高考數學一輪復習：08 不等式中的最值與參數特色訓練

八、不等式中的最值與參數

一、選擇題

1.【河南省天一大聯(lián)考高三上10月測試】已知m,〃w(0,+oo),若m=：+2,則〃的最小

值是()

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

[解析】因為m=—+2,化簡可存mn=m+2n>2y]2mn,故>Smn,即加〃之8,

當且僅當機=2〃=4是等號成立，即用九的最小值是8,故選C.

2.【浙江省“七彩陽光”聯(lián)盟高二上期初聯(lián)考】若加I2n=20(m,n>0),貝Hgw(lgmIlg2)

的最大值是()

A.1B.V2C.D.2

【答案】A

【解析】+32)=電掰電2"《(胞=3(72麓),又由

加+2〃=20A2^嬴，所以膽篦工50,從而lg?(lg麓+】g2)Wl,當且僅當掰=10,〃=5時取最大值.所

以選A.

3.【遼寧省莊河市高級中學、沈陽市第二十中學高三上第一次聯(lián)考】己.知a>b>0,則a+白+

a+b

々的最小值為()

a-b

A.乎B.4C.2V3D.3V2

【答案】D

【解析】因a=：[(a+b)+(a-b)],故a+捻+±=：(a+b)+提+：(a-b)+3,又因

為：(a+b)+N2vx[(a-b)+N26=遮，所以a+N3e,當且僅當

即卜一"+7)取等號，應選答案D.

(a-b=V2lb=1(2-V2)

x>0

4.【浙江卷】若x,y滿足約束條件｛x+y?320，貝Uz=x+2y的取值范圍是

x-2y<0

A.[0,6]B.[0,4]C.[6,+oo）D.[4,+oo）

【答案】D

\>0

,x+y-3>0

【解析】解：x、y滿足約束條件|x-2y<0,表示的可行域如圖：

目標函數V/2y經過C點時，函數取得最小值）

\+y-3=0

由[x-2y=°解得。（2,1）,

目標函數的最小值為：4

目標函數的范圍是[￡400）.

故選：D.

5.【河南省林州市第一中學高三8月調研】已知正項等比數列｛為｝的前〃項和為S〃，且

S8-2S4=5,則佝+4o+41+42的最小值為（）

A.10B.15C.20D.25

【答案】C

【解析】由題意可得：出+4o+4l+%2=S]2-工，由Sg—2S4=5可得Sg-S4=S4+5,

由等比數列的性質可得：成等比數歹

S4,S8-54,SI2-58|J,

則：S《（S口一品）=（昂一§4口綜上可得:

%+/+%+%=吊2-項二S+—+10>2^x—4-10=20,

=(4S&VS4

當且僅當S4=5時等號成立.

綜上可得,則%+.+%1+q2的最小值為20.

本題選擇C選項.

6.【湖南省邵陽市洞口一中、隆回一中、武岡二中高三上第二次月考】已知實數x,y滿.足條件

x+2y>2

2x+y<2,則（的最小值為

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

由卷=八（工）；由產：？；2nB（0,2）；由「黃；？"（0,2）；由約束條件

I4入Ty-4nn'X—U'X—U

做出（x,y）的可行域如圖所示，?的值為可行域中的點與原點0的連線的斜率，觀察圖形可知

OA的斜率最小，所以修）=1.故選A.

x>0

7.【20L8屆安徽省屯溪第一中學高三第二次月考】設點P（x,y）.在不等式組2x-y<0表示

x+y-3<0

的平面區(qū)域上，則z=x2+y2-2x+1的最小值為（）

A.1.B.-C.4D.-

55

【答案】D

11=：-設卜=法示可行域中的點與點（0,0）連線的斜率,

由圖知kE&2］,

.,?利用函數U=k—：單調遞熠可得口的取值范圍為［-泉；］.

本題選擇D選項.

10.【云南省師范大學附屬中學高三月考一】若直線OT+如一2=0（〃>0,力>0）始終平分

圓Y+y?—2x—2y=2的周長，則二一+丁的最.小值為（）

2ab

3-2>/23-25/23+2夜3+2加

-------------B.---C.---D.——-——

【答案】D

【解析】直線平分圓周，則直線過圓心（U）,所以有

3+2立

4

（當且僅當b=缶時取“二”），故選D.

x+2y-5>0,

11.【黑龍江省海林市朝鮮中學高三綜合卷一】已知實數x，y滿足｛x—3y+520,若目

kx-y-5k<^

標函數4=3x+y的最小值的7倍與Z2=x+7y的最大值相等，則實數上的值為（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】因為a=3尤+7過點（L2）時取得最小值為5,聯(lián)立方程組:

x+7y=35x=7

解得｛，代入上=0,計算出上=2,選D.

x-3y+5=0y=4

x-2y>-2

12.【浙江省“七彩陽光”聯(lián)盟高三上期初聯(lián)考】已知變量滿足約束條件｛x-y<0

x>-4

若不等式2X-〉+m220恒成立，則實數機的取值范圍為（)

A.[-B.

