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第15講綜合除法和余數(shù)定理一、第15講綜合除法和余數(shù)定理(練習(xí)題部分)1.計(jì)算3x3?5x+6除以(x-2)所得的商式及余數(shù).2.求2x3+5x2?4x4+8除以x+3所得的商式及余數(shù).3.用綜合除法計(jì)算
(?6x4?7x2+8x+9)÷(2x?1).4.用綜合除法計(jì)算(27x3?9x2+5x?2)÷(3x?2).5.求除以x+1所得的余數(shù).6.設(shè)f(x)=x4+3x3+8x2?kx+11被x+3整除,試求k的值.
7.設(shè)f(x)=2x3+x2+kx?2能被2x+整除,求k值.
8.設(shè)f(x)=3x5?17x4+12x3+6x2+9x+8,求f(-).9.設(shè)f(x)=x4?ax2?bx+2被(x+1)(x+2)整除,求a、b的值.
10.求f(x)=3x4?8x3+5x5?x+8除以2x-4所得的余數(shù).11.若f(x)=2x3?3x2+ax+b除以x+1所得的余數(shù)為7,除以x-1所得的余數(shù)為5,試求a、b的值.
12.設(shè)f(x)=x2+mx+n(m、n都是整數(shù))既是多項(xiàng)式x4+6x2+25的因式,又是多項(xiàng)式3x4+4x2+28x+5的因式,求f(x)。
13.多項(xiàng)式f(x)除以(x-1)、(x-2)和(x-3)所得的余數(shù)分別是1、2、3,試求f(x)除以(x-1)(x-2)(x-3)所得的余式。
14.已知多項(xiàng)式f(x)=ax3+bx2?8x?12被x-2和x-3整除,試求a、b的值,并求f(x)除以(x-2)(x-3)后所得的商式。15.若x5?5qx+4r被(x?2)2整除,求q與r的值.
16.已知關(guān)于x的三次多項(xiàng)式,f(x)除以x2?1時(shí),余式是2x-5;除以x2?4時(shí),余式是-3x+4.求這個(gè)三次式.
17.一個(gè)整系數(shù)三次多項(xiàng)式f(x),有三個(gè)不同的整數(shù)a1、a2、a3,使f(a1)=f(a2)=f(a3)=1.又設(shè)b為不同于a1、a2、a3的任意整數(shù),試證明:f(b)≠1.
答案解析部分一、第15講綜合除法和余數(shù)定理(練習(xí)題部分)1.【答案】解:
用綜合除法計(jì)算如下:
∴商式為:3x2+6x+7,余數(shù)為:20.
【解析】【分析】綜合除法過程如下:
(1)被除式按x的降冪排列好,依次寫出各項(xiàng)的系數(shù),遇到缺項(xiàng),必須用“0”補(bǔ)足.
(2)將(-a的相反數(shù))a寫在上述系數(shù)的左邊,彼此用豎線隔開.
(3)將被除式的第一個(gè)系數(shù)作為第二行的第一個(gè)數(shù).用它乘a,加上第二個(gè)系數(shù),得到第二行的第二個(gè)數(shù).再把這第二個(gè)數(shù)乘a,加上第三個(gè)系數(shù),得到第二行的第三個(gè)數(shù)……依此類推.最后得到的數(shù)為余數(shù),把它用線隔開,線外就是商式的系數(shù).
由此計(jì)算即可得出答案.2.【答案】解:將多項(xiàng)式按x的降冪排列為:?4x4+2x3+5x2+8,由綜合除法得:
∴商式為:-4x3+14x2-37x+111,余數(shù)為:-325.
【解析】【分析】綜合法過程如下:(1)被除式按x的降冪排列好,依次寫出各項(xiàng)的系數(shù),遇到缺項(xiàng),必須用“0”補(bǔ)足.
(2)將(-a的相反數(shù))a寫在上述系數(shù)的左邊,彼此用豎線隔開.
(3)將被除式的第一個(gè)系數(shù)作為第二行的第一個(gè)數(shù).用它乘a,加上第二個(gè)系數(shù),得到第二行的第二個(gè)數(shù).再把這第二個(gè)數(shù)乘a,加上第三個(gè)系數(shù),得到第二行的第三個(gè)數(shù)……依此類推.最后得到的數(shù)為余數(shù),把它用線隔開,線外就是商式的系數(shù).
由此計(jì)算即可得出答案.3.【答案】解:∵(2x?1)=2(x-),
∴先用(?6x4?7x2+8x+9)÷(x-),
∴?6x4?7x2+8x+9=(x-)(-6x3-3x2-x+)+,
=2(x-)×(-6x3-3x2-x+)+,
=(2x?1)(-3x3-x2-x+)+,
∴商式為:-3x3-x2-x+,余數(shù)為:.
