2024高考數學一輪復習統考第9章平面解析幾何第6講雙曲線學案含解析北師大版

PAGE1-第6講雙曲線基礎學問整合1．雙曲線的概念平面內與兩個定點F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距離的差的肯定值為常數(小于|F1F2|且不等于零)的點的軌跡叫做eq\x(\s\up1(01))雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的eq\x(\s\up1(02))焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的eq\x(\s\up1(03))焦距.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數且a(1)當eq\x(\s\up1(04))a<c時，M點的軌跡是雙曲線；(2)當eq\x(\s\up1(05))a＝c時，M點的軌跡是兩條eq\x(\s\up1(06))射線；(3)當eq\x(\s\up1(07))a>c時，M點不存在．2．雙曲線的標準方程和幾何性質標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質范圍x≥eq\x(\s\up1(08))a或x≤eq\x(\s\up1(09))－a，y∈Rx∈R，y≤eq\x(\s\up1(10))－a或y≥eq\x(\s\up1(11))a對稱性對稱軸：坐標軸對稱中心：原點頂點A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)焦點F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)漸近線eq\x(\s\up1(12))y＝±eq\f(b,a)xeq\x(\s\up1(13))y＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈eq\x(\s\up1(14))(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的eq\x(\s\up1(15))實軸，它的長|A1A2|＝eq\x(\s\up1(16))2a；線段B1B2叫做雙曲線的eq\x(\s\up1(17))虛軸，它的長|B1B2|＝eq\x(\s\up1(18))2b；a叫做雙曲線的半實軸長，b叫做雙曲線的半虛軸長a，b，c的關系eq\x(\s\up1(19))c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)1．雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b.2．若P是雙曲線右支上一點，F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.3．同支的焦點弦中最短的為通徑(過焦點且垂直于長軸的弦)，其長為eq\f(2b2,a)；異支的弦中最短的為實軸，其長為2a.4．若P是雙曲線上不同于實軸兩端點的隨意一點，F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，則S△PF1F2＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))，其中θ為∠F1PF2.5．若P是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)右支上不同于實軸端點的隨意一點，F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，I為△PF1F2內切圓的圓心，則圓心I的橫坐標為定值a.6．等軸雙曲線(1)定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線．(2)性質：①a＝b；②e＝eq\r(2)；③漸近線相互垂直；④等軸雙曲線上隨意一點到中心的距離是它到兩焦點距離的等比中項．1．(2024·浙江高考)漸近線方程為x±y＝0的雙曲線的離心率是()A．eq\f(\r(2),2) B．1C．eq\r(2) D．2答案C解析由題意可得eq\f(b,a)＝1，∴e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋12)＝eq\r(2).故選C．2．(2024·北京高考)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的離心率是eq\r(5)，則a＝()A．eq\r(6) B．4C．2 D．eq\f(1,2)答案D解析由雙曲線方程eq\f(x2,a2)－y2＝1，得b2＝1，∴c2＝a2＋1.∴5＝e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋1,a2)＝1＋eq\f(1,a2).結合a>0，解得a＝eq\f(1,2).故選D．3．(2024·寧夏模擬)設P是雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,20)＝1上一點，F1，F2分別是雙曲線的左、右焦點，若|PF1|＝9，則|PF2|等于()A．1 B．17C．1或17 D．以上均不對答案B解析依據雙曲線的定義得||PF1|－|PF2||＝8?|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17，故選B．4．(2024·湖北荊州模擬)若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線經過點(3，－4)，則此雙曲線的離心率為()A．eq\f(\r(7),3) B．eq\f(5,4)C．eq\f(4,3) D．