2023年考研數(shù)學(xué)二歷年真題版

2023年全國碩士碩士入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題

一、選擇題：1~8小題，每題4分，共32分。下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一種選項(xiàng)是符合題目規(guī)定的.

[l-cosV^

⑴若函數(shù)/5)=｛一添一在x=。持續(xù)，則

Z?,x<0

(A)ah--(B)ab———(C)ab=0(D)ab=2

22

(2)設(shè)二階可到函數(shù)/(/)滿足/⑴=/(-1)=1,/(0)=-1且f\x)>0,則

(A)￡f(x｝dx>0

(B)

(C)￡f(x)dx>￡f(x)dx

(D)fJ(x)公

J-\Ju

(3)設(shè)數(shù)列｛xj收斂，則

(A)當(dāng)limsinxn=0時(shí)，limxn=0

n->00

(B)當(dāng)linix.(x〃+而J)=()時(shí)，則limx“二0

nYIIn>tXf

(C)當(dāng)+x?)=o,lim=0

n

〃一>oo

(D)當(dāng)lim(x”+sinx”)=()時(shí)，limx“=()

M—><ow—xo

(4)微分方程)，4y'+8y=e2K(]+cos2x)日勺特解可設(shè)為爐二

(A)Ae~x+e2x(Bcos2x+Csin2x)

(B)Axe2'+/'(Bcos2x+Csin2x)

(C)Ae2x+xe”(3cos2x+Csin2x)

(D)Axe2'+xe2'(Bcos2x4-Csin2x)

(5)設(shè)f(x)具有一階偏導(dǎo)數(shù)，且在任意的(x,y),均有"Oj/3'J)則

OxUy

(A)/(O,O)>/(I,1)

(B)/(O,O)</(1,1)

(C)/(O,1)>/(1,O)

(D)/(O,1)</(1,O)

(6)甲乙兩人賽跑，計(jì)時(shí)開始時(shí)，甲在乙前方10(單位:m)處,圖中，實(shí)線表達(dá)甲口勺速度曲線u=匕。)(單位:m/s)

虛線表達(dá)乙的速度曲線u二嶺(。，三塊陰影部分面積H勺數(shù)值依次為10,20,3,計(jì)時(shí)開始后乙追上甲的時(shí)刻記為%(單位:s),

則

(A)/o=10(B)15<r0<20(C)/O=25(D)r()>25

000

(7)設(shè)A為三階矩陣，尸二(?,%，％)為可逆矩陣，使得pTAP=010，則&?,%，%)=

002

(A)%十%

(B)%十2a3

(C)4+%

(D)0+2/

'20O--21()'-10()-

(8)已知矩陣4=021,B=020,C=020,則

_001_001_000

(A)A與C相似，B與C相似

(B)A與C相似，B與C不相似

(C)A與C不相似，B與C相似

(D)A與C不相似，B與C不相似

二、填空題：9~14題，每題4分，共24分.

(9)曲線y=%(1+arcsin2x)的斜漸近線方程為.

'=￡+/確定，則々

(10)設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程＜

/=sinZdx

ln(l+x)

(11)dx

L(1+4

(12)設(shè)函數(shù)廣(x,y)具有一階持續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且〃(x,y)=yeydx+x(1+y)4，f(0,0)0,則f(x,y)=

(13)f'flyf1tanXdx

JoJyx

411

(14)設(shè)矩陣力=12a口勺一種特性向量為1,貝ija=

31-12

三、解答題：15~23小題,共94分。解答應(yīng)寫出文字闡明、證明過程或演算環(huán)節(jié).

(15)(本題滿分10分)

求lim

XTO.

(16)(本題滿分10分)

設(shè)函數(shù)F(u,p)具有2階持續(xù)性偏導(dǎo)數(shù)，y=/(e=Msx卜求關(guān)d2y

x=0

(17)(本題滿分10分)

kk\

求1加￡二In1+—

n)

(18)(本題滿分10分)

已知函數(shù)y(W由方程/+y3-3%+3y-2=0確定，求y(%W、j極值

(19)(本題滿分10分)

