工程力學 課件 第4-8章 拉伸與壓縮-壓桿穩(wěn)定

§4-1軸向拉壓的概念及實例§4-2桿件的內力與應力§4-3桿件的強度條件及其應用§4-4桿件的變形計算第四章拉伸與壓縮

§4-5簡單拉壓靜不定問題§4-6材料在拉伸和壓縮時的力學性能§4-7安全系數(shù)和許用應力§4-8應力集中的概念概念4.1概念及實例直桿在一對等值、反向沿軸線方向外力作用下產生伸縮變形，稱為軸向拉伸與壓縮。（1）對象：直桿；（2）受力特點：等值、反向、共線；（3）變形特點：產生軸向伸長或縮短。

4.1概念及實例工程實例4.1概念及實例拉伸壓縮軸向壓縮，對應的力稱為壓力。軸向拉伸，對應的力稱為拉力。力學模型如圖4.1概念及實例指構件內部各部分之間的相互作用力。桿件的內力沿軸線方向，所以也稱為軸力。軸力的正負：拉力為正、壓力為負。FFN4.2桿件的內力與應力一、內力FF1、軸力：橫截面上的內力mmFFN(1)截取(2)取代（設正）(3)平衡FF’N4.2桿件的內力與應力2、截面法求軸力3、軸力圖：軸力沿桿件軸線的變化軸力的簡便求法：（不取脫離體）軸力圖的特點：突變值=集中載荷+–3kN5kN8kN軸力大小：任意截面軸力等于截面任意一側所有外力的代數(shù)和。外力的正負確定：離開該截面為正，反之為負。215kN8kN3kN124.2桿件的內力與應力已知F1=10kN；F2=20kN

F3=35kN；F4=25kN;試畫出圖示桿件的軸力圖。11例題4-1FN1F11、計算各段的軸力F1F3F2F4ABCDAB段BC段2233FN3F4FN2F1F2CD段2、繪制軸力圖。一、應力的概念問題提出PPPP1.內力大小不能衡量構件強度的大小。2.①應力：內力在截面分布集度；

②強度：材料承受荷載的能力。

定義：由外力引起的內力集度。4.3桿件的強度條件及其應用變形前1.變形規(guī)律試驗及平面假設：平面假設：原為平面的橫截面在變形后仍為平面?？v向纖維變形相同。abcd受載后PP

d′a′c′

b′二、拉（壓）桿橫截面上的應力4.3桿件的強度條件及其應用結論：均勻材料、均勻變形，內力當然均勻分布。2.拉壓應力：sFNP1.軸力引起的正應力

:在橫截面上均布。2.應力的符號與軸力相同:拉應力為正，壓應力為負3.應力單位:Pa=N/m2;MPa=106Pa;GPa=109Pa

4.3桿件的強度條件及其應用3.強度條件及其應用

其中：[

]--許用應力,

max--危險點的最大工作應力。②設計截面尺寸：強度條件可進行三方面的應用：①校核強度：③許可載荷：

例2已知一圓桿受拉力P=25kN，直徑d=14mm，許用應力[

]=170MPa，試校核此桿是否滿足強度要求。解：①軸力：FN

=P=25kN②應力：③強度校核：④結論：此桿滿足強度要求，能夠正常工作。4.3桿件的強度條件及其應用例3圖示結構，試求桿件AB、BC的應力。已知F=20kN；斜桿AB為直徑20mm的圓截面桿，水平桿CB為15×15的方截面桿。求：圖示兩桿所受到的軸力和應力的大小。FABC解：1、計算各桿件的軸力。（設斜桿為1桿，水平桿為2桿）用截面法取節(jié)點B為研究對象45°12FBF45°2、計算各桿件的應力。FABC45°12FBF45°[例3—續(xù)]

1、桿的縱向總變形：

3、平均線應變：

2、線應變：單位長度的線變形。一、拉壓桿的變形及應變

abcdl4.4桿件的變形計算二、拉壓桿變形的計算

“E”稱為拉壓彈性模量?！癊A”稱為桿的抗拉壓剛度。

胡克定律4.4桿件的變形計算三、泊松比

1、縱向變形2、橫向變形鋼材的μ約為0.25—0.33泊松比橫向應變4.4桿件的變形計算4.4桿件的變形計算

EA是抗拉壓剛度，反映材料抵抗拉壓變形的能力。FN、L、E、A改變，則須分段計算。應力：應變：軸向拉壓桿的應力、應變定義為：軸向拉壓桿的變形

L可表達為：在物理模型=E

下有：軸向拉壓桿變形分析匯總：求軸力FN？力—變形的物理關系：稱為線性彈性應力—應變（物理）關系模型。

=E

2)求各段應力：

AB=FNAB/A1

=40×103N/(320×10-6)m2

=125×106Pa=125MPa

BC=FNBC/A2=40×103/(800×10-6)=50MPa；

CD=FNCD/A2=48×103/(800×10-6)=

60MPa解：1)求內力(軸力)，

例4

桿AB段為鋼制，橫截面積A1=320mm2，BD段為銅，A2=800mm2，

E鋼=210GPa；E銅=100GPa；

l=400mm。求桿各段的應力、應變和總伸長量

AD。ABCDF1=40kNlllF2=8kN48kN+向DCBA48kN40kNFN畫軸力圖。4)桿的總伸長為：

lAD=

lAB+

lBC+

lCD=0.68mm

2)求各段應變：eAB=sAB/E鋼=125/(210×103)

0.6×10-3ABCDF1=40kNlllF2=8kNDCBA48kN40kNFN3)求各段伸長：注意:

l=el=sl/E=FNl/AE

lAB=eABlAB=0.6×10-3×400mm=0.24mm

lBC=eBClBC=0.2mm；

lCD=eCDlCD=0.24mmeBC=sBC/E銅=50/(100×103)=0.5×10-3eCD=sCD/E銅=0.6×10-31、超靜定問題：單憑靜力學平衡方程不能確定出

