《函數及函數的合成》課件

函數及函數的合成什么是函數？映射關系函數是一種特殊的對應關系，將一個集合中的元素與另一個集合中的元素一一對應。輸入輸出函數將輸入值（自變量）映射到輸出值（因變量），每個輸入值對應唯一的輸出值。符號表示函數通常用字母表示，例如f(x)，其中x是自變量，f(x)是因變量。函數的表示函數可以用多種方式表示，包括：解析式：用數學公式表示函數，例如y=x^2圖像：用坐標系上的曲線表示函數表格：用表格列出函數的值文字描述：用語言描述函數的對應關系函數的性質定義域函數定義域是指函數可以接受的所有輸入值的集合。值域函數值域是指函數輸出的所有可能值的集合。單調性函數的單調性描述了函數值隨著輸入值變化的趨勢，可以是遞增或遞減。奇偶性函數的奇偶性描述了函數關于原點的對稱性，可以是奇函數或偶函數。函數的基本分類1一次函數一次函數是形如y=kx+b的函數，其中k和b是常數。2二次函數二次函數是形如y=ax^2+bx+c的函數，其中a、b和c是常數。3指數函數指數函數是形如y=a^x的函數，其中a是一個大于0且不等于1的常數。4對數函數對數函數是指數函數的反函數，形如y=log_ax的函數，其中a是一個大于0且不等于1的常數。常用的初等函數指數函數y=a^x(a>0,a≠1)對數函數y=log_ax(a>0,a≠1)冪函數y=x^a(a為實數)反函數定義如果兩個函數f(x)和g(x)滿足f(g(x))=x且g(f(x))=x，則稱g(x)是f(x)的反函數，記作f-1(x)。性質反函數的圖像關于直線y=x對稱。求法將y=f(x)中的x和y交換，并解出y，即得反函數y=f-1(x)。復合函數1定義當一個函數的輸出作為另一個函數的輸入時，就形成了復合函數。2表示復合函數通常用符號f(g(x))或(fog)(x)表示。3性質復合函數的性質與原始函數的性質相關。復合函數的性質可逆性復合函數的逆函數，如果存在，可以用其組成函數的逆函數表示。連續(xù)性如果組成函數都連續(xù)，則復合函數也連續(xù)。可導性如果組成函數都可導，則復合函數也可導。函數的圖像函數的圖像是一種直觀的表示方式，它將函數的輸入值和輸出值對應地表示在坐標系中。通過觀察函數圖像，我們可以直觀地了解函數的性質，例如單調性、奇偶性、周期性等。利用函數的圖像描述函數性質1單調性遞增或遞減2奇偶性關于原點對稱或關于y軸對稱3周期性圖像呈周期性重復4最大值和最小值圖像最高點和最低點函數的平移向上平移將函數圖像向上平移a個單位，則得到函數y=f(x)+a的圖像。向下平移將函數圖像向下平移a個單位，則得到函數y=f(x)-a的圖像。向右平移將函數圖像向右平移a個單位，則得到函數y=f(x-a)的圖像。向左平移將函數圖像向左平移a個單位，則得到函數y=f(x+a)的圖像。函數的伸縮1縱向伸縮將函數圖像沿y軸方向進行伸縮。2橫向伸縮將函數圖像沿x軸方向進行伸縮。函數的對稱關于y軸對稱若函數f(x)的圖像關于y軸對稱，則對于任意實數x，都有f(x)=f(-x)。關于原點對稱若函數f(x)的圖像關于原點對稱，則對于任意實數x，都有f(x)=-f(-x)。函數的奇偶性偶函數對稱于y軸奇函數對稱于原點周期函數定義如果對于任意實數x，都存在一個正數T，使得f(x+T)=f(x)成立，那么函數f(x)就稱為周期函數，T稱為該函數的周期。性質周期函數的圖像在x軸方向上平移T個單位后，與原圖像重合。例子三角函數sinx,cosx,tanx等都是周期函數。指數函數定義形如y=ax(a>0且a≠1)的函數稱為指數函數，其中a為底數，x為指數。