/（工）在［0,1］上具有2階導(dǎo)數(shù)，/⑴>0,1呼￡。<0,證明

（1）方程/（x）=0在區(qū)間（0,1）至少存在一種根

（2）方程/（x）+/〃*）+［/'（x）『=0在區(qū)間（0,1）內(nèi)至少存在兩個(gè)不一樣的實(shí)根

（20）（本題滿分II分）

已知平面區(qū)域〃={（X,y）X2+y2<2y},計(jì)算二重積分JJ（x+dxdy

D

（21）（本題滿分11分）

設(shè)）：（x）是區(qū)間（0,g）內(nèi)口勺可導(dǎo)函數(shù)，且），（1）=0,點(diǎn)P是曲線L:y=y（x）上的任意一點(diǎn)，L在點(diǎn)。處的切線與），

軸相交于點(diǎn)（0,匕,），法線與x軸相交于點(diǎn)（乂尸,0）,若Xf,=Yp

,求L上點(diǎn)的坐標(biāo)（工），）滿足R勺方程。

（22）（本題滿分11分）

三階行列式4=（即。2，。3）有3個(gè)不一樣的特性值，且%=。1+2%

（1）證明"A）=2

（2）假如+%+%求方程組Ar=/;即J通解

（23）（本題滿分11分）

設(shè)/（苔,冷為）=2%：-*+2芭9-8X］玉+七在正交變換x=Qy下的原則型為4城+4）胃求a日勺值及

一種正交矩陣Q.

2023年全國碩士碩士入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題

選擇：1~8小題，每題4分，共32分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一種選項(xiàng)是符合規(guī)定的.

(1)設(shè)4=x(cos?-1),a2=Vxln(l+\/x),q=:工+1—1.當(dāng)x—>0,時(shí),以上3個(gè)無窮小量按照從低階

到高階拓排序是

(A)q,%,%.(B)〃2，。3,4?

(C)(D)

2(mx-lJ),zx<,l,則/⑴”種原函數(shù)是

(2)已知函數(shù)/（X）=〈

(x-l)2,X<\.?、U-l)2,x<1.

(A)F(x)=(B)F(x)=\

x(lnx-l),x>1.x(lnx+l)-hx>[.

(1)2,x<l.~、(x-1)2,x<1.

(C)F(x)=(D)F(x)=\

x(lnx+l)+l,x>\.x(lnx-l)+l,x>\.

（3）反常積分①,』嬴Zt,②「工

"dr的斂散性為

（A）①收斂，②收斂.（B）①收斂，②發(fā)散.

（C）①收斂，②收斂.（D）①收斂，②發(fā)散.

（4）設(shè)函數(shù)/（X）在（一8,+8）內(nèi)持續(xù)，求導(dǎo)函數(shù)H勺圖形如圖所示，則

(A)函數(shù)/（工）有2個(gè)極值點(diǎn),由線y=fM有2個(gè)拐點(diǎn).

(B)函數(shù)/（X）有2個(gè)極值點(diǎn),曲線y=fM有3個(gè)拐點(diǎn).

(C)函數(shù)/（x）有3個(gè)極值點(diǎn),曲線y=/（x）有I個(gè)拐點(diǎn).

(D)函數(shù)/（x）有3個(gè)極值點(diǎn),由線y=fM有2個(gè)拐點(diǎn).

（5）設(shè)函數(shù)/a）（i=L2）具有一階持續(xù)導(dǎo)數(shù)，且工（％）＜0（1=1,2）,若兩條曲線

），=￡。）（，=1,2）在點(diǎn)（%,先）處具有公切線＞=以幻，且在該點(diǎn)處曲線y=f（x）的曲率不小于曲線y=￡（x）的曲

率，則在凡的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)，有

(A)((x)?Q(x)?g(%)

(B)f^(x)<fl(x)<g(x)

(C)f}(x)<<f2(x)

(D)f2(x)<gM<f](x)

(6)已知函數(shù)/(x,y)=-^,貝ij

(A)fT=O

(B)￡+f；=0

(C)f-fy=f

(D)fAfy=f

(7)設(shè)A,8是可逆矩陣，且A與8相似，則下列結(jié)論錯(cuò)誤H勺是

(A)與正相似

(B)人”與N相似

(C)4+47與8+8丁相似

(D)4+與相似

(8)設(shè)二次型/(司,工2，工3)=。(八：+年+4)+2工/2+212工3+2*工3"勺正、負(fù)慣性指數(shù)分別為1,2,則

(A)a>1

(B)a<-2

(C)—2<6/<1

(D)a=l與。=—2

二、填空題：9~14小題，每題4分，共24分。

(9)曲線y=-7-+arctan(l+x2)的斜漸近線方程為____________.

l+x~

[[G

(10)極限limr(sin—+2sin—+??+/zsin—)=.

nnn

(ID以)，=/--和),=/為特解的一階北齊次線性微分方程為.

