中，傾斜角的范圍是[60°，90°)，所以eq\f(b,a)≥tan60°＝eq\r(3)，即b2≥3a2，c2≥4a2，所以e≥2.11.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,27)＝1[解析]eq\f(b,a)＝eq\r(3)，即b＝eq\r(3)a，而c＝6，所以b2＝3a2＝3(36－b2)，得b2＝27，a2＝9，所以雙曲線的方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,27)＝1.12．[解答](1)橢圓的焦點(diǎn)為F1(0，－3)，F(xiàn)2(0,3)．設(shè)雙曲線的方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1，則a2＋b2＝32＝9.①又雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(eq\r(15)，4)，所以eq\f(16,a2)－eq\f(15,b2)＝1，②解①②得a2＝4，b2＝5或a2＝36，b2＝－27(舍去)，所以所求雙曲線C的方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1.(2)由雙曲線C的方程，知a＝2，b＝eq\r(5)，c＝3.設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，則|m－n|＝2a＝4平方得m2－2mn＋n2＝16.①在△F1PF2中，由余弦定理得(2c)2＝m2＋n2－2mncos120°＝m2＋n2＋mn＝36.由①②得mn＝eq\f(20,3)，所以△F1PF2的面積為S＝eq\f(1,2)mnsin120°＝eq\f(5\r(3),3).【難點(diǎn)突破】13．(1)B(2)B[解析](1)依題意有eq\f(\r(a2＋b2),a)·eq\f(\r(m2－b2),m)＝1，化簡整理得a2＋b2＝m2，故選B.(2)在△F1PF2中，由余弦定理得，cos60°＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)，＝eq\f(|PF1|－|PF2|2－|F1F2|2＋2|PF1|·|PF2|,2|PF1|