eq\f(5,3)答案D解析由已知可得雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，點(3，－4)在漸近線上，∴eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)，又a2＋b2＝c2，∴c2＝a2＋eq\f(16,9)a2＝eq\f(25,9)a2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,3).故選D．5．(2024·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)經過點(3,4)，則該雙曲線的漸近線方程是________.答案y＝±eq\r(2)x解析因為雙曲線x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)經過點(3,4)，所以9－eq\f(16,b2)＝1(b>0)，解得b＝eq\r(2)，即雙曲線方程為x2－eq\f(y2,2)＝1，其漸近線方程為y＝±eq\r(2)x.6．已知曲線方程eq\f(x2,λ＋2)－eq\f(y2,λ＋1)＝1，若方程表示雙曲線，則λ的取值范圍是________．答案λ<－2或λ>－1解析∵方程eq\f(x2,λ＋2)－eq\f(y2,λ＋1)＝1表示雙曲線，∴(λ＋2)(λ＋1)>0，解得λ<－2或λ>－1.核心考向突破考向一雙曲線的定義例1(1)(2024·山西太原模擬)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,4)＝1(a>0)的一條漸近線方程為2x＋3y＝0，F1，F2分別是雙曲線C的左、右焦點，點P在雙曲線C上，且|PF1|＝2，則|PF2|＝()A．4 B．6C．8 D．10答案C解析由題意得eq\f(2,a)＝eq\f(2,3)，解得a＝3.因為|PF1|＝2，所以點P在雙曲線的左支上．所以|PF2|－|PF1|＝2a，解得|PF2|＝8.故選C．(2)(2024·河南濮陽模擬)已知雙曲線x2－y2＝4，F1是左焦點，P1，P2是右支上的兩個動點，則|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是()A．4 B．6C．8 D．16答案C解析設雙曲線的右焦點為F2，∵|F1P1|＝2a＋|F2P1|，|F1P2|＝2a＋|F2P2|，∴|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|＝2a＋|F2P1|＋2a＋|F2P2|－|P1P2|＝8＋(|F2P1|＋|F2P2|－|P1P2|)≥8(當且僅當P1，P2，F2三點共線時，取等號)，∴|F1P1|＋|F1P2|－|P(1)①抓住“焦點三角形PF1F2”(2)利用雙曲線定義求方程，要留意三點：①距離之差的肯定值；②2a<|F1F2|；[即時訓練]1.已知動點M(x，y)滿意eq\r(x＋22＋y2)－eq\r(x－22＋y2)＝4，則動點M的軌跡是()A．射線 B．直線C．橢圓 D．雙曲線的一支答案A解析設F1(－2,0)，F2(2,0)，由題意知動點M滿意|MF1|－|MF2|＝4＝|F1F2|，故動點M2．已知F是雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的左焦點，A(1,4)，P是雙曲線右支上的動點，則|PF|＋|PA|的最小值為________.答案9解析設雙曲線的右焦點為F1，則由雙曲線的定義，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以當|PF1|＋|PA|最小時滿意|PF|＋|PA|最小．由雙曲線的圖象，可知當點A，P，F1共線時，滿意|PF1|＋|PA|最小，|AF1|即|PF1|＋|PA|的最小值．又|AF1|＝5，故所求的最小值為9.考向二雙曲線的標準方程例2(1)已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為()A．x2－eq\f(y2,8)＝1 B.eq\f(x2,8)－y2＝1C．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≥1) D．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)答案D解析如圖所示，設動圓M與圓C1及圓C2分別外切于點A和B.依據兩圓外切的條件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，因為|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以點M到兩定點C2，C1的距離的差是常數且小于|C1C2|.又依據雙曲線的定義，得動點M的軌跡為雙曲線的左支(點M到C2的距離大，到C1的距離小)，其中a＝1，c＝3，則b2＝8.故點M的軌跡方程為x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)．(2)(2024·河北石家莊畢業(yè)班摸底)已知雙曲線過點(2,3)，漸近線方程為y＝±eq\r(3)x，則該雙曲線的標準方程是()A.eq\f(7x2,16)－eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(y2,3)－eq\f(x2,2)＝1C．x2－eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(3y2,23)－eq\f(x2,23)＝1答案C解析因為雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\r(3)x，所以可設雙曲線的方程為x2－eq\f(y2,3)＝λ(λ≠0)，將點(2,3)代入其中，得λ＝1，所以該雙曲線的標準方程為x2－eq\f(y2,3)＝1，故選C.