全部未知力（外力、內力、應力）的問題。一、超靜定問題及其處理方法2、超靜定的處理方法：平衡方程+變形協(xié)調方程進行求解。4.5簡單拉壓靜不定問題例5設1、2、3三桿用鉸鏈連接如圖，已知：各桿長為：L1=L2、L3=L

；各桿面積為A1=A2=A、A3

；各桿彈性模量為：E1=E2=E、E3。外力沿鉛垂方向，求各桿的內力。CPABD123解：平衡方程:PAN1N3N2靜定和靜不定問題解題方法的同異：基本方程都是平衡方程、物理方程和幾何方程。變形體靜力學問題研究對象受力圖平衡方程求反力？靜不定物理方程幾何方程靜定求內力應力求變形物理求位移幾何聯(lián)立求解反力、內力、應力變形、位移等打開課本的58頁：一、低碳鋼拉伸過程的四個階段；二、每個階段的特點及重要應力；三、如何區(qū)分塑性材料和脆性材料；四、塑性材料和脆性材料力學性能的主要區(qū)別；4.6材料在拉伸和壓縮時的力學性能力學性質：在外力作用下材料在變形和破壞方面所表現(xiàn)出的力學性能一試件和實驗條件常溫、靜載4.6材料在拉伸和壓縮時的力學性能一、材料拉伸時的力學性質二低碳鋼的拉伸明顯的四個階段1、彈性階段ob比例極限彈性極限2、屈服階段bc（失去抵抗變形的能力）屈服極限3、強化階段ce（恢復抵抗變形的能力）強度極限4、局部徑縮階段ef一、材料拉伸時的力學性質兩個塑性指標:延伸率斷面收縮率為塑性材料為脆性材料低碳鋼的為塑性材料一、材料拉伸時的力學性質三卸載定律及冷作硬化1、彈性范圍內卸載、再加載2、過彈性范圍卸載、再加載

即材料在卸載過程中應力和應變是線性關系，這就是卸載定律。

材料的比例極限增高，延伸率降低，稱之為冷作硬化或加工硬化。一、材料拉伸時的力學性質四其它材料拉伸時的力學性質

對于沒有明顯屈服階段的塑性材料，用名義屈服極限σ0.2來表示。一、材料拉伸時的力學性質

對于脆性材料（鑄鐵），拉伸時的應力應變曲線為微彎的曲線，沒有屈服和徑縮現(xiàn)象，試件突然拉斷。斷后伸長率約為0.5%。為典型的脆性材料。

σl—拉伸強度極限（約為140MPa）。它是衡量脆性材料（鑄鐵）拉伸的唯一強度指標。一、材料拉伸時的力學性質一試件和實驗條件常溫、靜載二、材料壓縮時的力學性質二塑性材料（低碳鋼）的壓縮屈服極限比例極限彈性極限

拉伸與壓縮在屈服階段以前完全相同。E---

彈性摸量二、材料壓縮時的力學性質三脆性材料（鑄鐵）的壓縮

脆性材料的抗拉與抗壓性質不完全相同

壓縮時的強度極限遠大于拉伸時的強度極限二、材料壓縮時的力學性質工作應力極限應力

塑性材料脆性材料塑性材料的許用應力脆性材料的許用應力

n—安全系數(shù)

—許用應力。規(guī)定為1.5-2.0；規(guī)定為2-5。4.7安全系數(shù)和許用應力4.8應力集中的概念沿aa上各點測得的應變如圖。

非均勻分布，孔邊

=

max。由虎克定律,應力分布也非均勻，孔邊最大應力為

max=kt

ave。(

max<

ys)

式中kt>1,稱為彈性應力集中系數(shù)。1）平板受拉

中截面aa由對稱性不變，bb移至b'b'。線應變沿截面均勻分布，故有:

=const.；

=E

=const.

應力在橫截面上均勻分布。即：

=FN/A=

ave.2）帶中心圓孔的平板受拉aabbb'b's=FN/Aaaeaasmaxs應力集中：

max=kt

ave

構件幾何形狀改變的局部出現(xiàn)應力增大的現(xiàn)象。應力集中發(fā)生在截面幾何發(fā)生突然改變處，如孔、缺口、臺階等處。應力集中系數(shù)，可由應力集中手冊或圖表查得。幾何改變越劇烈，應力集中越嚴重。在必須改變構件幾何時，盡可能用圓弧過渡。應力集中是構件出現(xiàn)裂紋(直至發(fā)生破壞)的原因，應當注意。1.軸力的計算和軸力圖的繪制。2.橫截面上的應力計算。4.拉（壓）桿的變形計算。3.拉壓強度條件三個方面的應用。本部分的重點內容§5-1扭轉的概念及實例§5-2扭矩和扭矩圖§5-3純剪切和剪切虎克定律§5-4圓軸扭轉時的應力與變形第五章扭轉

§5-5圓軸扭轉時的強度和剛度條件工程構件分類:板塊體桿桿的基本變形:軸向拉壓彎曲xyz扭轉概念5.1概念及實例扭轉變形是由大小相等、方向相反、作用面垂直于桿軸的兩個力偶引起的。表現(xiàn)為桿件的任意兩個橫截面繞桿軸線發(fā)生相對轉動。工程上常把以扭轉變形為主的桿件叫做軸。研究對象：圓截面直桿受力特點：作用在垂直于軸線的不同平面內的外力偶，且滿足平衡方程:

SMx=0變形特征：相對扭轉角fAB圓軸各橫截面將繞其軸線發(fā)生相對轉動。xyz0M0M變形前變形后fAB汽車轉向軸傳動軸5.1概念及實例5.1概念及實例扭轉變形5.1概念及實例工程實例汽車傳動軸汽車方向盤軸機床的傳動軸