（12）已知函數(shù)/（x）在（70,內(nèi)）上持續(xù)，且/（幻二。+1）2+25/（。山，則當(dāng)〃22時(shí)，/00（0）=.

（13）已知動點(diǎn)P在曲線y=V上運(yùn)動，記坐標(biāo)原點(diǎn)與點(diǎn)p間的距離為/.若點(diǎn)p|]勺橫坐標(biāo)時(shí)間的變化率為常數(shù)%,則

當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動到點(diǎn)（1,1）時(shí)，/對時(shí)間日勺變化率是

a110

（14）設(shè)矩陣-1與0-11等價(jià)，則。=

-1101

解答題：15~23小題，共94分.解答應(yīng)寫出文字闡明、證明過程或演算環(huán)節(jié).

(15)（本題滿分10分）

(16)（本題滿分10分）

=J'|r2-x2|f/f(x>0),求八x)并求/(%)的最小值.

設(shè)函數(shù)/（x）(

(17)（本題滿分10分）

己知函數(shù)z=z(x,y)由方程(x2+y2)z+lnz+2(x+y+1)=0確定，求z=z(x,y)

的極值.

（18）（本題滿分10分）

設(shè)。是由直線y=l,y=x,y=—工圍成的有界區(qū)域，計(jì)算二重積分JJ'二一二廠小6

Dx+y

（19）（本題滿分10分）

已知y（x）=e]%（幻=〃（幻"是二階微分方程（2x-l）y”-（2x+l）y'+2y=0的解,若〃（一l）=e,〃（0）=-1,求

u（x）,并寫出該微分方程的通解。

（20）（本題滿分11分）

設(shè)。是由曲線），=JIZ?（04%K1）與=圍成內(nèi)平面區(qū)域，求。繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體

積和表面積。

(21)(本題滿分11分)

已知/⑶在［0,包］上持續(xù)，在(0,紅)內(nèi)是函數(shù)cosv的J一種原函數(shù)/(0)=0。

222工一34

(I)求在區(qū)間［0,當(dāng)J上的平均值；

(II)證明/(x)在區(qū)間((),半)內(nèi)存在唯一零點(diǎn)。

(22)(本題滿分11分)

'11,0、

設(shè)矩陣4=10P=1,且方程組=無解。

k-2j

N+11

(I)求〃"勺值;

(II)求方程組ArAv=Arj3時(shí)通解。

(23)(本題滿分II分)

(()-11］

已知矩陣A=2-30

、。?；?/p>

(I)求A"

(II)設(shè)3階矩陣3=(%,%，%)滿足82=94。記*°°二(4尸2，兒)，將凡人,月分別表達(dá)為%%，%的線性組

合。

2023年全國碩士碩士入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題

一、選擇題：1?8小題，每題4分，共32分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一種選項(xiàng)符合

題目規(guī)定的，請將所選項(xiàng)前的字母填在等您紙指定位置上.

(1)下列反常積分中收斂的是O

+00|+00?+00|+00

(A)f—j=dx(B)［^-dx(C)f----dx(D)f—dx

\\Jx{X*x\nx*ex

(2)函數(shù)/")=lim(l+2竺)，在(TO,+8)內(nèi)()

―。X

(A)持續(xù)(B)有可去間斷點(diǎn)(C)有跳躍間斷點(diǎn)(D)有無窮間斷點(diǎn)

⑶設(shè)函數(shù)〃幻二|F(?>0,/?>0),若/")在x=O處持續(xù)，則()

0,x<0

(A)a-0>\(B)O<cr-/?<l(C}a-(3>2(D)0<?-^<2

⑷設(shè)函數(shù)/*)在(-oo,+oo)持續(xù)，其二階導(dǎo)函數(shù)/〃(x)的圖形如右圖所示，則曲線y=/(x)的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

(A)0(B)l(C)2(D)3

(5).設(shè)函數(shù)/(u,v)滿足了"+)，,2)二/一),2,則g與g依次是()

xduu=idvu=i

V=)V=1

(A)-,0(B)0,-(C)--,0(D)0,--

2222

(6).設(shè)D是第一象限中曲線2冷，=1,4町，=1與直線)，=.%>二百工圍成的平面區(qū)域，函數(shù)/(%)，)在D上持續(xù)，則

\\f^y)dxdy=()

