專題17-任意角、任意角三角函數(shù)及弧度制(原卷版)

專題17任意角、任意角三角函數(shù)及弧度制一、核心體系任意角eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(角的概念\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(正角、負(fù)角、零角,象限角、軸線角)),角的角度與弧度的轉(zhuǎn)換：π＝180°,弧長公式：l＝|α|r,扇形面積公式：S＝\f(1,2)lr＝\f(1,2)|α|r2,任意角的三角函數(shù)的定義\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(y,r)，cosα＝\f(x,r)，tanα＝\f(y,x),符號(hào)規(guī)律,特殊角的三角函數(shù)值))))二、關(guān)鍵能力1．了解任意角的概念(角的定義、分類、終邊相同角)；了解終邊相同的角的意義；了解弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化．2．理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義，會(huì)利用單位圓中的三角函數(shù)線表示任意角的正弦、余弦、正切，熟記特殊角的三角函數(shù)值，并能準(zhǔn)確判斷三角函數(shù)值的符號(hào)．三、教學(xué)建議（1）三角函數(shù)的定義；（2）扇形的面積、弧長及圓心角；（3）在大題中考查三角函數(shù)的定義，主要考查：一是直接利用任意角三角函數(shù)的定義求其三角函數(shù)值；二是根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義確定終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)．四、自主梳理 1．角的概念的推廣（☆☆☆）(1)正角、負(fù)角和零角：一條射線繞頂點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫作正角，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫作負(fù)角;如果射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，那么也把它看成一個(gè)角，叫作零角．(2)象限角：以角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，這樣，角的終邊在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限的角．終邊落在坐標(biāo)軸上的角(軸線角)不屬于任何象限．(3)終邊相同的角：與角α的終邊相同的角的集合為{β|β=k·360°+α，k∈Z}．（4）象限角與軸線角(終邊在坐標(biāo)軸上的角)的集合表示象限角：象限角集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}軸線角：角的終邊的位置集合表示終邊落在x軸的非負(fù)半軸上{α|α＝k·360°，k∈Z}終邊落在x軸的非正半軸上{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}終邊落在y軸的非負(fù)半軸上{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}終邊落在y軸的非正半軸上{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}終邊落在y軸上{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}終邊落在x軸上{α|α＝k·180°，k∈Z}終邊落在坐標(biāo)軸上{α|α＝k·90°，k∈Z}2．角的度量（☆☆☆）(1)1弧度的角：長度等于半徑的圓弧所對的圓心角叫作1弧度的角．(2)弧度制與角度制的關(guān)系：1°=弧度(用分?jǐn)?shù)表示)，1弧度=度(用分?jǐn)?shù)表示)．(3)弧長公式：l=|α|r．(4)扇形面積公式：S=rl=|α|r2．3．任意角的三角函數(shù)的定義（☆☆☆）設(shè)角α的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為P(x，y)(除原點(diǎn))，點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為r(r=)，則sinα=，cosα=，tanα=．4．三角函數(shù)的定義域（☆☆☆）在弧度制下，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義域分別是R，R，．5．三角函數(shù)的符號(hào)規(guī)律（☆☆☆）第一象限全“+”，第二象限正弦“+”，第三象限正切“+”，第四象限余弦“+”．簡稱：一全、二正弦、三切、四余弦．6．三角函數(shù)線（☆☆☆）設(shè)角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交于點(diǎn)P，過P作PM垂直于x軸于M，則點(diǎn)M是點(diǎn)P在x軸上的正射影．由三角函數(shù)的定義知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(cosα，sinα)，其中cosα＝OM，sinα＝MP，單位圓與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，單位圓在A點(diǎn)的切線與α的終邊或其反向延長線相交于點(diǎn)T，則tanα＝AT．我們把有向線段OM、MP、AT叫做α的余弦線、正弦線、正切線．三角函數(shù)線五、高頻考點(diǎn)+重點(diǎn)題型考點(diǎn)一、角的擴(kuò)充與表示已知．則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件例1-2.若α＝－2，則α的終邊在（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限例1-3.下列命題：①鈍角是第二象限的角；②小于的角是銳角；③第一象限的角一定不是負(fù)角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表時(shí)針走過2小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度為；⑥若，則是第四象限角．其中正確的題的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)訓(xùn)練題組一（角的終邊與角的關(guān)系）1．（2021·北京高考真題）若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，寫出一個(gè)符合題意的．訓(xùn)練題組二（象限角）1.若角的終邊與240°角的終邊相同，則角的終邊所在象限是（）A．第二或第四象限 B．第二或第三象限C．第一或第四象限 D．第三或第四象限訓(xùn)練題組三（角的相關(guān)概念辨析）1.設(shè)與終邊相同的角的集合為M，則①；②M中最小正角是；③M中最大負(fù)角是，其中正確的有____________.（選填序號(hào)）考點(diǎn)二、弧長公式扇、形面積公式例2-1.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，當(dāng)t由變化到時(shí)，線段掃過形成圖形的面積等于（）A．2 B． C． D．例2-2.(2022·佛山三模)若圓弧長度等于圓內(nèi)接正三角形的邊長，則其圓心角的弧度數(shù)為()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．