熱點06 全等三角形與特殊三角形

熱點06全等三角形與特殊三角形中考數(shù)學(xué)中《全等三角形與特殊三角形》部分主要考向分為五類：一、三角形的重要定理（每年1~2道，3~7分）二、全等三角形（每年1道，4~8分）三、等腰三角形（每年1~2題，3~7分）四、直角三角形（每年1~2題，3~7分）五、三角形的綜合（每年1~2題，3~9分）全等三角形與特殊三角形的基礎(chǔ)知識是學(xué)習后續(xù)很多幾何問題的基礎(chǔ)，也可以在很多綜合壓軸問題中起到較強的輔助作用，所以，中考復(fù)習，掌握好全等三角形和特殊三角形的性質(zhì)和判定至關(guān)重要。首先，全等三角形是幾何問題中證明線段相等或者角相等的常用關(guān)系，所以在中考中，考察的幾率也是比較大，小題、簡單題均有可能出現(xiàn)。而特殊三角形的考察，則更靈活多樣，單獨考察時，難度一般不大，準確掌握對應(yīng)知識技巧后一半都能拿下。而綜合問題中，就需要大家更加注意各問題間的關(guān)聯(lián)性，在合適的步驟用其性質(zhì)或判定解決壓軸題中重要的一步。

考向一：三角形的重要定理【題型1三角形的三邊關(guān)系】滿分技巧1、三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；實際操作時，只需要兩較小邊長之和大于最長邊即可；2、在等腰三角形中考三邊關(guān)系時，只需滿足--兩腰長之和大于底邊長即可；3、做題時，注意看題目中是讓求第三邊的長還是求三角形的周長，不要因此失分。1．（2023?福建）若某三角形的三邊長分別為3，4，m，則m的值可以是（）A．1 B．5 C．7 D．92．（2023?長沙）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，63．（2023?徐州）若一個三角形的邊長均為整數(shù)，且兩邊長分別為3和5，則第三邊的長可以為（寫出一個即可）．【題型2三角形的內(nèi)角和定理與外角的性質(zhì)】滿分技巧三角形三個內(nèi)角的和=180°，三角形的一個外角=與之不相鄰2個內(nèi)角的和；三角形有關(guān)角的這兩個定理通?？梢越粨Q著用，有時可用內(nèi)角和又可用外角的題，可能外角用著更方便；等腰三角形頂角的外角=底角的2倍；在求角度的問題中，內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)是常用的等量關(guān)系，也是求任何角度都要首選的等量關(guān)系，這個思想要根深蒂固！1．（2023?聊城）如圖，分別過△ABC的頂點A，B作AD∥BE．若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．65° B．75° C．85° D．95°2．（2023?株洲）《周禮?考工記》中記載有：“…半矩謂之宣（xuān），一宣有半謂之欘（zhú）…”．意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣＝矩，1欘＝1宣（其中，1矩＝90°）．問題：圖（1）為中國古代一種強弩圖，圖（2）為這種強弩圖的部分組件的示意圖，若∠A＝1矩，∠B＝1欘，則∠C＝度．3．（2023?十堰）一副三角板按如圖所示放置，點A在DE上，點F在BC上，若∠EAB＝35°，則∠DFC＝．【題型3三角形中的“三線”】滿分技巧三角形中“三線”的常見作用及其輔助線：1、中線常見“用途”：平分線段、平分面積；輔助線類型：倍長中線造全等—→延伸：倍長中線類模型；2、高線常見“用途”：求面積（等積法）、求角度（余角）；輔助線類型：見特殊角做⊥，構(gòu)特殊直角△、見等腰做底邊上高線，構(gòu)三線合一；3、角平分線常見“用途”：得角相等（定義）、得線段相等（性質(zhì)）、SAS證全等、知2得1等；輔助線類型：見角平分線作雙垂、見角平分線作對稱、截長補短構(gòu)全等、見角平分線＋垂直，延長出等腰；4、中垂線常見“用途”：平分線段、得90°、證全等、求新形成三角形周長等；5、輔助線類型：連接兩點由△的三線組成的幾個“心”：△三邊中線交點—→重心—→性質(zhì)：△的重心到一中線中點的距離=重心到這條中線定點距離的一半；△三條角平分線交點—→內(nèi)心—→性質(zhì)：△的內(nèi)心到△三邊的距離（垂線段）相等；△三邊中垂線交點—→外心—→性質(zhì)：△的外心到△三個頂點的距離（連接）相等；1．如圖，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，D、E分別為AC、BC中點，連接AE、BD相交于點F，點G在CD上，且DG：GC＝1：2，則四邊形DFEG的面積為（）A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm22．