北京西城161中學(xué)2024年全國高三模擬考一全國I卷數(shù)學(xué)試題

北京西城161中學(xué)2023年全國高三模擬考(一）全國I卷數(shù)學(xué)試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在原點附近的部分圖象大概是（）A． B．C． D．2．已知為一條直線，為兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則3．已知函數(shù)，下列結(jié)論不正確的是（）A．的圖像關(guān)于點中心對稱 B．既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)C．的圖像關(guān)于直線對稱 D．的最大值是4．已知焦點為的拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點，點在拋物線上，則當(dāng)取得最大值時，直線的方程為（）A．或 B．或 C．或 D．5．如圖是2017年第一季度五省GDP情況圖，則下列陳述中不正確的是（）A．2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江?。瓸．與去年同期相比，2017年第一季度的GDP總量實現(xiàn)了增長．C．2017年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個D．去年同期河南省的GDP總量不超過4000億元．6．下列函數(shù)中既關(guān)于直線對稱，又在區(qū)間上為增函數(shù)的是()A．. B．C． D．7．一個組合體的三視圖如圖所示（圖中網(wǎng)格小正方形的邊長為1），則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．8．若復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．9．已知曲線且過定點，若且，則的最小值為（）.A． B．9 C．5 D．10．已知關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個根，，且，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是①函數(shù)的最小正周期為；②函數(shù)的圖象是軸對稱圖形；③函數(shù)的極大值為；④函數(shù)的最小值為．A．①③ B．②④C．②③ D．②③④12．函數(shù)的最小正周期是，則其圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)的一條對稱軸是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．執(zhí)行如圖所示的偽代碼，若輸出的y的值為13，則輸入的x的值是_______.14．已知數(shù)列滿足對任意，，則數(shù)列的通項公式__________.15．的展開式中，若的奇數(shù)次冪的項的系數(shù)之和為32，則________．16．如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別是，，則_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．18．（12分）在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為（1）求曲線與極軸所在直線圍成圖形的面積；（2）設(shè)曲線與曲線交于，兩點，求.19．（12分）在等比數(shù)列中，已知，.設(shè)數(shù)列的前n項和為，且，（，）.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）是否存在等差數(shù)列，使得對任意，都有？若存在，求出所有符合題意的等差數(shù)列；若不存在，請說明理由.20．（12分）某單位準(zhǔn)備購買三臺設(shè)備，型號分別為已知這三臺設(shè)備均使用同一種易耗品，提供設(shè)備的商家規(guī)定：可以在購買設(shè)備的同時購買該易耗品，每件易耗品的價格為100元，也可以在設(shè)備使用過程中，隨時單獨購買易耗品，每件易耗品的價格為200元.為了決策在購買設(shè)備時應(yīng)購買的易耗品的件數(shù).該單位調(diào)查了這三種型號的設(shè)備各60臺，調(diào)査每臺設(shè)備在一個月中使用的易耗品的件數(shù)，并得到統(tǒng)計表如下所示.每臺設(shè)備一個月中使用的易耗品的件數(shù)678型號A30300頻數(shù)型號B203010型號C04515將調(diào)查的每種型號的設(shè)備的頻率視為概率，各臺設(shè)備在易耗品的使用上相互獨立.（1）求該單位一個月中三臺設(shè)備使用的易耗品總數(shù)超過21件的概率；（2）以該單位一個月購買易耗品所需總費用的期望值為決策依據(jù)，該單位在購買設(shè)備時應(yīng)同時購買20件還是21件易耗品？21．（12分）已知函數(shù)．（1）若，求的取值范圍；（2）若，對，不等式恒成立，求的取值范圍．22．（10分）已知函數(shù).（1）求證：當(dāng)時，；（2）若對任意存在和使成立，求實數(shù)的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

分析函數(shù)的奇偶性，以及該函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值符號，結(jié)合排除法可得出正確選項.【詳解】令，可得，即函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，，則函數(shù)為奇函數(shù)，排除C、D選項；當(dāng)時，，，則，排除B選項.故選：A.【點睛】本題考查利用函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，一般要分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點以及函數(shù)值符號，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.2．D【解析】A.若，則或，故A錯誤；B.若，則或故B錯誤；C.若，則或，或與相交；D.若，則，正確.故選D.3．D【解析】

通過三角函數(shù)的對稱性以及周期性，函數(shù)的最值判斷選項的正誤即可得到結(jié)果．【詳解】解：，正確；，為奇函數(shù)，周期函數(shù)，正確；，正確；D：，令，則，，，，則時，或時，即在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減；且，，，故D錯誤．故選：．【點睛】本題考查三角函數(shù)周期性和對稱性的判斷，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)最值，屬于中檔題．4．A【解析】