D

三]

dO/(rcos0,rsinO)dr心1

(A)J4J2^h2^(B)dOjW產(chǎn)f(rcos6,rs\n0)dr

4缶m2〃

￡]￡]

(C)pdO^1^0/(rcos0,rsinO)dr(D)f(rcos6,rsinO)dr

42sin2<74缶ni20

11)(1、

(7).設(shè)矩陣A=12a,b=J，若集合。={1,2},則線性方程組4=/?有無窮多種解H勺充足必要條件為()

4"

J

(A)。任。，△晝C(B)4/C,deO(C)4eO,d任。(D)

(8)設(shè)二次型/(X,電,當(dāng))在正交變換X=下日勺原則形為2y；+y1一y；,其中P=(et,e2,e3),若。=(q,，6)，則

/(3,馬，毛)在正交變換工=尸)'下的原則形為()

(A)：2.y；-y；+￥(B)2y；+y；-貨(C)2y：一代一4(D)2)，；+y；+y；

二、填空題：9?14小題，每題4分，共24分.請將答案寫在為廖紙指定位置上.

=arctantJ2

⑼設(shè)Vc3，則:^V=

3

[y=3t+tdx-r=I

(10)函數(shù)在冗=0處的n階導(dǎo)數(shù)/⑺(0)=

2

(11)設(shè)函數(shù)/(x)持續(xù)，風(fēng)幻=『MX。山，若以1)=1,尹⑴=5,則/⑴=

(12)設(shè)函數(shù)y=y(x)是微分方程):一)；-2)，=0的解，且在x=0處,心)取值3,則y(x);

(13)若函數(shù)z=z(x,y)由方程，+2)小+d2=1確定，則dzko)=

(14)設(shè)3階矩陣A的特性值為2,-2,1,B=A2-A+E,其中E為3階單位矩陣，則行列式忸卜

三、解答題：15?23小題，共94分.請將解答寫在答型紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字闡明、證明過程或演算環(huán)節(jié).

15、(本題滿分10分)

設(shè)函數(shù)/(x)=x+aln(l+x)+加;sinx,g(x)=kx2,若f(x)與g(x)在x->0是等價(jià)無窮小，求時(shí)值

16、(本題滿分10分)

7171

設(shè)A>0,D是由曲線段)，=Asinx(0?xW5)及直線)，=。,工二萬所形成的平面區(qū)域，V,,匕分別表達(dá)D繞X軸

與繞Y軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積，若乂=匕，求A的值。

17、(本題滿分10分)

已知函數(shù)/(x,y)滿足=2(y-l)e\￡(x,0)=(x+l)e\/(0,y)=+2)，,求f(x,y)的極值。

18、(本題滿分10分)

222

計(jì)算二重積分JJx(x+y)dxdy,其中D={(x,y)|x+y<2,y>x\o

19、(本題滿分10分)

已知函數(shù)/(x)=￡yfi+Pdt+J：>K+tdt,求f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

20、(本題滿分II分)

已知高溫物體置于低溫介質(zhì)中，任一時(shí)刻物體溫度對時(shí)間日勺關(guān)系口勺變化與該時(shí)刻物體和介質(zhì)的溫差成正比，現(xiàn)將一初始

溫度為120°CH勺物體在20°。恒溫介質(zhì)中冷卻，30min后該物體溫度降至30°C,若要使物體的溫度繼續(xù)降至21°C,

還需冷卻多長時(shí)間？

21、（本題滿分11分）

已知函數(shù)/（大）在區(qū)間［。,+8）上具有2階導(dǎo)數(shù)，/⑷=0,/'。）>0,設(shè)b>。，曲線y=f（x）在點(diǎn)（b,f（b））處W、j切線與

X軸的交點(diǎn)是（X。,。），證明：a<xQ<bo

22、（本題滿分11分）

710、

設(shè)矩陣A=1a-1,且43=0,（］）求@的侑：（2）若矩陣x滿足X—XA2—AY+AXT二Z,其中Z為3階單

J）1a,

位矩陣，求X。

23、（本題滿分II分）

’02-3、，1-20

設(shè)矩陣A=-13-3,相似于矩陣8=00

V-2a)31

（1）求a,b的值（2）求可逆矩陣P,使尸?A尸為對角矩陣。

2014年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題

一、選擇期;1“8小題,每小題4分，共32分,下列年題齡出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有項(xiàng)符合題