求雙曲線的標準方程的方法(1)定義法：由題目條件推斷出動點的軌跡是雙曲線，由雙曲線定義，確定2a,2b或2c，從而求出a2，b(2)待定系數法：先確定焦點是在x軸還是在y軸，設出標準方程，再由條件確定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，假如焦點位置不好確定，可將雙曲線方程設為eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(λ≠0)，再依據條件求λ的值．留意：①雙曲線與橢圓標準方程均可設為mx2＋ny2＝1(mn≠0)，其中m>0且n>0，且m≠n時表示橢圓；mn<0時表示雙曲線，合理運用這種形式可避開探討．②常見雙曲線設法：(ⅰ)已知a＝b的雙曲線，可設為x2－y2＝λ(λ≠0)；(ⅱ)已知過兩點的雙曲線，可設為Ax2－By2＝1(AB>0)；(ⅲ)已知漸近線為eq\f(x,m)±eq\f(y,n)＝0的雙曲線，可設為eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(λ≠0)．③雙曲線的焦點位置僅靠漸近線是確定不了的，必需結合其他已知條件綜合推斷．④推斷清晰所求軌跡是雙曲線，還是雙曲線的一支．若是雙曲線的一支，則需確定是哪一支．[即時訓練]3.(2024·天津高考)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點．設A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為()A．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B．eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1C．eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1 D．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1答案C解析∵雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，∴e2＝1＋eq\f(b2,a2)＝4，∴eq\f(b2,a2)＝3，即b2＝3a2，∴c2＝a2＋b2＝4a2由題意可設A(2a,3a)，B(2a∵eq\f(b2,a2)＝3，∴漸近線方程為y＝±eq\r(3)x，則點A與點B到直線eq\r(3)x－y＝0的距離分別為d1＝eq\f(|2\r(3)a－3a|,2)＝eq\f(2\r(3)－3,2)a，d2＝eq\f(|2\r(3)a＋3a|,2)＝eq\f(2\r(3)＋3,2)a，又d1＋d2＝6，∴eq\f(2\r(3)－3,2)a＋eq\f(2\r(3)＋3,2)a＝6，解得a＝eq\r(3)，∴b2＝9.∴雙曲線的方程為eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1，故選C．4．已知圓C：(x－3)2＋y2＝4，定點A(－3,0)，則過定點A且和圓C外切的動圓圓心M的軌跡方程為__________.答案x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)解析設動圓M的半徑為R，則|MC|＝2＋R，|MA|＝R，所以|MC|－|MA|＝2，由雙曲線的定義知，M點的軌跡是以A，C為焦點的雙曲線的左支，且a＝1，c＝3，所以b2＝8，則動圓圓心M的軌跡方程為x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)．精準設計考向，多角度探究突破考向三雙曲線的幾何性質角度1雙曲線離心率問題例3(1)(2024·全國卷Ⅲ)設F為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點．若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為()A．eq\r(2) B．eq\r(3)C．2 D．eq\r(5)答案A解析令雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點F的坐標為(c,0)，則c＝eq\r(a2＋b2).如圖所示，由圓的對稱性及條件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF為直徑的圓的直徑，且PQ⊥OF.設垂足為M，連接OP，則|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝eq\f(c,2)，由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))2＝a2，∴eq\f(c,a)＝eq\r(2)，即離心率e＝eq\r(2).故選A．(2)若斜率為eq\r(2)的直線與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1恒有兩個公共點，則雙曲線離心率的取值范圍是()A．(1,2) B．(2，＋∞)C．(1，eq\r(3)) D．(eq\r(3)，＋∞)答案D解析因為斜率為eq\r(2)的直線與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1恒有兩個公共點，所以eq\f(b,a)>eq\r(2)，則e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))>eq\r(1＋2)＝eq\r(3)，所以雙曲線離心率的取值范圍是(eq\r(3)，＋∞)，故選D．求雙曲線的離心率時，將供應的雙曲線的幾何關系轉化為關于雙曲線基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2＝c2－a2和e＝eq\f(c,a)轉化為關于e的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或取值范圍．[即時訓練]5.雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別是F1，F2，過F1作傾斜角為30°的直線交雙曲線右支于M點，若MF2⊥x軸，則雙曲線的離心率為()A．