重難點05 圓的綜合壓軸題

重難點05圓的綜合壓軸題命題趨勢中考數(shù)學中《圓的綜合壓軸題》部分主要考向分為六類：一、圓中弧長和面積的綜合題二、圓與全等三角形的綜合題三、圓的綜合證明問題四、圓與等腰三角形的綜合題五、圓的閱讀理解與新定義問題六、圓與特殊四邊形的綜合題圓的綜合問題是中考數(shù)學中的壓軸題中的一類，也是難度較大的一類，所以，對應的訓練很有必要?？枷蛞唬簣A中弧長與面積的綜合題1．（2023?河北）裝有水的水槽放置在水平臺面上，其橫截面是以AB為直徑的半圓O，AB＝50cm，如圖1和圖2所示，MN為水面截線，GH為臺面截線，MN∥GH．計算：在圖1中，已知MN＝48cm，作OC⊥MN于點C.（1）求OC的長．操作：將圖1中的水槽沿GH向右作無滑動的滾動，使水流出一部分，當∠ANM＝30°時停止?jié)L動．如圖2．其中，半圓的中點為Q，GH與半圓的切點為E，連接OE交MN于點D．探究：在圖2中．（2）操作后水面高度下降了多少？（3）連接OQ并延長交GH于點F，求線段EF與的長度，并比較大小．2．（2023?樂山）在學習完《圖形的旋轉(zhuǎn)》后，劉老師帶領(lǐng)學生開展了一次數(shù)學探究活動．【問題情境】劉老師先引導學生回顧了華東師大版教材七年級下冊第121頁“探索”部分內(nèi)容：如圖1，將一個三角形紙板△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)θ到達的位置△AB′C′的位置，那么可以得到：AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′．（_____）劉老師進一步談到：圖形的旋轉(zhuǎn)蘊含于自然界的運動變化規(guī)律中，即“變”中蘊含著“不變”，這是我們解決圖形旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵．故數(shù)學就是一門哲學．【問題解決】（1）上述問題情境中“（_____）”處應填理由：；（2）如圖2，小王將一個半徑為4cm，圓心角為60°的扇形紙板ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°到達扇形紙板A′B′C′的位置．①請在圖中作出點O；②如果BB′＝6cm，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點B經(jīng)過的路徑長為；【問題拓展】小李突發(fā)奇想，將與（2）中完全相同的兩個扇形紙板重疊，一個固定在墻上，使得一邊位于水平位置．另一個在弧的中點處固定，然后放開紙板，使其擺動到豎直位置時靜止．此時，兩個紙板重疊部分的面積是多少呢？如圖3所示，請你幫助小李解決這個問題．考向二：圓與全等三角形綜合題1．（2023?濟寧）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD＝CB，BE切⊙O于點B，過點C作CF⊥OE交BE于點F，EF＝2BF．（1）如圖1，連接BD，求證：△ADB≌△OBE；（2）如圖2，N是AD上一點，在AB上取一點M，使∠MCN＝60°，連接MN．請問：三條線段MN，BM，DN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．2．已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，N為的中點，連接ON交AC于點H．（1）如圖①，求證：BC＝2OH；（2）如圖②，點D在⊙O上，連接DB，DO，DC，DC交OH于點E，若DB＝DC，求證OD∥AC；（3）如圖③，在（2）的條件下，點F在BD上，過點F作FG⊥DO，交DO于點G，DG＝CH，過點F作FR⊥DE，垂足為R，連接EF，EA，EF：DF＝3：2，點T在BC的延長線上，連接AT，過點T作TM⊥DC，交DC的延長線于點M，若FR＝CM，AT＝4，求AB的長．3．（2023?長春）【感知】如圖①，點A、B、P均在⊙O上，∠AOB＝90°，則銳角∠APB的大小為度．【探究】小明遇到這樣一個問題：如圖②，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，點P在弧AC上（點P不與點A、C重合），連接PA、PB、PC．求證：PB＝PA+PC．小明發(fā)現(xiàn)，延長PA至點E，使AE＝PC，連接BE，通過證明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等邊三角形，進而得證．下面是小明的部分證明過程：證明：延長PA至點E，使AE＝PC，連接BE．∵四邊形ABCP是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BAP+∠BCP＝180°，∵∠BAP+∠BAE＝180°，∴∠BCP＝∠BAE，∵△ABC是等邊三角形，∴BA＝BC，∴△PBC≌△EBA（SAS）．請你補全余下的證明過程．【應用】如圖③，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝90°，AB＝BC，點P在⊙O上，且點P與點B在AC的兩側(cè)，連接PA、PB、PC，若，則的值為．考向三：圓的綜合證明問題1．（2023?黃石）如圖，AB為⊙O的直徑，DA和⊙O相交于點F，AC平分∠DAB，點C在⊙O上，且CD⊥DA，AC交BF于點P．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）求證：AC?PC＝BC2；（3）已知BC2＝3FP?DC，求的值．2．如圖，在⊙O中，直徑AB垂直弦CD于點E，連接AC，AD，BC，作CF⊥AD于點F，交線段OB于點G（不與點O，B重合），連接OF．（1）若BE＝1，求GE的長．（2）求證：BC2＝BG?BO．（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度數(shù)，并證明你的結(jié)論．3．如圖，以AB為直徑的⊙O是△ABC的外接圓，延長BC到點D．使得∠BAC＝∠BDA，點E在DA的延長線上，點M在線段AC上，CE交BM于N，CE交AB于G．（1）求證：ED是⊙O的切線；（2）若，BD＝5，AC＞CD，求BC的長；（3）若DE?AM＝AC?AD，求證：BM⊥CE．4．（2023?廣東）綜合探究如圖1，在矩形ABCD中（AB＞AD），對角線AC，BD相交于點O，點A關(guān)于BD的對稱點為A′．連接AA′交BD于點E，連接CA′．（1）求證：AA'⊥CA'；（2）以點O為圓心，OE為半徑作圓．①如圖2，⊙O與CD相切，求證：；②如圖3，⊙O與CA′相切，AD＝1，求⊙O的面積．考向四：圓與等腰三角形的綜合1．（2023?寧波）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E為AB邊上一點，以AE為直徑的半圓O與BC相切于點D，連結(jié)AD，BE＝3，BD＝3．P是AB邊上的動點，當△ADP為等腰三角形時，AP的長為．2．（2023?上海）如圖（1）所示，已知在△ABC中，AB＝AC，O在邊AB上，點F是邊OB中點，以O(shè)為圓心，BO為半徑的圓分別交CB，AC于點D，E，連接EF交OD于點G．（1）如果OG＝DG，求證：四邊形CEGD為平行四邊形；（2）如圖（2）所示，連接OE，如果∠BAC＝90°，∠OFE＝∠DOE，AO＝4，求邊OB的長；（3）連接BG，如果△OBG是以O(shè)B為腰的等腰三角形，且AO＝OF，求的值．3．（2023?泰州）已知：A、B為圓上兩定點，點C在該圓上，∠C為所對的圓周角．知識回顧（1）如圖①，⊙O中，B、C位于直線AO異側(cè)，∠AOB+∠C＝135°．①求∠C的度數(shù)；②若⊙O的半徑為5，AC＝8，求BC的長；逆向思考（2）如圖②，若P為圓內(nèi)一點，且∠APB＜120°，PA＝PB，∠APB＝2∠C．求證：P為該圓的圓心；拓展應用（3）如圖③，在（2）的條件下，若∠APB＝90°，點C在⊙P位于直線AP上方部分的圓弧上運動．點D在⊙P上，滿足CD＝CB﹣CA的所有點D中，必有一個點的位置始終不變．請證明．考向五：圓的閱讀理解與新定義問題1．（2023?青海）綜合與實踐車輪設(shè)計成圓形的數(shù)學道理小青發(fā)現(xiàn)路上行駛的各種車輛，車輪都是圓形的．為什么車輪要做成圓形的呢？這里面有什么數(shù)學道理嗎？帶著這樣的疑問，小青做了如下的探究活動：將車輪設(shè)計成不同的正多邊形，在水平地面上模擬行駛．（1）探究一：將車輪設(shè)計成等邊三角形，轉(zhuǎn)動過程如圖1，設(shè)其中心到頂點的距離是2，以車輪轉(zhuǎn)動一次（以一個頂點為支點旋轉(zhuǎn)）為例，中心的軌跡是，BA＝CA＝DA＝2，圓心角∠BAD＝120°．此時中心軌跡最高點是C（即的中點），轉(zhuǎn)動一次前后中心的連線是BD（水平線），請在圖2中計算C到BD的距離d1．