目要求的盤格所選項(xiàng)前的字母城在替弊指定位置上

2

(1)當(dāng)X~0?時(shí)，若ln“Qn2；0，(l-ssx),均是比x離階的無力小，則a的取值范圉是()

(O(1，0①)*)

(A)(2,+8)(B)(1,2)

(2)下列曲線有漸近線的是()

(A)y=3十sinx(B)y=A2+sinx

(0y=x+sin—(D)y=d+sin2x

X

⑶設(shè)函數(shù)式＞)具有2階導(dǎo)致,式力=/(0)(1-?十/(1"，則花區(qū)間［。川上

(A)當(dāng)/Q)NO時(shí),/(x)>g(x)⑻當(dāng)ra)2。時(shí)./w<gw

(C)當(dāng)廣(力之o肝，/W>g(x)①)當(dāng)一⑺20時(shí),/?<g(x)

x=7+74

(4)曲線《、上對應(yīng)干1=1的點(diǎn)處的曲率半徑是()

y=r+4/+l

加710

⑴---⑼---(OIOAA7(D)5^/10

50100

(5)設(shè)函數(shù)/(?=arctan/，若/圻/,("鵬易(：

(A)l⑻士嗎嗎

3

a?

⑹設(shè)函數(shù)〃Q;y)衽有界閉區(qū)域。上連續(xù)，在Q的內(nèi)都具有2階連續(xù)偏導(dǎo)致.旦族足上巴/口

⑷鼠x,y)的員大值和最小值都衽管的邊界上取得

(B)以冗y)峋最大值和最小值都在2?的內(nèi)邰上取得

(C)”(x,y)的最大值在￡)的內(nèi)資取得，最小值在D的邊界上取得

(D)以(x,y)的最小值爸2的內(nèi)然取得，最大值在D的邊界上取用

0a8。

a008

(7)行列式,=

0c0

c00d

(A)(ad-bc^(B)-(ad-bc^

(0a2d2-b2c20)比2-a%?

(8)設(shè)%%,%均為3維向量，則對任意常數(shù)上」,向量組%+尢％，陰+/%線性無關(guān)是向量組

%,%,%線性無關(guān)的()

(A)必要誹充分條件(B)充分非必要條伴

(0充分必要條件0)既非充分也非必要條件

二、填制；?L14小ft年小JB4分I共24分.精將答案寫在?韻?嘟?指定位f匕

((9)r-j―!------dx=_________,

JRx+2x-t-5

(10)設(shè)/(?是周期為4峋可導(dǎo)奇函數(shù)?目/'(?=2(xT),xw[0,2],則/⑺=__________.

7

(11)設(shè)2=2。,丁)是由方程，*+/+/+2=]確定的砥數(shù)，則應(yīng)(門)=?

(12)曲線￡的極坐標(biāo)方程是r=8,則乙花點(diǎn)(r,8)=濘：處的切線的胤角坐標(biāo)方很是

*

(13)一梗長為1的細(xì)棒位干x她的區(qū)間[0,1)匕若其線密度"(X)=T，2X+1,則該細(xì)棒的質(zhì)心

2

坐標(biāo)天=__________?

(14)設(shè)二次型/(4，.,為)=/「-/+2平跖+4x/j的負(fù)慣性指數(shù)是h則a的取值厄圉_________.

三、解答即15~23小題共的分.滑翔融寫在爸譚母指定位置上解答應(yīng)寫出文字說如證

明過程或演第步器.

(15)(本題滿分10分)

求極限lirn

(16)(本爨濡分10分)

已知函數(shù)y=y("滿足微分方程/+/>=.［且必2)=0,求y(x)的極大值與極小

值.

(17)(本題說分10分)

設(shè)平面區(qū)域￡>={(4月|1￡/+F44,了20)20),計(jì)算0d^dy.

(18)(本期滿分10分)設(shè)函數(shù)f(u)具有2階連續(xù)導(dǎo)致，z=f(e'cosy)源足

(⑼體題課分10分)段函數(shù)以力的區(qū)間［ab］上逵續(xù),且/(力簞?wù){(diào)增加，OWg(力VI，

證明:

CI)0<V<x-a,xe［arb］f

CH)/刈Z/dxwf/COgCOdx.