（2023?路北區(qū)二模）如圖所示在△ABC中，AB邊上的高線畫法正確的是（） A B C D3．（2022?長寧區(qū)模擬）如果一個三角形有一條邊上的高等于這條邊的一半，那么我們把這個三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜邊AB＝10，則它的周長等于．考向二：全等三角形【題型4全等三角形的性質(zhì)與判定】滿分技巧1、全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；2、全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS＋Rt△的HL3、證三角形全等的基本步驟：①準備條件；②羅列條件；③得出結(jié)論。4、有關(guān)三角形全等問題應(yīng)用的三個方向：①證邊相等就證它們所在的三角形全等；②證角相等就證它們所在的三角形全等；③全等三角形可以提供相等線段、相等角1．（2023?成都）如圖，已知△ABC≌△DEF，點B，E，C，F(xiàn)依次在同一條直線上．若BC＝8，CE＝5，則CF的長為．2．（2023?涼山州）如圖，點E、點F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一個條件，不能證明△ABF≌△DCE的是（）A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE3．（2023?衢州）已知：如圖，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上．下面四個條件：①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．（1）請選擇其中的三個條件，使得△ABC≌△DEF（寫出一種情況即可）．（2）在（1）的條件下，求證：△ABC≌△DEF．【題型5角平分線的性質(zhì)】滿分技巧1、性質(zhì)定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；2、判定定理：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上；1．（2023?廣州）如圖，已知AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，則點E到直線AD的距離為．2．（2023秋?高安市期末）小明將兩把完全相同的長方形直尺如圖放置在∠AOB上，兩把直尺的接觸點為P，邊OA與其中一把直尺邊緣的交點為C，點C、P在這把直尺上的刻度讀數(shù)分別是2、5，則OC的長度是．3．（2023?河曲縣一模）如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP交于點P，若∠BPC＝40°，則∠CAP＝（）A．40° B．45° C．50° D．60°【題型6線段垂直平分線性質(zhì)定理】滿分技巧1、性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；2、判定定理：到線段兩端距離相等的點在這條線段的中垂線上；1．如圖，在△ABC中，DE是BC的垂直平分線．若AB＝5，AC＝8，則△ABD的周長是．2．（2023?麗水）如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，則DC的長是．3．如圖，在△ABC中，AB＝AC．分別以點B和點C為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點D，作直線AD交BC于點E．若∠BAC＝110°，則∠BAE的大小為度．考向三：等腰三角形【題型7等腰三角形的性質(zhì)與判定】滿分技巧1、等腰三角形的性質(zhì)：①等腰三角形有軸對稱性，對稱軸有1或3條；②等邊對等角；③“三線合一”2、等腰三角形的判定：①定義法；②等角對等邊；③角平分線與高線、中線與高線重合時，利用全等證等腰；3、等邊三角形的性質(zhì)：三邊相等、三個角都等于60°、三邊均存在“三線合一”；4、等邊三角形的判定：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。1．在△ABC和△A'B'C′中，∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'＝6，AC＝A'C′＝4，已知∠C＝n°，則∠C′＝（）A．30° B．n°C．n°或180°﹣n° D．30°或150°2．（2023?