9類導數(shù)新定義壓軸（解析版）

2 14 40 1、函數(shù)與導數(shù)新定義問題主要分兩類：一是概念新定義型，主要是以函數(shù)新概念為背景，通?？疾榭忌鷮瘮?shù)新概念的理解，涉及函數(shù)的三要素的理解；二是性質(zhì)新定義型，主要是以函數(shù)新性質(zhì)為背景，重點考查考生靈活應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)的能力，涉及函數(shù)的各種相關(guān)性質(zhì)的拓展延伸.2、設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)為平面上兩點，則定義x2-x1+y2-y1為“折線距離”“直角距離”或“曼哈頓距離”，記作d(P,Q)=x2-x1+y2-y1.結(jié)論1：設(shè)點P(x0,y0)為直線l:Ax+By+C=0外一定點，Q為直線l上的動點，則結(jié)論2：設(shè)點P為直線Ax+By+C1=0上的動點，點Q為直線Ax+By+C2=0上的動點，則①圓C與曲線Γ有公共點A，且圓心在曲線Γ凹的一側(cè)；②圓C與曲線Γ在點A處有相同的切線；(x-a)2+(y-b)2=r2在點A(x0,y0)處的二階導數(shù)等于；則稱圓C為曲線Γ在A點處的曲率圓，其半徑r稱為曲率半徑.(1)求拋物線y=x2在原點的曲率圓的方程；(2)求曲線的曲率半徑的最小值；(3)若曲線y=ex在(x1,exx2,ex(x1≠x2)處有相同的曲率半徑，求證：x1+x2<-ln2.記f(x)=x2，設(shè)拋物線y=x2在原點的曲率圓的方程為x2+(y-b)2=b2，其中b為曲率半徑.則f,(x)=2x，f,,(x)=2，故2=f,,即，所以拋物線y=x2在原點的曲率圓的方程為（2）設(shè)曲線y=f(x)在(x0,y0)的曲率半徑為r．則0,y03-x+)所以解方程可得xx2法二：函數(shù)y=ex的圖象在(x,ex)處的曲率半徑令t1221t23x3x3x 122(1)(1)22x1)x2.ex故G(x)單調(diào)遞增，G(x)法四：函數(shù)y=ex的圖象在(x,ex)處的曲率半徑4x2x2x.+6e2x2e2x=2e2x(e2x+1)2(2e2x1)， 122所以x1,ln2x22故H(x)單調(diào)遞增2【典例1-2】有一種速度叫“中國速度”，“中國速度”正在刷新世界對中國高鐵的認知．由于地形等原因，在修建高鐵、公路、橋隧等基建中，我們常用曲線的曲率（Curvature）來刻畫路線彎曲度．如圖所示的光滑曲線C上的曲線段AB，設(shè)其弧長為Δs，曲線C在A，B兩點處的切線分別為lA,lB，記lA,lB的夾角為C:y=f(x)在其上一點A(x,y)處的曲率其中f,(x)為f(x)的導函數(shù)，f,,(x)為f,(x)的導函數(shù)）若f=sin(2)記圓x2+y2=2025上圓心角為的圓弧的平均曲率為a.x2x1，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828….【解析】（1）f(x)=sin(2x),f,(x)=2cos(2x),f,,(x)=一4sin(2x)，22弧的兩端點處的切線對應(yīng)的夾角Δθ=π,3所以該圓弧的平均曲率也即x1,x(1)所以3t∈|(2,1,使得g(t)=0，即g(x)的圖象與x軸有且僅有兩個交點(0,0),(t,0)，易得g(x)在(0,(1)在(t,0)處的切線方程為lt:y=下面證明兩切線l0,lt的圖象不在g(x)的圖象的下方:t1,即g(x)的圖象恒在其圖象上的點(t,0)處的切線的下方(當且僅當x=t時重合).2設(shè)直線y=m(m>0)與兩切線l0,l1交點的橫坐標分別為X0,Xt，<Xt，t1,【變式1-1】定義：若h,(x)是h(x)的導數(shù)，h,,(x)是h,(x)的導數(shù)，則曲線y=h(x)在點(x,h(x))處的曲率(0,g(0))處的曲率為；(1)求實數(shù)a的值；并證明.xcosxsinx1≥0恒成立，n由已知方程f(x)=g,(x)可化為excosx-sinx-1=0，令φ(x)=excosx-sinx-1，則φ,(x)=ex(cosx-sinx)-cosx，所以φ,(x)<0，所以φ(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減， 2nπ+-1則φ(xn+1-2π)=ex-2πcos(xn+1-2π)-sin(xn+1-2π)-1x-2πcosxn+1-sinxn+1-1x-2πcosxn+1-excosxn+1exn+1-2π-exn)閉幕.會展展出了國產(chǎn)全球首架電動垂直起降載人飛碟.觀察它的外觀造型，我們會被其優(yōu)美的曲線折服.現(xiàn)代產(chǎn)品外觀特別講究線條感，為此我們需要刻畫曲線的彎曲程度.考察如圖所示的光滑曲線C:y=f(x)上的曲線段AB，其弧長為Δs，當動點從A沿曲線段AB運動到B點時，A點的切線lA也隨著轉(zhuǎn)動到B點的切線lB，記這兩條切線之間的夾角為Δθ（它等于lB的傾斜角與lA的傾斜角之差）.顯然，當弧長固定時，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當夾角固定時，弧長越小則彎曲程度越大，因此可以定義為曲線段AB的平均曲率；顯然當B越接近A，即Δs越小，K就越能精確刻畫曲線C在點A處的彎曲程度，因此定義若極限存在）為曲線C在點A處的曲率.（其中y,，y,,分別表示y=f(x)在點A處的一階、二階導數(shù)）(1)已知拋物線x2=2py(p>0)的焦點到準線的距離為3，則在該拋物線上點(3,y)處的曲率是多少？(3)若動點A的切線沿曲線f(x)=2x2-8運動至點B(xn,f(xn))處的切線，點B的切線與x軸的交點為*n-2，Tn是數(shù)列{bn}的前n項和，【解析】（1）:拋物線x2=2py(p>0)的焦點到準線的距離為3，:p=3，即拋物線方程為x2=6y，即f則， 即在該拋物線上點(3,y)處的曲率為；:g(x)在R上為奇函數(shù)，又g(x)在R上為減函數(shù).又因為兩個函數(shù)都是偶函數(shù)，記=cos①x，q則曲線p(x)恒在曲線q(x)上方，（3）由題可得f,(x)=4x，所以曲線y=f(x)在點(xn,f(xn))處的切線方程是y-f(xn)=f,(xn)(x-xn)，2即y-2n，所以數(shù)列{an}是等比數(shù)列，n-1a1n-1lg所以，:bn=xn-2=-12bn-2*.(x,y2，那么稱d(A,B)=x1-x2+y1-y2為A，B兩點間的曼哈頓距離.(1)已知點N1，N2分別在直線x-2y=0，2x-y=0上，點M(0,2)與點N1，N2的曼哈頓距離分別為d(M,N1)，d(M,N2)，求d(M,N1)和d(M,N2)的最小值；(2)已知點N是直線x+k2y+2k+1=0(k>0)上的動點，點M(0,2)與點N的曼哈頓距離d(M,N)的最小值記為f(k)，求f(k)的最大值；(3)已知點M(ek,kek)，點N(m,n)（k，m，n∈R，e是自然對數(shù)的底當k≤1時，d(M,N)的最大值為f(m,n)，求f(m,n)的最小值.