C.^—00,—>/6>/6,-FoojD.00,—\/7-Fooj

【答案】0

x-2y>-2

【解析】作出約束條件｛x-y<0所對應的可行域（如圖中陰影部分），令z=-2x+y,

x>-4

當直線經過點A（-4,-l）時，z取得最大值，即4皿=一2義（-4）-1=7,所以

（-O0,-V7]u[V7,+oo）,故選D.

二、填空題

13.已知a+b>0,c>0,則(a+b+c)島+?的最小值是—

【答案】4

【解析】由題意可得:

S+b+。島+2)

=[(a+b)+c]島+3

ca+b

=2H-----4-----

a+bc

Ica4-b

>2+2—rX——

Ja4-bc

=4

當且僅當±=世時等號成立.

a+bc

據此可得(a+b+c)+J的最小值是4.

14.【天津卷】若a,bwR,">0,則/+4/+1的最小值為

【答案】4

【解析】04+4：4+1..5+1二癡6+々心二:4,（前一個等號成立條件是出=M2,后

ababab\ab

一個等號成立的條件是,=兩個等號可以同時取得，則當且僅當。2=4，"=’時取等號）.

224

15.【浙江省嘉興市第一中學高三9月測試】當1WXW3時，|3a+2b|-|a-2b|<|a|-

（x+3+1）對任意實數a,b都成立，則實數的取值范圍是________.

【答案】m2：

【解析】當a=0時，不等式顯然成立；

當aHO時，|3+弓|一|1一同分+1+1

而出+當一卜一學工|（3+g）+（1-個）|=4,.,.X+?+1N4,即mN3x—x2

當1SXW3時，3x—X243x三一2=2,m>-

2444

故答案為：m>

4

16.已知數列｛%｝滿足q=g,4+［二六］（〃€'”）,若不等式加“+：+120恒成立，

則實數t的取值范圍是

【答案】[-9,+8)

【解析】由勺+1=—與得—=0=1+_1,則_1=2,|2是以2為首項，1為公差的等差數列,

?！?1。小144%UJ

114t4

—=2+(n-l)sl=n+l,代入%+:+1得-!-+二+120即

6k+1nw+1n

4

t^-n—5,由不等式得ft-9.

n

三、解答題

17.【遼寧省莊河市高級中學、沈陽市第二十中學高三上第一次聯(lián)考】已知函數f(x)=|2x-1|+

|x-2|.

(1)求不等式f(x)N3的解集；

(2)若f(x)NA+；(m,n>0)對任意xCR恒成立，求m十n的最小值.

【答案】(1){x|xW0或XN2}(2)1

(-3x4-3(x<}

【解析】試題分析：(1)寫出分段函數f(x)={x+lC〈xW2)，再分段討論解不等式。(2)

(3x-3(x>2)

即求f(x)的最小值，由(1)中分段函數可知最小值為會即5+(3|，由于m,n>0,所以

m+nw|mn,再由重要不等式m+nE|mn工|(巴產)?，可解。

(-3x+3(x*)]

X

試題解析：⑴f(x)=jx+i(l<x<2)?-f(x)>3-2或行Vx$2或

k3x-3(x>2)X+'X+-

:&解得|x<0或x>2

f(x)>3的解集為{x|x<0或x>2}.

⑵由圖知儂.=)4+三門鬻q

即m+nqmnq(掌當且僅當m=咄寸等號成立,

???mm>0,解得m+n之，當且僅當10=咄寸等號成立

故m+n的最小值為也

18.在AA3c中，角A、8、。的對邊分別為。、b、c,且滿足

Q

4cosC+cos2C=4cosCcos2一.

2

(1)求角C的大??；

(2)若CA—，C8=2,求AABC面積的最大值.

2

【答案】(1)C=—(2)25/3

3

【解析】試題分析：(1)利用二倍角公式對原等式化簡可求得cosC的值，進而求得C.