眉山）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，則∠ACD的度數(shù)為（）A．70° B．100° C．110° D．140°3．△ABC的三邊長a，b，c滿足（a﹣b）2++|c﹣3|＝0，則△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰直角三角形4．（2023?荊州）如圖，BD是等邊△ABC的中線，以D為圓心，DB的長為半徑畫弧，交BC的延長線于E，連接DE．求證：CD＝CE．【題型8等腰三角形的常見模型】滿分技巧手拉手全等：條件：兩個頂角相等的等腰三角形有一個公共的頂角頂點結(jié)論：有SAS類三角形全等；雙平等腰：條件：①AD為角平分線；②DE∥AB；③AE=ED若以上3個條件中有2個成立，則剩余的那個就會成立。即：三條件滿足“知2得1”1．（2023?濰坊）如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足為點E，過點E作EF∥BC，交AC于點F，G為BC的中點，連接FG．求證：FG＝AB．考向四：直角三角形【題型9直角三角形的性質(zhì)與判定】滿分技巧1、直角三角形的性質(zhì)：①直角三角形的兩個銳角互余②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長的一半③在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊長的一半2、直角三角形的判定：①有一個角是90°的三角形時直角三角形②有兩個角互余的三角形是直角三角形③勾股定理的逆定理1．（2023?攀枝花）如圖，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，線段AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，則∠EBC＝．2．（2023?揚州）在△ABC中，∠B＝60°，AB＝4，若△ABC是銳角三角形，則滿足條件的BC長可以是（）A．1 B．2 C．6 D．83．（2023?株洲）一技術(shù)人員用刻度尺（單位：cm）測量某三角形部件的尺寸．如圖所示，已知∠ACB＝90°，點D為邊AB的中點，點A、B對應(yīng)的刻度為1、7，則CD＝（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm4．（2023?衢州）如圖是脊柱側(cè)彎的檢測示意圖，在體檢時為方便測出Cobb角∠O的大小，需將∠O轉(zhuǎn)化為與它相等的角，則圖中與∠O相等的角是（）A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO【題型10勾股定理】滿分技巧勾股定理及其逆定理勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方勾股定理逆定理如果三角形中兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形勾股數(shù)能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，成為勾股數(shù)常見的勾股數(shù)：3,4,5及其倍數(shù)；5,12,13及其倍數(shù)；7,24,25及其倍數(shù)；8,15,17及其倍數(shù)☆：勾股定理是初中數(shù)學(xué)中求解長度非常重要的等量關(guān)系，故很多求長度的問題沒方向時，就往直角三角形勾股定理方向去想。1．（2023?德陽）如圖，在△ABC中，∠CAD＝90°，AD＝3，AC＝4，BD＝DE＝EC，點F是AB邊的中點，則DF＝（）A． B． C．2 D．12．（2023?寧夏）將一副直角三角板和一把寬度為2cm的直尺按如圖方式擺放：先把60°和45°角的頂點及它們的直角邊重合，再將此直角邊垂直于直尺的上沿，重合的頂點落在直尺下沿上，這兩個三角板的斜邊分別交直尺上沿于A，B兩點，則AB的長是（）A．2﹣ B．2﹣2 C．2 D．23．已知直角三角形的三邊a，b，c滿足c＞a＞b，分別以a，b，c為邊作三個正方形，把兩個較小的正方形放置在最大正方形內(nèi)，如圖，設(shè)三個正方形無重疊部分的面積為S1，均重疊部分的面積為S2，則（）A．S1＞S2 B．S1＜S2C．S1＝S2 D．S1，S2大小無法確定4．（2023?隨州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D為AC上一點，若BD是∠ABC的角平分線，則AD＝．5．（2023?