(20)(本期滿分11分)設(shè)函數(shù)/(x)=：；—,xe0,1,定義函數(shù)列

X(x)=/(x)/(x)=/(X(x))，…,ZXx)=/4i(x)),…，記凡是曲線『=/,&),直線X=1

3

及x油所困成平面國形的面積.求極限hmmS；

4T9

⑵）體尊清分11分）已知函效/（KT）滿足里?2（3+1）,自/3》（■AM*2yy

如

求曲線/（x4）-。所困成的圖形優(yōu)通線y-1旋轉(zhuǎn)所成的艇轉(zhuǎn)體的體積

1-23.4、

（22）（本題贏分11分）設(shè)A=0111.后為3階弛位矩庭.

J20與

<1）求方程組Ar?0的一個(gè)基礎(chǔ)好樂;

<11）求滿足心■￡的所有定伸B.

11...1、o…0n

11.10…0

(23)(本題倦分11分)證明n階矩陣...與■相似

??■?■■*

J1...1,0...0

2023年全國碩士碩士入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題

一、選擇題1—8小題.每題4分，共32分.

1設(shè)cosx-1=xsina(x)]a(x^<：,當(dāng)x—>0時(shí),<2(A)()

（A）比x高階的無窮小（B）比x低階的無窮小

（C）與X同階但不等價(jià)無窮小（D）與五等價(jià)無窮小

(

2.已知y=/(戈)是由方程cos?)-lny+x=l確定，貝！jlim〃/--1=()

(A)2(B)1(C)-1(D)-2

sinx,xs[0,7i)

3.設(shè)〃X)=F（.r）=J；/⑺力則（）

2,xe[%,24]

（A）X=4為廠（幻的跳躍間斷點(diǎn).（B）不為尸（幻的可去間斷點(diǎn).

（C）/。）在匕=不持續(xù)但不可導(dǎo).（D）/（處在］=乃可導(dǎo).

------J<x<e

4.設(shè)函數(shù)/(幻二]("一1『,且反常積分「'"(了出收斂，則()

-----；—>x>e

(A)a<-2(B)a>1(C)-2<a<Q(D)0<a<2

5.設(shè)函數(shù)z=2/S，)，其中/可微，則上自+?二()

xyoxdy

22

(A)2yf'(xy)(B)-2yf\xy)(C)-f(xy)(D)—-/g)

xx

6.設(shè)口是圓域。={*,)，)I/+)/?]}的第%象限的部分，記4則()

(A)/,>0(B)Z2>0(C)I3>0(D)/4>0

7.設(shè)A,B,C均為〃階矩陣，若AB=C,且B可逆，則

(A)矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價(jià).

(B)矩陣C的列向量組與矩陣1的列向量組等價(jià).

(C)矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價(jià).

(D)矩陣C的列向量組與矩陣B的列向量組等價(jià).

’1ah「200、

8.矩陣aba與矩陣0b0相似的充足必要條件是

1)100

a3

(A)a=0,/?=2(B)a=0,〃為任意常數(shù)

(C)a=2,Z?=0(D)。=2,〃為任意常數(shù)

二、填空題(本題共6小題，每題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)

(ln(l+x)￥

9.Iim2-------=___________.

x)

10.設(shè)函數(shù)/(幻=157山，則尸/(x)時(shí)反函數(shù)0廣(y)在y=0處時(shí)導(dǎo)數(shù)關(guān)|戶0=

/\

11.設(shè)封閉曲線L的I極坐標(biāo)方程為r=cos39-fwewf，為參數(shù)，則L所圍成的平面圖形的面積為.

I66)

x=arctant

12.曲線卜］,_■對應(yīng)干，=I處的法線方程為_______________.

y=InJ1+廣

13.已知必=/'—*2二），2二^—%2',%=-Ie?'是某個(gè)二階常系數(shù)線性微分方程三個(gè)解，貝IJ滿足

），（（））=（）,y（（））=1方程的?解為.

14.設(shè)力=（4.）是三階非零矩陣，網(wǎng)為其行列式，4為元素為冏代數(shù)余子式，且滿足&+%=o（i"=123）,則

|川=-------------

三、解答題

15.（本題滿分10分）

當(dāng)x-0時(shí)，1-cosxcos2xcos3x與〃犬”是等價(jià)無窮小，求常數(shù)

16.（本題滿分10分）

設(shè)D是由曲線），=火，直線工=>0）及工軸所轉(zhuǎn)成的平面圖形，匕,匕分別是D繞x軸和j軸旋轉(zhuǎn)一周所形成

的立體的體積，若10匕=匕，求。的值.