5.1概念及實例工程實例一、計算外力偶矩的方法已知：輸出功率－P

（KW或馬力）軸轉速－n（r/min）求：力偶矩Te(N.m或KN.m)外力偶所作功率：1馬力=735.5W5.2扭矩和扭矩圖二、扭轉時的內力及扭矩圖

桿件拉壓變形軸力軸力圖

軸的扭轉變形

扭矩扭矩圖

梁的彎曲變形

剪力彎矩剪力圖彎矩圖5.2扭矩和扭矩圖1、扭矩正負規(guī)定右手螺旋法則右手拇指指向外法線方向為正(+),反之為負(-)扭矩：是橫截面上的內力偶。扭矩—由截面法求得。TeTeTex截面法:求扭矩扭矩:構件受扭時，橫截面上的扭矩，記作T。(1)截取(2)取代(設正)

(3)平衡

T截面法求扭矩步驟：由平衡方程：

取右邊部分T

和T

是同一截面上的內力，應當有相同的大小和正負。M0M0假想切面取左邊部分平衡外力偶

M0

扭矩

T扭矩外力偶

平衡T

M0以平行于桿軸線的坐標x表示截面的位置，以垂直于x軸的坐標表示截面扭矩值，即得到扭矩圖。

2010畫扭矩圖：xoCABABCAB段：BC段：5kN5kN3kNFN

圖+-5kN2kN8kN5kN2kN8kN5kN+向簡捷畫法1：2010ABC在左端取參考正向，按載荷大小畫水平線；遇集中載荷作用則內力相應增減；至右端回到零。FN圖（軸力）按右手法確定+向xoCABT圖截面處扭矩的大小:等于截面任一側所有外力偶矩的代數(shù)和。外力偶矩符號規(guī)定:規(guī)定外力偶矩遠離截面為正，指向截面為負。其中的截面是我們?yōu)榍筝S的內所畫的假想截面。簡捷畫法2:不取分離體畫扭矩圖不取分離體畫扭矩圖4.78KN.m6.37KN.m

–9.56KN.mTe2=4.78KN.mTe3=4.78KN.mTe1=15.9KN.mTe4=6.37KN.m112233nAB

CDTe2

Te3

Te1

Te4T1=–Te2=–4.78KN.m;T2=–Te2–Te3=–9.56KN.m;T3=–Te2–Te3+Te1

=6.37KN.m=Te4解：由功率－轉速關系計算外力偶矩例1某傳動軸如圖，轉速n=700r/min，主動輪的輸入功率為PA=400KW，從動輪B、C和D的輸出功率分別為PB=PC=120KW，PD=160KW。試作軸的扭矩圖。

BMBMCCMAMDAD最大扭矩在AB段，且求各截面內力：BC段CA段AD段BMBMCCMAMDADT1BMBBMBMCCT2MDDT3ACBDT/kN.m1.643.282.18T圖簡捷畫法：BMBMCCMAMDAD3.282.18ACBDT/kN.mT

圖按右手法確定+向1.64討論：試作扭矩圖2010T圖按右手法確定+向xoCAB40kN.mD20kN.m10kN.m10kN.mABCD20xoCAB40kN.mD10kN.m10kN.m求反力偶：2010T

圖按右手法確定+向ABCD20作扭矩圖ABCD200N.m300N.m100N.m100N.m11332244100N.m

––100N.m200N.m100N.m薄壁圓筒:壁厚(r0:為平均半徑)一、實驗：1.實驗前：①繪縱向線，圓周線；②施加一對外力偶Te

。5.3純剪切和剪切虎克定律

①圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對轉動。

②各縱向線均傾斜了同一微小角度

。

③所有矩形網格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。提出剛性平面假定。2.實驗后：①橫截面上沒有正應力的作用。在平行于軸線的縱截面也沒有正應力的作用。②同一圓周各點剪應力相等，都垂直于半徑方向。③同一半徑上各點剪應力大小相等。橫截面和縱截面上只有剪應力，沒有正應力。橫截面上的剪應力大小相等，垂直于半徑方向。3.結論：二、剪應力互等定理：

上式稱為剪應力互等定理。該定理表明：在相互垂直的兩個平面上，剪應力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等；兩者都垂直于兩個平面的交線，其方向共同指向或共同背離該交線。acddxb

dy

′

′tz

三、薄壁圓筒剪應力

大小：

A0：平均半徑所作圓的面積。對于薄壁圓筒可以用半徑代替平均半徑。

單元體的上下左右四個側面上只有剪應力而無正應力作用，這種情況稱為純剪切。acdb

′

′

單元體直角方向的改變量，稱為角應變。正應力

拉為正壓為負1、正應力正負號規(guī)則acdb

′

′

2、剪應力正負號規(guī)則使微元或其局部順時針方向轉動為正；反之為負。剪應力四、剪切虎克定律：

與

的關系：

T=m

剪切虎克定律：當剪應力不超過材料的剪切比例極限時（τ≤τp)，剪應力與剪應變成正比關系。

式中：G是材料的一個彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因

無量綱，故G的量綱與

相同，鋼材的G值約為80GPa。剪切彈性模量、彈性模量和泊松比存在下列關系：只要知道任意兩個，可推算出第三個量。一、外力偶矩的求法；四、三個重要的概念：1）剪應力互等定理；

2）純剪切；

3）剪切虎克定律。三、扭矩圖的畫法；二、扭矩的求法：1）截面法；

2）不取分離體的方法。本部分的小結變形體靜力學的基本研究思路：靜力平衡條件變形幾何條件材料物理關系++1.變形幾何條件剛性平面假設：變形前后，扭轉圓軸各個橫截面仍然保持為平面，二平面間距離不變，其半徑仍然保持為直線且半徑大小不變。變形前變形后一、