（2）探究二：將車輪設(shè)計成正方形，轉(zhuǎn)動過程如圖3，設(shè)其中心到頂點的距離是2，以車輪轉(zhuǎn)動一次（以一個頂點為支點旋轉(zhuǎn)）為例，中心的軌跡是，BA＝CA＝DA＝2，圓心角∠BAD＝90°．此時中心軌跡最高點是C（即的中點），轉(zhuǎn)動一次前后中心的連線是BD（水平線），請在圖4中計算C到BD的距離d2（結(jié)果保留根號）．（3）探究三：將車輪設(shè)計成正六邊形，轉(zhuǎn)動過程如圖5，設(shè)其中心到頂點的距離是2，以車輪轉(zhuǎn)動一次（以一個頂點為支點旋轉(zhuǎn)）為例，中心的軌跡是，圓心角∠BAD＝．此時中心軌跡最高點是C（即的中點），轉(zhuǎn)動一次前后中心的連線是BD（水平線），在圖6中計算C到BD的距離d3＝（結(jié)果保留根號）．（4）歸納推理：比較d1，d2，d3大小：，按此規(guī)律推理，車輪設(shè)計成的正多邊形邊數(shù)越多，其中心軌跡最高點與轉(zhuǎn)動一次前后中心連線（水平線）的距離（填“越大”或“越小”）．（5）得出結(jié)論：將車輪設(shè)計成圓形，轉(zhuǎn)動過程如圖7，其中心（即圓心）的軌跡與水平地面平行，此時中心軌跡最高點與轉(zhuǎn)動前后中心連線（水平線）的距離d＝.這樣車輛行駛平穩(wěn)、沒有顛簸感．所以，將車輪設(shè)計成圓形．2．（2023?陜西）（1）如圖①，∠AOB＝120°，點P在∠AOB的平分線上，OP＝4．點E，F(xiàn)分別在邊OA，OB上，且∠EPF＝60°，連接EF．求線段EF的最小值；（2）如圖②，是一個圓弧型拱橋的截面示意圖．點P是拱橋的中點，橋下水面的寬度AB＝24m，點P到水面AB的距離PH＝8m．點P1，P2均在上，＝，且P1P2＝10m，在點P1，P2處各裝有一個照明燈，圖中△P1CD和△P2EF分別是這兩個燈的光照范圍．兩燈可以分別繞點P1，P2左右轉(zhuǎn)動，且光束始終照在水面AB上．即∠CP1D，∠EP2F可分別繞點P1，P2按順（逆）時針方向旋轉(zhuǎn)（照明燈的大小忽略不計），線段CD，EF在AB上，此時，線段ED是這兩燈照在水面AB上的重疊部分的水面寬度．已知∠CP1D＝∠EP2F＝90°，在這兩個燈的照射下，當整個水面AB都被燈光照到時，求這兩個燈照在水面AB上的重疊部分的水面寬度．（可利用備用圖解答）3．（2023?北京）在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1．對于⊙O的弦AB和⊙O外一點C給出如下定義：若直線CA，CB中一條經(jīng)過點O，另一條是⊙O的切線，則稱點C是弦AB的“關(guān)聯(lián)點”．（1）如圖，點A（﹣1，0），B1（，），B2（，）．①在點C1（﹣1，1），C2（，0），C3（0，）中，弦AB1的“關(guān)聯(lián)點”是；②若點C是弦AB2的“關(guān)聯(lián)點”，直接寫出OC的長；（2）已知點M（0，3），N（，0），對于線段MN上一點S，存在⊙O的弦PQ，使得點S是弦PQ的“關(guān)聯(lián)點”．記PQ的長為t，當點S在線段MN上運動時，直接寫出t的取值范圍．4．在探究“四點共圓的條件”的數(shù)學活動課上，小霞小組通過探究得出：在平面內(nèi)，一組對角互補的四邊形的四個頂點共圓．請應用此結(jié)論，解決以下問題：如圖1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（60°＜α＜180°）．點D是BC邊上的一動點（點D不與B，C重合），將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α到線段AE，連接BE．（1）求證：A，E，B，D四點共圓；（2）如圖2，當AD＝CD時，⊙O是四邊形AEBD的外接圓，求證：AC是⊙O的切線；（3）已知α＝120°，BC＝6，點M是邊BC的中點，此時⊙P是四邊形AEBD的外接圓，直接寫出圓心P與點M距離的最小值．考向六：圓與特殊四邊形綜合1．（2023?威海）已知：射線OP平分∠MON，A為OP上一點，⊙A交射線OM于點B，C，交射線ON于點D，E，連接AB，AC，AD．（1）如圖1，若AD∥OM，試判斷四邊形OBAD的形狀，并說明理由；（2）如圖2，過點C作CF⊥OM，交OP于點F；過點D作DG⊥ON，交OP于點G．求證：AG＝AF．2．（2023?益陽）如圖，線段AB與⊙O相切于點B，AO交⊙O于點M，其延長線交⊙O于點C，連接BC，∠ABC＝120°，D為⊙O上一點且的中點為M，連接AD，CD．（1）求∠ACB的度數(shù)；（2）四邊形ABCD是否是菱形？如果是，請證明；如果不是，請說明理由；（3）若AC＝6，求的長．重難通關(guān)練（建議用時：80分鐘）1．如圖1，已知AB是⊙O的直徑，PB是⊙O的切線，PA交⊙O于點C，AB＝4，PB＝3．（1）填空：∠PBA的度數(shù)是，PA的長為；（2）求△ABC的面積；（3）如圖2，CD⊥AB，垂足為D．E是上一點，AE＝5EC．延長AE，與DC，BP的延長線分別交于點F，G，求的值．2．（2023?臺州）我們可以通過中心投影的方法建立圓上的點與直線上點的對應關(guān)系，用直線上點的位置刻畫圓上點的位置．如圖，AB是⊙O的直徑，直線l是⊙O的切線，B為切點．P，Q是圓上兩點（不與點A重合，且在直徑AB的同側(cè)），分別作射線AP，AQ交直線l于點C，點D．（1）如圖1，當AB＝6，弧BP長為π時，求BC的長；（2）如圖2，當，時，求的值；（3）如圖3，當，BC＝CD時，連接BP，PQ，直接寫出的值．3．（2023?遂寧）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，AD＝CD，過點D的直線l交BA的延長線于點M．交BC的延長線于點N且∠ADM＝∠DAC．（1）求證：MN是⊙O的切線；（2）求證：AD2＝AB?CN；（3）當AB＝6，sin∠DCA＝時，求AM的長．4．如圖，在⊙O中，AB是一條不過圓心O的弦，點C，D是的三等分點，直徑CE交AB于點F，連結(jié)AD交CF于點G，連結(jié)AC，過點C的切線交BA的延長線于點H．（1）求證：AD∥HC；（2）若＝2，求tan∠FAG的值；（3）連結(jié)BC交AD于點N，若⊙O的半徑為5．下面三個問題，依次按照易、中、難排列．請根據(jù)自己的認知水平，選擇其中一道問題進行解答．①若OF＝，求BC的長；②若AH＝，求△ANB的周長；③若HF?AB＝88，求△BHC的面積．5．（2023?長沙）如圖，點A，B，C在⊙O上運動，滿足AB2＝BC2+AC2，延長AC至點D，使得∠DBC＝∠CAB，點E是弦AC上一動點（不與點A，C重合），過點E作弦AB的垂線，交AB于點F，交BC的延長線于點N，交⊙O于點M（點M在劣弧上）．（1）BD是⊙O的切線嗎？請作出你的判斷并給出證明；（2）記△BDC，△ABC，△ADB的面積分別為S1，S2，S，若S1?S＝（S2）2，求（tanD）2的值；（3）若⊙O的半徑為1，設(shè)FM＝x，F(xiàn)E?FN?＝y(tǒng)，試求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍．6．（2023?寧波）如圖1，銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，D為BC的中點，連結(jié)AD并延長交⊙O于點E，連結(jié)BE，CE，過C作AC的垂線交AE于點F，點G在AD上，連結(jié)BG，CG，若BC平分∠EBG且∠BCG＝∠AFC．（1）求∠BGC的度數(shù)．（2）①求證：AF＝BC．②若AG＝DF，求tan∠GBC的值．（3）如圖2，當點O恰好在BG上且OG＝1時，求AC的長．培優(yōu)爭分練（建議用時：80分鐘）1．（2023?東營區(qū)校級一模）如圖，PA、PB是⊙O的切線，切點分別為A、B，BC是⊙O的直徑，PO交⊙O于E點，連接AB交PO于F，連接CE交AB于D點．下列結(jié)論：①PA＝PB；②OP⊥AB；③CE平分∠ACB；④；⑤E是△PAB的內(nèi)心；⑥△CDA≌△EDF．其中一定成立的有（）個．A．5 B．4 C．3 D．22．（2023?鹿城區(qū)校級三模）如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC＝2，過BC上一點D作DE⊥BC，交AB于點E，以點D為圓心，DE的長為半徑作半圓，交AC，AB于點F，G，交直線BC于點H，I（點I在H左側(cè)）．當點D與點C重合時（如圖2），GH＝；當EF＝GH時，CD＝．3．（2023?湖北模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD與過點C的切線垂直，垂足為D，直線DC與AB的延長線交于點P，弦CE平分∠ACB，交AB于點F，連接BE，BE＝7，下列四個結(jié)論：①AC平分∠DAB；②PF2＝PB?PA；③若BC＝OP，則陰影部分的面積為；④若PC＝24，則tan∠PCB＝；其中，所有正確結(jié)論的序號是．