《函數(shù)及函數(shù)的合成》課件

函數(shù)及函數(shù)的合成什么是函數(shù)？映射關(guān)系函數(shù)是一種特殊的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將一個(gè)集合中的元素與另一個(gè)集合中的元素一一對(duì)應(yīng)。輸入輸出函數(shù)將輸入值（自變量）映射到輸出值（因變量），每個(gè)輸入值對(duì)應(yīng)唯一的輸出值。符號(hào)表示函數(shù)通常用字母表示，例如f(x)，其中x是自變量，f(x)是因變量。函數(shù)的表示函數(shù)可以用多種方式表示，包括：解析式：用數(shù)學(xué)公式表示函數(shù)，例如y=x^2圖像：用坐標(biāo)系上的曲線表示函數(shù)表格：用表格列出函數(shù)的值文字描述：用語(yǔ)言描述函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系函數(shù)的性質(zhì)定義域函數(shù)定義域是指函數(shù)可以接受的所有輸入值的集合。值域函數(shù)值域是指函數(shù)輸出的所有可能值的集合。單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性描述了函數(shù)值隨著輸入值變化的趨勢(shì)，可以是遞增或遞減。奇偶性函數(shù)的奇偶性描述了函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱性，可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)。函數(shù)的基本分類1一次函數(shù)一次函數(shù)是形如y=kx+b的函數(shù)，其中k和b是常數(shù)。2二次函數(shù)二次函數(shù)是形如y=ax^2+bx+c的函數(shù)，其中a、b和c是常數(shù)。3指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)是形如y=a^x的函數(shù)，其中a是一個(gè)大于0且不等于1的常數(shù)。4對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，形如y=log_ax的函數(shù)，其中a是一個(gè)大于0且不等于1的常數(shù)。常用的初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=a^x(a>0,a≠1)對(duì)數(shù)函數(shù)y=log_ax(a>0,a≠1)冪函數(shù)y=x^a(a為實(shí)數(shù))反函數(shù)定義如果兩個(gè)函數(shù)f(x)和g(x)滿足f(g(x))=x且g(f(x))=x，則稱g(x)是f(x)的反函數(shù)，記作f-1(x)。性質(zhì)反函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱。求法將y=f(x)中的x和y交換，并解出y，即得反函數(shù)y=f-1(x)。復(fù)合函數(shù)1定義當(dāng)一個(gè)函數(shù)的輸出作為另一個(gè)函數(shù)的輸入時(shí)，就形成了復(fù)合函數(shù)。2表示復(fù)合函數(shù)通常用符號(hào)f(g(x))或(fog)(x)表示。3性質(zhì)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)與原始函數(shù)的性質(zhì)相關(guān)。復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)可逆性復(fù)合函數(shù)的逆函數(shù)，如果存在，可以用其組成函數(shù)的逆函數(shù)表示。連續(xù)性如果組成函數(shù)都連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)也連續(xù)?？蓪?dǎo)性如果組成函數(shù)都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)也可導(dǎo)。函數(shù)的圖像函數(shù)的圖像是一種直觀的表示方式，它將函數(shù)的輸入值和輸出值對(duì)應(yīng)地表示在坐標(biāo)系中。通過(guò)觀察函數(shù)圖像，我們可以直觀地了解函數(shù)的性質(zhì)，例如單調(diào)性、奇偶性、周期性等。利用函數(shù)的圖像描述函數(shù)性質(zhì)1單調(diào)性遞增或遞減2奇偶性關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱或關(guān)于y軸對(duì)稱3周期性圖像呈周期性重復(fù)4最大值和最小值圖像最高點(diǎn)和最低點(diǎn)函數(shù)的平移向上平移將函數(shù)圖像向上平移a個(gè)單位，則得到函數(shù)y=f(x)+a的圖像。向下平移將函數(shù)圖像向下平移a個(gè)單位，則得到函數(shù)y=f(x)-a的圖像。向右平移將函數(shù)圖像向右平移a個(gè)單位，則得到函數(shù)y=f(x-a)的圖像。向左平移將函數(shù)圖像向左平移a個(gè)單位，則得到函數(shù)y=f(x+a)的圖像。函數(shù)的伸縮1縱向伸縮將函數(shù)圖像沿y軸方向進(jìn)行伸縮。2橫向伸縮將函數(shù)圖像沿x軸方向進(jìn)行伸縮。函數(shù)的對(duì)稱關(guān)于y軸對(duì)稱若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有f(x)=f(-x)。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有f(x)=-f(-x)。函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)對(duì)稱于y軸奇函數(shù)對(duì)稱于原點(diǎn)周期函數(shù)定義如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都存在一個(gè)正數(shù)T，使得f(x+T)=f(x)成立，那么函數(shù)f(x)就稱為周期函數(shù)，T稱為該函數(shù)的周期。性質(zhì)周期函數(shù)的圖像在x軸方向上平移T個(gè)單位后，與原圖像重合。例子三角函數(shù)sinx,cosx,tanx等都是周期函數(shù)。指數(shù)函數(shù)定義形如y=ax(a>0且a≠1)的函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)，其中a為底數(shù)，x為指數(shù)。性質(zhì)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，值域?yàn)?0,+∞)當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)(0,1)函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱對(duì)數(shù)函數(shù)定義如果ax=N(a>0且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作logaN=x。