工程力學(xué) 課件 2.2平衡條件和方程式

第二章平面力系2.1基本量的計(jì)算2.2平面力系簡(jiǎn)化2.3平衡條件和平衡方程2.4平面力系平衡問(wèn)題研究思路：受力分析如何簡(jiǎn)化？共點(diǎn)力系可合成為一個(gè)力力偶系可合成為一個(gè)合力偶力向一點(diǎn)平移力系的簡(jiǎn)化平衡條件一般力系xyM2M1問(wèn)題：如何將力移到同一個(gè)作用點(diǎn)上？或者說(shuō)力如何移到任一點(diǎn)O？OF平面力系平面任意力系實(shí)例作用在剛體上力的F，可以平移到其上任一點(diǎn)，但必須同時(shí)附加一力偶，力偶矩等于力的大小乘以點(diǎn)到力作用線(xiàn)間的距離。力線(xiàn)平移定理:OFOF'F''hFoM=FhF平面力系簡(jiǎn)化平面力系簡(jiǎn)化力線(xiàn)平移定理應(yīng)用實(shí)例

若作用于物體上所有的力（包括力偶）都在同一平面內(nèi)，則力系稱(chēng)為平面一般（任意）力系。平面一般力系：各力作用線(xiàn)匯交于同一點(diǎn)(不含力偶)匯交力系:平行力系:各力作用線(xiàn)相互平行(可包含力偶)特例一般力系yxM2M1匯交力系yxA平行力系yxM3平面力系簡(jiǎn)化平面一般力系，向任一點(diǎn)O簡(jiǎn)化，共點(diǎn)力系可合成為一個(gè)力FR'（主矢）,即：

FR'=F1+F2+…+Fn=

Fi或用解析法寫(xiě)為:FR

x=F1x+F2x+…+Fnx=

Fx

FR

y=F1y+F2y+…+Fny=

Fy注意：FR'與簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)的位置選取無(wú)關(guān)。得到一個(gè)匯交于O點(diǎn)的共點(diǎn)力系和一個(gè)平面力偶系。xyO(a)F4F2F1F5F3MyxF2OM3M(b)F3F4F5F1M2M1M4M5yx(c)OFR'MO力偶系可合成為一個(gè)合力偶，合力偶之矩MO是各力偶之矩的代數(shù)和。即:

MO=MO(F1)+MO(F2)+…+MO(Fn)+MO(M)=

MO(Fi)FR'M0O平面一般力系力主矢FR

力偶主矩MO

簡(jiǎn)化力？平移MO稱(chēng)為原力系對(duì)簡(jiǎn)化中心O的主矩，顯然，MO與簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)的位置有關(guān)。h=M0/FR

FRA

情況向O點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果力系簡(jiǎn)化的最終結(jié)果分類(lèi) 主矢FR'

主矩MO（與簡(jiǎn)化中心無(wú)關(guān)）討論1平面一般力系簡(jiǎn)化的最終結(jié)果yxOFR'MOFRh3 FR

0MO=0合力FR=FR

，作用線(xiàn)過(guò)O點(diǎn)。2 FR'=0MO

0 一個(gè)合力偶，M=MO。1 FR’=0MO=0 平衡狀態(tài)（力系對(duì)物體的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)作用效果均為零）。4FR‘

0MO

0一個(gè)合力，其大小為FR=FR

，

作用線(xiàn)到O點(diǎn)的距離為h=MO/FR'FR在O點(diǎn)哪一邊，由MO符號(hào)決定平面力系簡(jiǎn)化的最終結(jié)果，只有三種可能：一個(gè)力；一個(gè)力偶；或?yàn)槠胶饬ο?。例：求圖示力系的合力。FR

x=

Fx=F1+4F2/5-3F3/5=6+8-9=5kNFR

y=

Fy=-3F2/5-4F3/5+F4

=-6-12+8=-10kN合力FR=FR

=11.1kN；作用線(xiàn)距O點(diǎn)的距離h為：

h=M0/FR

=0.36(m)；

位置由Mo

的正負(fù)確定，如圖。Mo=2F1-3(4F2/5)+4(3F3/5)-4F4+M=4kN.m解：力系向O點(diǎn)簡(jiǎn)化，有：xO(m)y(m)22242F1=6KNF2=10KNF3=15KNF4=8KNM=12KN.m4FR

hFR'MO主矢

FR

==kN；指向如圖。22yRxRFF￠￠+125設(shè)載荷集度為q(x)，在距O點(diǎn)x

處取微段dx,微段上的力為q(x)dx。討論2同向分布平行力系合成合力FR的作用線(xiàn)到O的距離為：

h=MO/FR'=

/

òl(fā)dxxq0)(òl(fā)dxxxq0)(xdxq(x)qOxolFRh以O(shè)點(diǎn)為簡(jiǎn)化中心，主矢和主矩為：

FR

=

q(x)dx=

；MO=

xq(x)dx=òl(fā)dxxq0)(òl(fā)dxxxq0)(FR'