則d(M,N1)≥2，即d(M,N1)的最小值為2；則d(M,N2)≥1，即d(M,N2)的最小值為1.2≥1時，d(M,N)=x+y-2，,所以f(k)的最大值為5.kkek-ne-md(Mkkek-ne-m=max{x+xlnx-m-n,x-xlnx-m+nle,le,ll,f(m,n)的最小值e+張距離，它由n個絕對值之和組成，其中n為正整數(shù).如：M(2,6)=2x-1+2x-2+2x-3+2x-4+2x-5+2x-6(1)若M(1,2)≤5，求x的取值范圍；所以x的取值范圍是{x|-1≤x≤4}.（2）M(3,2)=3x-1+3x-2≥m對一切實數(shù)x恒成立，222夫斯基提出來的．如圖是抽象的城市路網(wǎng)，其中線段AB是歐式空間中定義的兩點最短距離，但在城市路網(wǎng)中，我們只能走有路的地方，不能“穿墻”而過，所以在“曼哈頓幾何”中，這兩點最短距離用B(x2,y2)，則d(A,B)=x2-x1+y2-y1(1)①點A(3,5)，B(2,-1)，求d(A,B)的值.②求圓心在原點，半徑為1的“曼哈頓單位圓”方程.(3)設(shè)三維空間4個點為Ai=(xi,yi,zi)，i=1,2,3,4，且xi，yi，的平均值即d，求d最大值，并列舉最值成立時的一組坐標.②設(shè)“曼哈頓單位圓”上點的坐標為(x,y)，則x-0+y-0=1，即x+y=1.（2）設(shè)直線2x-y+2=0上任意一點坐標為C(x1,2x1+2)，則d(C,B)=x1-1+2x1+2，綜上所述，d(C,B)的最小值為2.如圖，ABCD—EFGH為正方體，邊長為1，則Ai對應(yīng)正方體的八個頂點，當四個點在同一個面上時，例如：A,B,C,D，此時當四個點不在同一個平面時，例如：A,C,H,D，此時例如：A,B,E,D，此時例如：A,B,E,H，此時(1)求函數(shù)y=cosh(2x)+sinh(x)的最小值；(2)若函數(shù)f(x)=log9cosh(2x)—asinh(x)在R上的最小值為—1，求正實數(shù)a的值；(3)求證：對任意實數(shù)k，關(guān)于x的方程=kx+總有實根.xex在R上單調(diào)遞增，函數(shù)y=cosh(2x)+sinh(x)有最小值.（2）函數(shù)f(x)=log9cosh(2x)—as即函數(shù)y=cosh(2x)—asinh(x)有最小值.8所以正實數(shù)a的值為3證明：令p定義域為R，又，所以p是奇函數(shù)，因為y=e2x是R上的增函數(shù)，所以在R上單調(diào)遞增，且當x趨近于+∞時，p(x)趨近于1，如圖所示：無論k取任何實數(shù)，直線y=kx+與函數(shù)p(x)的圖象都有交點，即對任意實數(shù)k，關(guān)于x的方程=kx+總線.1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程y=，其中c為參數(shù).當c=1時，就是雙曲余弦函數(shù)coshx=類似地我們可以定義雙曲正弦函數(shù)sinhx=.它們與正、余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì).(1)類比正弦函數(shù)的二倍角公式，請寫出雙曲正弦函數(shù)的一個正確的結(jié)論:sinh2x=.（只寫出即可，不要求證明試比較cosh(sinx)與sinh(cosx)的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.又e2x2xxx)2222，于是x因此顯然函數(shù)上單調(diào)遞減，max依題意，coshsinhcosxcosx，【變式3-1】（2024·上海寶山·模擬預(yù)測）在數(shù)學中，雙曲函數(shù)是與三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù)，其中雙曲正弦：sinh雙曲余弦函數(shù)：cosh(x)=e是自然對數(shù)的底數(shù)）.（2）寫出雙曲正弦與兩角和的正弦公式類似的展開式：sinh(x+y)=，并證明；1，是否存在實數(shù)a，使得a2021=若存在，求出a的值，若不存在，說明理由.右邊ex+y+ex-y-ey-x-e-x-yex+y+ey-x-ex-y-e-x-yex+y-e-x-y4∴左邊等于右邊，即sinh(x+y)=sinh(x)cosh(y)+cosh(x)sinh(y)成立=cosθ成立，kθ)2kθ成立.2n-1θ).n2021a1，存在不為0的實數(shù)m，使得cosh(m)=a1，類比余弦二倍角公式，猜測cosh(2x)=2cosh2(x)-1.證明如下：類比a1=cosh(m)，易證a2=2cosh2(m)-1=cosh(2m)，1(1-1)5【典例4-1】（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）定義：函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f,(x)，我們稱函數(shù)f,(x)的導函（2）已知定義在R上的函數(shù)g(x)滿足：對任意R，g,,(x)>0恒成立.P為曲線y=g(x)上的任意一點.求證：除點P外，曲線y=g(x)上每一點都在點P處切線的上方；（3）試給出一個實數(shù)a的值，使得曲線y=p(x)與曲線y=q(x)有且僅有一條公切線，并證明你的結(jié)論..（2）設(shè)P(x0,g(x0))，則曲線y=g(x)在點P處的切線方程為y=g,(x0)(x-x0)+g(x0)，00(x)上每一點都在點P處切線的上方.下面證明它們只有這一條公切線.設(shè)h(x)=p(x)-q(x)，則h,(x)=p,(x)-q,(x)，x(x+2)2≥0，當且僅當x=-2時取等號，②再證明它們沒有其它公切線.若它們還有一條公切線y=t(x)，它與曲線y=p(x)切于點(x1,p(x1))，x2又由①與p(x1)≥q(x1)矛盾，故它們只有這一條公切線.綜上，當a=2時，曲線y=p(x)與曲線y=q(x)有且僅有一條公切線..【典例4-2】記f,,(x)=(f,(x)),，f,(x)為f(x)的導函數(shù)．若對x∈D，f,,(x)>0，則稱函數(shù)y=f(x)為D上的“凸函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)=ex-x3-ax2-1，a∈R.