性質(zhì)loga1=0logaa=1loga(M×N)=logaM+logaNloga(M÷N)=logaM-logaNlogaMn=n×logaM冪函數(shù)定義形如y=x^a(a為常數(shù))的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x為自變量，a為冪指數(shù)。圖像冪函數(shù)的圖像形態(tài)取決于冪指數(shù)a的取值，a的不同取值會(huì)產(chǎn)生不同的圖像特征。性質(zhì)冪函數(shù)具有多種性質(zhì)，例如單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性等，這些性質(zhì)可以用來(lái)分析和理解冪函數(shù)的函數(shù)關(guān)系。三角函數(shù)正弦函數(shù)周期函數(shù)，表示角度的正弦值余弦函數(shù)周期函數(shù)，表示角度的余弦值正切函數(shù)周期函數(shù)，表示角度的正切值反三角函數(shù)1定義反三角函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù)，用于求解三角函數(shù)的值對(duì)應(yīng)的角度。2符號(hào)反三角函數(shù)的符號(hào)通常用arcsin、arccos、arctan等表示。3應(yīng)用反三角函數(shù)在物理學(xué)、工程學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用。雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)以雙曲線為基礎(chǔ)定義雙曲函數(shù)的圖像具有獨(dú)特的形狀和性質(zhì)雙曲函數(shù)具有特定的公式和關(guān)系雙曲函數(shù)的性質(zhì)雙曲函數(shù)的圖像與三角函數(shù)的圖像相似，但它們不是周期函數(shù)。雙曲函數(shù)的圖像可以通過(guò)將正弦和余弦函數(shù)的圖像進(jìn)行適當(dāng)?shù)目s放和平移得到。雙曲函數(shù)的定義可以通過(guò)指數(shù)函數(shù)來(lái)表示。例如，雙曲正弦函數(shù)定義為(e^x-e^-x)/2，雙曲余弦函數(shù)定義為(e^x+e^-x)/2。雙曲函數(shù)之間存在一些重要的恒等式。例如，cosh^2(x)-sinh^2(x)=1，類似于三角函數(shù)中的恒等式sin^2(x)+cos^2(x)=1。函數(shù)的極限1定義函數(shù)的極限是指當(dāng)自變量無(wú)限接近某一值時(shí)，函數(shù)值無(wú)限接近的另一個(gè)值.2重要性極限是微積分的基礎(chǔ)，它幫助我們理解函數(shù)在特定點(diǎn)附近的行為，并為導(dǎo)數(shù)和積分的定義提供基礎(chǔ).3應(yīng)用極限廣泛應(yīng)用于物理、工程、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域，用于分析和解決各種問(wèn)題.函數(shù)的連續(xù)性定義如果一個(gè)函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)處是連續(xù)的，那么該函數(shù)在該點(diǎn)附近的變化是平滑的，沒(méi)有突然的跳躍或斷裂。函數(shù)在該點(diǎn)的極限值等于該點(diǎn)的函數(shù)值。性質(zhì)連續(xù)函數(shù)具有許多重要的性質(zhì)，例如：介值定理，最大最小值定理等。這些性質(zhì)在數(shù)學(xué)分析和實(shí)際應(yīng)用中都非常有用。應(yīng)用連續(xù)性是許多數(shù)學(xué)領(lǐng)域的重要概念，例如微積分，微分方程，概率論等。函數(shù)的可導(dǎo)性可導(dǎo)性函數(shù)在某一點(diǎn)可導(dǎo)，表示該點(diǎn)存在導(dǎo)數(shù)。函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，表示該區(qū)間內(nèi)所有點(diǎn)都存在導(dǎo)數(shù)。可導(dǎo)性與連續(xù)性若函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，則該點(diǎn)必連續(xù)。但若函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，該點(diǎn)不一定可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)與切線導(dǎo)數(shù)在幾何上表示函數(shù)曲線在某一點(diǎn)的切線的斜率。函數(shù)可導(dǎo)，意味著其圖像在該點(diǎn)存在切線。導(dǎo)數(shù)的幾何意義切線斜率在曲線上某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，代表了該點(diǎn)處的切線的斜率。變化率導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)在某一點(diǎn)的變化速率，即函數(shù)值隨自變量的變化率。導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和差法則兩個(gè)函數(shù)的和差的導(dǎo)數(shù)等于它們分別導(dǎo)數(shù)的和差。積法則兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)加上第一個(gè)函數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。商法則兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)等于分子函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以分母函數(shù)減去分子函數(shù)乘以分母函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再除以分母函數(shù)的平方。復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)鏈?zhǔn)椒▌t復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于外函數(shù)對(duì)內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例子例如，求y=sin(x^2)的導(dǎo)數(shù)，則外函數(shù)是sin(u)內(nèi)函數(shù)是u=x^2因此，y'=cos(u)*2x=2xcos(x^2)應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t在求解涉及多個(gè)函數(shù)嵌套的導(dǎo)數(shù)時(shí)至關(guān)重要高階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)的凹凸性，可以判斷函數(shù)的拐點(diǎn)。高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)用于研究函數(shù)的更深層次的性質(zhì)，例如函數(shù)的極值點(diǎn)