第9章 中心對稱圖形 平行四邊形 綜合檢測

第9章中心對稱圖形平行四邊形綜合測試(滿分100分，限時60分鐘)一、選擇題(每小題3分，共24分)1.(2023江蘇淮安外國語學(xué)校期中)圓、正方形、長方形、等腰梯形中，不是中心對稱圖形的是()A.圓 B.正方形 C.長方形 D.等腰梯形2.下列說法正確的是()A.對角線相等的四邊形是矩形 B.對角線互相垂直的四邊形是菱形C.對角線相等的菱形是正方形 D.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形3.(2023江蘇無錫中考)如圖，△ABC中，∠BAC=55°，將△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<55°)，得到△ADE，DE交AC于F.當(dāng)α=40°時，點D恰好落在BC上，此時∠AFE等于()A.80° B.85° C.90° D.95°4.連接正方形四邊中點所得到的四邊形是()A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.無法確定5.(2023四川廣安月考)如圖，在菱形ABCD中，AC=16，BD=12，E是CD邊上一動點，過點E分別作EF⊥OC于點F，EG⊥OD于點G，連接FG，則FG的最小值為()A.4 B.4.8 C.5 D.66.如圖，在矩形ABCD中，E是AB的中點，動點F從點B出發(fā)，沿BC運動到點C時停止，以EF為邊作?EFGH，且點G、H分別落在CD、AD上.在動點F運動的過程中，?EFGH的面積()A.逐漸增大 B.逐漸減小 C.不變 D.先增大，再減小7.(2023北京人大附中月考)如圖，點A、B為定點，定直線l∥AB，P是l上的一個動點，點M、N分別是PA、PB的中點，下列選項：①線段MN的長；②△PAB的周長；③△PMN的面積；④直線MN，AB之間的距離；⑤∠APB的大小，其中會隨點P的移動而變化的是()A.②③⑤ B.②⑤ C.①③④ D.⑤8.(2023江蘇省天一中學(xué)期中)如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2AB=2，∠ABC=60°，E，F(xiàn)是對角線BD上的動點，且BE=DF，M，N分別是邊AD，邊BC上的動點.下列說法：①存在無數(shù)個平行四邊形MENF；②存在無數(shù)個矩形MENF；③存在無數(shù)個菱形MENF；④存在無數(shù)個正方形MENF，其中正確說法的個數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題(每小題3分，共24分)9.用反證法證明“a>b”時，應(yīng)首先假設(shè).

10.(2022浙江臺州中考)如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，CA的中點.若EF的長為10，則CD的長為.

11.(2023湖北宜昌中考)如圖，小宇將一張平行四邊形紙片折疊，使點A落在長邊CD上的點A'處，并得到折痕DE，小宇測得長邊CD=8，則四邊形A'EBC的周長為.

12.(2023江蘇蘇州星灣學(xué)校期中)如圖，菱形ABCD的周長為20，面積為24，P是對角線BD上一點，作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分別為E、F，則PE+PF等于.

13.(2022湖北孝感安陸期中)如圖，△AOB中，AO=AB，點A的坐標(biāo)為(3，4)，點B在x軸上，將△AOB繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A'O'B，若點A'在線段OB的延長線上，則點O'的坐標(biāo)為.

14.(2023江蘇連云港贛榆期中)將五個邊長都為2的正方形按如圖所示的方式擺放，點A1、A2、A3、A4分別是四個正方形的中心，則圖中四塊陰影部分的面積之和為.

15.如圖，已知菱形OABC的兩個頂點O(0，0)，B(2，2)，若將菱形繞點O以每秒45°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，則第2024秒時，菱形兩條對角線的交點D的縱坐標(biāo)為.

16.(2023江蘇揚(yáng)州期中)如圖，正方形ABCD中，AB=12，點E在邊BC上，BE=EC，將△DCE沿DE翻折至△DFE，延長EF交邊AB于點G，連接DG、BF，給出以下結(jié)論：①△DAG≌△DFG；②BG=2AG；③BF∥DE；④S△BEF=9.6，其中正確結(jié)論的序號是.

三、解答題(共52分)17.(10分)如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，僅用無刻度直尺(只能用來畫直線但不能用來度量)完成下列畫圖，保留作圖痕跡.(1)如圖1，點E、F分別在邊AD、BC上，且AE=CF，連接EF，請在EF上畫點O，使O為EF的中點；(2)如圖2，若AB=AD，點E為AD上一點，請在AB上畫點G，使AG=AE. 圖1 圖218.(2023江蘇淮安清江浦一模)(10分)如圖，在?ABCD中，點E在BC上，點F在BC的延長線上，且BE=CF.求證：AE=DF.19.(10分)如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，點E是CD的中點，連接OE，過點C作CF∥BD交OE的延長線于點F，連接DF.試判斷四邊形ODFC的形狀，并寫出證明過程.20.(2023江蘇淮安清江浦期末)(10分)如圖，矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，E、F分別是邊DC、AB上的點，且DE=BF.(1)求證：四邊形AFCE是平行四邊形；(2)若四邊形AFCE是菱形，求菱形的邊長.21.(2023山東煙臺中考)(12分)如圖1，數(shù)學(xué)實踐課上，學(xué)習(xí)小組進(jìn)行探究活動，老師要求大家對矩形ABCD進(jìn)行如下操作：①分別以點B，C為圓心，大于12BC的長度為半徑作弧，兩弧相交于點E，F(xiàn)，作直線EF交BC于點O，連接AO；②將△ABO沿AO翻折，點B的對應(yīng)點落在點P處，在矩形ABCD中，AD=5，AB=3，求線段CQ的長；經(jīng)過小組合作、探究、展示，其中的兩個解題方案如下：方案一：連接OQ，如圖2.經(jīng)過推理、計算可求出線段CQ的長；方案二：將△ABO繞點O旋轉(zhuǎn)180°至△RCO處，如圖3.經(jīng)過推理、計算可求出線段CQ的長.請你任選其中一種方案求線段CQ的長.圖1 圖2 圖3