（1）若函數(shù)f(x)為R上的凸函數(shù)，求a的取值范圍；【解析】（1）:f,(x)=ex-x2-2ax，若函數(shù)f(x)為R上的凸函數(shù)，則f,,(x)=ex-2x-2a>0，即2a<ex-2x，:ymin=eln2-2ln2=2-2ln2，:2a<2-2ln2，解得：a<1-ln2，:a的取值范圍為(-∞,1-ln2).,2-x（2）:y=f(x)-x=ex-x3-ax2-x-,2-x:y=f(x)-x在(1,+∞)上有極值，:g(x)=exex-x2-2ax-1，-2ax-1在(1,+∞)有變號零點，g,(x)=ex-2x-2a，令m(x)=ex-2x-2a，則m,(x)=ex-2，Qx>1，:m,(x)>0，:m(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，:g,(x)=m(x)>m(1)=e-2-2a；:g(x)=ex-x2-2ax-1在(1,+∞)無零點，不合題意；00)=0，:g(x)單調(diào)遞減，0,0)=0，:g(x)單調(diào)遞增，:g(x)在x∈(1,+∞)上有零點，且在零點左右兩側(cè)g(x)符號相反，即該零點為g(x)的變號零點，:y=f(x)-x在(1,+∞)上有極值；綜上所述：a的取值范圍為已知函數(shù)f(x)=xex+ax2+a為R上的凹函數(shù).(1)求a的取值范圍；所以m(x)在(-∞,-3)上是減函數(shù)，在(-3,+∞)上增函數(shù).因為f(x)為R上的凹函數(shù)，所以-+2a≥0，（2）證明h,(x)=ex-x-1，h,所以h,(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以h,(x)的最小值為h,(0)=0，則h,(x)≥0，h(x)證明：由=xex-x3-x2-x≥0，x32所以x3232故x2上具有性質(zhì)M.①y=f(x)在D上的導數(shù)f,(x)存在；②y=f,(x)在D上的導數(shù)f,,(x)存在，且f,,(x)>0（其中f,,(x)=f,(x),）恒成立.(1)判斷函數(shù)y=lg在區(qū)間(0,+∞)上是否具有性質(zhì)M？并說明理由.(2)設(shè)a、b均為實常數(shù)，若奇函數(shù)g(x)=2x3+ax2+在x=1處取得極值，是否存在實數(shù)c，使得y=g(x)在區(qū)間[c,+∞)上具有性質(zhì)M？若存在，求出c的取值范圍；若不存在，請說明理由.令y=f，∴函數(shù)y=lg在區(qū)間(0,+∞)上具有性質(zhì)M； ∵g(x)在x=1處取得極值，且g(x)為奇函數(shù)，∴g(x)在x=-1處也取得極值，0，解得∴存在實數(shù)c，使得y=g(x)在區(qū)間[c,+∞)上具有性質(zhì)M，c的取值范圍是(0,+∞)；令G(x)=x-ln(x+1)-1，0)-1=0，0,0∴k的最大值為3.合A中的任意一個有序?qū)崝?shù)對(x,y)，按照某種確定的關(guān)系f，在B中都有唯一確定的數(shù)z和它對應(yīng)，那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個二元函數(shù)，記作z=f(x,y),(x,y)∈A，其中A稱為二元函數(shù)f的定義域.(1)已知f(x,y)=222x+yx2=1，求f;在D上沿u方向單調(diào)遞增.已知f(x,y)=ex+y+ex-y,x∈R,y∈R.請問f在{(x,y)∣x,y∈R}上沿向量(1,1)方向單調(diào)遞增嗎？為什么？(3)設(shè)二元函數(shù)f的定義域為D，如果存在實數(shù)M滿足：①(x,y)∈D，都有f(x,y)≥M，②3(x0,y0)∈D，使得f(x0,y0)=M.那么，我們稱M是二元函數(shù)f的最小值.求又:f(x,y)=ex+y+ex-y，:f(a-+hu)-f(a-)=ex+h+y+h+ex+h-y-h-ex+y-ex-y=ex+y+2h-ex+y>0，（3）由題意可類似的知道f(x,y)的最大值的含義，yysin2其中tanφ=（或者直接使用柯西不等式，y2sin2xx又≤y≤2，根據(jù)對勾函數(shù)單調(diào)性易知當y=或2時，函數(shù)f(x,y)取最大值為.f(x,y)在約束條件g(x,y)的可能極值點，首先構(gòu)造出一個拉格朗日輔助函數(shù)L(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)，其中λ為拉格朗日系數(shù)．分別對L(x,y,λ)中的x,y,λ部分求導，并使之為0，得到三個方程組，如下：(x,y,λ)=fx(x,y)+λgx(x,y)=0{Ly(x,y,λ)=fy(x,y)+λgy((x,y,λ)=fx(x,y)+λgx(x,y)=0lLλ(x,y,λ)=g(x,y)=0g(x,y)的可能極值點．x,y的值代入到f(x,y)中即為極值.f(x,y)=x2+xy+y2關(guān)于變量x的導數(shù)．即：將變量y當做常數(shù)，即：fx(x,y)=2x+y，下標加上x，代表對自變量x進行求導．即拉格朗日乘數(shù)法方程組之中的Lx,Ly,Lλ表示分別對x,y,λ進行求導.(1)求函數(shù)f(x,y)=x2y2+2xy+xy2關(guān)于變量y的導數(shù)并求當x=1處的導數(shù)值.(2)利用拉格朗日乘數(shù)法求：設(shè)實數(shù)x,y滿足g(x,y)=4x2+y2+xy-1=0，求f(x,y)=2x+y的最大值.2f(x,y)=x2y2+2xy+xy2，對變量y求導得：fy(x,y)=2x2y+2x+2xy，（2）令L(x,y,λ)=2x+y+λ(4x2+y2+xy-1)，則{Ly(x,y,λ)=1+2λy+λx=0則{Ly(x,y,λ)=1+2λy+λx=0，解得{y=-或{y=，λ=λ=-lLλ(x,y,λ)=4x2+y2+λ=λ=-于是函數(shù)f(x,y)在約束條件g(x,y)=0的可能極值點是當,y=-0時，函數(shù)f的一個極值為函數(shù)f的一個極值為函數(shù)方程4x2+y2+xy-1=0視為關(guān)于x的方程：4x2+yx+y視為關(guān)于y的方程：y2+xy+4x2-1=0，則Δ2=x2-4(4x2-1)≥0，解得|xf(x,y)對應(yīng)的圖形是封閉的，而10>-所以f(x,y)的最大值為.2222 2+ab+a(a-b)-10ac 【變式5-1】（2024·全國·模擬預(yù)變量z按照一定的規(guī)律f，總有唯一確定的x，y與之對應(yīng)，則稱變量z為變量x，y的二元函數(shù)，記作z=f(x,y)．已知二元函數(shù)f(x,y)=2x+(y≠0).(xy,(1)若xy>0，求f(x,y).f(|1,1(xy,(2)對任意實數(shù)x，不等式f(x,a)+f(x,2a)≥a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.當且僅當2xy=即xy=1時f取得最小值為9.∵f(x,a)+f(x,2a)i≥a恒成立，∴a≤,綜上，實數(shù)a的取值范圍是【典例6-1】若兩個函數(shù)y=f(x)與y=g(x)在x=x0處有相同的切線，則稱這兩個函數(shù)相切，切點為x0,f(x0)).