4．如圖1，AB，CD是⊙O的兩條互相垂直的弦，垂足為E，連結(jié)BC，BD，OC．（1）求證：∠BCO＝∠ABD．（2）如圖2，過點A作AF⊥BD，交CD于G，求證：CE＝EG．（3）如圖3，在（2）的條件上，連結(jié)BG，若BG恰好經(jīng)過圓心O，若⊙O的半徑為5，，求AB的長．5．（2024?常州模擬）對于⊙C和⊙C上的一點A，若平面內(nèi)的點P滿足：射線AP與⊙C交于點Q（點Q可以與點P重合，且，則點P稱為點A關(guān)于⊙C的“陽光點”．已知點O為坐標原點，⊙O的半徑為1，點A（﹣1，0）．（1）若點P是點A關(guān)于⊙O的“陽光點”，且點P在x軸上，請寫出一個符合條件的點P的坐標；（2）若點B是點A關(guān)于⊙O的“陽光點”，且，求點B的橫坐標t的取值范圍；（3）直線與x軸交于點M，且與y軸交于點N，若線段MN上存在點A關(guān)于⊙O的“陽光點”，請直接寫出b的取值范圍是．6．（2024?廣東一模）如圖1，在⊙O中，AB為⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，點D在劣弧BC上，CE⊥CD交AD于E，連接BD．（1）求證：△ACE～△BCD；（2）若cos∠ABC＝m，求；（用含m的代數(shù)式表示）（3）如圖2，DE的中點為G，連接GO，若BD＝a，cos∠ABC＝，求OG的長．7．（2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級模擬）在矩形ABCD中，M、N分別在邊BC、CD上，且AM⊥MN，以MN為直徑作⊙O，連結(jié)AN交⊙O于點H，連結(jié)CH交MN于點P，AB＝8，AD＝12．（1）求證：∠MAD＝∠MHC；（2）若AM平分∠BAN，求MP的長；（3）若△CMH為等腰三角形，直接寫出BM的長．8．如圖，在⊙O中，AB是一條不過圓心O的弦，C，D是的三等分點，直徑CE交AB于點F，連結(jié)BD交CF于點G，連結(jié)AC，DC，過點C的切線交AB的延長線于點H．（1）求證：FG＝CG．（2）求證：四邊形BDCH是平行四邊形．（3）若⊙O的半徑為5，OF＝3，求△ACH的周長．9．（2024?五華區(qū)校級模擬）如圖，AB，CD是⊙O的兩條直徑，且AB⊥CD，點E是上一動點（不與點B，D重合），連接DE并延長交AB的延長線于點F，點P在AF上，且∠PEF＝∠DCE，連接AE，CE分別交OD，OB于點M，N，連接AC，設(shè)⊙O的半徑為r．（1）求證：PE是⊙O的切線；（2）當∠DCE＝15°時，求證：AM＝2ME；（3）在點E的移動過程中，判斷AN?CM是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．10．已知：如圖，⊙O內(nèi)兩條弦AB、CD，且AB⊥CD于E，OA為⊙O半徑，連接AC、BD．（1）求證：∠OAC＝∠BCD；（2）作EN⊥BD于N，延長NE交AC于點H．求證：AH＝CH；（3）在（2）的條件下，作∠EHF＝60°交AB于點F，點P在FE上，連接PC交HN于點L，當EL＝HF＝，CL＝8，BE＝2PF時，求⊙O的半徑．11．（2024?鹿城區(qū)校級一模）如圖1，銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，點E是AB的中點，連結(jié)EO并延長交BC于D，點F在AC上，連結(jié)AD，DF，∠BAD＝∠CDF．（1）求證：DF∥AB．（2）當AB＝9，AF＝FD＝4時，①求tan∠CDF的值；②求BC的長．（3）如圖2，延長AD交⊙O于點G，若，求的值．12．（2024?正陽縣一模）【材料】自從《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》實施以來，九年級的晏老師通過查閱新課標獲悉：切線長定理由“選學”改為“必學”，并新增“會過圓外的一個點作圓的切線”，在學習完《切線的性質(zhì)與判定》后，她布置一題：“已知：如圖所示，⊙O及⊙O外一點P．求作：直線PQ，使PQ與⊙O相切于點Q．李蕾同學經(jīng)過探索，給出了如下的一種作圖方法：（1）連接OP，分別以O(shè)、P為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧分別交于A、B兩點（A、B分別位于直線OP的上下兩側(cè)）；（2）作直線AB，AB交OP于點C；（3）以點C為圓心，CO為半徑作⊙C，⊙C交⊙O于點Q（點Q位于直線OP的上側(cè)）；（4）連接PQ，PQ交AB于點D，則直線PQ即為所求．【問題】（1）請按照步驟完成作圖，并準確標注字母（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；（2）結(jié)合圖形，說明PQ是⊙O切線的理由；（3）若⊙O半徑為2，OP＝6．依據(jù)作圖痕跡求QD的長．13．（2024?泌陽縣一模）小賀同學在數(shù)學探究課上，用幾何畫板進行了如下操作：首先畫一個正方形ABCD，一條線段OP（OP＜AB），再以點A為圓心，OP的長為半徑，畫⊙A分別交AB于點E．交AD于點G．過點E，G分別作AB，AD的垂線交于點F，易得四邊形AEFG也是正方形，連接CF．（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，BE與DG的大小和位置關(guān)系：．（2）【嘗試證明】如圖2，將正方形AEFG繞圓心A轉(zhuǎn)動，在旋轉(zhuǎn)過程中，上述（1）的關(guān)系還存在嗎？請說明理由．（3）【思維拓展】如圖3，若AB＝2OP＝4，則：①在旋轉(zhuǎn)過程中，點B，A，G三點共線時，CF的值為；②在旋轉(zhuǎn)過程中，CF的最大值是．14．問題提出：（1）如圖①，⊙O的半徑為4，弦AB＝4，則點O到AB的距離是．問題探究：（2）如圖②，⊙O的半徑為5，點A、B、C都在⊙O上，AB＝6，求△ABC面積的最大值．問題解決：（3）如圖③，是一圓形景觀區(qū)示意圖，⊙O的直徑為60m，等邊△ABP的邊AB是⊙O的弦，頂點P在⊙O內(nèi)，延長AP交⊙O于點C，延長BP交⊙O于點D，連接CD．現(xiàn)準備在△PAB和△PCD區(qū)域內(nèi)種植花卉，圓內(nèi)其余區(qū)域為草坪．按照預算，草坪的面積盡可能大，求草坪的最大面積．（提示：花卉種植面積盡可能小，即花卉種植面積S△PAB+S△PCD的最小值）15．（2024?碑林區(qū)校級一模）問題探究（1）寒假期間，樂樂同學參觀爸爸的工廠，看到半徑分別為2和3的兩個圓形零件⊙A、⊙B按如圖1所示的方式放置，點A到直線m的距離AC＝4，點B到直線m的距離BD＝6，CD＝5，M是⊙A上一點，N是⊙B上一點，在直線m上找一點P，使得PM+PN最?。埬阍谥本€m上畫出點P的位置，并直接寫出PM+PN的最小值．問題解決（2）如圖2，樂樂爸爸的工廠欲規(guī)劃一塊花園，如圖所示的矩形ABCD，其中米，BC＝30米，點E、F為花園的兩個入口，米，DF＝10米．若在△BCD區(qū)域內(nèi)設(shè)計一個亭子G（亭子大小忽略不計），滿足∠BDG＝∠GBC，從入口到亭子鋪設(shè)兩條景觀路．已知鋪設(shè)小路EG所用的景觀石材每米的造價是400元，鋪設(shè)小路FG所用的景觀石材每米的造價是200元，你能否幫樂樂同學分析一下，是否存在點G，使鋪設(shè)小路EG和FG的總造價最低？若存在，求出最低總造價，并求出此時亭子G到邊AB的距離；若不存在，請說明理由．16．（2024?雁塔區(qū)校級一模）問題發(fā)現(xiàn)（1）在△ABC中，AB＝2，∠C＝60°，則△ABC面積的最大值為；（2）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC＝8，求BC+CD的值．問題解決（3）有一個直徑為60cm的圓形配件⊙O，如圖2所示．現(xiàn)需在該配件上切割出一個四邊形孔洞OABC，要求∠O＝∠B＝60°，OA＝OC，并使切割出的四邊形孔洞OABC的面積盡可能?。噯枺欠翊嬖诜弦蟮拿娣e最小的四邊形OABC？若存在，請求出四邊形OABC面積的最小值及此時OA的長；若不存在，請說明理由．17．（2024?東莞市校級一模）如圖①，點C，D在線段AB上，點C在點D的左側(cè)，若線段AC，CD，DB滿足AC2+BD2＝CD2，稱C，D是線段AB的勾股點．（1）如圖②，C，D是線段AB的勾股點，分別以線段AC，CD，DB為邊向AB的同側(cè)作正△ACE，正△CDF，正△DBG，已知正△ACE、正△CDF的面積分別是3，5，則正△DBG的面積是；（2）如圖①，AB＝12，C，D是線段AB的勾股點，當AC＝AB時，求CD的長；（3）如圖③，C，D是線段AB的勾股點，以CD為直徑畫⊙O，P在⊙O上，AC＝CP，連接PA，PB，若∠A＝2∠B，求∠B的度數(shù)．18．（2023?西湖區(qū)模擬）如圖，已知CE是圓O的直徑，點B在圓O上，且BD＝BC，過點B作弦CD的平行線與CE的延長線交于點A．（1）若圓O的半徑為2，且點D為弧EC的中點時，求線段CD的長度；（2）在（1）的條件下，當DF＝a時，求線段BD的長度；（答案用含a的代數(shù)式表示）（3）若AB＝3AE，且CD＝12，求△BCD的面積．19．古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯認為：“一切平面圖形中最美的是圓”．小明決定研究一下圓，如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上的一點，延長AB至點D，連接AC、BC、CD，且∠CAB＝∠BCD，過點C作CE⊥AD于點E．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若OB＝BD，求證：點E是OB的中點；（3）在（2）的條件下，若點F是⊙O上一點（不與A、B、C重合），求的值．

