2025年新高考藝術生數(shù)學突破講義專題04基本不等式及其應用

專題04基本不等式及其應用【知識點梳理】1、基本不等式如果，那么，當且僅當時，等號成立．其中，叫作的算術平均數(shù)，叫作的幾何平均數(shù)．即正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．基本不等式1：若，則，當且僅當時取等號；基本不等式2：若，則（或），當且僅當時取等號．注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數(shù)，“二定”指求最值時和或積為定值，“三相等”指滿足等號成立的條件．（2）連續(xù)使用不等式要注意取得一致．【方法技巧與總結】1、幾個重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果，則（當且僅當“”時取“”）．特例：（同號）．（3）其他變形：①（溝通兩和與兩平方和的不等關系式）②（溝通兩積與兩平方和的不等關系式）③（溝通兩積與兩和的不等關系式）④重要不等式串：即調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值（注意等號成立的條件）．2、均值定理已知．（1）如果（定值），則（當且僅當“”時取“=”）．即“和為定值，積有最大值”．（2）如果（定值），則（當且僅當“”時取“=”）．即積為定值，和有最小值”．3、常見求最值模型模型一：，當且僅當時等號成立；模型二：，當且僅當時等號成立；模型三：，當且僅當時等號成立；模型四：，當且僅當時等號成立．【典型例題】例1．（2024·北京大興·高三統(tǒng)考期末）已知且，則下列結論中不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對A：，故A正確；對B：由，則，故，故B正確；對C：由，故，當且僅當時等號成立，由，故等號不成立，即，故C正確；對D：當、時，符合題意，但此時，故D錯誤.故選：D.例2．（2024·全國·高三專題練習）下列不等式證明過程正確的是（

）A．若，則B．若x＞0，y＞0，則C．若x＜0，則D．若x＜0，則【答案】D【解析】∵可能為負數(shù)，如時，，∴A錯誤；∵可能為負數(shù)，如時，，∴B錯誤；∵，如時，，∴C錯誤；∵，，，∴，當且僅當，即等號成立，∴D正確．故選：D．例3．（2024·湖北武漢·高三統(tǒng)考期末）已知正數(shù)，滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，，則，，即，當且僅當，即時等號成立.故選：C例4．（2024·全國·高三專題練習）已知，，且，則的最小值為（

）A．9 B．10 C．12 D．13【答案】D【解析】，當且僅當，即時，等號成立.故選：D.例5．（2024·甘肅武威·高三統(tǒng)考期末）若，且，則的最小值為（

）A．6 B．9 C．4 D．8【答案】B【解析】因為，所以，因為，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為9，故選：B.例6．（2024·全國·高三專題練習）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題可得，，則，所以，當且僅當，即時，取得等號，故選:C.例7．（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈九中?？奸_學考試）已知正實數(shù)m，n滿足，則的最大值是（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】由于，所以，即，當且僅當時等號成立．故選:B．例8．（2024·山西運城·高三?？计谀┠澈献魃缧枰盅b一批蔬菜.已知這批蔬菜只由一名男社員分裝時，需要12天完成，只由一名女社員分裝時，需要18天完成.為了讓市民盡快吃到這批蔬菜，要求一天內(nèi)分裝完畢.由于現(xiàn)有的男?女社員人數(shù)都不足以單獨完成任務，所以需要若干名男社員和若干名女社員共同分裝.已知分裝這種蔬菜時會不可避免地造成一些損耗.根據(jù)以往經(jīng)驗，這批蔬菜分裝完畢后，參與任務的所有男社員會損耗蔬菜共80千克，參與任務的所有女社員會損耗蔬菜共30千克.則參與分裝蔬菜的男社員的平均損耗蔬菜量（千克）與女社員的平均損耗蔬菜量（千克）之和的最小值為（