eq\r(6) B．eq\r(3)C．eq\r(2) D．eq\f(\r(3),3)答案B解析如圖所示，在Rt△MF1F2中，∠MF1F2＝30°，|F1F2|＝2c，∴|MF1|＝eq\f(2c,cos30°)＝eq\f(4\r(3),3)c，|MF2|＝2c·tan30°＝eq\f(2\r(3),3)c，∴2a＝|MF1|－|MF2|＝eq\f(4\r(3),3)c－eq\f(2\r(3),3)c＝eq\f(2\r(3),3)c?e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3).6．已知點F1，F2分別是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，過點F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABF2是銳角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是()A．(1，eq\r(3)) B．(eq\r(3)，2eq\r(2))C．(1＋eq\r(2)，＋∞) D．(1,1＋eq\r(2))答案D解析依題意，0<∠AF2F1<eq\f(π,4)，故0<tan∠AF2F1<1，則eq\f(\f(b2,a),2c)＝eq\f(c2－a2,2ac)<1，即e－eq\f(1,e)<2，e2－2e－1<0，(e－1)2<2，所以1<e<1＋eq\r(2)，故選D．角度2雙曲線的漸近線問題例4(1)(2024·貴州綜合測試一)若雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線與圓(x－2)2＋y2＝1相切，則雙曲線C的漸近線方程為()A．y＝±eq\f(1,3)x B．y＝±eq\f(\r(3),3)xC．y＝±3x D．y＝±eq\r(3)x答案B解析由題可知雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，圓心為(2,0)，半徑為1，易知圓心到漸近線的距離d＝eq\f(2b,\r(a2＋b2))＝1，故4b2＝a2＋b2，即3b2＝a2，則eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)，故雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x，選B．(2)(2024·全國卷Ⅰ)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線的傾斜角為130°，則C的離心率為()A．2sin40° B．2cos40°C．eq\f(1,sin50°) D．eq\f(1,cos50°)答案D解析由題意可得－eq\f(b,a)＝tan130°，所以e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋tan2130°)＝eq\r(1＋\f(sin2130°,cos2130°))＝eq\f(1,|cos130°|)＝eq\f(1,cos50°).故選D．(1)漸近線的求法：求雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線的方法是令eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，即得兩漸近線方程eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＝±\f(b,a)x)).(2)雙曲線的幾何性質中重點是漸近線方程和離心率，在雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，離心率e與雙曲線的漸近線的斜率k＝±eq\f(b,a)滿意關系式e2＝1＋k2.[即時訓練]7.(2024·全國卷Ⅱ)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(3)，則其漸近線方程為()A．y＝±eq\r(2)x B．y＝±eq\r(3)xC．y＝±eq\f(\r(2),2)x D．y＝±eq\f(\r(3),2)x答案A解析∵e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(c2－a2,a2)＝e2－1＝3－1＝2，∴eq\f(b,a)＝eq\r(2).因為該雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\r(2)x，故選A．8．(2024·全國卷Ⅲ)雙曲線C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1的右焦點為F，點P在C的一條漸近線上，O為坐標原點，若|PO|＝|PF|，則△PFO的面積為()A．eq\f(3\r(2),4) B．eq\f(3\r(2),2)C．2eq\r(2) D．3eq\r(2)答案A解析雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1的右焦點坐標為(eq\r(6)，0)，一條漸近線的方程為y＝eq\f(\r(2),2)x，不妨設點P在第一象限，由于|PO|＝|PF|，則點P的橫坐標為eq\f(\r(6),2)，縱坐標為eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(6),2)＝eq\f(\r(3),2)，即△PFO的底邊長為eq\r(6)，高為eq\f(\r(3),2)，所以它的面積為eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(2),4).故選A．考向四直線與雙曲線的位置關系例5已知雙曲線Γ：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)經過點P(2,1)，且其中一焦點F到一條漸近線的距離為1.