圓軸扭轉的應力公式5.4圓軸扭轉時的應力與變形取長為dx的微段研究，在扭矩作用下，右端面剛性轉動角d

，原來的矩形ABCD變成為菱形ABC

D

。1.變形幾何條件g是微元的直角改變量，即半徑r各處的剪應變。因為CC

=gdx=rd

,故有：d

/dx

,稱為單位扭轉角。對半徑為r的其它各處，可作類似的分析。dxOCDABrrC

D

d

d

gTg1.變形幾何條件對半徑為r的其它各處，作類似的分析。剪應變g的大小與半徑r成正比。與單位扭轉角d

/dx成正比。即得變形幾何條件為：--(1)同樣有：CC

=gdx=rd

dxOCDABrrC

D

d

Tgrgr2.物理關系—材料的應力-應變關系在線性彈性范圍內，剪切虎克定律為：G是t-g曲線的斜率，如圖，稱為剪切彈性模量。--(2)半徑為r處的剪應力則為：

圓軸扭轉時無正應力1GOtg1Gts材料的剪應力與剪應變之間有與拉壓類似的關系。討論：圓軸扭轉時橫截面上的剪應力分布圓軸幾何及T給定，d

/dx為常數(shù)；G是材料常數(shù)。--(3)dxOCDABrrC

D

d

TgrgrtrTotrrtmax最大剪應力在圓軸表面處。截面上任一點的剪應力與該點到軸心的距離r成正比；剪應變在ABCD面內，故剪應力與半徑垂直，指向由截面扭矩方向確定。3.力的平衡關系應力是內力(扭矩)在微截面上的分布集度。各微截面上內力對軸心之矩的和應與截面扭矩相等。取微面積如圖，有：--(3)利用(3)式，得到：trTotrrtmaxdA3.力的平衡關系令：最后得到：--(4)Ir稱為截面對圓心的極慣性矩，只與截面幾何相關。trTotrrtmaxtmax在圓軸表面處，且W=I/r，稱為抗扭截面模量。pr求Ir，Wp?二、圓截面的極慣性矩和抗扭截面模量抗扭截面模量W=I/rprdDo討論內徑d，外徑D的空心圓截面，取微面積dA=2prdr,則有：極慣性矩:ò=AdAI2rrrdrdA極慣性矩)1(3232)(244442/2/3apprrpr-=-==òDdDdIDd抗扭截面模量：16/)1()2//(43apr-==DDIWpa=d/D圓截面的極慣性矩和抗扭截面模量dDo空心圓軸實心圓軸Do極慣性矩r=)1(3244ap-DI抗扭截面模量)1(1643ap-=DWpa=d/D=0324DIpr=163DWpp=研究思路：變形幾何條件dx---(1)d/jrg=+材料物理關系dxdGGjrgtrr==---(2)靜力平衡關系+ATdAdxdG=ò2rj---(3)圓軸扭轉剪應力公式：rrrtIT

=---(4)且由(3)可知單位扭轉角為：rjGITdxd//=---(5)結論：1）圓軸扭轉時，橫截面上只有剪應力，剪應力在橫截面上線性分布，垂直與半徑，指向由扭矩的轉向確定。2）截面任一處截面外圓周處（表面）

tr=T

r/Ir

tmax=T/Wp

dDo空心圓軸實心圓軸Do

Ttrtmax

Ttrtmax討論：2）下列圓軸扭轉的剪應力分布圖是否正確?1）已知二軸長度及所受外力矩完全相同。若二軸截面尺寸不同，其扭矩圖相同否?

若二軸材料不同、截面尺寸相同，各段應力是否相同？變形是否相同？相同相同不同oToToToT前節(jié)回顧（圓軸扭轉問題）剪應力

t在橫截面上線性分布，垂直與半徑，指向由扭矩的轉向確定。單位扭轉角為：d

/dx=T/GIr內力是扭矩T

最大剪應力在表面處(r=r)，且tmax=T/WpoTrrtIT

r=極慣性矩抗扭截面模量324DIpr=163DWTp=實心軸r=)1(3244ap-DI)1(1643ap-=DWT空心軸三、圓軸的扭轉變形單位扭轉角為：相對扭轉角

：B截面相對于A截面的扭轉角。若AB=L，則ABGI稱為抗扭剛度，反映軸抵抗變形的能力。r若扭矩、材料，截面尺寸改變，則需分段求解。dxOCDABrC

D

d

d

gTgT

ABLBAgdxGITdLABòò==0rj

若AB間扭矩不變，材料不變，截面尺寸不變，則T/GIr=const.,故有：r

GILTAB/=例2.空心圓軸如圖，已知MA=150N.m，MB=50N.m

MC=100N.m，材料G=80Gpa，試求（1）軸內的最大剪應力；（2）C截面相對A截面的扭轉角。解:1)畫扭矩圖。2)計算各段應力:AB段：N-mm-MPa單位制

f22

f18

f2410001000ABCMBMCMAABC150100T/N.m++2)計算各段應力:BC段：故tmax=86.7Mpa

f22

f18

f2410001000ABCMBMCMAABC150100T/N.m3)計算扭轉角

ACradGIlT2GIT1BCBCABlABAC183.0=+=rrjN-mm-MPa單位制++拉壓

ss/n(塑)

[

]=

sb/n(脆)max

ts/n(塑)t

[t]=

tb/n(脆)扭轉強度條件max[t]=0.5~0.6[s](鋼材，塑性)[t]與[s]之關系：

[t]=0.8~1.0[s](鑄鐵，脆性)1.強度條件][/maxss￡=AFN][/maxtt￡=pWT5.5圓軸扭轉的強度條件和剛度條件軸AB間的相對扭轉角為：

AB=TL/GIr扭轉圓軸必須滿足強度條件，以保證不破壞；另一方面，軸類零件若變形過大，則不能正常工作，即還須滿足剛度條件。單位長度的扭轉角為：q=

AB/L=T/GIr扭轉剛度條件則為：qmax[q]---許用扭轉角機械設計手冊建議：[q]=0.25~0.5

/m;精度高的軸；

[q]=0.5~1.0

/m;一般傳動軸。2.剛度條件單位統(tǒng)一為

/m，則有：（弧度轉換為角度）][180maxqpqr￡

=oGIT3.扭轉圓軸的設計二者均須滿足扭轉圓軸的設計計算：強度、剛度校核；確定許用載荷（扭矩）；設計軸的幾何尺寸。強度條件：][/maxtt￡=pWT剛度條件：][180maxqpqr￡