17.（本題滿分10分）

設(shè)平面區(qū)域n是由曲線K=3y,y=3x/+y=8所圍成，求JJ.，必協(xié),.

D

18.（本題滿分10分）

設(shè)奇函數(shù)/（1）在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且/⑴=1,證明：

（1）存在jw（o,i）,使得尸G）=i；

（2）存在；7G（-U），使得尸s）+r⑺=L

19.（本題滿分10分）

求曲線V一冷，+）,3=i（x>0,y>0）上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長距離和最短距離.

20.（本題滿分II）

設(shè)函數(shù)/（x）=Inx+—

x

⑴求/（外的最小值;

⑵設(shè)數(shù)列卜“｝滿足lnx“+—匚<1,證明極限limx“存在，并求此極限.

21.(本題滿分11)

設(shè)曲線L的方程為y=-x2-ilnx[\<x<e).

(1)求L的弧長.

(2)設(shè)D是由曲線L,直線x=1,x=e及x軸所圍成的平面圖形，求D的形心的橫坐標(biāo).

22.本題滿分11分)

(?Q、(0]、

設(shè)人=,8=,問當(dāng)。力為何值時(shí)，存在矩陣C,使得4C—C4=B,并求出所有矩陣C.

U°JUb)

23(本題滿分11分)

設(shè)二次型/(和工2，X3)=2(。內(nèi)+。212+。3工3)2+(仇再+。工2+、3%3)2.記。二要，6二仇?

(1)證明二次型/對應(yīng)時(shí)矩陣為2aar+郎丁、

(2)若以夕正交且為單位向量，證明/在正交變換下的原則形為2)，：+尺.

2023年全國碩士碩士入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題

一、選擇題：1?8小題，每題4分，共32分,下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一種選項(xiàng)符合題目規(guī)定的,請將所選項(xiàng)前的字母

填在箱購紙指定位置上.

⑴曲線)，=與匕的漸近線條數(shù)()

X-1

(A)0(B)1(C)2(D)3

⑵設(shè)函數(shù)/(x)=(er-l)(/-2)(泮-〃)，其中〃為正整數(shù)，則/(0)=()

(A)(―1尸(〃—1)!(B)(-1)7/7-1)!(C)(—l)f!(D)(—1)”〃！

⑶設(shè)。〃>0(〃=1,2,3),Sn=ai+a2+a3++an,則數(shù)列｛§”｝有界是數(shù)列｛%｝收斂價(jià)J

)

(A)充足必要條件(B)充足非必要條件

(C)必要非充足條件①)非充足也非必要

(4)設(shè)Ik=『Jsinxdx,(k=1,2,3),則有

()

(A)7,</2</3(B)/3</2<(C)/2</3<4(D)/3

(5)設(shè)函數(shù)/*,)，)為可微函數(shù)，且對任意的乂)，均有義烏>0,萼之<0,則使不等式/(X,?)>/(々，%)成立日勺一種

oxay

充足條件是

()

(A)X|>w，y<)，2(B)(C)-V,<^y\<y2(D)A-<Xj,y(>y2

(6)設(shè)區(qū)域。由曲線)，二sinx,x=±￥,j=l圍成，則JJ(./)，-lXUdy=

2八

()

(A)71(B)2(D)?)

，其中djgq為任意常數(shù)，則下列向量組線性有關(guān)的為

()

(B)aj,a,,a4(C)apa3,a4(D)a2,a3,a4

」00、

(8)設(shè)A為3階矩陣，。為3階可逆矩陣，且P-〃P=010.若f=(四,電,%),。=(%+%,(129)則Q"Q=

<002,

()

q()()、(10()、00、’200、

(A)()20(B)010(C)010①)020

、00\)1°。2,J)02,X001/

二、填空題：9?14小題，每題4分，共24分.請將答案寫在答斷紙指定位置上.

⑼設(shè)尸y(x)是由方程f—)，+1=樂?所確定的隱函數(shù)，則4?仁0=.

(111、

(10)limn---p+…+F~r=

…11+n-2+nn~+n-)

S.\\dz2%

(11)設(shè)z=/[lnx+])其中函數(shù)〃“)可微，則x獲+y-加=

(12)微分方程?dr+(x-3/)dy=0滿足條件義曰=1的解為)，=.

(13)曲線y=冗~+x(x<0)上曲率為的J點(diǎn)的坐標(biāo)是.