(1)判斷函數(shù)y=sinx與y=x是否相切；(2)設(shè)反比例函數(shù)y=與二次函數(shù)y=ax2+bx(a≠0)相切，切點有兩個公共點；(3)若0<a<1，指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax相切，求實數(shù)a的值；(4)設(shè)（3）的結(jié)果為a0，求證：當0<a<a0時，指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax的圖象有三個公共點.x=0=1，且yx=0=0，所以，曲線y=sinx在x=0處的切線方程為y=x，因此，函數(shù)y=sinx與y=x相切.（2）反比例函數(shù)y=與二次函數(shù)y=ax2+bx(a對函數(shù)求導得y,=-對函數(shù)y=ax2+bx(a≠0)求導得y,=2ax+b，3代入=at2+bt可得-，所以，27a2=4b3，此時令=ax2+bx得ax3+bx2-1=0，它的一個解為x1=t=-所以，方程ax3+bx2-1=0可化為 解得x2=-，x3=所以，方程ax3+bx2-1=0的三個解為x1=x2=t，x3=-（3）設(shè)指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax在x=x0處有相同的切線，對函數(shù)y=ax求導得y,=axlnx0x0ax022，2≥0且f,(t)不恒為零，所以，函數(shù)f(t)=t-)在(-∞,0)上為增函數(shù)，且f(-1)=0，故方程t-)=0的唯一解為t=-1，x0所以，函數(shù)h(x)在(0,-logae)上為減函數(shù)，在(-logae,+∞)上為增函數(shù)，2，所以，函數(shù)h(x)在(-logae,+∞)內(nèi)也存在一個零點，2所以，函數(shù)g(x)有一個極大值g(x1)和一個極小值g(x2)，設(shè)函數(shù)y=ax與直線y=x的交點為(x3,x3)，所以，x3為函數(shù)y=ax-x的一個零點，所以，ax=x3，則x3=所以，x3也為函數(shù)g(x)=ax-logax的一個零點，1-e時，函數(shù)y=ax為減函數(shù)，則函數(shù)y=ax-x也為減函數(shù)，且ae<，x3-x3，所以，x3<，1所以，函數(shù)g(x)在(x3,1)內(nèi)有一個零點，也是(x3,+∞)上的唯一零點，所以，函數(shù)g(x)在(a,x3)內(nèi)有一個零點，也是(0,x3)內(nèi)的唯一零點，-e時，函數(shù)g(x)=ax-logax共有三個零點.【典例6-2】對給定的在定義域內(nèi)連續(xù)且存在導函數(shù)的函數(shù)f(x)，若對在f(x)定義域內(nèi)的給定常數(shù)a，存在數(shù)列{an}滿足a1在f(x)的定義域內(nèi)且a1>a，且對n≥2,n∈N*,y=f(x)在區(qū)間(a,an-1)的圖象上有且 僅有在x=an一個點處的切線平行于(a,f(a))和(an-1,f(an-1))的連線，則稱數(shù)列{an}為函數(shù)f(x)的“a關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”.(1)若函數(shù)f(x)=x2，證明：a∈R,f(x)都存在“a關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”；(3)若函數(shù)h(x)=mx3+6sinx，數(shù)列{bn}n【解析】（1）因為f(x)=x2，則f,(x)=2x，n-1可知數(shù)列{an-a}為以a1-a為首項，為公比的等比數(shù)列，顯然這樣的數(shù)列對于給定的a1>a是存在的，所以a∈R,f(x)都存在“a關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”. 定義h,(x)的導函數(shù)為h,,(x),h,,(x)的導函數(shù)為h,,(x)，-x)，-x)(x>0)，-bn)，，nn-1n-1n-1n-1n【變式6-1】（2024·廣西·二模）定義：若函數(shù)f(x)圖象上恰好存在相異的兩點P,Q滿足曲線y=f(x)在P和Q處的切線重合，則稱P,Q為曲線y=f(x)的“雙重切點”，直線PQ為曲線y=f(x)的“雙重切線”.22(1)直線y=x-5是否為曲線f(x)=1x2-2x+2lnx的“雙重切線22(3)已知函數(shù)h(x)=cosx，直線PQ為曲線y=h(x)的“雙重切線”，記k在點P處的切線的方程為=x-1，即y=x-，在點Q的切線方程為y-2ln2+2=x-2，即y=x-4+2ln2與直線y=x-不重合，所以直線y=x-=x2-2x+2lnx的“雙重切線”.x+1,x（2）由題意g,(x)={,x>0，函數(shù)x+1,x所以在點P處的切線的方程為y-ex+1=ex+1(x-x1)，在點Q的切線方程為y-(6-)=(x-x2)，x2(x1(x1則t,(x)=xex+1-2e(x+1）=e(x+1)[xe(x+1)-2]<0，所以t(x)是減函數(shù)，在點P(-1,1)處切線方程為y-1=x+1，即y=x在點Q(2,4)處的切線方程為y-4=x-2，即y=x+2，所以“雙重切線”方程為y=x+2；（3）證明：設(shè)k1對應(yīng)的切點為(x1,cosx1),(x1,,cosx1,)，x1<x,x2<x2，由于(cosx),=-sinx，所以k1=-sinx1=-sinx1,，k2=-sinx=-sinx2,，由余弦函數(shù)的周期性，只要考慮-π<x2<x1<-的情形，又由余弦函數(shù)的圖象，只需考慮x1+x1,=π，x2+x2,=3π情形，π其中-π<x2<x1<-，22，π-π<x<-時，sinx<0，cosx<0，2令F(x)=+x-（-π<x<-則F(x1)=0，F(xiàn),(x)=+1=-+1=-<0，在上單調(diào)遞減，又F(-)=、i3--<0，所以-π<x1<-，所以-π<x2<x1<-，此時-1<cosx2<cosx1<0，則0<<1，域上近似求解方程的方法．比如，我們可以先猜想某個方程f(x)=0的其中一個根r在x=x0的附近，如圖所示，然后在點(x0,f(x0))處作f(x)的切線，切線與x軸交點的橫坐標就是x1，用x1代替x0重復(fù)上面的過程得到x2；一直繼續(xù)下去，得到x0，x1，x2，……，xn．從圖形上我們可以看到x1較x0接近r，x2較x1 接近r，等等．顯然，它們會越來越逼近r．于是，求r近似解的過程轉(zhuǎn)化為求xn，若設(shè)精度為ε，則把首次滿足xn-xn-1<ε的xn稱為r的近似解．(1)當a=1時，試用牛頓迭代法求方程f(x)=0滿足精度ε=0.5的近似解（取x0=-1，且結(jié)果保留小數(shù)點后第二位(2)若f(x)-x3+x2lnx≥0，求a的取值范圍.f(x)=x3-x+1，則f,(x)=3x2-1，曲線f(x)在x0=-1處的切線為y-1=2(x+1)→x1=-1.5，且x1-x0≥0.5曲線f(x)在x1=-1.5處的切線為→x2=-且ix2-x1i<0.5故，用牛頓迭代法求方程f(x)=0滿足精度ε=0.5的近似解為-1.35.