=oGIT極慣性矩324DIpr=抗扭截面模量163DWpp=解:1)畫扭矩圖。例3.實心圓軸如圖，已知MB=MC=1.64kN.m，

MD=2.18kN.m材料G=80GPa，[t]=40MPa，[q]=1

/m，試設計軸的直徑。最大扭矩在AB段，且BMBMCCMAMDAD3.282.18ACBDT/kN.m1.642)按強度設計，有：][16/3maxtpt￡==DTWTpN-m-Pa單位制2)按剛度設計，有：同時滿足強度與剛度要求，則應取取大者][18032/1804maxqpppqr￡

=

=ooDGTGIT則有：42max][18032qpGTD°

342911080180328032=p

N-m-Pa單位制)(109.693m-

=mm70=討論：若取a=0.5，試設計空心圓軸尺寸。故：=76.4mm34max])[1(16tap-3TD3641040)5.01(328016

-

=p按剛度設計，有：][18032/)1(44maxqpapq￡

-=oDGTmax則有：取D=78mm=71mm44291)1(1080180328032

-

3apD扭矩圖不變，按強度設計，有：][maxmaxtt￡==TT16/)1(43maxap-DWp)5.0(a=1/)1()2/(])2/()2/([2222agpgapp-=-=LDLDD實心軸空心軸重量比：重量減輕25%，尺寸略大一點。例4已知：P＝7.5kW,n=100r/min,材料的許用剪應力為[τ]=40MPa,空心圓軸的內外直徑之比

=0.5。二軸長度相同。求:實心軸的直徑d1和空心軸的外直徑D2；確定二軸的重量之比。解:計算扭矩實心軸空心軸d2＝0.5×D2=23mm長度相同的情形下,二軸的重量之比即為橫截面面積之比所以同等條件下，空心軸比實心軸節(jié)省材料、重量輕。[例5]

某傳動軸設計要求轉速n=500r/min，輸入功率P1=500馬力，輸出功率分別P2=200馬力及P3=300馬力，已知：G=80GPa，[

]=70MPa，[

]=1o/m，試確定：①AB段直徑d1和BC段直徑d2

？②若全軸選同一直徑，應為多少？解：扭矩如圖，由強度條

件得：

500400T1T3T2ACBTx–7.024–4.21(kN.m)–由剛度條件得：500400T1T3T2ACBTx–7.024–4.21(kNm)–綜上：②全軸選同一直徑時剪切彈性模量的直徑d.例6一傳動軸如圖所示,從動輪的輸入功率的輸出功率分別為已知軸的許用剪應力單位長度許用扭轉角G=80GPa,試按強度條件主動輪其轉速為每分鐘AB、C208，和剛度條件設計軸

解：（1）求最大扭矩為確定出軸的最大扭矩首先畫出此軸的扭矩圖。為此，計算扭矩183.6N.m-91.8N.m（2）按強度條件設計軸的直徑根據強度條件代入上式，得將（3）按剛度條件設計軸的直徑由剛度條件：代入上式，得將為同時滿足強度和剛度要求。應選擇直徑較大者，即軸的直徑應為:d=34mm。圓軸扭轉剪應力

t在橫截面上線性分布。小結桿的拉壓扭矩T(右手法)內力軸力FN(拉為正)應力正應力

s在橫截面上均勻分布。最大剪應力在表面處o

TtmaxFNs變形EALFLN/=DrqGIT/=抗扭剛度抗拉剛度圓軸扭轉小結桿的拉壓強度設計剛度設計極慣性矩：實心軸空心軸抗扭截面模量：實心軸空心軸nABCDTe2

Te3

Te1

Te4歷年試題：如圖：實心等截面?zhèn)鲃虞S如圖所示：轉速為n=300r/min,主動輪輸入功率P1=500KW,不計損耗功率，三個從動輪輸出功率分別為P2=150KW,P3=150KW及P4=200KW。材料的剪變彈性模量G=80GPa,已知[τ]=70MPa，許用扭轉角[θ]=0.5。/m。（15分）1、試作軸的扭矩圖。2、試設計該軸的直徑。nABCDTe2

Te3

Te1

Te4如圖：實心等截面?zhèn)鲃虞S如圖所示：轉速為n=300r/min,主動輪輸入功率P1=500KW,不計損耗功率，三個從動輪輸出功率分別為P2=150KW,P3=150KW及P4=200KW。軸徑d=110mm,材料的剪變彈性模量G=80GPa,許用扭轉角[θ]=0.5。/m。（15分）1、試作軸的扭矩圖；2、試校核軸的剛度；3、計算軸兩端截面的相對扭轉角?！?-1平面彎曲的概念及實例§6-2剪力和彎矩§6-3剪力圖和彎矩圖§6-4純彎曲時梁橫截面上的正應力第六章彎曲內力與強度計算

§6-5梁彎曲的強度及其應用§6-6提高梁的彎曲強度的措施概述承受彎曲作用的桿，稱為梁。軸向拉壓—內力為軸力。如:拉、撐、活塞桿、鋼纜、柱。桿件：某一方向尺寸遠大于其它方向尺寸的構件。直桿：桿件的軸線為直線。桿的可能變形為：軸向拉壓彎曲扭轉扭轉—內力為扭矩。如:各種傳動軸等。(軸)彎曲—內力為剪力和彎矩。如:橋梁、房梁等.(梁)概念6.1概念及實例