(14)設(shè)A為3階矩陣，|A|=3,A”為A伴隨矩陣，若互換A的第1行與第2行得矩陣8,則忸4卜.

三、解答題：15?23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字闡明、證明過程或演算環(huán)節(jié).

(15)(本題滿分10分)

,、I+xI

已如函數(shù)/(x)=--------------,記a=Hm/(x),

sinxxs°

⑴求。的值；

(U)若X-0時(shí)，/(另一。與丁是同階無窮小，求常數(shù)AM值.

(16)(本題滿分10分)

■d+V

求函數(shù)/(x,y)=xe2的I極值.

(17)(本題滿分12分)

過(0,1)點(diǎn)作曲線L)，=1皿的切線，切點(diǎn)為A,又L與x軸交于4點(diǎn),區(qū)域。由L與直線圍成,求區(qū)域。口勺面積及

。繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體口勺體積.

(18)(本題滿分10分)

計(jì)算二重積分Jjx)db,其中區(qū)域D為曲線xl+cos/Owew^)與極軸圍成.

(19)(本題滿分1()分)

己知函數(shù)f(幻滿足方程f\x)+f\x)-2/(幻=0及/7x)+f(x)=2e\

(I)求/(x)的I體現(xiàn)式；

(H)求曲線)，=f(x2)dt口勺拐點(diǎn).

(20)(本題滿分10分)

14-rx

證明x\n——-+cosx>14---

\-x2

(21)(本題滿分10分)

⑴證明方程^+工向+…+工=1的整數(shù))，在區(qū)間內(nèi)有且僅有一種實(shí)根;

(II)記⑴中的實(shí)根為4,證明limx”存在，并求此極限.

〃一＞8

(22)(本題滿分11分)

1a00)(r

010cT

設(shè)八，ft=

00a0

a00JM

(I)計(jì)算行列式|A|；

(II)當(dāng)實(shí)數(shù)。為何值時(shí)，方程組=Q有無窮多解，并求其通解.

(23)(本題滿分11分)

(io/

011/、T/r、

已知”二一1o。，二次型"x,々,思)='(4"卜的秩為2,

(I)求實(shí)數(shù)。歐J值；

(ID求正交變換x=Qy將/化為原則形.

2023年全國碩士碩士入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題

(A)選擇題：1?8小題，每題4分，共32分。下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一種選項(xiàng)是符合題目規(guī)定的，請將所

選項(xiàng)前的字母填在管段級指定位置上。

(1)已知當(dāng)X-0時(shí)，函數(shù)/(x)=3sinx—sin3x與c?是等價(jià)無窮小，則()

<A)4=1,。=4(B)k=\^c=-A

(C)k=3,c=4(D)k=3,c=-4

(2)設(shè)函數(shù)/*)在尢=()處可導(dǎo)，且/(())=(),則()

x->0

(A)-2/70)(B)-/'(0)(C)/'(O)(D)0

⑶函數(shù)/(x)=ln|(x—l)(x—2)(工一3)|日勺駐點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

(A)0(B)1(C)2(D)3

(4)微分方程'〃-">=6〃+/「(7>0)的特解形式為()

(A)〃(*+e")(B)ax(eZv+e~^)

(C)力(D)x2(ae^+be~Zx)

(5)設(shè)函數(shù)/(x),g(x)均有二階持續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿足f(0)>0,g(0)<0,廣(0)=g'(0)=0則函數(shù)z=f(x)g(y)在

點(diǎn)(0,0)處獲得極小值的I一種充足條件是()

(A)/〃(())<(),g"(0)>()(B)/〃(())<(),8"(())<()

(C)/”(0)>0,g〃(0)>0(D)廣(0)>0,g〃(0)<0

nn

(6)設(shè)/=，lnsin戈右，J=J4Incotx^r,K=j^lncos.xzZr,則/,J,KW、J大小關(guān)系為()

(A)I<J<K(B)I<K<J

(C)J<1<K(D)K<J<1

00、

(7)設(shè)4為3階矩陣，將A時(shí)第2列加到第1列得矩陣％,冉互換4日勺第2行與第3行得單位矩陣。記《=110

(001

」00、

6=00,則A=()

N1

l(D)PP1

(A)P、P2(B)P；P2(C)P?P\2]

(8)設(shè)A=(2，%，%)是4階矩陣，父為A的伴隨矩陣。若(1,0,1,0),是方程組At=0