第9章中心對稱圖形平行四邊形綜合測試答案全解全析1.D等腰梯形不是中心對稱圖形，故選D.2.CA.對角線相等的平行四邊形是矩形，故本選項錯誤，不合題意；B.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故本選項錯誤，不合題意；C.對角線相等的菱形是正方形，故本選項正確，符合題意；D.對角線互相平分且互相垂直且相等的四邊形是正方形，故本選項錯誤，不合題意，故選C.3.B由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得∠BAC=∠DAE=55°，∠ADE=∠B，AB=AD，∴∠B=∠ADB，∵α=40°，∴∠BAD=40°，∴∠DAF=15°，∠ADE=∠B=∠ADB=70°，∴∠AFE=∠DAF+∠ADE=15°+70°=85°，故選B.4.C如圖，四邊形ABCD是正方形，連接AC、BD.設(shè)E、F、G、H分別是正方形的四邊中點，∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥AC，且EF=12AC同理可得HG∥AC，且HG=12AC∴EF∥HG，EF=HG，∴四邊形EFGH是平行四邊形.易知EH為△ABD的中位線，∴EH=12BD，EH∥BD，又∵AC=BD，∴EH=EF∴四邊形EFGH是菱形.∵AC⊥BD，EH∥BD，EF∥AC，∴EH⊥EF，∴∠HEF=90°，∴四邊形EFGH是正方形.5.B連接OE(圖略)，∵四邊形ABCD為菱形，AC=16，BD=12，∴OC=8，OD=6，AC⊥BD.又∵EF⊥OC，EG⊥OD，∴∠DOC=∠EGO=∠EFO=90°，∴四邊形OFEG是矩形，∴OE=FG，∴FG的最小值就是OE的最小值.當(dāng)OE⊥CD時，OE最小.在Rt△COD中，CD=OC2∴S△COD=12OC·OD=12∴OE=6×810故選B.6.C解法一：設(shè)AB=a，BC=b，BE=c，BF=x，如圖，連接EG，∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴EF=HG，EF∥HG，∴∠FEG=∠HGE，∵四邊形ABCD為矩形，∴AB∥CD，∠B=∠D，∴∠BEG=∠DGE，∴∠BEG-∠FEG=∠DGE-∠EGH，∴∠BEF=∠HGD，又∵EF=HG，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH(AAS)，∴DH=BF=x，同理△AEH≌△CGF，∴S?EFGH=S矩形ABCD-2(S△BEF+S△AEH)=ab-212=ab-cx-ab+ax+bc-cx=(a-2c)x+bc，∵E是AB的中點，∴a=2c，∴a-2c=0，∴S?EFGH=bc=12ab=12S∴?EFGH的面積不變.解法二：如圖，連接EG，由解法一知△BEF≌△DGH(AAS)，∴DG=BE=12AB=AE又∵AE∥DG，∴四邊形AEGD為平行四邊形，∵∠A=90°，∴四邊形AEGD為矩形，同理，四邊形EBCG為矩形，∴S?EFGH=S△EHG+S△EFG=12EG·DG+12EG·GC=12EG·CD=1∴?EFGH的面積不變.故選C.7.B①∵點M、N分別為PA、PB的中點，∴MN=12AB，∵AB的長不變，∴線段MN的長不會隨點P的移動而變化②PA、PB的長隨點P的移動而變化，∴△PAB的周長隨點P的移動而變化；③∵點M、N分別為PA、PB的中點，∴MN∥AB，又∵l∥AB，∴MN∥l，∵P是l上的一個動點，∴點P到MN的距離為定值，∴△PMN的面積為定值，即△PMN的面積不會隨點P的移動而變化；④∵M(jìn)N∥AB，∴直線MN，AB之間的距離不會隨點P的移動而變化；⑤∠APB的大小隨點P的移動而變化.故會隨點P的移動而變化的是②⑤，故B正確.故選B.8.C如圖，連接AC與BD交于點O，連接ME，MF，NF，EN，MN，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD.∵BE=DF，∴OE=OF.∵點E、F是BD上的點，∴只要M，N過點O，就可證出△AOM≌△CON，得OM=ON，既而得四邊形MENF是平行四邊形.∴存在無數(shù)個平行四邊形MENF，故①中說法正確；只要MN=EF，MN過點O，四邊形MENF就是矩形，∴存在無數(shù)個矩形MENF，故②中說法正確；只要MN⊥EF，MN過點O，四邊形MENF就是菱形；∴存在無數(shù)個菱形MENF，故③中說法正確；當(dāng)MN=EF，MN⊥EF，MN過點O時，四邊形MENF是正方形，符合要求的正方形只有一個，故④中說法錯誤，故選C.9.