）A．10 B．15 C．30 D．45【答案】B【解析】設安排男社員名，女社員名，根據(jù)題意，可得，平均損耗蔬菜量之和為，則，當且僅當，即時等號成立，則分裝蔬菜的男社員的平均損耗蔬菜量（千克）與女社員的平均損耗蔬菜量（千克）之和的最小值為15.故選：B.例9．（2024·重慶·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）已知，向量，則的最大值為.【答案】/0.125【解析】由題意知，故，又，所以，故，當且僅當，結合，即時取等號，故的最大值為，故答案為：例10．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)在上的最大值為．【答案】【解析】因為，，令，則，則，當且僅當，即時，等號成立．故的最大值為．故答案為：例11．（2024·全國·高三專題練習）若實數(shù)滿足，則的最小值為．【答案】【解析】,當且僅當，即時取到等號.故答案：.【過關測試】一、單選題1．（2024·全國·高三專題練習）若，則下列不等式中不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，顯然有，故A正確；而，所以，故B正確；又，所以，故C正確；不妨令則，故D錯誤.故選：D.2．（2024·全國·高三專題練習）已知實數(shù)滿足且，則下列不等關系一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為且，所以或，對A：若，則，若，則，A錯誤；對B：∵，，∴，B錯誤；對C：由或，知且，∴，C正確；對D：當時，有，從而當，則且，∴，D錯誤.故選：C3．（2024·廣東·高三學業(yè)考試）已知正實數(shù)滿足，則的最小值是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】正實數(shù)滿足，由基本不等式得，，當且僅當，即時，等號成立.故選：C4．（2024·江蘇徐州·高三沛縣湖西中學學業(yè)考試）若，，則的最小值是（

）A．2 B．4 C．3 D．8【答案】B【解析】因，，故由，當且僅當時，等號成立.由解得：即當且僅當時，取最小值為4.故選：B.5．（2024·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，由，得，所以，當且僅當時，等號成立.故的最小值為.故選：D6．（2024·全國·高三專題練習）下列函數(shù)中，最小值為4的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】A：當時，顯然最小值不為4，排除；B：由，則，當且僅當時等號成立，滿足；C：由題意，而在上遞減，故時函數(shù)最小值為5，不滿足；D：由，當時最小值為3，不滿足.故選：B7．（2024·陜西商洛·統(tǒng)考模擬預測）設某批產(chǎn)品的產(chǎn)量為（單位：萬件），總成本（單位：萬元），銷售單價（單位：元/件）．若該批產(chǎn)品全部售出，則總利潤（總利潤銷售收入-總成本）最大時的產(chǎn)量為（

）A．7萬件 B．8萬件 C．9萬件 D．10萬件【答案】B【解析】總利潤，當且僅當，即時，最大，故總利潤最大時的產(chǎn)量為8萬件．故選：B．8．（2024·全國·高三專題練習）已知，則m，n不可能滿足的關系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，即，即.對于A，成立.對于B，，成立.對于C，，即.故C錯誤；對于D，成立.故選：C.9．（2024·全國·高三專題練習）已知，，且，則ab的最小值為（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】C【解析】∵，∴，即：∴，∵，，∴，，∴，當且僅當即時取等號，即：，當且僅當時取等號，故的最小值為16.故選：C.二、多選題10．（2024·全國·高三專題練習）十六世紀中葉，英國數(shù)學家哈利奧特用“”“”表示不等號，并逐漸被數(shù)學界所接受，不等號的引入對不等式發(fā)展影響深遠.若某同學從一樓到五樓原路往返的速度分別為和，記兩速度的算術平均值為，全程的平均速度為，則下列選項正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】設一樓到五樓的距離為，由題知，A錯誤；因為，且，所以，所以，所以，又因為，（因為，所以取不到等號），所以，B正確；對C，因為，所以，又因為，所以，即，C正確；對D，因為，所以，即，D正確；故選:BCD.11．（2024·全國·高三專題練習）已知，若，則（