重難點05圓的綜合壓軸題考向一：圓中弧長與面積的綜合題1．（2023?河北）裝有水的水槽放置在水平臺面上，其橫截面是以AB為直徑的半圓O，AB＝50cm，如圖1和圖2所示，MN為水面截線，GH為臺面截線，MN∥GH．計算：在圖1中，已知MN＝48cm，作OC⊥MN于點C.（1）求OC的長．操作：將圖1中的水槽沿GH向右作無滑動的滾動，使水流出一部分，當∠ANM＝30°時停止?jié)L動．如圖2．其中，半圓的中點為Q，GH與半圓的切點為E，連接OE交MN于點D．探究：在圖2中．（2）操作后水面高度下降了多少？（3）連接OQ并延長交GH于點F，求線段EF與的長度，并比較大小．【分析】（1）連接OM，利用垂徑定理得出MC＝MN＝24cm，由勾股定理計算即可得出答案；（2）由切線的性質(zhì)證明OE⊥GH，進而得到OE⊥MN，利用銳角三角函數(shù)的定義求出OD，再與（1）中OC相減即可得出答案；（3）由半圓的中點為Q得到∠QOB＝90°，得到∠QOE＝30°，分別求出線段EF與的長度，再相減比較即可．【解答】解：（1）連接OM，∵O為圓心，OC⊥MN于點C，MN＝48cm，∴MC＝MN＝24cm，∵AB＝50cm，∴OM＝AB＝25cm，在Rt△OMC中，OC＝＝＝7（cm）；（2）∵GH與半圓的切點為E，∴OE⊥GH，∵MN∥GH，∴OE⊥MN于點D，∵∠ANM＝30°，ON＝25cm，∴，∴操作后水面高度下降高度為：；（3）∵OE⊥MN于點D，∠ANM＝30°，∴∠DOB＝60°，∵半圓的中點為Q，∴，∴∠QOB＝90°，∴∠QOE＝30°，∴EF＝tan∠QOE?OE＝（cm），的長為（cm），∵＝＞0，∴EF＞．2．（2023?樂山）在學習完《圖形的旋轉(zhuǎn)》后，劉老師帶領(lǐng)學生開展了一次數(shù)學探究活動．【問題情境】劉老師先引導學生回顧了華東師大版教材七年級下冊第121頁“探索”部分內(nèi)容：如圖1，將一個三角形紙板△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)θ到達的位置△AB′C′的位置，那么可以得到：AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′．（_____）劉老師進一步談到：圖形的旋轉(zhuǎn)蘊含于自然界的運動變化規(guī)律中，即“變”中蘊含著“不變”，這是我們解決圖形旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵．故數(shù)學就是一門哲學．【問題解決】（1）上述問題情境中“（_____）”處應填理由：；（2）如圖2，小王將一個半徑為4cm，圓心角為60°的扇形紙板ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°到達扇形紙板A′B′C′的位置．①請在圖中作出點O；②如果BB′＝6cm，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點B經(jīng)過的路徑長為；【問題拓展】小李突發(fā)奇想，將與（2）中完全相同的兩個扇形紙板重疊，一個固定在墻上，使得一邊位于水平位置．另一個在弧的中點處固定，然后放開紙板，使其擺動到豎直位置時靜止．此時，兩個紙板重疊部分的面積是多少呢？如圖3所示，請你幫助小李解決這個問題．【分析】【問題解決】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可知答案為旋轉(zhuǎn)前后的圖形對應線段相等，對應角相等；（2）①作線段BB'，AA'的垂直平分線，兩垂直平分線交于O，點O為所求；②由∠BOB'＝90°，OB＝OB'，可得OB＝＝3，再用弧長公式可得答案；【問題拓展】連接PA'，交AC于M，連接PA，PD，AA'，PB'，PC，求出A'D＝＝＝，DM＝A'D＝，可得S△A'DP＝××4＝；S扇形PA'B'＝＝，證明△PB′D≌△PCD（SSS）可知陰影部分關(guān)于PD對稱，故重疊部分面積為2（﹣）＝（cm2）．【解答】解：【問題解決】（1）根據(jù)題意，AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′的理由是：旋轉(zhuǎn)前后的圖形對應線段相等，對應角相等，故答案為：旋轉(zhuǎn)前后的圖形對應線段相等，對應角相等；（2）①如圖：作線段BB'，AA'的垂直平分線，兩垂直平分線交于O，點O為所求；②∵∠BOB'＝90°，OB＝OB'，∴△BOB'是等腰直角三角形，∵BB'＝6，∴OB＝＝3，∵＝（cm），∴點B經(jīng)過的路徑長為cm，故答案為：cm；【問題拓展】連接PA'，交AC于M，連接PA，PD，AA'，PB'，PC，如圖：∵點P為中點，∴∠PAB＝，由旋轉(zhuǎn)得∠PA'B'＝30°，PA＝PA′＝4，在Rt△PAM中，PM＝PA?sin∠PAM＝4×sin30°＝2，∴A'M＝PA'﹣PM＝4﹣2＝2，在Rt△A′DM中，A'D＝＝＝，DM＝A'D＝，∴S△A'DP＝××4＝；S扇形PA'B'＝＝，下面證明陰影部分關(guān)于PD對稱：∵∠PAC＝∠PA'B'＝30°，∠ADN＝∠A'DM，∴∠AND＝∠A'MD＝90°，∴∠PNA'＝90°，∴PN＝PA'＝2，∴AN＝PA﹣PN＝2，∴AN＝A′M，∴△AND≌△A'MD（AAS），∴AD＝A′D，∴CD＝B'D，∵PD＝PD，PB'＝PC，∴△PB′D≌△PCD（SSS），∴陰影部分面積被PD等分，∴S陰影＝2（S扇形PA'B'﹣S△A'DP）＝2（﹣）＝（cm2）．∴兩個紙板重疊部分的面積是cm2．考向二：圓與全等三角形綜合題1．（2023?濟寧）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD＝CB，BE切⊙O于點B，過點C作CF⊥OE交BE于點F，EF＝2BF．（1）如圖1，連接BD，求證：△ADB≌△OBE；（2）如圖2，N是AD上一點，在AB上取一點M，使∠MCN＝60°，連接MN．請問：三條線段MN，BM，DN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．【分析】（1）根據(jù)CF⊥OE，OC是半徑，可得CF是圓O的切線，根據(jù)BE是圓O的切線，由切線長定理可得BF＝CF，進而根據(jù)sinE＝＝，得出∠E＝30°，∠EOB＝60°，根據(jù)CD＝CB得出＝，根據(jù)垂徑定理的推論得出OC⊥BD，進而得出∠ADB＝90°＝∠EBO，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，得出AD＝BO＝AB，即可證明△ABD≌△OEB（AAS）；（2）延長ND至H使得DH＝BM，連接CH，BD，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補得出∠HDC＝∠MBC，證明△HDC≌△MBC（SAS），結(jié)合已知條件證明△CNH≌△CNM（SAS），得出NH＝MN，即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵CF⊥OE，OC是半徑，∴CF是圓O的切線，∵BE是圓O的切線，∴BF＝CF，∵EF＝2BF，∴EF＝2CF，sinE＝＝，∴∠E＝30°，∠EOB＝60°，∵CD＝CB，∴＝，∴OC⊥BD，∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°＝∠EBO，∵∠E+∠EBD＝90°，∠ABD+∠EBD＝90°，∴∠E＝∠ABD＝30°，∴AD＝BO＝AB，∴△ABD≌△OEB（AAS）；（2）解：MN＝BM+DN，理由如下：延長ND至H使得DH＝BM，連接CH，BD，如圖2所示，∵∠CBM+∠NDC＝180°，∠HDC+∠NDC＝180°，∴∠HDC＝∠MBC，∵CD＝CB，DH＝BM，∴△HDC≌△MBC（SAS），∴∠BCM＝∠DCH，CM＝CH，由（1）可得∠ABD＝30°，∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠A＝60°，∴∠DCB＝180°﹣∠A＝120°，∵∠MCN＝60°，∴∠BCM+∠NCD＝120°﹣∠NCM＝120°﹣60°＝60°，∴∠DCH+∠NCD＝∠NCH＝60°，∴∠NCH＝∠NCM，∵NC＝NC，∴△CNH≌△CNM（SAS），∴NH＝MN，∴MN＝DN+DH＝DN+BM，∴MN＝BM+DN．