3 D．eq\r(3)例2-3.(2022·襄陽模擬)已知扇形的周長為8cm，則該扇形面積的最大值為________cm2．訓(xùn)練題組1.《擲鐵餅者》取材于希臘現(xiàn)實(shí)生活中的體育競技活動(dòng)，刻畫的是一名強(qiáng)健的男子在挪鐵餅的過程中最具有表現(xiàn)力的瞬間.現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的手臂長約為，擲鐵餅者雙手之間的距離約為，“弓”所在圓的半徑約為，則挪鐵餅者的肩寬約為___________.(精確到)2.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積＝（弦矢＋），弧田（如圖）由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，現(xiàn)有圓心角為，半徑等于4米的弧田，按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積約為___________平方米（精確到1平方米，參考數(shù)據(jù)考點(diǎn)三、三角函數(shù)定義例3-1若點(diǎn)在角的終邊上，則（）A． B． C． D．例3-2如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P，Q從點(diǎn)A(1,0)出發(fā)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P按逆時(shí)針方向每秒鐘轉(zhuǎn)eq\f(π,6)弧度，點(diǎn)Q按順時(shí)針方向每秒鐘轉(zhuǎn)eq\f(11π,6)弧度，則P，Q兩點(diǎn)在第2019次相遇時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．訓(xùn)練題組一（定義求三角函數(shù)值）1.（江西高考真題）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，若是角終邊上一點(diǎn)，且，則y=_______.訓(xùn)練題組二（三角函數(shù)線）1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作兩個(gè)銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓相交于P，Q兩點(diǎn)，P，Q的縱坐標(biāo)分別為eq\f(3,5)，eq\f(4,5).求sinα的值；考點(diǎn)四：三角函數(shù)值的符號(hào)判定例4.(2020·全國Ⅱ卷)若α為第四象限角，則()A．cos2α>0 B．cos2α<0C．sin2α>0 D．sin2α<0訓(xùn)練題組1.若，則角是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角2.已知是第二象限角，則（）A． B． C． D．3.已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－2,3] B．(－2,3)C．[－2,3) D．[－2,3]鞏固訓(xùn)練一、單項(xiàng)選擇題1．給出下列四個(gè)命題：①－eq\f(3π,4)是第二象限角；②eq\f(4π,3)是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3 D．42．(2022·福建聯(lián)考)時(shí)鐘的分針在8點(diǎn)到10點(diǎn)20分這段時(shí)間里轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為()A．eq\f(14,3)πB．－eq\f(14,3)πC．eq\f(7,18)π D．－eq\f(7,18)π3．若α是第二象限角，則()A．cos(－α)>0B．taneq\f(α,2)>0C．sin(π＋α)>0 D．cos(π－α)<04．平面直角坐標(biāo)系xOy中，若角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，其終邊上一點(diǎn)P繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)eq\f(π,6)到達(dá)點(diǎn)Q(3,4)的位置，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝()A．－eq\f(3,5)B．eq\f(3,5)C．－eq\f(4,5) D．eq\f(4,5)5．(2022·淄博模擬)sin2·cos3·tan4的值()A．小于0B．大于0C．等于0 D．不存在6．若扇形的面積為eq\f(3π,8)、半徑為1，則扇形的圓心角為()A.eq\f(3π,2)B.eq\f(3π,4) C.eq\f(3π,8) D.eq\f(3π,16)7．已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸，且cosθ＝－eq\f(3,5)，若點(diǎn)M(x,8)是角θ終邊上一點(diǎn)，則x等于()A．－12 B．－10 C．－8 D．－68．已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，y))，則sinα·tanα等于()A．－eq\f(\r(3),3)B．±eq\f(\r(3),3)C．－eq\f(3,2)D．±eq\f(3,2)二、多項(xiàng)選擇題9．關(guān)于角度，下列說法正確的是()A．時(shí)鐘經(jīng)過兩個(gè)小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度是60°B．鈍角大于銳角C．三角形的內(nèi)角必是第一或第二象限角D．若α是第二象限角，則eq\f(α,2)是第一或第三象限角10．(2022·長沙長郡中學(xué)高三模擬)下列條件中，能使α和β的終邊關(guān)于y軸對稱的是()A．α＋β＝540°B．α＋β＝360°C．α＋β＝180° D．α＋β＝90°11．中國傳統(tǒng)折扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn)，一般情況下，折扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形制作而成，設(shè)扇形(如圖)的面積為S1，圓心角為α1，圓面中剩余部分的面積為S2，圓心角為α2，當(dāng)S1與S2的比值為eq\f(\r(5)－1,2)≈0．618(黃金分割比)時(shí)，折扇看上去較為美觀，那么()A．α1≈127．5°B．α1≈137．5°C．α2＝(eq\r(5)－1)π D．eq\f(α1,α2)＝eq\f(\r(5)－1,2)三、填空題12．已知角α＝2kπ－eq\f(π,5)(k∈Z)，若角θ與角α的終邊相同，則y＝eq\f(sinθ,|sinθ|)＋eq\f(cosθ,|cosθ|)＋eq\f(tanθ,|tanθ|)的值為_____．13．在與2010°終邊相同的角中，絕對值最小的角的弧度數(shù)為________．14．在直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，A(eq\r(3)，1)，將點(diǎn)A繞O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到B點(diǎn)，則B點(diǎn)坐標(biāo)為__．15．已知α是第二象限角，P(x，eq\r(5))為其終邊上一點(diǎn)，且cosα＝eq\f(\r(2),4)x，則x＝________．四、解答題16．某單位擬建一個(gè)扇環(huán)面形狀的花壇(如圖所示)，該扇環(huán)面是由以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓弧和延長后通