過作與準(zhǔn)線垂直，垂足為，利用拋物線的定義可得，要使最大，則應(yīng)最大，此時與拋物線相切，再用判別式或?qū)?shù)計算即可.【詳解】過作與準(zhǔn)線垂直，垂足為，，則當(dāng)取得最大值時，最大，此時與拋物線相切，易知此時直線的斜率存在，設(shè)切線方程為，則.則，則直線的方程為.故選：A.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，涉及到拋物線的定義，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.5．C【解析】

利用圖表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析即可求解.【詳解】對于A選項：2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分別是：江蘇、遼寧、山東、河南、浙江，故A正確；對于B選項：與去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP均有不同的增長，所以其總量也實現(xiàn)了增長，故B正確；對于C選項：2017年第一季度GDP總量由高到低排位分別是：江蘇、山東、浙江、河南、遼寧，2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分別是：江蘇、遼寧、山東、河南、浙江，均居同一位的省有2個，故C錯誤；對于D選項：去年同期河南省的GDP總量，故D正確.故選：C.【點睛】本題考查了圖表分析，學(xué)生的分析能力，推理能力，屬于基礎(chǔ)題.6．C【解析】

根據(jù)函數(shù)的對稱性和單調(diào)性的特點，利用排除法，即可得出答案.【詳解】A中，當(dāng)時，，所以不關(guān)于直線對稱，則錯誤；B中，，所以在區(qū)間上為減函數(shù)，則錯誤；D中，，而，則，所以不關(guān)于直線對稱，則錯誤；故選：C.【點睛】本題考查函數(shù)基本性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的對稱性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.7．C【解析】

根據(jù)組合幾何體的三視圖還原出幾何體，幾何體是圓柱中挖去一個三棱柱，從而解得幾何體的體積.【詳解】由幾何體的三視圖可得，幾何體的結(jié)構(gòu)是在一個底面半徑為1的圓、高為2的圓柱中挖去一個底面腰長為的等腰直角三角形、高為2的棱柱，故此幾何體的體積為圓柱的體積減去三棱柱的體積，即，故選C.【點睛】本題考查了幾何體的三視圖問題、組合幾何體的體積問題，解題的關(guān)鍵是要能由三視圖還原出組合幾何體，然后根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)求出其體積.8．B【解析】

由題意得,,求解即可.【詳解】因為,所以.故選:B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.9．A【解析】

根據(jù)指數(shù)型函數(shù)所過的定點，確定，再根據(jù)條件，利用基本不等式求的最小值.【詳解】定點為,，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即時取得最小值.故選：A【點睛】本題考查指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，以及基本不等式求最值，意在考查轉(zhuǎn)化與變形，基本計算能力，屬于基礎(chǔ)題型.10．C【解析】

先利用三角恒等變換將題中的方程化簡，構(gòu)造新的函數(shù)，將方程的解的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，畫出函數(shù)圖象，再結(jié)合，解得的取值范圍.【詳解】由題化簡得，，作出的圖象，又由易知．故選：C.【點睛】本題考查了三角恒等變換，方程的根的問題，利用數(shù)形結(jié)合法，求得范圍.屬于中檔題.11．D【解析】

因為，所以①不正確；因為，所以，，所以，所以函數(shù)的圖象是軸對稱圖形，②正確；易知函數(shù)的最小正周期為，因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以只需研究函數(shù)在上的極大值與最小值即可．當(dāng)時，，且，令，得，可知函數(shù)在處取得極大值為，③正確；因為，所以，所以函數(shù)的最小值為，④正確．故選D．12．D【解析】

由三角函數(shù)的周期可得，由函數(shù)圖像的變換可得，平移后得到函數(shù)解析式為，再求其對稱軸方程即可.【詳解】解：函數(shù)的最小正周期是，則函數(shù)，經(jīng)過平移后得到函數(shù)解析式為，由，得，當(dāng)時，.故選D.【點睛】本題考查了正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)及函數(shù)圖像的平移變換，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．8【解析】

根據(jù)偽代碼逆向運算求得結(jié)果.【詳解】輸入，若，則，不合題意若，則，滿足題意本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查算法中的語言，屬于基礎(chǔ)題.14．【解析】

利用累加法求得數(shù)列的通項公式，由此求得的通項公式.【詳解】由題，所以故答案為：【點睛】本小題主要考查累加法求數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題.15．【解析】試題分析：由已知得，故的展開式中x的奇數(shù)次冪項分別為，，，，，其系數(shù)之和為，解得．考點：二項式定理．16．【解析】試題分析：由坐標(biāo)系可知考點：復(fù)數(shù)運算三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．(1)(2)【解析】