性質定義域為全體實數，值域為(0,+∞)當a>1時，函數單調遞增；當0<a<1時，函數單調遞減函數圖像過點(0,1)函數圖像關于y軸對稱對數函數定義如果ax=N(a>0且a≠1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作logaN=x。性質loga1=0logaa=1loga(M×N)=logaM+logaNloga(M÷N)=logaM-logaNlogaMn=n×logaM冪函數定義形如y=x^a(a為常數)的函數稱為冪函數，其中x為自變量，a為冪指數。圖像冪函數的圖像形態(tài)取決于冪指數a的取值，a的不同取值會產生不同的圖像特征。性質冪函數具有多種性質，例如單調性、奇偶性、對稱性等，這些性質可以用來分析和理解冪函數的函數關系。三角函數正弦函數周期函數，表示角度的正弦值余弦函數周期函數，表示角度的余弦值正切函數周期函數，表示角度的正切值反三角函數1定義反三角函數是三角函數的反函數，用于求解三角函數的值對應的角度。2符號反三角函數的符號通常用arcsin、arccos、arctan等表示。3應用反三角函數在物理學、工程學、計算機科學等領域都有廣泛應用。雙曲函數雙曲函數以雙曲線為基礎定義雙曲函數的圖像具有獨特的形狀和性質雙曲函數具有特定的公式和關系雙曲函數的性質雙曲函數的圖像與三角函數的圖像相似，但它們不是周期函數。雙曲函數的圖像可以通過將正弦和余弦函數的圖像進行適當的縮放和平移得到。雙曲函數的定義可以通過指數函數來表示。例如，雙曲正弦函數定義為(e^x-e^-x)/2，雙曲余弦函數定義為(e^x+e^-x)/2。雙曲函數之間存在一些重要的恒等式。例如，cosh^2(x)-sinh^2(x)=1，類似于三角函數中的恒等式sin^2(x)+cos^2(x)=1。函數的極限1定義函數的極限是指當自變量無限接近某一值時，函數值無限接近的另一個值.2重要性極限是微積分的基礎，它幫助我們理解函數在特定點附近的行為，并為導數和積分的定義提供基礎.3應用極限廣泛應用于物理、工程、經濟等領域，用于分析和解決各種問題.函數的連續(xù)性定義如果一個函數在一個點處是連續(xù)的，那么該函數在該點附近的變化是平滑的，沒有突然的跳躍或斷裂。函數在該點的極限值等于該點的函數值。性質連續(xù)函數具有許多重要的性質，例如：介值定理，最大最小值定理等。這些性質在數學分析和實際應用中都非常有用。應用連續(xù)性是許多數學領域的重要概念，例如微積分，微分方程，概率論等。函數的可導性可導性函數在某一點可導，表示該點存在導數。函數在某區(qū)間內可導，表示該區(qū)間內所有點都存在導數?？蓪耘c連續(xù)性若函數在某點可導，則該點必連續(xù)。但若函數在某點連續(xù)，該點不一定可導。導數與切線導數在幾何上表示函數曲線在某一點的切線的斜率。函數可導，意味著其圖像在該點存在切線。導數的幾何意義切線斜率在曲線上某一點處的導數，代表了該點處的切線的斜率。變化率導數反映了函數在某一點的變化速率，即函數值隨自變量的變化率。導數的運算法則和差法則兩個函數的和差的導數等于它們分別導數的和差。積法則兩個函數的積的導數等于第一個函數的導數乘以第二個函數加上第一個函數乘以第二個函數的導數。商法則兩個函數的商的導數等于分子函數的導數乘以分母函數減去分子函數乘以分母函數的導數，再除以分母函數的平方。復合函數的求導鏈式法則復合函數的導數等于外函數對內函數的導數乘以內函數的導數例子例如，求y=sin(x^2)的導數，則外函數是sin(u)內函數是u=x^2因此，y'=cos(u)*2x=2xcos(x^2)應用鏈式法則在求解涉及多個函數嵌套的導數時至關重要高階導數二階導數二階導數表示函數的凹凸性，可以判斷函數的拐點。高階導數高階導數用于研究函數的更深層次的性質，例如函數的極值點