2．已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，N為的中點，連接ON交AC于點H．（1）如圖①，求證：BC＝2OH；（2）如圖②，點D在⊙O上，連接DB，DO，DC，DC交OH于點E，若DB＝DC，求證OD∥AC；（3）如圖③，在（2）的條件下，點F在BD上，過點F作FG⊥DO，交DO于點G，DG＝CH，過點F作FR⊥DE，垂足為R，連接EF，EA，EF：DF＝3：2，點T在BC的延長線上，連接AT，過點T作TM⊥DC，交DC的延長線于點M，若FR＝CM，AT＝4，求AB的長．【分析】（1）連接OC，證明OH是△ABC的中位線，即可得到BC＝2OH；（2）設(shè)∠BDC＝2α，證明△DOB≌△DOC（SSS），可得∠BDO＝∠CDO＝∠BDC＝α，再推導出∠CDO＝∠ACD，即可證明DO∥AC；（3）連接AD，延長AE與BC交于W點，延長AC、TM交于L點，先證明△DGF≌△CHE（AAS），得到DF＝CE，再證明△DFG≌△AFH（ASA），得到AE＝DF，從而判斷出四邊形ADFE是矩形，得到EF⊥BD，求出tan∠EDF＝，通過證明△FRK≌△CML（AAS），推導出CL＝FK＝2FG＝CW，再證明△AWC≌△TLC（AAS），則AC＝TC，在Rt△ACT中，由AT＝4，求出AC＝CT＝4，在Rt△ABC中，tan∠BAC＝＝，求出BC＝6，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB＝＝2．【解答】（1）證明：如圖①，連接OC，∵N是的中點，∴＝，∴∠AON＝∠CON，∵OA＝OC，∴AH＝HC，∵OA＝OB，∴OH是△ABC的中位線，∴BC＝2OH；（2）證明：如圖②，設(shè)∠BDC＝2α，∵BD＝CD，DO＝DO，BO＝OC，∴△DOB≌△DOC（SSS），∴∠BDO＝∠CDO＝∠BDC＝α，∵OB＝OD，∴∠DBO＝∠BDO＝α，∵∠ACD＝∠ABD＝α，∴∠CDO＝∠ACD，∴DO∥AC；（3）解：如圖③，連接AD，延長AE與BC交于W點，延長AC、TM交于L點，∵FG⊥OD，∴∠DGF＝90°，∵∠CHE＝90°，∴∠DGF＝∠CHE，∵∠FDG＝∠ECH，DG＝CH，∴△DGF≌△CHE（AAS），∴DF＝CE，∵AH＝CH，∴OH⊥AC，∴∠EHC＝∠DGF，∵AH＝HC，∴△AEC是等腰三角形，∴AE＝EC，∠EAC＝∠ECA，∵∠BDO＝∠ODE＝∠ECA，∴∠EAH＝∠FDG，∵DG＝CH，∴DG＝AH，∴△DFG≌△AFH（ASA），∴AE＝DF，∵∠DEA＝2∠ECA，∠FDE＝2∠ODE，∴∠FDE＝∠DEA，∴DF∥AE，∴四邊形AEFD是平行四邊形，∵AB是圓O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴四邊形ADFE是矩形，∴EF⊥BD，∵EF：DF＝3：2，∴tan∠EDF＝，∵FR⊥CD，F(xiàn)G⊥DO，∴∠ODE＝∠RFK＝90°，∵∠ECA＝∠MCL，∴∠RFK＝∠LCM，∵CM⊥MT，∴∠CML＝90°，∵FR＝CM，∴△FRK≌△CML（AAS），∴CL＝FK＝2FG，∵BC＝2OH，EH＝OH，∴EH是△AWC的中位線，∴CW＝2EH，∵EH＝FG，∴CL＝FK＝2FG＝CW，∵∠TCL＝∠CMT＝90°，∴∠MCL＝∠CTM，∵∠ACE＝∠ECA＝∠LCM，∴∠CTM＝∠WAC，∴△AWC≌△TLC（AAS），∴AC＝TC，在Rt△ACT中，AT＝4，∴AC＝CT＝4，∵AW∥BD，∴∠BAW＝∠DBC，∵∠DBO＝∠BDO，∠EAC＝∠BDO＝∠ODE，∴∠BAC＝∠BDE，在Rt△ABC中，tan∠BAC＝＝，∴BC＝6，在Rt△ABC中，AB＝＝2．3．（2023?長春）【感知】如圖①，點A、B、P均在⊙O上，∠AOB＝90°，則銳角∠APB的大小為度．【探究】小明遇到這樣一個問題：如圖②，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，點P在弧AC上（點P不與點A、C重合），連接PA、PB、PC．求證：PB＝PA+PC．小明發(fā)現(xiàn)，延長PA至點E，使AE＝PC，連接BE，通過證明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等邊三角形，進而得證．下面是小明的部分證明過程：證明：延長PA至點E，使AE＝PC，連接BE．∵四邊形ABCP是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BAP+∠BCP＝180°，∵∠BAP+∠BAE＝180°，∴∠BCP＝∠BAE，∵△ABC是等邊三角形，∴BA＝BC，∴△PBC≌△EBA（SAS）．請你補全余下的證明過程．【應用】如圖③，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝90°，AB＝BC，點P在⊙O上，且點P與點B在AC的兩側(cè)，連接PA、PB、PC，若，則的值為．【分析】【感知】根據(jù)圓周角定理即可得出答案；【探究】先構(gòu)造出△PBC≌△EBA（SAS），得出PB＝EB，進而得出△PBE是等邊三角形，即可得出結(jié)論；【應用】先構(gòu)造出△PBC≌△GBA（SAS），進而判斷出∠PBG＝90°，進而得出△PBG是等腰直角三角形，即可得出結(jié)論；【解答】【感知】解：∵∠AOB＝90°，∴∠APB＝∠AOB＝45°（在同圓中，同弧所對的圓周角是圓心角的一半），故答案為：45；【探究】證明：延長PA至點E，使AE＝PC，連接BE．∵四邊形ABCP是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BAP+∠BCP＝180°，∵∠BAP+∠BAE＝180°，∴∠BCP＝∠BAE，∵△ABC是等邊三角形，∴BA＝BC，∴△PBC≌△EBA（SAS），∴PB＝EB，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠APB＝60°，∴△PBE為等邊三角形，∴PB＝PE＝AE+AP＝PC+AP；【應用】解：如圖③，延長PA至點G，使AG＝PC，連接BE．∵四邊形ABCP是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BAP+∠BCP＝180°，∵∠BAP+∠BAG＝180°，∴∠BCP＝∠BAG，∵BA＝BC，∴△PBC≌△GBA（SAS），∴PB＝GB，∠PBC＝∠GBA，∵∠ABC＝90°，∴∠PBG＝∠GBA+∠ABP＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝90°，∴PG＝BP，∵PG＝PA+AG＝PA+PC，∴PC＝PG﹣PA＝×2PA﹣PA＝3PA，∴＝＝，故答案為：考向三：圓的綜合證明問題1．（2023?黃石）如圖，AB為⊙O的直徑，DA和⊙O相交于點F，AC平分∠DAB，點C在⊙O上，且CD⊥DA，AC交BF于點P．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）求證：AC?PC＝BC2；（3）已知BC2＝3FP?DC，求的值．【分析】（1）連接OC，由等腰三角形的性質(zhì)得∠OAC＝∠OCA，再證∠DAC＝∠OCA，則DA∥OC，然后證OC⊥CD，即可得出結(jié)論；（2）由圓周角定理得∠ACB＝90°，∠DAC＝∠PBC，再證∠BAC＝∠PBC，然后證△ACB∽△BCP，得＝，即可得出結(jié)論；（3）過P作PE⊥AB于點E，證AC?PC＝3FP?DC，再證△ACD∽△BPC，得AC?PC＝BP?DC，則BP?DC＝3FP?DC，進而得BP＝3FP，然后由角平分線的性質(zhì)和三角形面積即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：如圖1，連接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴DA∥OC，∵CD⊥DA，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線；（2）證明：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，∵∠DAC＝∠PBC，∴∠BAC＝∠PBC，又∵∠ACB＝∠BCP，∴△ACB∽△BCP，∴＝，∴AC?PC＝BC2；（3）解：如圖2，過P作PE⊥AB于點E，由（2）可知，AC?PC＝BC2，∵BC2＝3FP?DC，∴AC?PC＝3FP?DC，∵CD⊥DA，∴∠ADC＝90°，∵AB為⊙O的直徑，∴∠BCP＝90°，∴∠ADC＝∠BCP，∵∠DAC＝∠CBP，∴△ACD∽△BPC，∴＝，∴AC?PC＝BP?DC，∴BP?DC＝3FP?DC，∴BP＝3FP，∵AB為⊙O的直徑，∴∠AFB＝90°，∴PF⊥AD，∵AC平分∠DAB，PE⊥AB，∴PF＝PE，∵＝＝，∴＝＝＝．