第二十五章　圖形的相似單元測試題

第二十五章圖形的相似一、選擇題(本大題有16個(gè)小題,1~10小題各3分,11~16小題,各2分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.若3x=5y(y≠0),則下列各式成立的是()A.x3=5y B.y3=5x2.以下四組線段,成比例的是()A.4,3,2,6 B.2,4,6,8 C.3,4,5,6 D.4,6,6,83.已知線段a=3cm,b=12cm,若線段c是線段a,b的比例中項(xiàng),則線段c的長為()A.2cm B.4cm C.6cm D.±6cm4.如圖1,已知一組平行線a,b,c被直線m,n所截,交點(diǎn)分別為A,B,C和D,E,F,且AB=2,BC=3,DE=1.6,則EF等于()A.2.4 B.1.8 C.2.6 D.2.8圖1圖25.如圖2,在△ABC中,P為AB上一點(diǎn),連接CP.若再添加一個(gè)條件,使△APC與△ACB相似,則下列選項(xiàng)中不能作為添加條件的是()A.∠ACP=∠B B.∠APC=∠ACB C.AP∶AC=AC∶ABD.AP∶AB=PC∶BC6.如圖3,在下列四個(gè)三角形中,與△ABC是位似圖形且以點(diǎn)O為位似中心的是()圖3A.① B.② C.③ D.④7.下列圖案中花邊的內(nèi)外邊緣(每個(gè)圖形邊緣等寬)所圍成的圖形不相似的是()圖48.如圖5,在△ABC中,點(diǎn)D在邊AB上,過點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E,DF∥AC交BC于點(diǎn)F.若AE∶DF=2∶3,則BF∶BC的值是()A.23 B.35 C.12 圖5圖69.如圖6,在△ABC中,DE∥BC,∠B=∠ACD,則圖中相似三角形有()A.2對 B.3對 C.4對 D.5對10.如圖7,四邊形ABCD為平行四邊形,E,F為CD邊的兩個(gè)三等分點(diǎn),連接AF,BE交于點(diǎn)G,則S△EFG∶S△ABG的值為()A.1∶3 B.3∶1 C.1∶9 D.9∶1圖7圖811.圖8是一種雨傘的軸截面圖,傘骨AB=AC,支撐桿OE=OF=40cm,當(dāng)點(diǎn)O沿AD滑動時(shí),雨傘開閉.若AB=3AE,AD=3AO,此時(shí)B,D兩點(diǎn)間的距離為 ()A.60cm B.80cm C.100cm D.120cm12.如圖9,在△ABC中,∠A=75°,AB=6,AC=8,將△ABC沿圖中的虛線剪開,剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是()圖9圖1013.如圖11,在△ABC中,D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),下列說法中不正確的是()A.S△ADE∶S△ABC=1∶2 B.ADC.△ADE∽△ABC D.DE=12圖11圖1214.古希臘時(shí)期,人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是5-12≈0.618,稱為黃金比例,如圖12,著名的“斷臂維納斯”便是如此,此外,最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是5-12.若某人的身材滿足上述兩個(gè)黃金比例,且頭頂至咽喉的長度為26A.165cm B.178cm C.185cm D.190cm15.學(xué)校門口的欄桿如圖13所示,欄桿從水平位置AB繞固定點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到DC的位置,已知欄桿AB的長為3.5m,OA的長為3m,點(diǎn)C到AB的距離為0.3m,支柱OE的高為0.6m,則欄桿D端離地面的距離為()圖13A.1.2m B.1.8m C.2.4m D.3m16.在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(-4,2),B(-6,-4),以原點(diǎn)O為位似中心,位似比為12,△ABO縮小,則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)是()A.(-2,1) B.(-8,4)C.(-8,4)或(8,-4) D.(-2,1)或(2,-1)二、填空題(本大題有3個(gè)小題,共11分.17小題3分,18~19小題各有2個(gè)空,每空2分,把答案寫在題中橫線上)17.已知ab=57,則18.已知:如圖14,A'B'∥AB,B'C'∥BC,且OA'∶A'A=4∶3,則△ABC與是位似圖形,位似比為.