【典例7-1】（2024·湖南長沙·二模）極值的廣義定義如下：如果一個函數(shù)在一點的的開區(qū)間）內(nèi)處處都有確定的值，而以該點處的值為最大（小這函數(shù)在該點處的值就是一個極大（小）值.對于函數(shù)y=f(x)，設(shè)自變量x從x0變化到x0+Δx，當Δx>0，是一個確定的值，則稱函數(shù)y=f(x)在點x0處右可導；當Δx<0，是一個確定的值，則稱函數(shù)y=f(x)在點x0處左可導.當函數(shù)y=f(x)在點x0處既右可導也左可導且導數(shù)值相等，則稱函數(shù)y=f(x)在點x0處可導.(1)請舉出一個例子，說明該函數(shù)在某點處不可導，但是該點是該函數(shù)的極值點；(2)已知函數(shù)f(x)=x2eax2+1-x3sinx-ex2.(ⅰ)求函數(shù)g(x)=eax2+1-xsinx-e在x=0處的切線方程；(ⅱ)若x=0為f(x)的極小值點，求a的取值范圍.xx,x=0為該函數(shù)的極值點，則該函數(shù)在x=0處的左導數(shù)為-1，右導數(shù)為1，所以該函數(shù)在x=0處不可導.又g,(x)=2axeax2+1-sinx-xcosx，則k=g,(0)=0，所以切線方程為y=0；(ⅱ)f(x)=x2eax2+1-x3sinx-ex2=x2(eax2+1-xsinx-e)，g(x)=eax2+1-xsinx-e，先考察g(x)的性質(zhì)，由于g(x)為偶函數(shù)，只需分析其在(0,+∞)上的性質(zhì)即可，g,(x)=2axeax2+1-sinx-xcosx，g,(0)=0,，則g,(x)在區(qū)間(0,m)內(nèi)小于0，則g(x)故f(x)在區(qū)間(0,m)內(nèi)小于0，則x=0不可能為f(x)的極小值點.ax2+1-xsinx-ex2+1-xsinx-e， x2+1-xsinx-e，h,(x)=ex2+1-sinx-xcosx，x2+1-sinx-xcosx，2)x2-2cosx+xsinx，),ex2故y=-2cosx+xsinx在區(qū)間(0,22)x2-2cosx+xsinx在區(qū)間(|(0,),上單調(diào)遞增.故h,(x)在區(qū)間(|(0,),上單調(diào)遞增，(2,(2,ax2f(x)>0，故x=0為f(x)的極小值點，所以a的取值范圍為a≥.f(x1)=f(x2)，且f(x)在點(x1,f(x1)),(x2,f(x2))處的切線斜率相同，則稱f(x)為“切合函數(shù)”(1)證明：f(x)=x3-2x為“切合函數(shù)”；(2)若g(x)=xlnx-x2+ax為“切合函數(shù)”，并設(shè)滿足條件的兩個數(shù)為x1,x2.x22x1x2-vx1x2<.【解析】（1）假設(shè)存在兩個不同的數(shù)x1,易知f,(x)=3x2-2，由題意可得f(x1)=f(x2)，即x-2x1=x-2x2，(x1-x2)2，因為f,(x1)=f,(x2)，即3x-2=3x-2，=-x2，22所以f(x)=x3-2x為“切合函數(shù)”.因為g(x)=xlnx-x2+ax為“切合函數(shù)”，故存在不同的數(shù)x1,x2(不妨設(shè)0<x1<x2)使得x1x1-x2lnx2-x+ax2整理得{x2-x1x整理得{x2-x1xx,,,x1x2x1x1x2x1x2x2x1x1lnx1-x2lnx2(x2+x1)x1lnx1-x2lnx2(x2+x1)(lnx2-lnx1)=x2-x1+2(x2-x1)=x2-x1+2(x2-x1)lnx2-lnx12(x1lnx1-x2lnx2)+(x2+x1)(lnx2-lnx1)x1ln(x1x2)-x2ln(x1x2)=2(x2-x1)=2(x2-x1)所以a>ln2且x1x2=e-2a，只需證(a+1)2e-2a-e-a<，即e2a+ea-(a+1)2>0(a>ln2)，則即證h(a)>0(a>ln2)h,(a)=×2e2a+ea-2(a+1)=e2a+ea-2(a+1)，即k(a)也就是h,(a)在(ln2,+∞)單調(diào)遞增，h,(a)>h,(ln2)=e2ln2+eln2-2(ln2+1)=×4+2-2ln2-2=2(3-ln2)>0，所以h(a)在(ln2,+∞)單調(diào)遞增，2所以原不等式成立.x12n-1<xn的實數(shù)x1,x2,…,xn-1,xn，其中x1,x2,…,xn-1,xn∈D，都有不等式恒成立，則稱函數(shù)y=f(x),x∈D是“絕對差有界函數(shù)”函數(shù)fx≥是“絕對差有界函數(shù)”，求常數(shù)M的取值范圍；(2)對于函數(shù)y=f(x),x∈[a,b]，存在常數(shù)k，對任意的x1,x2∈[a,b]，有f(x1)-f(x2)≤kx1-x2恒成立，求證：函數(shù)y=f(x),x∈[a,b]為“絕對差有界函數(shù)”,:f'=0，:x=e，f(x)單調(diào)遞減.f(x)單調(diào)遞增時，f(xn)-f(xn-1)>0，f(x)單調(diào)遞減時，f(xn)-f(xn-1)<0.且當x無限趨向于正無窮大時，f(x)無限趨向于0，i-xi-1成立，則可取M=k(b-a)，所以函數(shù)y=f(x),x∈[a,b]為“絕對差有界函數(shù)”4個8個所以對任意常數(shù)M>0，只要n足夠大，就有區(qū)間[0,1]的一個劃分數(shù)y=f(x)滿足以下①②兩個性質(zhì)中的任意一個時，則稱區(qū)間I是y=f(x)的一個“美好區(qū)間”.性質(zhì)①：對于任意x0∈I，都有f(x0)∈I；性質(zhì)②：對于任意x0∈I，都有f(x0)呋I.說明理由；已知fx3-x2-3x+12且m>0，若區(qū)間[0,m]是函數(shù)y=f(x)的一個“美好區(qū)間”，求實數(shù)m的取值范圍；(3)已知函數(shù)y=f(x)的定義域為R，其圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，且對于任意a<b，都有f(a)-f(b)>b-a．求證：函數(shù)y=f(x)存在“美好區(qū)間”，且存在x0∈R，使得x0不屬于函數(shù)y=f(x)的任意一個“美好區(qū)間”.