直桿在垂直于其軸線的外力或位于其軸線所在平面內的外力偶作用下，桿的軸線由直線變?yōu)榍€。

研究對象：直桿受力特點：垂直于軸線的外力或位于軸線所在平面內的外力偶作用

變形特征：軸線由直線變?yōu)榍€

6.1概念及實例彎曲變形6.1概念及實例工程實例起重機大梁鏜刀桿6.1概念及實例車削工件火車輪軸工程實例梁的分類平面問題，梁受三個約束，都是靜定梁。平面彎曲懸臂梁簡支梁Fq外伸梁M梁有縱向對稱面，且載荷均作用在縱向對稱面內，變形后梁的軸線仍在該平面內，稱為平面彎曲?？v向對稱面梁的橫截面都有對稱軸集中力，集中力偶，分布載荷1截面法求內力的步驟:求約束反力截取研究對象受力圖，內力按正向假設。列平衡方程求解內力，負號表示與假設反向內力右截面正向左截面正向微段變形（正）內力的符號規(guī)定yx左上右下，F(xiàn)Q為正左順右逆，M為正xFQMM’F’Q順時針錯動FQ向上凹M6.2剪力和彎矩剪力的大小:截面上的剪力等于截面任一側外力的代數(shù)和。外力符號規(guī)定:左上右下為正

。方法2:不取分離體求剪力和彎矩彎矩的大小:截面上的彎矩等于截面任一側外力對截面形心力矩的代數(shù)和。外力矩符號規(guī)定:左順右逆為正。例1求懸臂梁各截面內力并作內力圖。解：1）求約束力。畫受力圖。由平衡方程得：

FAx=0;FAy=F;MA=Fl2）求截面內力。截面x處內力按正向假設，在0

x<l內，有平衡方程：

SFy=FAy-FQ=0

SMC(F)=MA+M-FAyx=0得到：FQ=F；M=-F(l-x)xFQo+F剪力圖xMo_Fl彎矩圖ABlFMAFAyFAxcMFQFAyAxMA3)畫內力圖。懸臂梁在固定端A處彎矩值最大。例2求外伸梁AB的內力。解：1）求約束反力：受力如圖。截面法求內力(取坐標如圖)0

x<a:aaaA

B

3F

45

yx0F

FAy

FAx

FB

有平衡方程：

MA(F)=2aFBcos45

+Fa-3Fa=0FB=F2

Fx=FAx-FBsin45

=0FAx=F

Fy=FAy+FBcos45

-F-3F=0FAy=3FMFQxFFN0FN=0;FQ=-F;M=-Fx例2求外伸梁的內力。a

x<2a:

2a

x<3a:

2)截面法求內力0

x<a:FN=0;FQ=-F;M=-FxaaaA

B

3F

45

yx0F

3F

F

FB

MFQxFFN0MFQxFFN03FFMFQxFFN0

3F

F3FFN=-F；FQ=3F-F=2FM=3F(x-a)-Fx=F(2x-3a)FN=-F；FQ=3F-F-3F=-FM=3F(x-a)-Fx-3F(x-2a)=F(3a-x)內力方程：截面法給出的描述內力與截面位置關系。3)

畫內力圖：內力圖：按內力方程繪出各截面內力的圖。a

x<2a:FN=-F；FQ=2F

M=F(2x-3a)0

x<a:FN=0;FQ=-F;

M=-F

x

2a

x<3a:FN=-F

；FQ=-F

M=F(3a-x)3P

B45

x0FFAxFAyFBAMFaFa+-x2F+-FQ

-FFx-FNFx作梁的內力圖的一般步驟求約束反力截取研究對象受力圖列平衡方程求解內力畫內力圖靜力平衡方程載荷突變處分段。內力按正向假設。矩心取截面形心。內力方程圖形應封閉。aaaA

B

3F

45

yx0F

FAy

FAx

FB

xF0MFQFN例3已知q=9kN/m，F(xiàn)=45kN，M0=48kN

m，求梁的內力。解：1）求約束反力：

MA(F)=12FE+M0-8F-2×4q=0FAy=49kN；FE=32kNBAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFAx=0FE

Fx=FAx=0

Fy=FAy+FE-F-4q=0截面法求內力

AB段:0

x1<4mx1FAy0q

Fy=FAy-qx1-FQ1=0

FQ1=49-9x1

M1FQ1c22

Mc(F)=M1+qx1/2-FAyx1=0

M1=49x1-4.5x1例3已知q=9kN/m，F(xiàn)=45kN，M0=48kN

m，求梁的內力。

2)截面法求內力

BC段:4m

x2<6m

Fy=FAy-4q-FQ2=0FQ2=13kNBAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFEx2FAy0BqM2FQ2c

Mc(F)=M2+4q(x2-2)-FAyx2=0

M2=13x2+72(kN

m)

CD段:6m

x3<8mx3FAy0BqCM0M3FQ3c

DE段:8m

x4<12mx4FAy0BqCM0FDM4FQ4cFQ3=13kN;M3=13x3+24(kN

m)FQ4=-32kN;M4=384-32x4(kN

m)取右邊部分如何?DE段:8m

x4<12mBAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFEx4FAy0BqCM0FDFQ4=-FE=-32kNM4=FE(12-x4)=384-32x4

DE段:8m

x4<12mFQ4=-32kN;M4=384-32x4(kN

m)FEM4FQ4c0x4M4FQ4c內力同樣要按正向假設!結果應當相同?？梢杂糜隍炈?。BAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFE分段處的剪力彎矩值：x1=0:FQA=49；MA=0內力方程:AB段:0

x1<4mFQ1=49-9x1;M1=49x1-4.5x1BC段:4m

x2<6mFQ2=13;M2=13x2+72FQ3=13;M3=13x3+24FQ4=-32;M4=384-32x42

CD段:6m

x3<8m

DE段:8m

x4<12mx4=8:FQD=-32；MD=128x2=4:FQB=13；MB=124x3=6:FQC=13；MC=102x3

6:MC

150x4

8:FQD

13注意：集中力(力偶)作用處左右二側FQ(M)不同。BAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFEFQ/kNx-+491332+M/kN

mBACDEx124128150剪力、彎矩圖：分段處的剪力彎矩值：x1=0:FQA=49；MA=0x4=8:FQD=-32；MD=128x2=4:FQB=13；MB=124x3=6:FQC=13；MC=102x3