【解析】【分析】如果除式是一次式,但x的系數(shù)不為1,即除式ax+b(a≠0且a≠1),可先用f(x)除以x+(這時(shí)可用綜合除法),得到f(x)=(x+)?q(x)+r;
從而f(x)=a(x+)??q(x)+r=(ax+b)(?q(x))+r.因此所求的商式是?q(x),余數(shù)仍為r.4.【答案】解:∵(3x?2)=3(x-),
∴先用(27x3?9x2+5x?2)÷(x-),
∴27x3?9x2+5x?2=(x-)(27x2+9x+11)+,
=3(x-)×(27x2+9x+11)+,
=(3x?2)(9x2+3x+)+,
∴商式為:9x2+3x+,余數(shù)為:.
【解析】【分析】如果除式是一次式,但x的系數(shù)不為1,即除式ax+b(a≠0且a≠1),可先用f(x)除以x+(這時(shí)可用綜合除法),得到f(x)=(x+)?q(x)+r;
從而f(x)=a(x+)??q(x)+r=(ax+b)(?q(x))+r.因此所求的商式是?q(x),余數(shù)仍為r.5.【答案】解:綜合除法計(jì)算如下:
∴余數(shù)為8.
【解析】【分析】綜合法過程如下:(1)被除式按x的降冪排列好,依次寫出各項(xiàng)的系數(shù),遇到缺項(xiàng),必須用“0”補(bǔ)足.(2)將(-a的相反數(shù))a寫在上述系數(shù)的左邊,彼此用豎線隔開.(3)將被除式的第一個(gè)系數(shù)作為第二行的第一個(gè)數(shù).用它乘a,加上第二個(gè)系數(shù),得到第二行的第二個(gè)數(shù).再把這第二個(gè)數(shù)乘a,加上第三個(gè)系數(shù),得到第二行的第三個(gè)數(shù)……依此類推.最后得到的數(shù)為余數(shù),把它用線隔開,線外就是商式的系數(shù).
由此計(jì)算即可得出答案.6.【答案】解:∵設(shè)f(x)被x+3整除,由余數(shù)定理可得:
f(-3)=0,
∴f(-3)=(-3)4+3×(-3)3+8×(-3)2-k×(-3)+11=0,
解得:k=-.
∴k值為-.
【解析】【分析】因?yàn)閒(x)被x+3整除,由余數(shù)定理可得f(-3)=0,代入、解方程即可.7.【答案】解:∵2x+=2(x+),
∴f(x)=2x3+x2+kx?2能被x+整除,
由余數(shù)定理可知:
f(-)=0,
即2×(-)3+(-)2+(-)k-2=0,
解得:k=-7.
∴k值為-7.
【解析】【分析】如果f(x)能被ax+b(a≠0且a≠1)整除,則f(x)能被x+整除,由余數(shù)定理可知f(-)=0,代入、解方程即可.8.【答案】解:∵f(x)=3x5?17x4+12x3+6x2+9x+8,
∴f(-)=3×(-)5-17×(-)4+12×(-)3+6×(-)2+9×(-)+8,
=---+-3+8,
=5.
另解:
原題等介于求(3x5?17x4+12x3+6x2+9x+8)÷(x+)的余數(shù),用綜合法計(jì)算得:
∴余數(shù)為5,即f(-)=5.
【解析】【分析】根據(jù)題意將x=-代入f(x),計(jì)算即可得出答案.9.【答案】解:∵f(x)被(x+1)(x+2)整除,
∴f(x)被x+1和x+2整除,
根據(jù)因式定理,有
f(?1)=(?1)4?a×(?1)2-b×(?1)+2=a-b=3,
f(-2)=(-2)4?a×(-2)2-b×(-2)+2=2a-b=9,
即,
解得:.
∴a=6,b=3.
【解析】【分析】根據(jù)因式定理,結(jié)合題意可得f(?1)=0,f(2)=0,即得到一個(gè)關(guān)于a、b的二元一次方程組,解之即可.10.【答案】解:f(x)先按x的降冪排列:
f(x)=5x5+3x4?8x3?x+8,
∵2x-4=2(x-2),
∴先用(5x5+3x4?8x3?x+8)÷(x-2),
∴
∴5x5+3x4?8x3?x+8=(x-2)(5x4+13x3+18x2+36x+71)+150,
=2(x-2)×(5x4+13x3+18x2+36x+71)+150,
=(2x-4)(x4+x3+9x2+18x+)+150,
∴f(x)=3x4?8x3+5x5?x+8除以2x-4所得的余數(shù)是150.