由f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1，當二所以區(qū)間[0,2]是函數(shù)y=f(x)的“美好區(qū)間”由x3-x2-3x+12，可得f,=x2-2x-3=所以當x<-1或x>3時，f,(x)>0，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為：(-∞,-1)，(3,+∞)；當-1<x<3時，f,(x)<0，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為：(-1,3)，且=12，f=3，f=12，得到f在的大致圖像如下：(i)當0<m<3時，f(x)在區(qū)間[0,m]上單調(diào)遞減，且f(m)>f(3)=3，所以S=[f(m),12]，則S∩I=⑦,即對于任意x0∈I，都有f(x0)呋I，滿足性質(zhì)②,f(x)的一個 (iii)當<m<12時，f(x)在區(qū)間[0,3]上單調(diào)遞減，在(3,m]上單調(diào)遞增，且f(m)>12S=[3,f(m)]，f(x)的一個“美好區(qū)間”；(iv)當m≥12時，f(x)在區(qū)間[0,3]上單調(diào)遞減，在(3,m]上單調(diào)遞增，且f(m)>12，此時S=[3,f(m)]，構(gòu)造函數(shù)m3-m2-4m+12則g,(m)=m2-2m-4=(m-1)2-5，綜上，實數(shù)m的取值范圍是(0,3)因為對于任意a<b，都有f(a)-f(b)>b-a，所以f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減，故S=[f(b),f(a)]，因為f(a)-f(b)>b-a，即S的長度大于I的長度，故f(x)不滿足性質(zhì)①,所以若I為y=f(x)的“美好區(qū)間”必滿足性質(zhì)②,即S∩I=⑦,即只需要f(a)<a或f(b)>b，由f(x)=x顯然不恒成立，所以存在常數(shù)c使得f(c)≠c，如果f(c)<c，取a=c，則區(qū)間I=[a,b](a<b)滿足性質(zhì)②;如果f(c)>c，取b=c，則區(qū)間I=[a,b](a<b)滿足性質(zhì)②;綜上，函數(shù)y=f(x)一定存在“美好區(qū)間”；記g(x)=f(x)-x，則g(x)的圖象連續(xù)不斷，下證明g(x)有零點，由于f(x)在R上單調(diào)遞減，則g(x)在R上是減函數(shù)，記f(0)=t0若t>0，則f(t)<f(0)=t，記g(0)>0，g(t)<0綜上，g(x)有零點x0，即f(x0)=x0，因為f(x)所有“美好區(qū)間”I都滿足性質(zhì)②,故x0呋I，否則f(x0)=x0∈I與性質(zhì)②矛盾；即存在x00不屬于函數(shù)y=f(x)的任意一個“美好區(qū)間”，證畢.f,(x)、g,(x)分別為函數(shù)f(x)、g(x)的導函數(shù)．若存在x0∈R，滿足f(x0)=g(x0)且f,(x0)=g,(x0)，則稱x0為函數(shù)f(x)與g(x)的一個“S點”.（1）證明：函數(shù)f(x)=x與g(x)=x2+2x-2不存在“S點”；)，可得{此方程組無解，因此，函數(shù)f(x)=x與g(x)=x2+2x-2不存在“S點”；函數(shù)f=ax2-1，g=lnx，則f,=2ax，g,可得lnx0=-解得x0=e【典例8-2】對于函數(shù)f（x若存在實數(shù)x0滿足f(x0)=x0，則稱x0為函數(shù)f（x）的一個不動點.已知函數(shù)（ii）若存在x0既是f（x）的極值點，又是f（x）的不動點，求b的值：(2)若f（x）有兩個相異的極值點x1，x2，試問：是否存在a，b使得x1，x2均為f（x）的不動點？證明你的結(jié)論.當b≥0時，f'(x)≥0恒成立，f(x)在R上遞增，沒有極值點.則f(x)在區(qū)間(-∞,x1),(x2,+∞),f'(x)>0,f(x)遞增；在區(qū)間(x1,x2),f'(x)<0,f(x)遞減，所以f(x)的極大值點為-，極小值點為.（ii）若x0是f(x)的極值點，又是f(x)的不動點，x3x-1)+x0-1=0，0-10-1)2x+2x0f(x)有兩個相異的極值點，也即f'(x)=3x2+2ax+b有兩個不同的零點x1,x2，依題意，若x1,x2是f(x)的不動點，-x2，x22--+b-1=0，a2-3b=-，這與①矛盾，所以不存在符合題意的a,b.【變式8-1】記y=f,(x)，y=g,(x)分別為函數(shù)y=f(x)，y=g(x)的導函數(shù)．若存在x0∈R，滿足f(x0)=g(x0)且f,(x0)=g,(x0)，則稱x0為函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的一個“好點”.(1)判斷函數(shù)f(x)=x與g(x)=x2-x+1是否存在“好點”，若存在，求出“好點”；若不存在，請說明珵由；(2)若函數(shù)f(x)=ax3-1與g(x)=lnx存在“好點”，求實數(shù)a的值；(3)已知函數(shù)f(x)=-x2+a，g(x)=，若存在實數(shù)a>0，使函數(shù)y=存在“好點”，求實數(shù)b的取值范圍.（2）f,(x)=3ax2，g,00【變式8-2】給出定義：設(shè)f,(x)是函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)，f,,(x)是函數(shù)f,(x)的導函數(shù)，若方程f,,(x)=0有實數(shù)解x=x0，則稱(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)(1)若函數(shù)f(x)=x3+3x2—9x1，求函數(shù)f(x)圖象的對稱中心；222.【解析】（1）因為f(x)=x3+3x29x1，所以f,(x)=3x2+6x9，322m22.【變式8-3】（2024·河南·三模）設(shè)函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f,(x),f,(x)的導函數(shù)為f,,(x),f,,(x)的導函數(shù)為f,,,(x).若f,,(x0)=0，且f,,,(x0)≠0，則(x0,f(x0))為曲線y=f(x)的拐點.(1)判斷曲線y=x6是否有拐點，并說明理由；(2)已知函數(shù)f(x)=ax5—5x3，若((|,為曲線y=f(x)的一個拐點，求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.由30x4=0，得x=0，又由120x3=0，得x=0，所以曲線y=x6沒有拐點.2ax23，因為為曲線y=f(x)的一個拐點，所以f,,.當x<1或x>1時，f￠(x)>0，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(∞,1),(1,+∞)；當1≤x≤1時，f,(x)≤0，且f,(x)=0不恒成立，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[1,1]，故當x=1時，f(x)取得極大值，且極大值為2；當x=1時，f(x)取得極小值，且極小值為—2.使得x1，x0，x2成等比數(shù)列，m(x1)，n(x0)，m(x2)成等差數(shù)列，那么我們稱m(x)，n(x)為一對“K(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；求證：ff(x)，g(x)為一對“K函數(shù)”，求證：S二1,e4)e為自然對數(shù)綜上，,x2 ax2a2 ax2a+lnx1x2ln=2+lnx0ln. 