2014年數(shù)學高考題分類解析考點24 數(shù)列求和及綜合應用

高考試題分類解析②當n為奇數(shù)時：綜上：11.(2014·江西高考文科·T17)已知數(shù)列的前n項和.(1)求數(shù)列的通項公式.(2)證明:對任意的n>1,都有m∈N*,使得a1,an,am成等比數(shù)列.【解題指南】(1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)解決.(2)a1,an,am成等比數(shù)列,轉化為.【解析】(1)當n=1時a1=S1=1;當n≥2時an=Sn-Sn-1=3n-2,對n=1也滿足,所以的通項公式為an=3n-2;(2)由(1)得a1=1,an=3n-2,am=3m-2,要使a1,an,am成等比數(shù)列,需要,所以(3n-2)2=3m-2,整理得m=3n2-4n+2∈N*,所以對任意n>1,都有m∈N*使得成立,即a1,an,am成等比數(shù)列.12.(2014·江西高考理科·T17)已知首項都是1的兩個數(shù)列{an}{bn}(bn≠0,n∈N*),滿足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.(1)令cn=,求數(shù)列{cn}的通項公式.(2)若bn=3n+1,求數(shù)列{an}的前n項和Sn.【解題指南】(1)將等式兩端同時除以bnbn+1即可求解.(2)由(1)及bn=3n+1可得數(shù)列{an}的通項公式,分析通項公式的特征利用錯位相減法求Sn.【解析】(1)因為bn≠0,所以由anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,得,即,所以cn+1-cn=2,所以{cn}是以為首項,2為公差的等差數(shù)列,所以cn=1+(n-1)×2=2n-1.(2)因為bn=3n+1,cn=2n-1.所以an=cnbn=(2n-1)3n+1.所以Sn=1×32+3×33+5×34+…+(2n-1)3n+1,3Sn=1×33+3×34+…+(2n-3)3n+1+(2n-1)3n+2,作差得:-2Sn=32+2(33+34+…+3n+1)-(2n-1)3n+2=-［18+2(n-1)3n+2］,所以Sn=9+(n-1)3n+2.13.（2014·安徽高考文科·Ｔ18）數(shù)列滿足證明：數(shù)列是等差數(shù)列；設，求數(shù)列的前項和【解題提示】利用等差數(shù)列的定義、錯位相消法分別求解?！窘馕觥?1)由已知可得，所以是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列。（2）由（1）得，所以,從而，將以上兩式聯(lián)立可得==所以14.(2014·新課標全國卷Ⅱ高考理科數(shù)學·T17)(本小題滿分12分)已知數(shù)列滿足a1=1,an+1=3an+1.(1)證明是等比數(shù)列,并求的通項公式.(2)證明:++…+<.【解題提示】(1)將an+1=3an+1進行配湊,得“an+1+”與“an+”的關系,得證,然后求得{an}的通項公式.(2)求得的通項公式,然后證得不等式.【解析】(1)因為a1=1,an+1=3an+1,n∈N*.所以an+1+=3an+1+=3.所以是首項為a1+=,公比為3的等比數(shù)列.所以an+=,所以an=.(2)=.=1,當n>1時,=<.所以++…+<1+++…+==<.所以,++…+<.n∈N*.15.（2014·四川高考理科·Ｔ19）設等差數(shù)列的公差為，點在函數(shù)的圖象上（）．（1）若，點在函數(shù)的圖象上，求數(shù)列的前項和；（2）若，函數(shù)的圖象在點處的切線在軸上的截距為，求數(shù)列的前項和.【解題提示】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念，等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式和前n項和、導數(shù)的幾何意義等基礎知識，考查運算求解能力.【解析】（1）點在函數(shù)的圖象上，所以，又等差數(shù)列的公差為，所以，因為點在函數(shù)的圖象上，所以，所以，又，所以．（2）由函數(shù)的圖象在點處的切線方程為所以切線在軸上的截距為，從而，故從而，，所以故.16.（2014·四川高考文科·Ｔ19）設等差數(shù)列的公差為，點在函數(shù)的圖象上（）．（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，函數(shù)的圖象在點處的切線在軸上的截距為，求數(shù)列的前項和．【解題提示】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念，等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式和前n項和、導數(shù)的幾何意義等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力.【解析】（1）點在函數(shù)的圖象上，所以，又等差數(shù)列的公差為，當時，，所以，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列．（2）由函數(shù)的圖象在點處的切線方程為所以切線在軸上的截距為，從而，故，所以，從而，，，于是，，所以.所以.17.（2014·重慶高考文科·Ｔ16）已知是首項為公差為的等差數(shù)列，表示的前項和.(1)求及(2)設是首項為的等比數(shù)列，公比滿足求的通項公式及其前項和【解題