【解析】【分析】如果除式是一次式,但x的系數(shù)不為1,即除式ax+b(a≠0且a≠1),可先用f(x)除以x+(這時(shí)可用綜合除法),得到f(x)=(x+)?q(x)+r;
從而f(x)=a(x+)??q(x)+r=(ax+b)(?q(x))+r.因此所求的商式是?q(x),余數(shù)仍為r.11.【答案】解:根據(jù)題意,由余數(shù)定理可知:
f(-1)=7,f(1)=5,
即,
解得:.
∴a=-3,b=9.
【解析】【分析】根據(jù)余數(shù)定理可得f(-1)=7,f(1)=5;從而得一個(gè)關(guān)于a、b的二元一次方程組,解之即可.12.【答案】解:令g(x)=x4+6x2+25,h(x)=3x4+4x2+28x+5,
∵f(x)既是多項(xiàng)式x4+6x2+25的因式,又是多項(xiàng)式3x4+4x2+28x+5的因式,
∴f(x)必定是g(x)與h(x)差的因式,
∴3g(x)-h(x)=3(x4+6x2+25)-(3x4+4x2+28x+5),
=14x2-28x+70,
=14(x2-2x+5),
∴f(x)=x2-2x+5.
【解析】【分析】根據(jù)g(x)、h(x)能被f(x)整除,所以他們的和、差、倍都能被f(x)整除,通過3g(x)-h(x)實(shí)現(xiàn)降次,從而得出f(x).13.【答案】解:根據(jù)題意,由余數(shù)定理可知:
f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3,
設(shè)f(x)除以(x-1)(x-2)(x-3),所得商式為q(x),余式為ax2+cx+d,則f(x)=(x?1)(x?2)(x-3)?q(x)+(ax2+cx+d),依題可得:
,
解得:.
∴所求的余式為x.
【解析】【分析】設(shè)f(x)除以(x-1)(x-2)(x-3),所得商式為q(x),余式為ax2+cx+d,則f(x)=(x?1)(x?2)(x-3)?q(x)+(ax2+cx+d),利用余數(shù)定理列出方程組,解之即可.14.【答案】解:∵f(x)=ax3+bx2?8x?12能被x-2和x-3整除,
∴f(2)=0,f(3)=0,
即,
解得:,
∴f(x)=-3x3+13x2?8x?12,
又∵f(x)=-3x3+13x2?8x?12能被x-2和x-3整除,
∴f(x)=-3x3+13x2?8x?12能被(x-2)(x-3)整除,
設(shè)f(x)除以(x-2)(x-3),所得商式為q(x)=cx+d,則f(x)=(x?2)(x?3)?q(x),
∴f(x)=-3x3+13x2?8x?12=(x?2)(x?3)?(cx+d),
即-3x3+13x2?8x?12=cx3+(d-5c)x2+(6c-5d)x+6d,
∴,
解得:,
∴商式是-3x-2.
【解析】【分析】根據(jù)題意由余數(shù)定理可知f(2)=0,f(3)=0,列出一個(gè)關(guān)于a、b的方程,解之可得f(x)解析式;根據(jù)題意可得f(x)能被(x-2)(x-3)整除,設(shè)f(x)除以(x-2)(x-3),所得商式為q(x)=cx+d,則f(x)=(x?2)(x?3)?q(x),由待定系數(shù)法列出方程,解之即可.15.【答案】解:∵x5?5qx+4r被(x?2)2整除,
∴令f(x)=x5?5qx+4r=(x?2)2(ax3+bx2+cx+d),
即x5?5qx+4r=ax5+(b-4a)x4+(c-4b+4a)x3+(d+4b-4c)x2+4(c-d)x+4d,
∴a=1,b-4a=0,c-4b+4a=0,d+4b-4c=0,4(c-d)=-5q,4r=4d,
解得:a=1,b=4,c=12,d=32,q=16,r=32,
∴q=16,r=32.
【解析】【分析】根據(jù)x5?5qx+4r被(x?2)2整除,從而可設(shè)f(x)=x5?5qx+4r=(x?2)2(ax3+bx2+cx+d),根據(jù)待定系數(shù)法列出方程,解之即可.16.【答案】解:依題可設(shè):
f(x)=(x2?1)(ax+b)+(2x-5),
f(x)=(x2?4)(cx+d)+(-3x+4),
∴(x2?1)(ax+b)+(2x-5)=(x2?4)(cx+d)+(-3x+4),
即ax3+bx2+(2-a)x+(-b-5)=cx3+dx2+(-4c-3)x+(4-4d),
∴,
解得:.
∴這個(gè)三次多項(xiàng)式是-x3+3x2+x-8.
【解析】【分析】根據(jù)題意可設(shè)f(x)=(x2?1)(ax+b)+(2x-5)=(x2?4)(cx+d)+(-3x+4),化簡,根據(jù)待定系數(shù)法列出方程,解之即可.17
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