令x00,e3e3,32由零點存在性定理得存在x3（e3<x3<e4使得l(x3)=0，e34.4故2ax0令x04.4【典例9-2】（2024·山東·模擬預(yù)測）如果h(x)是定義在區(qū)間D上的函數(shù)，且同時滿足：①h,(x)h(x)>0；②h,(x)與h(x)的單調(diào)性相同，則稱函數(shù)h(x)在區(qū)間D上是“鏈式函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=ex——x—1，2g(x)=1cosx.（1）判斷函數(shù)f(x)與g(x)在(0,+∞)上是否是“鏈式函數(shù)”，并說明理由；xxx1,則m,(x)=ex1，:x>0,:m,(x)>0,:f,(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，又f,(0)=0,:當x>0時，f,(x)>0，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，又f(0)=0,:當x>0時，f(x)>0，∴當x>0時，f,(x)f(x)>0，f,(x)與f(x)在(0,+∞)上均單調(diào)遞增，∴f(x)在(0,+∞)上是“鏈式函數(shù)”.∴g(x)在(0,+∞)上是“鏈式函數(shù)”.令xf(s+t)>f(s)+f(t)恒成立，則稱函數(shù)y=f(x)為“Σ增函數(shù)”.(1)求證：函數(shù)y=sinx不是“Σ增函數(shù)”；(3)設(shè)g(x)=exln(1+x)，若曲線y=g(x)在x=x0處的切線方程為y=x，求x0的值，并證明函數(shù)y=g(x)是“Σ增函數(shù)”.有2s+t-1-(s+t)-a>2s-1-s-a+2t-1-t-a恒成立，s+t-1-2s-1-2t-1>-a恒成立，所以恒成立，s,2t令μ(x)=g,(x)，故y=g,(x)在(0,+∞)上是嚴格增函數(shù)，所以x0=0是唯一解，=0，此時在(x0,g(x0))處的切線方程即為y=x，故x0得g,(s+t)>g,(s)，所以w(s)=g(s+t)-g(s)-g(t)在(0,+∞)上是嚴格增函數(shù)，(1)若f(x)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)定義：若f(x)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且f(x)+g(x)在其定義域內(nèi)也單調(diào)遞增，則稱g(x)為f(x)的“協(xié)同增函數(shù)”.已知函數(shù)g(x)=4x3-18ax2+12(2-a)x，若g(x)是f(x)的“協(xié)同增函數(shù)”，求a的取值范圍.因為fx2+12ax，所以f,.x2+2x+12a=12xlnx+12a，令h(x)=xlnx，則h,(x)=lnx+1.則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因為f(x)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，所以12a-≥0，解得a≥.設(shè)F(x)=f(x)+g(x)=4x3+(6lnx-18a-3)x2+24x，則F,(x)=12x2+12xlnx-36ax+24.因為F(x)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，所以F,(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，即12x2+12xlnx-36ax+24≥0在(0,+∞)上恒成立，因為a≥,所以≤a≤1，}，若l0(x)|f(x)-l0(x)|，則稱l0(x)為函數(shù)f(x)在x∈[a,b]上“最接近”直線．已知函數(shù)其中x02:g(x)在區(qū)間[r,s]上的最大值為gmax(x)=g(1)=2，根據(jù)函數(shù)g(x)的圖象特點，可知對任意l(x)∈A，均有maxg{g(r)-l(r),g(s)-l(s),g(1)-l(1)，l，下面討論l(r),l(s)的大?。孩偃鬺(r),l(s)至少有一個大于等于1，則[,]|g(x)-l(x)|≥1，因為l(x)是直線，故對任意x∈[r,s]，均有l(wèi)(xg(x)-l(x)≥,]{l(r),l(s),2-l(1)}>1maxmaxg(r)-l(r),g(s)-l(s),g(1)-l(1)max|g(x)g(r)-1,lg(s)-1,g(1)-1結(jié)論證畢.（2）設(shè)h(x)=(2ln2-3)(x-1)+2，:f,(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減，00-200]時，f,(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，x∈[x0,2]時，f,(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，:f(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值為f(x0)，則f(x)在區(qū)間[1,2]上大于等于0，由（1）問分析知，對定義在[a,b]上的函數(shù)f(x)≥0，若f(x)滿足f(a)=f(b)=0，且x0∈[a,b]為f(x)唯一的最大值點，則對任意的時取等號，,]f(x)-l(x)=,]g(x)-h(x)-l(x)，:g(x)在x∈[1,2]上的“最接近”直線為22024·高三·浙江寧波·期末）在幾何學常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需要刻畫曲線的彎曲程度．考察如圖所示的光滑曲線C：y=f(x)上的曲線段，其弧長為Δs，當動點從A沿曲線段運動到B點時，A點的切線lA也隨著轉(zhuǎn)動到B點的切線lB，記這兩條切線之間的夾角為Δθ（它等于lB的傾斜角與lA的傾斜角之差顯然，當弧長固定時，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當夾角固定時，弧長越小則彎曲程度越大，因此可以定義為曲線段的平均曲率；顯然當B越接近A，即Δs越小，K就越能精確刻畫曲線C在點A處的彎曲程度，因此定義若極限存在）為曲線C在點A處的曲率其中yy分別表示y=f(x)在點A處的一階、二階導數(shù)）(1)求單位圓上圓心角為60°的圓弧的平均曲率；(2)求橢圓+y2=1在處的曲率；為曲線y=f(x)的“柯西曲率”．已知在曲線f(x)=xlnx-2x上存在兩點x23Px1,f(x1))和Q(x2,f(x2))，且P，Q處的“柯西曲率”相同，求x23的取值范圍.