6:MC

150x4

8:FQD

13注意：C、D處左右二側M、FQ之差等于該處的集中力偶、集中力。還有什么一般規(guī)律？BAlFAYFBY圖示簡支梁C點受集中力作用。試寫出剪力和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。解：1．確定約束反力FAy＝Fb/lFBy＝Fa/l2．寫出剪力和彎矩方程x2FQxMxx1ACCB3.依方程畫出剪力圖和彎矩圖。CFab由剪力和彎矩方程作圖：[例6.4]6.3剪力圖和彎矩圖一、剪力、彎矩與分布載荷間的關系考察承受分布載荷、長dx的微梁段的受力與平衡。假定q(x)向上為正，截面內力FQ、M均按正向假設。

利用平衡微分關系作梁的內力圖BAFyxdxxq(x)FQ+dFQM+dMdxcq(x)MFQ平衡方程：SFy=FQ+q(x)dx-(FQ+dFQ)=0

在x+dx截面上，F(xiàn)Q、M均有相應的增量。SMC(F)=M+dM-M-FQdx-q(x)dx2/2=0分布載荷集度、剪力和彎矩之間的關系整理并略去二階小量，得到：平衡方程：SFy=FQ+q(x)dx-(FQ+dFQ)=0

SMC(F)=M+dM-M-FQdx-q(x)dx2/2=0q(x)dx=dFQ(x)dM(x)=FQ(x)dxdFQ(x)/dx=q(x)dM(x)/dx=FQ(x)梁的平衡微分方程：)()()(22xqdxxdFQdxxMd==討論：q–FQ-M關系:結論一、剪力沿坐標x的變化率等于分布載荷集度，即FQ圖中曲線上某點的斜率等于梁上對應截面處的載荷集度q。q=0，F(xiàn)Q圖為水平線。結論二、彎矩M沿坐標x的變化率等于剪力FQ，即M圖曲線某點的斜率等于對應截面上的剪力。平衡微分方程qdxdFQdxMd==22BAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFEFQ/kNx-+491332+M/kN

mBACDEx124128150結論三、二截面間剪力的增量等于該段梁上分布載荷圖形的面積。結論四、二截面間的彎矩增量等于該段梁上剪力圖的面積。BAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFEFQ/kNx-+491332+M/kN

mBACDEx124128150平衡微分方程qdxdFQdxMd==22若梁段AB只有q作用的，則()dxxqFFBAQAQBò=-()dxxFMMBAQABò=-FQBMBcq(x)MAFQA

q

q=0q=const.>0q=const.<0FQ圖FQ>0FQ<0FQ>0FQ<0FQ>0FQ<0M圖M圖轉折突變集中力(偶)FQ圖突變無變化由此，可給出梁剪力、彎矩圖的簡捷畫法。FQ、M圖的簡捷畫法(結合例3)：3）依據微分關系判定控制點間各段FQ、M圖的形狀，連接各段曲線。2）計算控制點處FQ、M值。

A、B、C、D、E1）確定控制點。約束力、集中力(偶)作用點，分布載荷起止點。BA4845q=94m4m2m2mxCDE4932-+BACDEFQ/kNM/kN

mxx491332+124128150102解：1.求支座反力FQ/kNoxM/kNmxo45例5作圖示外伸梁的

FQ、M圖。SMA=2q+6

30-60-4FB=0FB=35kNSFy=2q+FA+FB-30=0FA=-25kN2）畫FQ、M圖從左起，計算控制點的FQ、M值。由微分關系判斷線形。3）檢查圖形是否封閉。20530602015CADBE2m30kNq=10kN.mM=60kN.mFAFB例6梁AC、CB在C處鉸接，試作內力圖。解：1.求支座反力3）檢查圖形是否封閉。qFAFCCA研究AC段：F=qa/2A研究整體：F=3qa/2BMB=qa(3.5a)+qa(2a)-4aFA-qa2=2.5qa2

2）計算控制點的FQ、M

值，由微分關系判斷圖形。xQ0.5qa1.5qaxOM2.5qa2qa/8

2O0.5qa0.5qa22qa2CBAqa2qaqaaaaFAFBMBFC=？載荷集度、剪力和彎矩關系：1q＝0，F(xiàn)Q=常數(shù)，剪力圖為直線；

M(x)為x的一次函數(shù)，彎矩圖為斜直線。2q=常數(shù)，F(xiàn)Q(x)為x的一次函數(shù)，剪力圖為斜直線；

M(x)為x的二次函數(shù)，彎矩圖為拋物線。分布載荷向下（q<0），拋物線呈凸形。分布載荷向上（q>0），拋物線呈凹形；3剪力FQ=0處，彎矩取極值。4集中力作用處，剪力圖突變；集中力偶作用處，彎矩圖突變。5最大彎矩綜合考慮FQ=0處、集中力及集中力偶作用處。剪力、彎矩與外力間的關系表:外力無外力段均布載荷段集中力集中力偶q=0q>0q<0Q圖特征M圖特征CPCm水平直線xQQ>0QQ<0x斜直線增函數(shù)xQxQ降函數(shù)xQCQ1Q2Q1–2=P自左向右突變xQC無變化斜直線xM減函數(shù)xM增函數(shù)曲線x上凸x下凸自左向右折角

自左向右突變與m反xM折向與P反向MxM2M1二、利用微分關系繪制剪力圖與彎矩圖的方法：

確定控制截面。

計算控制面上的剪力和彎矩。

1）截面法。

2）不取分離體的方法。

連接各特征點。6.3剪力圖和彎矩圖BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kN簡支梁受力的大小和方向如圖示。試畫出其剪力圖和彎矩圖。解：1．確定約束反力求得A、B