(1)求雙曲線Γ的方程；(2)過點P作兩條相互垂直的直線PA，PB分別交雙曲線Γ于A，B兩點，求點P到直線AB距離的最大值．解(1)∵雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1過點(2,1)，∴eq\f(4,a2)－eq\f(1,b2)＝1.不妨設F為右焦點，則F(c,0)到漸近線bx－ay＝0的距離d＝eq\f(|bc|,\r(a2＋b2))＝b，∴b＝1，a2＝2，∴所求雙曲線的方程為eq\f(x2,2)－y2＝1.(2)當直線AB的斜率不存在時，設A(x0，y0)(y0>0)，則B(x0，－y0)，eq\o(PA,\s\up6(→))＝(x0－2，y0－1)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(x0－2，－y0－1)，∵eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0，∴(x0－2)2－(y0－1)(y0＋1)＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,0)－4x0－y\o\al(2,0)＋5＝0，,\f(x\o\al(2,0),2)－y\o\al(2,0)＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝6，,y0＝\r(17)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2，,y0＝1))(舍去)，即A(6，eq\r(17))，B(6，－eq\r(17))，此時點P到AB的距離為6－2＝4.當直線AB的斜率存在時，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y＝kx＋m.將y＝kx＋m代入x2－2y2＝2中，整理得(2k2－1)x2＋4kmx＋2m∴x1＋x2＝eq\f(－4km,2k2－1)，①x1x2＝eq\f(2m2＋2,2k2－1).②∵eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0，∴(x1－2，y1－1)·(x2－2，y2－1)＝0，∴(x1－2)(x2－2)＋(kx1＋m－1)(kx2＋m－1)＝0，∴(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋m2－2m＋5＝0.將①②代入③，得m2＋8km＋12k2＋2∴(m＋2k－1)(m＋6k＋3)＝0.而P?AB，∴m＝－6k－3，從而直線AB的方程為y＝kx－6k－3.將y＝kx－6k－3代入x2－2y2－2＝0中，得(1－2k2)x2＋(24k2＋12k)x－72k2－72k－20＝0，判別式Δ＝16(17k2＋18k＋5)>0恒成立，∴y＝kx－6k－3即為所求直線．∴P到AB的距離d＝eq\f(|2k－6k－3－1|,\r(1＋k2))＝eq\f(4|k＋1|,\r(k2＋1)).∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,4)))2＝eq\f(k2＋1＋2k,k2＋1)＝1＋eq\f(2k,k2＋1)≤2.∴d≤4eq\r(2)，即此時點P到直線AB距離的最大值為4eq\r(2).∵4eq\r(2)>4，故點P到直線AB距離的最大值為4eq\r(2).求解雙曲線綜合問題的主要方法雙曲線的綜合問題主要為直線與雙曲線的位置關系．解決這類問題的常用方法是：(1)設出直線方程或雙曲線方程，然后把直線方程和雙曲線方程組成方程組，消元后轉化成關于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數的關系及整體代入的思想解題．(2)利用點差法．[即時訓練]9.設雙曲線C：eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)與直線l：x＋y＝1相交于兩個不同點A，B．(1)求雙曲線C的離心率e的取值范圍；(2)設直線l與y軸的交點為P，取eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(5,12)eq\o(PB,\s\up6(→))，求a的值．解(1)將y＝－x＋1代入雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)中，得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a2≠0，,4a4＋8a21－a2>0，))解得0<a<eq\r(2)且a≠1.又雙曲線的離心率e＝eq\f(\r(1＋a2),a)＝eq\r(\f(1,a2)＋1)，所以e>eq\f(\r(6),2)且e≠eq\r(2)，即e∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\r(2)))∪(eq\r(2)，＋∞)．(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)，因為eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(5,12)eq\o(PB,\s\up6(→))，所以(x1，y1－1)＝eq\f(5,12)(x2，y2－1)，由此得x1＝eq\f(5,12)x2.由于x1，x2是方程(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0的兩根，且1－a2≠0，所以x1＋x2＝eq\f(17,12)x2＝－eq\f(2a2,1－a2)，x1x2＝eq\f(5,12)xeq\o\al(2,2)＝－eq\f(2a2,1－a2)，消去x2得－eq\f(2a2,1－a2)＝eq\f(289,60)，由a>0，解得a＝eq\f(17,13).直線l：y＝kx＋1與雙曲線C：2x2－y2＝1的右支交于不同的兩點A，B.(