=lnx-1，f,,其中s=，令t13ix1，t222線之美讓人稱奇．衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定義如下：若f,(x)是f(x)的導函數(shù)，所以K2的最大值為1.4．已知定義在R上的函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f,(x)，若f,(x)≤1對任意x∈R恒成立，則稱函數(shù)f(x)為“線性控制函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)f(x)=sinx和g(x)=ex是否為“線性控制函數(shù)”，并說明理由；(2)若函數(shù)f(x)為“線性控制函數(shù)”，且f(x)在R上嚴格增，設(shè)A、B為函數(shù)f(x)圖像上互異的兩點，設(shè)直線AB的斜率為k，判斷命題“0<k≤1”的真假，并說明理由；(3)若函數(shù)f(x)為“線性控制函數(shù)”，且f(x)是以T(T>0)為周期的周期函數(shù)，證明：對任意x1,x2都有f(x1)-f(x2)≤T.（2）命題為真，理由如下：設(shè)A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))，其中x1<x2由于f(x)在R上嚴格增，故f(x1)<f(x2)，因此k=>0由于f(x)為“線性控制函數(shù)”，故f,(x)≤1，即f,(x)-1≤0令F(x)=f(x)-x，故F,(x)=f,(x)-1≤0，因此F(x)在R上為減函數(shù)由于f(x)為“線性控制函數(shù)”，故f,(x)≥-1，即f,(x)+1≥0令G(x)=f(x)+x，故G,(x)=f,(x)+1≥0，因此F(x)在R上為增函數(shù)f(a)-f(b)+1=(f(a)+a)-(f(b)+b)=G(a)-G(b)≥0→f(a)-f(b)≥-1a-ba-ba-ba-b則f(x1)-f(x2)=0≤T恒成立若x2-x1>T時，則存在x3∈[x1,x1f(x2)=if(x1)-f(x3)i<T綜上所述，對任意x1,x2都有f(x1)-f(x2)≤T.（事實上，對任意x1,x2都有f(x1)-f(x2)≤,此處不再贅述）x1,x2)-f(x2)≤(x1+1)k-(x2+1)k，則稱函數(shù)y=f(x)為L(k)函數(shù).(2)函數(shù)﹖請說明理由；(2)若y=f(x)為L(1)函數(shù)，圖像在x∈[0,1]是一條連續(xù)的曲線，f(0)=0，f(1)上僅存在一個極值點，分別記f(x)max、f(x)min為函數(shù)y=f(x)的最大、小值，求f(x)max-f(x)min的取值范圍；g(x)-g(y)≤M，記M的最小值為M(a)，求a的取值范圍及M(a)關(guān)于a的表達式.20為f(x)在區(qū)間(0,1)上僅存的一個極大值點，則f(x)在(0,x0)嚴格遞增，在(x0,1)嚴格遞f(x0)f(10為f(x)在區(qū)間(0,1)上僅存的一個極小值點，則f(x)在(0,x0)嚴格遞減，在(x0,1)嚴格增，lf(x0)-f(1)≤x0-144f(x0)-f(0)≤ix0，同理可得lf(x0)-f(1)≤x0-144f(1綜上所述：所求取值范圍為此時f(x1)<f(x2)，由為L函數(shù)，得f恒成立，即易知上述不等號右邊的函數(shù)為[0,1]上的減函數(shù)，62024·上海奉賢·二模）設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域是R，它的導數(shù)是f,(x)．若存在常數(shù)m(m∈R)，使得f(x+m)=-f,(x)對一切x恒成立，那么稱函數(shù)y=f(x)具有性質(zhì)P(m).(1)求證：函數(shù)y=ex不具有性質(zhì)P(m)；(2)判別函數(shù)y=sinx是否具有性質(zhì)P(m)．若具有求出m的取值集合；若不具有請說明理由.【解析】（1）假設(shè)y=ex具有性質(zhì)P(m)，即ex+m=-(ex)化簡ex+m=-ex得到em=-1，顯然不存在實數(shù)m使得em=-1成立，所以假設(shè)錯誤，因此函數(shù)y=ex不具有性質(zhì)P(m).（2）假設(shè)y=sinx具有性質(zhì)P(m)，即sin(x+m)=-(sinx),對一切x即sin(x+m)=-cosx對一切x恒成立，則sinxcosm+(sinm+1)cosx=0對一切x恒成立，所以y=sinx具有性質(zhì)P(m)，m的取值集合(1)當k=1時，過坐標原點O作曲線y=f(x)的切線，求切線方程；(2)設(shè)定義在I上的函數(shù)y=h(x)在點P(x0,y0)處的切線方程為y=l(x)，對任意x≠x0，若(h(x)-l(x))(x-x0)>0在所有“好點”的橫坐標（結(jié)果用k表示）.f(x)=2x--2lnx，f,(x)=2+-，設(shè)切點坐標為(x0,f(x0))，則切線方程為：因為切線過原點，代入原點坐標可得-lnx0+1=0所以切點坐標為(1,1)，切線斜率為k=f,(1)=1，切線方程為：y=x.（2）設(shè)點P(x0,y0)是函數(shù)y=f(x)上一點，且在點P(x0,y0)處的切線為y=l(x)，令F(x)=f(x)-l(x)，所以F(x0)=f(x0)-l(x0)=0,①當(k+1)x0-k≤0，即x00,0-k20-k點ii）x000(f(x)-l(x))(x-x0)>00,0(f(x)-l(x))(x-x0)>0好點.8．對于定義在D上的函數(shù)f(x)，其導函數(shù)為f,(x)．若存在k∈D，使得f,(k)=f(k)，且x=k是函數(shù)f(x)的極值點，則稱函數(shù)f(x)為“極致k函數(shù)”.①若f(x)是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；②證明：函數(shù)f(x)不是“極致0函數(shù)”.【解析】（1）①由題意，得f,（i）若f(x)在(|(-,),上單調(diào)遞減，則f,(x)≤0恒成立，即a≤-cos2x恒成立，所以a≤-1；（ii）若f(x)在(|(-,),上單調(diào)遞增，則f,(x)≥0恒成立，即a≥-cos2x恒成立，所以a≥0.②假設(shè)f(x)是“極致0函數(shù)”，則x=0是f(x)的極值點，由①可知，當a=-1時，f(x)在(|(-,),上單調(diào)遞減，與x=0是f(x)的極值點矛盾，故f(x)不是“極致0函數(shù)”.以g(x)在x=0處取得極大值，此時g(x)是“極致0函數(shù)”；②當1-m≥0，即m≤1時，由可知，h在上單調(diào)遞增，所以g(x)在x=0處取得極小值，此時g(x)是“極致0函數(shù)”；,使得φ2所以g(x)在x=0處取得極小值，此時g(x)是“極致0函數(shù)”．綜上，對任意m∈R，g(x)均為“極致0函9