（1）先利用等比數(shù)列的性質(zhì)，可分別求出的值，從而可求出數(shù)列的通項公式；（2）利用錯位相減求和法可求出數(shù)列的前項和．【詳解】解：（1）由是遞增等比數(shù)列，，聯(lián)立，解得或，因為數(shù)列是遞增數(shù)列，所以只有符合題意，則，結(jié)合可得，∴數(shù)列的通項公式：；（2）由，∴；∴；那么，①則，②將②﹣①得：．【點睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了等比數(shù)列的通項公式，考查了利用錯位相減法求數(shù)列的前項和.18．（1）；（2）【解析】

（1）利用互化公式，將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，得出曲線與極軸所在直線圍成的圖形是一個半徑為1的圓周及一個兩直角邊分別為1與的直角三角形，即可求出面積；（2）聯(lián)立方程組，分別求出和的坐標(biāo)，即可求出.【詳解】解：（1）由于的極坐標(biāo)方程為，根據(jù)互化公式得，曲線的直角坐標(biāo)方程為：當(dāng)時，，當(dāng)時，，則曲線與極軸所在直線圍成的圖形，是一個半徑為1的圓周及一個兩直角邊分別為1與的直角三角形，∴圍成圖形的面積.（2）由得，其直角坐標(biāo)為，化直角坐標(biāo)方程為，化直角坐標(biāo)方程為，∴，∴.【點睛】本題考查利用互化公式將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，以及聯(lián)立方程組求交點坐標(biāo)，考查計算能力.19．（1）（2）見解析（3）存在唯一的等差數(shù)列，其通項公式為，滿足題設(shè)【解析】

（1）由，可得公比，即得；（2）由（1）和可得數(shù)列的遞推公式，即可知結(jié)果為常數(shù)，即得證；（3）由（2）可得數(shù)列的通項公式，，設(shè)出等差數(shù)列，再根據(jù)不等關(guān)系來算出的首項和公差即可.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因為，，所以，解得.所以數(shù)列的通項公式為：.（2）由（1）得，當(dāng)，時，可得①，②②①得，，則有，即，，.因為，由①得，，所以，所以，.所以數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列.（3）由（2）得，所以，.假設(shè)存在等差數(shù)列，其通項，使得對任意，都有，即對任意，都有.③首先證明滿足③的.若不然，，則，或.（i）若，則當(dāng)，時，，這與矛盾.（ii）若，則當(dāng)，時，.而，，所以.故，這與矛盾.所以.其次證明：當(dāng)時，.因為，所以在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，.所以當(dāng)，時，.再次證明.（iii）若時，則當(dāng)，，，，這與③矛盾.（iv）若時，同（i）可得矛盾.所以.當(dāng)時，因為，，所以對任意，都有.所以，.綜上，存在唯一的等差數(shù)列，其通項公式為，滿足題設(shè).【點睛】本題考查求等比數(shù)列通項公式，證明等差數(shù)列，以及數(shù)列中的探索性問題，是一道數(shù)列綜合題，考查學(xué)生的分析，推理能力.20．（1）（2）應(yīng)該購買21件易耗品【解析】

（1）由統(tǒng)計表中數(shù)據(jù)可得型號分別為在一個月使用易耗品的件數(shù)為6,7,8時的概率,設(shè)該單位三臺設(shè)備一個月中使用易耗品的件數(shù)總數(shù)為X,則,利用獨立事件概率公式進(jìn)而求解即可；（2）由題可得X所有可能的取值為,即可求得對應(yīng)的概率,再分別討論該單位在購買設(shè)備時應(yīng)同時購買20件易耗品和21件易耗品時總費用的可能取值及期望,即可分析求解.【詳解】（1）由題中的表格可知A型號的設(shè)備一個月使用易耗品的件數(shù)為6和7的頻率均為；B型號的設(shè)備一個月使用易耗品的件數(shù)為6,7,8的頻率分別為；C型號的設(shè)備一個月使用易耗品的件數(shù)為7和8的頻率分別為；設(shè)該單位一個月中三臺設(shè)備使用易耗品的件數(shù)分別為,則,,,設(shè)該單位三臺設(shè)備一個月中使用易耗品的件數(shù)總數(shù)為X,則而,,故,即該單位一個月中三臺設(shè)備使用的易耗品總數(shù)超過21件的概率為.（2）以題意知,X所有可能的取值為；；；由（1）知,,若該單位在購買設(shè)備的同時購買了20件易耗品,設(shè)該單位一個月中購買易耗品所需的總費用為元,則的所有可能取值為,；；；；；若該單位在肋買設(shè)備的同時購買了21件易耗品,設(shè)該單位一個月中購買易耗品所需的總費用為元,則的所有可能取值為,；；；；,所以該單位在購買設(shè)備時應(yīng)該購買21件易耗品【點睛】本題考查獨立事件的概率,考查離散型隨機變量的分布列和期望,考查數(shù)據(jù)處理能力.21．（1）；（2）.【解析】