高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.4.1曲邊梯形的面積與定積分講義新人教B版選修

曲邊梯形面積與定積分

教學(xué)目標(biāo)1.知識與技能：了解求簡單曲邊梯形（軸上方）的面積的一般求法（即“分割以直代曲作和逼近”），在“以直代曲”方案比較中建構(gòu)出定積分的概念，初步理解定積分的幾何意義，能利用定積分求曲邊梯形的面積.

2.過程與方法：在問題解決（求曲邊梯形）的過程中，體會(huì)“以直代曲”的方法和極限的思想；在方案比較中建構(gòu)數(shù)學(xué)知識；初步體會(huì)數(shù)學(xué)的思維過程，學(xué)會(huì)猜想、比較、驗(yàn)證.

3.情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探求知識、合作交流的意識，培養(yǎng)借助信息技

術(shù)探究數(shù)學(xué)問題的意識，感受數(shù)學(xué)思維的全過程，改善數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信念.圖1(1)(2)(3)一、情境創(chuàng)設(shè)已知某物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)經(jīng)過ts后的運(yùn)動(dòng)速度為v(t)（單位：m/s），v(t)的圖象如圖1中曲線所示，試求內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)的總路程.由物理學(xué)知識可知，s即對應(yīng)曲線下方的“曲邊梯形”的面積.因此，問題即轉(zhuǎn)化為求如何求一曲邊梯形的面積，如果說圖（2）中“曲邊梯形”面積可分解為三個(gè)梯形的面積，那么圖（3）中“曲邊梯形”面積又該如何求呢？求直線和曲線所圍成的圖形（曲邊三角形）的面積s.二、操作探究活動(dòng)1方案提出幾何畫板演示基本思想：1、分割等分成個(gè)小區(qū)間（思考：為什么要等分區(qū)間？）：，，…，，…，,活動(dòng)2、方案落實(shí)（以左端點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值為矩形的邊長為例）把區(qū)間，，每個(gè)區(qū)間的長度為.過各區(qū)間端點(diǎn)作軸的垂線，從而得到個(gè)小曲邊梯形，它們的面積分別記作，，…，.即

2、以直代曲上的小曲邊梯形，以區(qū)間左端點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值為一邊的長，以為鄰邊的長的小矩形面積近似代替小曲邊梯形的面積，即.對區(qū)間圖2(1)(2)(3)(4)3、作和因?yàn)槊總€(gè)小矩形的面積是相應(yīng)的小曲邊梯形面積的近似值，所以個(gè)小矩形的面積之和就是所求曲邊三角形面積的近似值，其中.4、逼近（亦即）時(shí)，.由

當(dāng)分割無限變細(xì)，即，從而.活動(dòng)3方案比較(1)(2)(3)圖4三種方案，即分別以矩形ABCD、矩形ABEF、梯形ABDE來近似代替相應(yīng)曲邊梯形的面積.具體方案中雖然面積會(huì)有差異即，但當(dāng)時(shí)，其和式均無限趨近于同一結(jié)果，即均能用來求曲邊梯形的所對應(yīng)的函數(shù)值作為小矩形一邊的長.和式近似表示曲邊梯形面積.

面積（一方面通過電腦操作讓學(xué)生感受，同時(shí)借助公式簡單推導(dǎo)從而強(qiáng)化認(rèn)識）.從而可將“以直代曲”的方案加以拓展，即可以取小區(qū)間內(nèi)任意一點(diǎn)三、概念揭示對于一般函數(shù)，可以采用上述方法求相應(yīng)曲邊梯形的面積.等分成，個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間長度為以直代曲：在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，依次為，…，；分割：將區(qū)間求和：；逼近：（亦即）時(shí)，.1、概念：稱該常數(shù)S為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記為，其中稱為被積函數(shù)，為積分區(qū)間，稱為積分下限，為積分上限.非負(fù)時(shí)，即為軸上方的曲邊梯形的面積2、定積分的幾何意義，當(dāng)四、初步應(yīng)用例1、試用定積分表示下列曲邊梯形的面積，并借助于信息技術(shù)求出相應(yīng)結(jié)果.（1）、計(jì)算直線x=-4，x=2，y=0，和曲線（1）、曲邊梯形面積為（2）、曲