2．如圖，在⊙O中，直徑AB垂直弦CD于點E，連接AC，AD，BC，作CF⊥AD于點F，交線段OB于點G（不與點O，B重合），連接OF．（1）若BE＝1，求GE的長．（2）求證：BC2＝BG?BO．（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度數(shù)，并證明你的結(jié)論．【分析】（1）由垂徑定理可得∠AED＝90°，結(jié)合CF⊥AD可得∠DAE＝∠FCD，根據(jù)圓周角定理可得∠DAE＝∠BCD，進而可得∠BCD＝∠FCD，通過證明△BCE≌△GCE，可得GE＝BE＝1；（2）證明△ACB∽△CEB，根據(jù)對應邊成比例可得BC2＝BA?BE，再根據(jù)AB＝2BO，BE＝BG，可證BC2＝BG?BO；（3）方法一：設(shè)∠DAE＝∠CAE＝α，∠FOG＝∠FGO＝β，可證a＝90°﹣β，∠OCF＝90﹣3α，通過SAS證明△COF≌△AOF，進而可得∠OCF＝∠OAF，即90°﹣3a＝a，則∠CAD＝2a＝45°．方法二：延長FO交AC于點H，連接OC，證明△AFC是等腰直角三角形，即可解決問題．【解答】（1）解：直徑AB垂直弦CD，∴∠AED＝90°，∴∠DAE+∠D＝90°，∵CF⊥AD，∴∠FCD+∠D＝90°，∴∠DAE＝∠FCD，由圓周角定理得∠DAE＝∠BCD，∴∠BCD＝∠FCD，在△BCE和△GCE中，，∴△BCE≌△GCE（ASA），∴GE＝BE＝1；（2）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CEB＝90°，∵∠ABC＝∠CBE，∴△ACB∽△CEB，∴＝，∴BC2＝BA?BE，由（1）知GE＝BE，∴BE＝BG，∵AB＝2BO，∴BC2＝BA?BE＝2BO?BG＝BG?BO；（3）解：∠CAD＝45°，證明如下：解法一：如圖，連接OC，∵FO＝FG，∴∠FOG＝∠FGO，∵直徑AB垂直弦CD，∴CE＝DE，∠AED＝∠AEC＝90°，∵AE＝AE，∴△ACE≌△ADE（SAS），∴∠DAE＝∠CAE，設(shè)∠DAE＝∠CAE＝α，∠FOG＝∠FGO＝β，則∠FCD＝∠BCD＝∠DAE＝α，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝α，∵∠ACB＝90°，∴∠OCF＝∠ACB﹣∠OCA﹣∠FCD﹣∠BCD＝90°﹣3α，∵∠CGE＝∠OGF＝β，∠GCE＝α，∠CGE+∠GCE＝90°，∴β+α＝90°，∴α＝90°﹣β，∵∠COG＝∠OAC+∠OCA＝α+α＝2α，∴∠COF＝∠COG+∠GOF＝2α+β＝2（90°﹣β）+β＝180°﹣β，∴∠COF＝∠AOF，在△COF和△AOF中，，∴△COF≌△AOF（SAS），∴∠OCF＝∠OAF，即90°﹣3α＝α，∴α＝22.5°，∴∠CAD＝2a＝45°．解法二：如圖，延長FO交AC于點H，連接OC，∵FO＝FG，∴∠FOG＝∠FGO，∴∠FOG＝∠FGO＝∠CGB＝∠B，∴BC∥FH，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠AHO＝90°，∵OA＝OC，∴AH＝CH，∴AF＝CF，∵CF⊥AD，∴△AFC是等腰直角三角形，∴∠CAD＝45°．3．如圖，以AB為直徑的⊙O是△ABC的外接圓，延長BC到點D．使得∠BAC＝∠BDA，點E在DA的延長線上，點M在線段AC上，CE交BM于N，CE交AB于G．（1）求證：ED是⊙O的切線；（2）若，BD＝5，AC＞CD，求BC的長；（3）若DE?AM＝AC?AD，求證：BM⊥CE．【分析】（1）由AB是⊙O的直徑得∠ACB＝90°，故∠BAC+∠ABC＝90°，由∠BAC＝∠BDA得∠BDA+∠ABC＝90°，有∠BAD＝90°，即可得證；（2）證明△ACB∽△DCA，則，可得，解得BC＝2或BC＝3，由AC＞CD即可得到BC的長；（3）先證明△ABC∽△DAC，則，得到AC?AD＝CD?AB，由DE?AM＝AC?AD得到DE?AM＝CD?AB，故，由同角的余角相等得∠BAM＝∠CDE，有△AMBB∽△DCE，得∠E＝∠ABM，進一步得到∠EGA+∠E＝∠ABM+∠BGN＝90°，則∠BNG＝90°，即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∵∠BAC＝∠BDA，∴∠BDA+∠ABC＝90°，∴∠BAD＝90°，∴ED是⊙O的切線；（2）解：∵∠BAC＝∠BDA，∠ACB＝∠DCA＝90°，∴△ACB∽△DCA，∴，∴，解得BC＝2或BC＝3，當BC＝2時，CD＝BD﹣BC＝3，當BC＝3時，CD＝BD﹣BC＝2，∵AC＞CD，即＞CD，∴BC＝3；（3）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠DCA＝90°，∵∠BAC＝∠BDA，∴△ABC∽△DAC，∴，∴AC?AD＝CD?AB，∵DE?AM＝AC?AD，∴DE．AM＝CD?AB，∴，∵∠BAM+∠CAD＝∠CDE+∠CAD＝90°，∴∠BAM＝∠CDE，∴△AMB∽△DCE，∴∠E＝∠ABM，∵∠EGA＝∠BGN，∴∠EGA+∠E＝∠ABM+∠BGN＝90°，∴∠BNG＝90°，∴BM⊥CE．4．（2023?廣東）綜合探究如圖1，在矩形ABCD中（AB＞AD），對角線AC，BD相交于點O，點A關(guān)于BD的對稱點為A′．連接AA′交BD于點E，連接CA′．（1）求證：AA'⊥CA'；（2）以點O為圓心，OE為半徑作圓．①如圖2，⊙O與CD相切，求證：；②如圖3，⊙O與CA′相切，AD＝1，求⊙O的面積．【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得AE＝A′E，AA′⊥BD，根據(jù)四邊形ABCD是矩形，得出OA＝OC，從而OE∥A′C，從而得出AA′⊥CA′；（2）①設(shè)CD⊙O與CD切于點F，連接OF，并延長交AB于點G，可證得OG＝OF＝OE，從而得出∠EAO＝∠GAO＝∠GBO，進而得出∠EAO＝30°，從而；②設(shè)⊙O切CA′于點H，連接OH，可推出AA′＝2OH，CA′＝2OE，從而AA′＝CA′，進而得出∠A′AC＝∠A′CA＝45°，∠AOE＝∠ACA′＝45°，從而得出AE＝OE，OD＝OA＝AE，設(shè)OA＝OE＝x，則OD＝OA＝，在Rt△ADE中，由勾股定理得出＝1，從而求得x2＝，進而得出⊙O的面積．【解答】（1）證明：∵點A關(guān)于BD的對稱點為A′，∴AE＝A′E，AA′⊥BD，∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OC，∴OE∥A′C，∴AA′⊥CA′；（2）①證明：如圖2，設(shè)CD⊙O與CD切于點F，連接OF，并延長交AB于點G，∴OF⊥CD，OF＝OE，∵四邊形ABCD是矩形，∴OB＝OD＝BD，AB∥CD，AC＝BD，OA＝AC，∴OG⊥AB，∠FDO＝∠GBO，OA＝OB，∴∠GAO＝∠GBO，∵∠DOF＝∠BOG，∴△DOF≌△BOG（ASA），∴OG＝OF，∴OG＝OE，由（1）知：AA′⊥BD，∴∠EAO＝∠GAO，∵∠EAB+∠GBO＝90°，∴∠EAO+∠GAO+∠GBO＝90°，∴3∠EAO＝90°，∴∠EAO＝30°，由（1）知：AA′⊥CA′，∴tan∠EAO＝，∴tan30°＝，∴；②解：如圖3，設(shè)⊙O切CA′于點H，連接OH，∴OH⊥CA′，由（1）知：AA′⊥CA′，AA′⊥BD，OA＝OC，∴OH∥AA′，OE∥CA′，∴△COH∽△CAA′，△AOE∽△ACA′，∴，∴AA′＝2OH，CA′＝2OE，∴AA′＝CA′，∴∠A′AC＝∠A′CA＝45°，∴∠AOE＝∠ACA′＝45°，∴AE＝OE，OD＝OA＝AE，設(shè)AE＝OE＝x，則OD＝OA＝，∴DE＝OD﹣OE＝（）x，在Rt△ADE中，由勾股定理得，＝1，∴x2＝，∴S⊙O＝π?OE2＝．考向四：圓與等腰三角形的綜合1．（2023?寧波）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E為AB邊上一點，以AE為直徑的半圓O與BC相切于點D，連結(jié)AD，BE＝3，BD＝3．