(2)對原等式平方，利用向量的數量積的運算公式求得關于〃和b的關系式，進而利用基

本不等式求得的范圍，進而求得三角形面枳的最大值.

試題解析：

Q

(1)由4cosC+cos2C=4cosCcos2—得

2

4cosC+2COS2C-1=2cosC(1+cosC)

解得cosC=1,

2

jr

由0vC<7T,所以C=—

3

(2)取BC中點D,貝R誣一;而=2=|DA

在AADC中,AD2=AC2+CD2-2ACCDcosC

(注：也可將CA—gcB=2=|DA]兩邊平方)

所以"K8,當且僅當。=4,人=2時取等號

此時SAABC=；〃bsinC=弓次？，其最大值為2道

19.【貴州省貴陽市普通高中高三8月摸底】已知函數f(x)=x+|x+2].

(D解不等式/(x)之6的解集M：

(2)記(1)中集合M中元素最小值為〃2,若a,bsR+,且〃+力=w，求+的最

小值.

【答案】(1)M={A|X>2}；(2)4.

【解析】試題分析：

⑴零點分段可得解不等式/(x)>6的解集M={小N2}；

(2)由題意結合均值不等式的結論即可證得題中的不等式，注意等號成立的條件.

試題解析：

(1)/(x)>6,即為x+|x+2|N6,

x<-2x>—2

或｛,即xN2

x-x-2>6x+x+2>6

M=｛木>2｝.

(2)由(1)知m=2,即。+8=2,且a,bwR+,

±453ba、53~"4.

—+—>-+-x2.

\2a2)\2b224ab24ab

當且僅當。=匕=1時,取得最小值4.

20.【安徽省亳州市二中高三下檢測】已知〃>0/>0,函數/(%)=卜+4+|2工一百的最小

值為1.

(I)求證：2。+匕=2；

(II)若。+?之3人恒成立，求實數，的最大值.

9

【答案】(I)詳見解析，(II)實數，的最大值為不.

2

【解析】試題分析：(D根據絕對值定義將函數/(%)化為分段函數形式，并求出最小值，再根據最小值為

1,得結論，⑵先利用變量分離，將不等式恒成立問題轉化為對應函數最值問題：fW史學的最小值，

再利用1的代換及基本不等式求最值，即得實數f的最大值.

試題解析：(I)法一：f(x)=\x+a\+\2x-h\=\x+a\+x--\+\x--,

=a+。且b

V|x++>0,

A刎KM-22

A/(x)>a+^,當x=g時取等號，即f(x)的最小值為〃+g,

+-=1,2a+b=2.

2

一b

法—.：?—a<—>

2

-3x-a+byx<-a

/(x)=|x+a|+|2x-^|={-%+?+Z?,-a<x<^,

3x+a-b,x>—

2

顯然“力在卜上單調遞減，“X）在上單調遞增,

d+—=1,2a+b=2.

2

（II）;。+?之〃乃恒成立,

a+2b

NE恒成立,

ab

+?=.+4會+為

-a-+-2-b=一1十—2=

abba,221ba)

,.2.。+2b-…9

當4=/>=;時，------取得最小值—,

3ab2

99

即實數r的最大值為大.

22

21.【浙江省臺州市高三4月調研】已知數列｛aC滿足：a>0a+-<2（neN*）.

n/n+1an

（1）求證：an+2<an+1<2（neN"）；

（2）求證：an>l（neN*）.

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）根據冊+,=2-2<2,證明右邊，再根據基本不等式2>玉+2+士、2居，

證明不等式的左邊；（2）利用反證法，設存在“N<1,利用條件和（1）逐步推得矛盾.

試題解析：（1）由an>O,an+1+工V2,

an

所以an+iV2—--<2,因為2>an+2——N2但工，

anan+lan+l

所以an+2Van+lV2.

（2）假設存.在aN<1（N>1,NGN*）,

由（1）可得當n>N時，an<aN+l<1,

根據an+i—1V1——=-n<0>而an<1>

anan

所以」■r>a?=l+」7.

an+i"lan-la^-l

于是」

aN+2-1^N+l-l

aN+n_13N+n-l-l

累加可得>一>n-l+(*)

aN+nT3N+1-1

由⑴可得鈾+口-1<0,

而當n>一產7+1時，顯然有n_l+1y>0,

aM+l-1dN+l-1

因此有屋—<n_l+/

這顯然與(*)矛盾,所以%>l(nEN)

22.【浙江省臺州市高三4月調研】已知函數f(x)=gx3+Tax2+bx(