答案a≤b解析a>b的反面是a≤b，∴用反證法證明時應(yīng)先假設(shè)a≤b，故答案為a≤b.10.答案10解析∵E，F(xiàn)分別為BC，AC的中點，∴AB=2EF=20，∵∠ACB=90°，點D為AB的中點，∴CD=12AB=10，11.答案16解析∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠AED=∠A'DE，由折疊得AD=A'D，AE=A'E，∠ADE=∠A'DE，∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE，∴AD=AE=A'D=A'E，∴CD-A'D=AB-AE，∴A'C=BE，又∵A'C∥BE，∴四邊形A'EBC是平行四邊形，∴四邊形A'EBC的周長=2(A'C+A'E)=2(A'C+A'D)=2CD=16.故答案為16.12.答案24解析連接AP，如圖，∵菱形ABCD的周長為20，面積為24，∴AB=AD=5，S△ABD=12×24=12.又S△ABD=S△APB+S△APD，∴12PE·AB+12PF·AD=12，∴5PE+5PF=24，故答案為24513.答案48解析如圖，作AC⊥OB于點C，O'D⊥A'B于點D，∵A(3，4)，∴OC=3，AC=4，由勾股定理，得OA=32∵OA=AB，AC⊥OB，∴OB=2OC=2×3=6.由旋轉(zhuǎn)可知，△A'O'B≌△AOB，∴O'B=BO=6，A'B=AB=5，S△AOB=S△A'O'B，即12OB·AC=12A'B·O'D，∴O'D=245.由勾股定理，∴OD=OB+BD=6+185=485，∴點O'的坐標(biāo)為14.答案4解析如圖，連接A4P，A4N，則A4P=A4N，∠A4PF=∠A4NE=45°，∵∠PA4F+∠FA4N=∠FA4N+∠NA4E=90°，∴∠PA4F=∠NA4E，∴△PA4F≌△NA4E，∴四邊形A4ENF的面積等于△NA4P的面積，又△NA4P的面積是正方形QPNM的面積的14，正方形QPNM的面積為2×2=4∴四邊形A4ENF的面積為1，同理，各個陰影部分的面積都是1，∴四塊陰影部分的面積之和為4.故答案為4.15.答案1解析∵菱形OABC有兩個頂點O(0，0)，B(2，2)，∴點D的坐標(biāo)為0+22,0+22，∵菱形繞點O以每秒45°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，∴第2024秒時，共旋轉(zhuǎn)了(45×2024)°，∵45×2024÷360=253，∴OD旋轉(zhuǎn)了253周，回到最初位置，∴第2024秒時，菱形兩條對角線的交點D的坐標(biāo)為(1，1)，∴菱形兩條對角線的交點D的縱坐標(biāo)為1，故答案為1.16.答案①②③解析觀察題圖，由翻折可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，∴∠DFG=∠A=90°，在Rt△ADG和Rt△FDG中，DG=DG,∴Rt△ADG≌Rt△FDG(HL)，故①正確；∵正方形的邊長是12，∴BE=EC=EF=6，設(shè)AG=FG=x，則EG=x+6，BG=12-x，由勾股定理得EG2=BE2+BG2，即(x+6)2=62+(12-x)2，解得x=4.∴AG=GF=4，BG=8，∴BG=2AG，故②正確；∵EF=EC=EB，∴∠EFB=∠EBF，∵∠DEC=∠DEF，∠DEC+∠DEF=∠EFB+∠EBF，∴∠DEC=∠EBF，∴BF∥DE，故③正確；S△GBE=12BE·BG=12×6×8=24，∴S△BEF=EFEG·S△GBE=64+6故正確的結(jié)論是①②③.故答案為①②③.17.解析(1)如圖1，點O即為所求作.(2)如圖2，點G即為所求作.圖1圖218.證明∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠B=∠DCF，在△ABE與△DCF中，AB=DC,∴△ABE≌△DCF(SAS)，∴AE=DF.19.解析四邊形ODFC為矩形.證明：∵點E是CD的中點，∴CE=DE，∵CF∥BD，∴∠ODE=∠FCE，在△ODE和△FCE中，∠ODE=∠FCE,∴△ODE≌△FCE(ASA)，∴OE=FE，又∵CE=DE，∴四邊形ODFC為平行四邊形，∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，∴∠DOC=90°，∴四邊形ODFC為矩形.20.解析(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD，∵DE=BF，∴CD-DE=AB-BF，∴CE=AF，又∵CE∥AF，∴四邊形AFCE是平行四邊形.(2