）A． B．C．的最小值為8 D．的最大值為【答案】ABC【解析】對于A和B中，因為且，可得且，即，所以，且，，所以A、B正確；對于C中，由，當且僅當，且，即，時，取“”號，所以C正確；對于D中，由，即，當且僅當，且，即，時，取“”號，所以D錯誤．故選：ABC.12．（2024·吉林通化·高三梅河口市第五中學校考開學考試）已知，若，則（

）A． B．C．的最大值為 D．的最小值為8【答案】ABD【解析】因為，，則，可得，對于選項AB：因為，所以，，故AB正確；對于選項C：因為，當且僅當時，等號成立，所以的最大值為，故C錯誤；對于選項D：因為，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為8，故D正確；故選：ABD.13．（2024·山東聊城·高三統(tǒng)考期末）下列說法中正確的是（

）A．函數(shù)的最小值為4B．若，則的最小值為4C．若，，，則的最大值為1D．若，，且滿足，則的最小值為【答案】BCD【解析】對于A：當時，，故A錯誤；對于B：，當且僅當時，等號成立，故B正確；對于C：，即，解得，當且僅當時，等號成立，故C正確；對于D:，當且僅當時等號成立，此時，故D正確；故選：BCD.14．（2024·湖南長沙·高三雅禮中學?？茧A段練習）若，則下列說法一定正確的是（

）A． B．C． D．若，則【答案】BCD【解析】對于A，當時，，A錯誤；對于B，由，得，B正確；對于C，由，得，則，C正確；對于D，由，，得，，D正確.故選：BCD15．（2024·甘肅·高三統(tǒng)考階段練習）已知，若，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為1C．的最小值為8 D．的最小值為【答案】ACD【解析】對于，由，即，當且僅當，且，即時，取等號，所以A正確；對于，因為，當且僅當時，取到最小值，所以B錯誤；對于C，因為，所以，當且僅當，且，即，時，取等號，所以C正確；對于，當且僅當，且，即時，取等號，所以正確.故選：ACD.16．（2024·山東棗莊·高三棗莊八中?？茧A段練習）已知正數(shù)a，b滿足，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為4 D．的最小值為2【答案】AB【解析】A選項，∵a，b為正實數(shù)，∴，當且僅當時等號成立，又，∴，當且僅當，時等號成立，∴ab的最大值為，A正確；B選項，由基本不等式可得，故，當且僅當時等號成立，又，∴，當且僅當，時等號成立，∴的最小值為，B正確；C選項，∵，當且僅當，時等號成立，∴的最小值為8，C錯誤；D選項，，當且僅當，即時，等號成立，D錯誤.故選：AB.17．（2024·廣東湛江·高三統(tǒng)考期末）下列結論正確的是（

）A．若，則B．若，則的最小值為2C．若，則的最大值為2D．若，則【答案】AD【解析】因為，所以，因為，所以，所以，故A正確；因為的等號成立條件不成立，所以B錯誤；因為，所以，故C錯誤；因為，當且僅當，即時，等號成立，所以D正確.故選：AD18．（2024·黑龍江齊齊哈爾·高三校聯(lián)考期末）設，，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由且，，即，則，當且僅當取等號，故取不到，所以，A錯，B對；，且，所以，C對，D錯.故選：BC三、填空題19．（2024·全國·高三專題練習）若正數(shù)，滿足，則的最小值為．【答案】【解析】正數(shù)，滿足，依題意，，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為．故答案為：．20．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)的最小值為．【答案】【解析】由，又，所以，當且僅當，即時等號成立，所以原函數(shù)的最小值為.故答案為：21．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)的最大值為.【答案】/【解析】因為，則，所以≤，當且僅當，即時等號成立，所以的最大值為.故答案為：.22．（2024·全國·高三專題練習）已知正數(shù)x、y滿足，求的最小值為；【答案】/【解析】，當且僅當，即時取等號，的最小值為.故答案為：.23．（2024·江蘇無錫·高三江蘇省江陰長涇中學?？茧A段練習）已知