瀘州）《九章算術(shù)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，該著作中給出了勾股數(shù)a，b，c的計算公式：a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），其中m＞n＞0，m，n是互質(zhì)的奇數(shù)．下列四組勾股數(shù)中，不能由該勾股數(shù)計算公式直接得出的是（）A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，256．我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，它是由4個全等的直角三角形和一個小正方形組成．如圖，直角三角形的直角邊長為a、b，斜邊長為c，若b﹣a＝4，c＝20，則每個直角三角形的面積為．7．（2023?恩施州）《九章算術(shù)》被稱為人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的“算經(jīng)之首”．書中記載：“今有戶不知高、廣，竿不知長短．橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出．問戶高、廣、邪各幾何？”譯文：今有門，不知其高寬；有竿，不知其長短，橫放，竿比門寬長出4尺；豎放，竿比門高長出2尺；斜放，竿與門對角線恰好相等．問門高、寬和對角線的長各是多少（如圖）？答：門高、寬和對角線的長分別是尺．考向五：三角形綜合題【題型11全等三角形與特殊三角形的綜合應(yīng)用】1．（2023?大慶）如圖，在△ABC中，將AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α至AB′，將AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)β至AC′（0°＜α＜180°，0°＜β＜180°），得到△AB′C′，使∠BAC+∠B′AC′＝180°，我們稱△AB′C′是△ABC的“旋補三角形“，△AB′C′的中線AD叫做△ABC的“旋補中線”，點A叫做“旋補中心”．下列結(jié)論正確的有．①△ABC與△AB′C′面積相同；②BC＝2AD；③若AB＝AC，連接BB′和CC′，則∠B′BC+∠CC′B′＝180°；④若AB＝AC，AB＝4，BC＝6，則B′C′＝10．2．（2023?蘭州）綜合與實踐：問題探究：（1）如圖1是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9“平分一個已知角，”即：作一個已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在OA和OB上分別取點C和D，使得OC＝OD，連接CD，以CD為邊作等邊三角形CDE，則OE就是∠AOB的平分線．請寫出OE平分∠AOB的依據(jù)：SSS；類比遷移：（2）小明根據(jù)以上信息研究發(fā)現(xiàn)：△CDE不一定必須是等邊三角形，只需CE＝DE即可，他查閱資料；我國古代已經(jīng)用角尺平分任意角，做法如下：如圖3，在∠AOB的邊OA，OB上分別取OM＝ON，移動角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點M，N重合，則過角尺頂點C的射線OC是∠AOB的平分線，請說明此做法的理由；拓展實踐：（3）小明將研究應(yīng)用于實踐．如圖4，校園的兩條小路AB和AC，匯聚形成了一個岔路口A，現(xiàn)在學(xué)校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等，試問路燈應(yīng)該安裝在哪個位置？請用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在對應(yīng)的示意圖5中作出路燈E的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）3．（2023?揚州）【問題情境】在綜合實踐活動課上，李老師讓同桌兩位同學(xué)用相同的兩塊含30°的三角板開展數(shù)學(xué)探究活動，兩塊三角板分別記作△ADB和△A′D′C，∠ADB＝∠A′D′C＝90°，∠B＝∠C＝30°，設(shè)AB＝2．【操作探究】如圖1，先將△ADB和△A′D′C的邊AD、A′D′重合，再將△A′D′C繞著點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤360°），旋轉(zhuǎn)過程中△ADB保持不動，連接BC．（1）當α＝60°時，BC＝2；當BC＝2時，α＝°；（2）當α＝90°時，畫出圖形，并求兩塊三角板重疊部分圖形的面積；（3）如圖2，取BC的中點F，將△A′D′C′繞著點A旋轉(zhuǎn)一周，點F的運動路徑長為．