P是AB邊上的動點，當△ADP為等腰三角形時，AP的長為．【分析】連接OD，DE，根據(jù)切線的性質(zhì)和勾股定理求出OD＝6，然后分三種情況討論：①當AP＝PD時，此時P與O重合，②如圖2，當AP′＝AD時，③如圖3，當DP′′＝AD時，分別進行求解即可．【解答】解：如圖1，連接OD，DE，∵半圓O與BC相切于點D，∴OD⊥BC，在Rt△OBD中，OB＝OE+BE＝OD+3，BD＝3．∴OB2＝BD2+OD2，∴（OD+3）2＝（3）2+OD2，解得OD＝6，∴AO＝EO＝OD＝6，①當AP＝PD時，此時P與O重合，∴AP＝AO＝6；②如圖2，當AP′＝AD時，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，∴OD∥AC，∴△BOD∽△BAC，∴＝＝，∴＝＝，∴AC＝10，CD＝2，∴AD＝＝＝2，∴AP′＝AD＝2；③如圖3，當DP′′＝AD時，∵AD＝2，∴DP′′＝AD＝2，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠BAD，∴OD∥AC，∴∠ODA＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CAD，∴AD平分∠BAC，過點D作DH⊥AE于點H，∴AH＝P″H，DH＝DC＝2，∵AD＝AD，∴Rt△ADH≌Rt△ADC（HL），∴AH＝AC＝10，∴AH＝AC＝P″H＝10，∴AP″＝2AH＝20（P為AB邊上一點，不符合題意，舍去），綜上所述：當△ADP為等腰三角形時，AP的長為6或2．故答案為：6或2．2．（2023?上海）如圖（1）所示，已知在△ABC中，AB＝AC，O在邊AB上，點F是邊OB中點，以O(shè)為圓心，BO為半徑的圓分別交CB，AC于點D，E，連接EF交OD于點G．（1）如果OG＝DG，求證：四邊形CEGD為平行四邊形；（2）如圖（2）所示，連接OE，如果∠BAC＝90°，∠OFE＝∠DOE，AO＝4，求邊OB的長；（3）連接BG，如果△OBG是以O(shè)B為腰的等腰三角形，且AO＝OF，求的值．【分析】（1）由∠ABC＝∠C，∠ODB＝∠ABC，即得∠C＝∠ODB，OD∥AC，根據(jù)F是OB的中點，OG＝DG，知FG是△OBD的中位線，故FG∥BC，即可得證；（2）設(shè)∠OFE＝∠DOE＝α，OF＝FB＝a，有OE＝OB＝2a，由（1）可得OD∥AC，故∠AEO＝∠DOE＝α，得出∠OFE＝∠AEO＝α，進而證明△AEO∽△AFE，AE2＝AO﹣AF，由AE2＝EO2﹣AO2，有EO2﹣AO2＝AO×AF，解方程即可答案；（3）△OBG是以O(shè)B為腰的等腰三角形，①當OG＝OB時，②當BG＝OB時，證明△BGO∽△BPA，得出，設(shè)OG＝2k，AP＝3k，根據(jù)OG∥AE，得出△FOG∽△FAE，即得AE＝2OG＝4k，PE＝AE﹣AP＝k，連接OE交PG于點Q，證明△QPE∽△QGO，在△PQE與△BQO中，，，得出＝＝，可得△PQE∽△OQB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出a＝2k，進而即可求得答案．【解答】（1）證明：如圖：∵AC＝AB，∴∠ABC＝∠C，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABC，∴∠C＝∠ODB，∴OD∥AC，∵F是OB的中點，OG＝DG，∴FG是△OBD的中位線，∴FG∥BC，即GE∥CD，∴四邊形CEGD是平行四邊形；（2）解：如圖：由∠OFE＝∠DOE，AO＝4，點F邊OB中點，設(shè)∠OFE＝∠DOE＝α，OF＝FB＝a，則OE＝OB＝2a，由（1）可得OD∥AC，∴∠AEO＝∠DOE＝α，∴∠OFE＝∠AEO＝α，∵∠A＝∠A，∴△AEO∽△AFE，∴，即AE2＝AO?AF，在Rt△AEO中，AE2＝EO2﹣AO2，∴EO2﹣AO2＝AO×AF，∴（2a）2﹣42＝4×（4+a），解得：或（舍去），∴OB＝2a＝1+；（3）解：①當OG＝OB時，點G與點D重合，不符合題意，舍去；②當BG＝OB時，延長BG交AC于點P，如圖所示，∵點F是OB的中點，AO＝OF，∴AO＝OF＝FB，設(shè)AO＝OF＝FB＝a，∵OG∥AC，∴△BGO∽△BPA，∴，設(shè)OG＝2k，AP＝3k，∵OG∥AE，∴△FOG∽△FAE，∴，∴AE＝2OG＝4k，∴PE＝AE﹣AP＝k，設(shè)OE交PG于點Q，∵OG∥PE，∴△QPE∽△QGO，∴，∴PQ＝a，QG＝a，，在△PQE與△BQO中，，，∴，又∠PQE＝∠BQO，∴△PQE∽△OQB，∴，∴，∴a＝2k，∵OD＝OB＝2a，OG＝2k，∴，∴的值為．3．（2023?泰州）已知：A、B為圓上兩定點，點C在該圓上，∠C為所對的圓周角．知識回顧（1）如圖①，⊙O中，B、C位于直線AO異側(cè)，∠AOB+∠C＝135°．①求∠C的度數(shù)；②若⊙O的半徑為5，AC＝8，求BC的長；逆向思考（2）如圖②，若P為圓內(nèi)一點，且∠APB＜120°，PA＝PB，∠APB＝2∠C．求證：P為該圓的圓心；拓展應用（3）如圖③，在（2）的條件下，若∠APB＝90°，點C在⊙P位于直線AP上方部分的圓弧上運動．點D在⊙P上，滿足CD＝CB﹣CA的所有點D中，必有一個點的位置始終不變．請證明．【分析】（1）①根據(jù)∠AOB+∠C＝135°，結(jié)合圓周角定理求∠C的度數(shù)；②構(gòu)造直角三角形；（2）只要說明點P到圓上A、B和另一點的距離相等即可；（3）根據(jù)CD＝CB﹣CA，構(gòu)造一條線段等于CB﹣CA，利用三角形全等來說明此線段和CD相等．【解答】（1）解：①∵∠AOB+∠C＝135°，∠AOB＝2∠C，∴3∠C＝135°，∴∠C＝45°．②連接AB，過A作AD⊥BC，垂足為M，∵∠C＝45°，AC＝8，∴△ACM是等腰直角三角形，且AM＝CM＝4，∵∠AOB＝2∠C＝90°，OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB＝OA＝5，在直角三角形ABM中，BM＝＝3，∴BC＝CM+BM＝4+3＝7．（2）延長AP交圓于點N，則∠C＝∠N，∵∠APB＝2∠C，∴∠APB＝2∠N，∵∠APB＝∠N+∠PBN，∴∠N＝∠PBN，∴PN＝PB，∵PA＝PB，∴PA＝PB＝PN，∴P為該圓的圓心．（3）過B作BC的垂線交CA的延長線于點E，連接AB，延長AP交圓于點F，連接CF，F(xiàn)B，∵∠APB＝90°，∴∠C＝45°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴BE＝BC，∵BP⊥AF，PA＝PF，∴BA＝BF，∵AF是直徑，∴∠ABF＝90°，∴∠EBC＝∠ABF＝90°，∴∠EBA＝∠CBF，∴△EBA≌△CBF（SAS），∴AE＝CF，∵CD＝CB﹣CA＝CE﹣CA＝AE，∴CD＝CF，∴必有一個點D的位置始終不變，點F即為所求．考向五：圓的閱讀理解與新定義問題1．（2023?青海）綜合與實踐車輪設(shè)計成圓形的數(shù)學道理小青發(fā)現(xiàn)路上行駛的各種車輛，車輪都是圓形的．為什么車輪要做成圓形的呢？這里面有什么數(shù)學道理嗎？帶著這樣的疑問，小青做了如下的探究活動：將車輪設(shè)計成不同的正多邊形，在水平地面上模擬行駛．（1）探究一：將車輪設(shè)計成等邊三角形，轉(zhuǎn)動過程如圖1，設(shè)其中心到頂點的距離是2，以車輪轉(zhuǎn)動一次（以一個頂點為支點旋轉(zhuǎn)）為例，中心的軌跡是，BA＝CA＝DA＝2，圓心角∠BAD＝120°．此時中心軌跡最高點是C（即的中點），轉(zhuǎn)動一次前后中心的連線是BD（水平線），請在圖2中計算C到BD的距離d1．（2）探究二：將車輪設(shè)計成正方形，轉(zhuǎn)動過程如圖3，設(shè)其中心到頂點的距離是2，以車輪轉(zhuǎn)動一次（以一個頂點為支點旋轉(zhuǎn)）為例，中心的軌跡是，BA＝CA＝DA＝2，圓心角∠BAD＝90°．此時中心軌跡最高點是C（即的中點），轉(zhuǎn)動一次前后中心的連線是BD（水平線），請在圖4中計算C到BD的距離d2（結(jié)果保留根號）．（3）探究三：將車輪設(shè)計成正六邊形，轉(zhuǎn)動過程如圖5，設(shè)其中心到頂點的距離是2，以車輪轉(zhuǎn)動一次（以一個頂點為支點旋轉(zhuǎn)）為例，中心的軌跡是，圓心角∠BAD＝．此時中心軌跡最高點是C（即的中點），轉(zhuǎn)動一次前后中心的連線是BD（水平線），在圖6中計算C到BD的距離d3＝（結(jié)果保留根號）．（4）歸納推理：比較d1，d2，d3大?。?，按此規(guī)律推理，車輪設(shè)計成的正多邊形邊數(shù)越多，其中心軌跡最高點與轉(zhuǎn)動一次前后中心連線（水平線）的距離（填“越大”或“越小”）．