0，MO

0；故可合成為一個(gè)合力，且

FR=FR'=òl(fā)dxxq0)(FR大小等于分布載荷圖形的面積FR的作用線(xiàn)通過(guò)分布載荷圖形的形心。故同向分布平行力系可合成為一個(gè)合力，合力的大小等于分布載荷圖形的面積，作用線(xiàn)通過(guò)圖形的形心，指向與原力系相同。例求梁上分布載荷的合力。

解：載荷圖形分為三部分，有設(shè)合力FR距O點(diǎn)為x，由合力矩定理有：

-FRx=-FR1-3.5FR2-3FR3=-(1.6+2.1+2.7)=-6.4kN.m得到x=6.4/3.1=2.06m故合力為3.1kN，作用在距O點(diǎn)2.06m處，向下。FR1=1.6kN;作用線(xiàn)距O點(diǎn)1m。FR2=0.6kN;作用線(xiàn)距O點(diǎn)3.5m。FR3=0.9kN;作用線(xiàn)距O點(diǎn)3m。合力FR=FR1+FR2+FR3=3.1kN。q=0.8kN/m0.22m3mxO32FR11FR2FR3FRx例求圖中分布力系的合力。解：

FR1=2q1=1KN;

FR2=3q2/2=6KN;合力的大?。?/p>

FR=FR2-FR1=5KN方向同F(xiàn)R2，如圖。合力作用位置(合力矩定理):

FR

x=3×FR2-1×FR1;x=(18-1)/5=3.4mq1=0.5KN/m2m3mq2=4KN/mAFR1FR2FRx

平面一般力系處于平衡，充分和必要條件為力系的主矢FR'和主矩MO都等于零。第三式表明不可能有合力偶。若有合力，必過(guò)O點(diǎn)；1、2式指出：若有合力。必垂直于x軸且垂直于y軸。故平面一般力系的平衡方程為：（基本形式）（x軸不平行于y軸）平面力系平衡條件平面一般力系平衡方程還可表達(dá)為下列二種形式：二力矩式（AB不垂直于X軸)注意：平衡方程中，投影軸和矩心可任意選取，可寫(xiě)出無(wú)數(shù)個(gè)平衡方程。但只要滿(mǎn)足了其中一組，其余方程均應(yīng)自動(dòng)滿(mǎn)足，故獨(dú)立平衡方程只有三個(gè)。三力矩式(A、B、C三點(diǎn)不共線(xiàn))取匯交點(diǎn)為矩心，力矩方程自動(dòng)滿(mǎn)足。獨(dú)立平衡方程只有二個(gè),為：

平面匯交力系:取x軸垂直于各力，則x的投影方程滿(mǎn)足。獨(dú)立平衡方程也只有二個(gè),為：平面平行力系:yxMyx三拱鉸受力分析ABCF三鉸拱ABFo討論1：二力平衡必共線(xiàn)F1oF2討論2：三力平衡必共點(diǎn)F1F2F3oBCFB二力桿FC1)剛體靜力學(xué)研究的基本問(wèn)題是：受力分析，平衡條件，解決靜力平衡問(wèn)題。小結(jié)4)力F對(duì)任一點(diǎn)O之矩為Mo(F)=

F.h。合力對(duì)某點(diǎn)之矩等于其分力對(duì)該點(diǎn)之矩的代數(shù)和。5)作用在剛體上力的F，可平移到任一點(diǎn)，但須附加一力偶，其矩等于力F對(duì)平移點(diǎn)之矩MO(F)。3)約束力作用方向與其所限制的運(yùn)動(dòng)方向相反。2)只在二點(diǎn)受力而處于平衡的無(wú)重桿，是二力桿。

7)同向分布平行力系可合成為一個(gè)合力。合力的大小等于分布載荷圖形的面積，作用線(xiàn)通過(guò)分布載荷圖形的形心，指向與原力系相同。6)平面一般力系簡(jiǎn)化的最終結(jié)果有三種可能：即一個(gè)力；一個(gè)力偶；或?yàn)槠胶猓ê狭榱悖?。一?/p>