重難通關(guān)練（建議用時：40分鐘）1．下列每組數(shù)分別表示3根小木棒的長度（單位：cm），其中能搭成一個三角形的是（）A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，122．如圖，工人師傅設(shè)計了一種測零件內(nèi)徑AB的卡鉗，卡鉗交叉點O為AA'、BB'的中點，只要量出A'B'的長度，就可以知道該零件內(nèi)徑AB的長度．依據(jù)的數(shù)學(xué)基本事實是（）A．兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等B．兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等C．兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例D．兩點之間線段最短3．（2023?綿陽）如圖，在等邊△ABC中，BD是AC邊上的中線，延長BC至點E，使CE＝CD，若DE＝，則AB＝（）A． B．6 C．8 D．4．（2023?甘孜州）如圖，AB與CD相交于點O，AC∥BD，只添加一個條件，能判定△AOC≌△BOD的是（）A．∠A＝∠D B．AO＝BO C．AC＝BO D．AB＝CD5．（2023?宿遷）若等腰三角形有一個內(nèi)角為110°，則這個等腰三角形的底角是（）A．70° B．45° C．35° D．50°6．（2023?麗水）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB為腰作等腰直角三角形BAE，頂點E恰好落在CD邊上，若AD＝1，則CE的長是（）A． B． C．2 D．17．（2023?陜西）如圖，DE是△ABC的中位線，點F在DB上，DF＝2BF．連接EF并延長，與CB的延長線相交于點M．若BC＝6，則線段CM的長為（）A． B．7 C． D．88．（2023?赤峰）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．點F是AB中點，連接CF，把線段CF沿射線BC方向平移到DE，點D在AC上．則線段CF在平移過程中掃過區(qū)域形成的四邊形CFDE的周長和面積分別是（）A．16，6 B．18，18 C．16，12 D．12，169．（2023?天津）如圖，在△ABC中，分別以點A和點C為圓心，大于的長為半徑作?。ɑ∷趫A的半徑都相等），兩弧相交于M，N兩點，直線MN分別與邊BC，AC相交于點D，E，連接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，則AB的長為（）A．9 B．8 C．7 D．610．（2023?江西）將含30°角的直角三角板和直尺按如圖所示的方式放置，已知∠α＝60°，點B，C表示的刻度分別為1cm，3cm，則線段AB的長為cm．11．（2023?重慶）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D為BC上一點，連接AD．過點B作BE⊥AD于點E，過點C作CF⊥AD交AD的延長線于點F．若BE＝4，CF＝1，則EF的長度為．12．如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為9cm，底面周長為16cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點A處有一滴蜂蜜，此時，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿1cm，且與蜂蜜相對的點B處，則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所走的最短路程為cm．（杯壁厚度不計）13．（2023?通遼）如圖，等邊三角形ABC的邊長為6cm，動點P從點A出發(fā)以2cm/s的速度沿AB向點B勻速運動，過點P作PQ⊥AB，交邊AC于點Q，以PQ為邊作等邊三角形PQD，使點A，D在PQ異側(cè)，當點D落在BC邊上時，點P需移動s．14．（2023?樂山）如圖，已知AB與CD相交于點O，AC∥BD，AO＝BO，求證：AC＝BD．15．（2023?大連）如圖，AC＝AE，BC＝DE，BC的延長線與DE相交于點F，∠ACF+∠AED＝180°．求證：AB＝AD．16．（2023?陜西）如圖，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°．過點A作AE⊥BC，垂足為E，延長EA至點D．使AD＝AC．在邊AC上截取AF＝AB，連接DF．