二處的約束反力

FAy＝0.89kN,FBy＝1.11kN根據力矩平衡方程2．確定控制面

在集中力和集中力偶作用處的兩側截面以及支座反力內側截面均為控制面。即A、C、D、E、F、B截面。

EDCF[例6-7](+)(-)BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kNEDCFM(kN.m)xO

3．建立坐標系建立FQ－x和M－x坐標系

5．根據微分關系連圖線4．應用截面法確定控制面上的剪力和彎矩值，并將其標在FQ－x和M－x坐標系中。0.891.111.3351.665(-)(-)0.335xFQ

(kN)O0.89kN=＝1.11kN[例6-7續(xù)]qBADa4aFAyFBy試畫出梁剪力圖和彎矩圖。解：1．確定約束力根據梁的整體平衡，由

求得A、B

二處的約束力qa2．確定控制面

由于AB段上作用有連續(xù)分布載荷，故A、B兩個截面為控制面，約束力FBy右側的截面，以及集中力qa左側的截面，也都是控制面。C[例6-8]（+）（-）（+）qBADa4aFAyFByqaC3．建立坐標系建立FQ－x和M－x坐標系OFQxOMx4．確定控制面上的剪力值，并將其標在FQ－x中。5．確定控制面上的彎矩值，并將其標在M－x中。[例6-8續(xù)]FAy×9a/4－1/2×q×（9a/4）2;－1/2×q×（4a）2+FAy×4a

=qa×a;小結：1）承受彎曲作用的桿，稱為梁。2）平面彎曲：載荷均作用在梁的縱向對稱面內。3）梁的內力有剪力、彎矩。作內力圖一般步驟：求約束反力截取研究對象受力圖列平衡方程內力方程畫內力圖必須掌握4）梁的平衡微分方程：6）M等于左邊Q圖面積+集中力偶(正)。5）FQ等于左邊分布載荷圖形面積+集中力(正)。概念回顧:1.平面彎曲梁有縱向對稱面，且載荷均作用在縱向對稱面內，變形后梁的軸線仍在該平面內，稱為平面彎曲?？v向對稱面Fq6.4純彎曲時梁橫截面上的正應力概念回顧:2.純彎曲純彎曲:梁橫截面上的內力只有彎矩。橫力彎曲:若梁的橫截面上既有彎矩，又有剪力。FFM0aaFQFQ=0F一般情況簡單特例FQ=0FQMM=FaM=M0M6.4梁的應力問題:平面純彎曲梁橫截面上的正應力?思路：仍按照研究變形體力學問題的主線。討論平面純彎曲梁。橫截面上只有彎矩。彎矩分布在橫截面上，xMMys只能是正應力。力的平衡(已熟悉)

變形的幾何協(xié)調

(幾何分析)

力與變形之關系

(物理關系)z討論矩形截面純彎曲梁。1.彎曲變形實驗現(xiàn)象AA、BB仍保持直線，但相對地轉過一角度d

。aa縮短，bb伸長，變?yōu)榛⌒?，但仍與AA、BB線正交。2.彎曲的基本假設—平面假設梁的橫截面在彎曲變形后仍保持為平面，且仍與梁的軸線垂直。6.4.1彎曲變形幾何分析AABBaabbMMABBAaabbd

MM變形后3.推論：若梁由縱向纖維組成，則其變形是伸長或縮短。凹部纖維aa縮短，凸部bb纖維伸長，總有一層纖維既不伸長又不縮短，此層稱為中性層。2.彎曲的基本假設—平面假設梁的橫截面在彎曲變形后仍保持為平面，且仍與梁的軸線垂直。有中性層存在AABBaabbMM中性層(面)中性軸中性層(面)中性層與橫截面的交線稱為中性軸。ABBAaabbd

MM變形后4.變形幾何關系考慮梁AA-BB間的微段，oo在中性層上，r為中性層的曲率半徑。截面坐標如圖。yzao距中性層為y的縱向纖維aa:變形前：變形后：ABBAaaood

MMyr橫截面上任一點處線應變e的大小與該點到中心層的距離y成正比。re/y-=應變：()rrrreyd

yaaaaaall-=--=-=D=d

d

線彈性應力-應變關系：

s=Ee=-Ey/rHook定理基于：縱向纖維受單向拉壓；材料拉壓彈性常數(shù)相等。則橫截面上各點的正應力s的大小與該點到中性軸的距離y成正比。6.4.2材料的物理關系中性軸以上，y>0，s為負，是壓應力，纖維縮短。中性軸以下，y<0，s為正，是拉應力，纖維伸長。到中性軸距離相同各處，y=const.，應力相等。問題：中性軸位置？中性軸上，s=0，截面上、下緣，s=s。maxMxyz中性軸smax壓smax拉微段平衡：截面彎矩M

=M，M

分布在截面上，截面內力與M構成xy面內的平衡力系。6.4.3靜力平衡條件E、r均不為零，后一積分是截面對z軸的靜矩S，S=0，表示中性軸z過截面形心(垂直于y)。zz；＝即，＝0:0=-ò?òAAxydAEdAFrs即：；，＝00=--ò?MdAyMAZsò=AMdAyE2rIz為截面對z軸的慣性矩,取決于截面幾何性質。令：則有：1/r=M/EIzò=AzdAyI2Mxyz中性軸ydA截面對z軸的慣性矩I

的計算：z矩形截面：ozybhydy取微面積如圖dA=bdyoyzd圓形截面：取微面積如圖。()222IIdAzydAIyzAArr+=+==òò由對稱性知：yzdAò=AzdAyI212322bhdybydAyIh/2Az===òò-h/2642/4dIIIzypP===結論：s=-My/Iz分析結果匯總：變形幾何關系：e=-y/r物理關系：s=Ee=-Ey/r中性軸上，s=0，截面上、下緣，s=s。max靜力平衡條件：