圖14圖1519.如圖15,在△ABC中,點(diǎn)D在AB邊上,點(diǎn)E在線段CD上,且BD=CD,AD=AE,∠ACB=2∠B.(1)若∠B=36°,則DECD=;

(2)若AC=2,BC=3,則CD=三、解答題(本大題有7個(gè)小題,共67分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)20.(本小題滿分8分)已知:x2=y(1)求x+z(2)若x-y+z=6,求代數(shù)式3x-2y+z的值.21.(本小題滿分9分)如圖16,已知點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn),B,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(3,-1),(2,1).(1)以點(diǎn)O為位似中心在y軸的左側(cè)將△OBC放大到原圖的2倍(即新圖與原圖的相似比為2),畫出對應(yīng)的△OB'C';(2)若△OBC內(nèi)部一點(diǎn)M的坐標(biāo)為(a,b),則點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)M'的坐標(biāo)是;

(3)求△OB'C'的面積.圖1622.(本小題滿分9分)如圖17,直線l1∥l2∥l3,AC分別交l1,l2,l3于點(diǎn)A,B,C;DF分別交l1,l2,l3于點(diǎn)D,E,F;AC與DF交于點(diǎn)O.已知DE=3,EF=6,AB=4.(1)求AC的長;(2)若BE∶CF=1∶3,求OB∶AB的值.圖1723.(本小題滿分9分)如圖18,小超想要測量窗外的路燈PH的高度.星期天晚上,他發(fā)現(xiàn)燈光透過窗戶照射在房間的地板上,經(jīng)過窗戶的最高點(diǎn)C的燈光落在地板B處,經(jīng)過窗戶的最低點(diǎn)D的燈光落在地板A處,小超測得窗戶距地面的高度QD=1m,窗高CD=1.5m,并測得AQ=1m,AB=2m.請根據(jù)以上測量數(shù)據(jù),求窗外的路燈PH的高度.圖1824.(本小題滿分10分)如圖19,在正方形ABCD中,在BC邊上取中點(diǎn)E,連接DE,過點(diǎn)E作EF⊥ED交AB于點(diǎn)G,交DA的延長線于點(diǎn)F.(1)求證:△ECD∽△DEF;(2)若CD=4,求AF的長.圖1925.(本小題滿分10分)如圖20,在△ABC中,AC=8cm,BC=16cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿著AC邊向點(diǎn)C以1cm/s的速度運(yùn)動,點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿著CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度運(yùn)動,如果點(diǎn)P與點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā),經(jīng)過幾秒,△PQC和△ABC相似?圖2026.(本小題滿分12分)猜想歸納:為了建設(shè)經(jīng)濟(jì)型節(jié)約型社會,“先鋒”材料廠把一批三角形廢料重新利用,因此工人師傅需要把它們截成大小不同的正方形.已知在△ABC中,AC=40,BC=30,∠C=90°.(1)如圖21①,若截取△ABC的內(nèi)接正方形DEFG,請你求出此正方形的邊長;(2)如圖②,若在△ABC內(nèi)并排截取兩個(gè)相同的小正方形(它們組成的矩形內(nèi)接于△ABC),請你求出每個(gè)小正方形的邊長;(3)如圖③,若在△ABC內(nèi)并排截取三個(gè)相同的小正方形(它們組成的矩形內(nèi)接于△ABC),請你求出每個(gè)小正方形的邊長;(4)猜想:如圖④,假設(shè)在△ABC內(nèi)并排截取n個(gè)相同的小正方形(它們組成的矩形內(nèi)接于△ABC),則每個(gè)小正方形的邊長是多少?圖21答案1.D2.A[解析]A.23=46,是成比例線段,選項(xiàng)正確;B.24≠68,不是成比例線段,選項(xiàng)錯(cuò)誤;C.34D.46≠68,不是成比例線段,3.C4.A[解析]∵a∥b∥c,∴ABBC=DEEF,即23=5.D[解析]A.當(dāng)∠ACP=∠B時(shí),又∠A=∠A,可得△APC∽△ACB;B.當(dāng)∠APC=∠ACB時(shí),又∠A=∠A,可得△APC∽△ACB;C.當(dāng)AP∶AC=AC∶AB時(shí),又∠A=∠A,可得△APC∽△ACB;D.若AP∶AB=PC∶BC,∠A=∠A,無法證明△APC∽△ACB.6.B[解析]∵②與△ABC相似,對應(yīng)點(diǎn)的連線相交于點(diǎn)O,對應(yīng)邊互相平行,∴②與△ABC是位似圖形且以點(diǎn)O為位似中心.故選B.7.D[解析]A.兩個(gè)等邊三角形形狀相同,符合相似形的定義;B.兩個(gè)不等邊三角形形狀相同,符合相似形的定義;C.