（5）得出結(jié)論：將車輪設(shè)計成圓形，轉(zhuǎn)動過程如圖7，其中心（即圓心）的軌跡與水平地面平行，此時中心軌跡最高點與轉(zhuǎn)動前后中心連線（水平線）的距離d＝.這樣車輛行駛平穩(wěn)、沒有顛簸感．所以，將車輪設(shè)計成圓形．【分析】（1）△ABC是等邊三角形，進而求得AE，進一步得出結(jié)果；（2）△ABE是等腰直角三角形，進而求得AE，進一步得出結(jié)果；（3）△ABD是等邊三角形，進而求得AE，進一步得出結(jié)果；（4）比較大小得出結(jié)果；（5）圓的半徑相等，從而得出結(jié)果．【解答】3解：（1）圖1，∵AB＝AD＝2，AC⊥BD，∴∠BAC＝∠CAD＝，∵AB＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴AC＝AB＝2，∴d1＝CE＝AC＝1；（2）如圖2，∵AB＝AD，AC⊥BD，∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴AE＝AB?sin∠ABD＝2×＝，∴d2＝CE＝AC﹣AE＝2；（3）如圖3，∴AB＝BD，∠ABD＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴∠BAD＝60°，在Rt△ABE中，AE＝AB?sin∠ABD＝2?sin60°＝，∴d3＝AC﹣AE＝2﹣，故答案為：60°，2﹣；（4）∵1＞2﹣＞2﹣，∴d1＞d2＞d3，越??；故答案為：d1＞d2＞d，越??；（5）∵圓的半徑相等，∴d＝0，故答案為：0．2．（2023?陜西）（1）如圖①，∠AOB＝120°，點P在∠AOB的平分線上，OP＝4．點E，F(xiàn)分別在邊OA，OB上，且∠EPF＝60°，連接EF．求線段EF的最小值；（2）如圖②，是一個圓弧型拱橋的截面示意圖．點P是拱橋的中點，橋下水面的寬度AB＝24m，點P到水面AB的距離PH＝8m．點P1，P2均在上，＝，且P1P2＝10m，在點P1，P2處各裝有一個照明燈，圖中△P1CD和△P2EF分別是這兩個燈的光照范圍．兩燈可以分別繞點P1，P2左右轉(zhuǎn)動，且光束始終照在水面AB上．即∠CP1D，∠EP2F可分別繞點P1，P2按順（逆）時針方向旋轉(zhuǎn)（照明燈的大小忽略不計），線段CD，EF在AB上，此時，線段ED是這兩燈照在水面AB上的重疊部分的水面寬度．已知∠CP1D＝∠EP2F＝90°，在這兩個燈的照射下，當整個水面AB都被燈光照到時，求這兩個燈照在水面AB上的重疊部分的水面寬度．（可利用備用圖解答）【分析】（1）過P作PC⊥OB于C，作PD⊥OA于D，證明△PCF≌△PDE（AAS），可得CF＝DE，即可得OE+OF＝（OD﹣DE）+（OC+CF）＝OD+OC，而∠POD＝∠POC＝60°，知OD＝OC＝OP＝2，故OE+OF＝4，設(shè)OF＝x，則OE＝4﹣x，過F作FG⊥AO于G，有OG＝x，GF＝x，由勾股定理得EF＝＝＝＝，即知線段EF的最小值是2；（2）當整個水面AB都被燈光照到時，①C與A重合，F(xiàn)與B重合，設(shè)PH交P1P2于K，圓心為O，連接HO，AO，P1O，過P1作P1T⊥AB于T，由點P是拱橋的中點，PH⊥AB，設(shè)⊙O半徑為rm，則OH＝OP﹣PH＝（r﹣8）m，可得122+（r﹣8）2＝r2，r＝13，求出P1K＝P2K＝5m，OK＝＝＝12（m），PK＝OP﹣OK＝13﹣12＝1（m），KH＝PH﹣PK＝8﹣1＝7（m），可得P1T＝KH＝7m，故AT＝P1T，∠P1AT＝45°，可得△AP1D是等腰直角三角形，即得AD＝2AT＝14（m），即CD＝14m，同理可得BE＝14m，即FE＝14m，故DE＝EF﹣DB＝14﹣10＝4（m），這兩個燈照在水面AB上的重疊部分的水面寬度為4m；②當E與A重合，D與B重合時，可得AP2＝＝（m），而cos∠P2AM＝＝，可得AF＝，同理BC＝，故CF＝AF+BC﹣AB＝（m）．【解答】解：（1）過P作PC⊥OB于C，作PD⊥OA于D，如圖：∵∠AOB＝120°，∠EPF＝60°，∴∠OEP+∠OFP＝180°，∵∠OEP+∠PED＝180°，∴∠OFP＝∠PED，即∠PFC＝∠PED，∵OP平分∠AOB，PC⊥OB，PD⊥OA，∴PC＝PD，∵∠PCF＝∠PDE＝90°，∴△PCF≌△PDE（AAS），∴CF＝DE，∴OE+OF＝（OD﹣DE）+（OC+CF）＝OD+OC，∵∠POD＝∠POC＝60°，∴∠OPD＝∠OPC＝30°，∴OD＝OC＝OP＝2，∴OE+OF＝4，設(shè)OF＝x，則OE＝4﹣x，過F作FG⊥AO于G，如圖：∵∠OFG＝∠AOB﹣∠G＝120°﹣90°＝30°，∴OG＝x，GF＝x，∴EG＝OE+OG＝4﹣x，∴EF＝＝＝＝，∴當x＝2時，EF取最小值＝2，∴線段EF的最小值是2；（2）當整個水面AB都被燈光照到時，①C與A重合，F(xiàn)與B重合，設(shè)PH交P1P2于K，圓心為O，連接HO，AO，P1O，過P1作P1T⊥AB于T，如圖：∵點P是拱橋的中點，PH⊥AB，∴O，P，H共線，AH＝BH＝AB＝12m，設(shè)⊙O半徑為rm，則OH＝OP﹣PH＝（r﹣8）m，在Rt△AHO中，AH2+OH2＝OA2，∴122+（r﹣8）2＝r2，解得r＝13，∴OP1＝13m，∵＝，且P1P2＝10m，∴P1K＝P2K＝5m，∴OK＝＝＝12（m），∴PK＝OP﹣OK＝13﹣12＝1（m），∴KH＝PH﹣PK＝8﹣1＝7（m），∴P1T＝KH＝7m，∵AT＝AH﹣TH＝12﹣5＝7（m），∴AT＝P1T，∴∠P1AT＝45°，∵∠CP1D＝90°，即∠AP1D＝90°，∴△AP1D是等腰直角三角形，∴AD＝2AT＝14（m），即CD＝14m，∴DB＝AB﹣AD＝24﹣14＝10（m），同理可得BE＝14m，即FE＝14m，∴DE＝EF﹣DB＝14﹣10＝4（m），∴這兩個燈照在水面AB上的重疊部分的水面寬度為4m；②當E與A重合，D與B重合時，如圖：∵AT＝P1T＝7m＝P2M，P1P2＝10m，∴AM＝AT+TF＝17m，∴AP2＝＝＝（m），∵cos∠P2AM＝＝，∴＝，∴AF＝，同理BC＝，∴CF＝AF+BC﹣AB＝+﹣24＝（m）；∴這兩個燈照在水面AB上的重疊部分的水面寬度為m；綜上所述，這兩個燈照在水面AB上的重疊部分的水面寬度為4m或m．3．（2023?北京）在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1．對于⊙O的弦AB和⊙O外一點C給出如下定義：若直線CA，CB中一條經(jīng)過點O，另一條是⊙O的切線，則稱點C是弦AB的“關(guān)聯(lián)點”．（1）如圖，點A（﹣1，0），B1（，），B2（，）．①在點C1（﹣1，1），C2（，0），C3（0，）中，弦AB1的“關(guān)聯(lián)點”是；②若點C是弦AB2的“關(guān)聯(lián)點”，直接寫出OC的長；（2）已知點M（0，3），N（，0），對于線段MN上一點S，存在⊙O的弦PQ，使得點S是弦PQ的“關(guān)聯(lián)點”．記PQ的長為t，當點S在線段MN上運動時，直接寫出t的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)題目中關(guān)聯(lián)點的定義分情況討論即可；（2）根據(jù)M（0，3），N（，0）兩點來求最值情況，共有兩種情況，分別位于點M和經(jīng)過點O的MN的垂直平分線上，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）①由關(guān)聯(lián)定義可知，若直線CA、CB中一條經(jīng)過點O，另一條是⊙O的切線，則稱點C是弦AB的“關(guān)聯(lián)點”，∵點A（﹣1，0），B1（，），點C1（﹣1，1），C2（，0），C3（0，），∴直線AC2經(jīng)過點O，且B1C2與⊙O相切，∴C2是弦AB1的“關(guān)聯(lián)點”，∵C1（﹣1，1），A（﹣1，0）的橫坐標相同，與B1（，）在直線y＝﹣x上，∴AC1與⊙O相切，B1C1經(jīng)過點O，∴C1是弦AB1的“關(guān)聯(lián)點”；故答案為：C1，C2；②∵A（﹣1，0），B2（，），設(shè)C（a，b），如圖所示，共有兩種情況，a、若C1B2與⊙O相切，AC經(jīng)過點O，則C1B2，AC1所在直線為，解得，∴C1（，0），∴OC1＝，b、若AC2與⊙O相切，C2B2經(jīng)過點O，則直線C2B2，AC2所在直線為，解得，∴C2（﹣1，1），∴OC2＝，綜上所述，OC＝；（2）∵線段MN上一點S，存在⊙O的弦PQ，使得點S是弦PQ的“關(guān)聯(lián)點”，∵弦PQ隨著S的變動在一定范圍內(nèi)變動，且M（0，3），N（，0），OM＞ON，∴S共有2種情況，分別位于點M和經(jīng)過點O的MN的垂線上，如圖所示，①當S位于點M（0，3）時，MP為⊙O的切線，作PJ⊥OM，∵M（0，3），⊙O的半徑為1，且MP是⊙O的切線