兩個(gè)正方形形狀相同,符合相似形的定義;D.兩個(gè)矩形,雖然四個(gè)角對應(yīng)相等,但對應(yīng)邊不成比例,故不是相似形.故選D.8.B[解析]∵DE∥BC,DF∥AC,∴四邊形EDFC是平行四邊形,∴DF=EC.設(shè)AE=2x,DF=3x,∴CE=DF=3x,∴AC=5x.∵DF∥AC,∴△BDF∽△BAC,∴DFAC=BFBC,∴BF9.C[解析]∵∠B=∠ACD,∠A=∠A,∴△ACD∽△ABC.∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴△ACD∽△ADE.∵DE∥BC,∴∠EDC=∠DCB.又∵∠B=∠DCE,∴△CDE∽△BCD.故共4對.10.C[解析]∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB=CD,AB∥CD.∵E,F為CD邊的兩個(gè)三等分點(diǎn),∴EF=13CD=13AB.由AB∥CD可知△EFG∽△BAG,∴S△EFG∶S△ABG=(EFAB)2=(13)2=1∶911.D[解析]∵AB=3AE,AD=3AO,∴ABAE=ADAO=3.又∵∠EAO=∠BAD,∴△AOE∽△ADB,∴BDOE=ABAE=3.∵OE12.D[解析]A,B選項(xiàng)中,陰影部分的三角形與原三角形都分別有兩個(gè)角相等,故兩三角形相似;C.8-3.56=68,故兩三角形對應(yīng)邊成比例且夾角相等,故兩三角形相似.D.∠B=∠B,但夾∠13.A14.B[解析]設(shè)某人的咽喉至肚臍的長度為xcm,則26x≈0.618,解得x≈42.071.設(shè)某人的肚臍至足底的長度為ycm,則26+42.071y≈0.618,解得y∴其身高是26+42.071+110.147≈178(cm).15.C[解析]如圖,過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G,過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H,則DG∥CH,∴△ODG∽△OCH,∴DGCH=ODOC.∵欄桿從水平位置AB繞固定點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到DC的位置,點(diǎn)C到AB的距離為0.3m,∴CD=AB=3.5m,OD=OA=3m,CH=0.3m,∴DG0.3=30.5,∴DG=1.8(m).∵OE=0.6m,∴欄桿D端離地面的距離為16.D17.51218.△A'B'C'7∶4[解析]∵A'B'∥AB,B'C'∥BC,∴A'B'AB=B∠ABO,∠C'B'O=∠CBO,∴A'B'AB=B'∴△ABC∽△A'B'C',位似比=AB∶A'B'=OA∶OA'=(4+3)∶4=7∶4.19.(1)3-52(2)3105[解析](1)∵BD=CD,∴∠B=∠BCD=36°,∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=72°,∴∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=36°.∵∠ACB=2∠B,∴∠ACB=72°,∴∠ACD=36°.∵∠AED=∠EAC+∠ACD=72°,∴∠EAC=∠ACD=36°,∴AE=EC=AD.∵∠ACD=∠DAE=36°,∠ADE=∠CDA,∴△AED∽△CAD,∴ADDE∴AD2=CD·DE=DE·(AD+DE),∴DE=-1+52AD∴CD=DE+AD=1+52AD,∴(2)∵BD=CD,∴∠B=∠BCD,∴∠ADC=∠B+∠BCD=2∠B.∵∠ACB=2∠B,∴∠ACB=∠ADC,∠ACD=∠B,∴△ACD∽△ABC,∴ACAB=ADAC設(shè)AD=2a,CD=3a=BD.∵ACAB=ADAC,∴22a+3∴CD=31020.解:(1)∵x2=z4∴x+(2)設(shè)x2=y3=z4=k,則x=2k,把x=2k,y=3k,z=4k代入x-y+z=6,得2k-3k+4k=6,解得k=2,∴x=4,y=6,z=8,∴3x-2y+z=12-12+8=8.21.解:(1)如圖,△OB'C'即為所求.(2)(-2a,-2b)(3)S△OB'C'=4S△OBC=4×(2×3-12×2×1-12×2×1-12×3×122.解:(1)∵l1∥l2∥l3,∴DEDF即33+6=4AC,(2)∵l1∥l2∥l3,∴BECF∵AB=4,AC=12,∴BC=AC-AB=8.∵OB+OC=BC,∴OB=2,∴OBAB23.解:∵DQ⊥BP,∴∠CQB=90°.∵QD=1m,QA=1m,∴∠QAD=45°.∵PH⊥PB,∠HAP=45°,∴PH=PA.設(shè)PH=PA=xm.∵PH⊥PB,CQ⊥PB,∴PH∥CQ,∴△QBC∽△PBH,∴CQPH∴1.5+1x=1+2經(jīng)檢驗(yàn),x=10是原方程的解且符合題意.答:窗外的路燈PH的高度是10m.24.解:(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,EF⊥ED,∴∠FED=∠C=90°,BC∥AD,∴