求證：DF＝CB．17．（2023?南通）如圖，點D，E分別在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于點O，OB＝OC．求證：∠1＝∠2．小虎同學(xué)的證明過程如下：證明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠DOB+∠B＝∠EOC+∠C＝90°．∵∠DOB＝∠EOC，∴∠B＝∠C．……第一步又OA＝OA，OB＝OC，∴△ABO≌△ACO．……第二步∴∠1＝∠2．……第三步（1）小虎同學(xué)的證明過程中，第步出現(xiàn)錯誤；（2）請寫出正確的證明過程．18．（2023?宿遷）【問題背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如圖①，即∠CEF＝∠AEF）．小軍測量某建筑物高度的方法如下：在地面點E處平放一面鏡子，經(jīng)調(diào)整自己位置后，在點D處恰好通過鏡子看到建筑物AB的頂端A．經(jīng)測得，小軍的眼睛離地面的距離CD＝1.7m，BE＝20m，DE＝2m，求建筑物AB的高度；【活動探究】觀察小軍的操作后，小明提出了一個測量廣告牌高度的做法（如圖②）：他讓小軍站在點D處不動，將鏡子移動至E1處，小軍恰好通過鏡子看到廣告牌頂端G，測出DE1＝2m；再將鏡子移動至E2處，恰好通過鏡子看到廣告牌的底端A，測出DE2＝3.4m．經(jīng)測得，小軍的眼睛離地面距離CD＝1.7m，BD＝10m，求這個廣告牌AG的高度；【應(yīng)用拓展】小軍和小明討論后，發(fā)現(xiàn)用此方法也可測量出斜坡上信號塔AB的高度．他們給出了如下測量步驟（如圖③）：①讓小軍站在斜坡的底端D處不動（小軍眼睛離地面距離CD＝1.7m），小明通過移動鏡子（鏡子平放在坡面上）位置至E處，讓小軍恰好能看到塔頂B；②測出DE＝2.8m；③測出坡長AD＝17m；④測出坡比為8：15（即）．通過他們給出的方案，請你算出信號塔AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)）．19．（2023?臨沂）如圖，∠A＝90°，AB＝AC，BD⊥AB，BC＝AB+BD．（1）寫出AB與BD的數(shù)量關(guān)系．（2）延長BC到E，使CE＝BC，延長DC到F，使CF＝DC，連接EF．求證：EF⊥AB．（3）在（2）的條件下，作∠ACE的平分線，交AF于點H，求證：AH＝FH．培優(yōu)爭分練（建議用時：45分鐘）1．（2024?長沙模擬）以下列數(shù)值為長度的各組線段中，能組成三角形的是（）A．2，4，7 B．3，3，6 C．5，8，2 D．4，5，62．（2023?梁山縣二模）如圖，CD，CE，CF分別是△ABC的高、角平分線、中線，則下列各式中錯誤的是（）A．AB＝2BF B．∠ACE＝∠ACBC．AE＝BE D．CD⊥BE3．如圖，在△ABC中，中線AD、CE相交于點G，AG＝6，則AD的長為（）A．18 B．9 C．8 D．34．（2023?雁塔區(qū)校級模擬）如圖，將一副直角三角板按如圖所示疊放，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，則∠BFD的大小是（）A．10° B．15° C．25° D．30°5．（2023?拱墅區(qū)校級三模）如圖，在△ABC中，以點B為圓心，AB為半徑畫弧交BC于點D，以點C為圓心，AC為半徑畫弧交BC于點E，連接AE，AD．設(shè)∠EAD＝α，∠ACB＝β，則∠B的度數(shù)為（）A．α﹣ B．2α﹣β C．α+ D．3α﹣β6．（2023?泗洪縣二模）如圖，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠A＝28°，∠CGF＝88°，則∠E的度數(shù)是（）A．32° B．34° C．40° D．44°7．（2023?三門峽一模）如圖，在△ABC和△DEF中，點A、E、B、D在同一條直線上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一個條件，不能判斷△ABC≌△DEF的是（）A．AE＝DB B．∠C＝∠F C．BC＝EF D．∠ABC＝∠DEF8．如圖，在△ABC中，∠BAC＝80°，AB邊的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E，AC邊的垂直平分線交AC于點F，交BC于點G，連接AE，AG．則∠EAG的度數(shù)為（）A．15° B．20° C．25° D．30°9．已知等腰三角形的兩邊長分別為4和9，則這個三角形的周長是（）A．22 B．19 C．17 D．17或2210．（2023?香洲區(qū)一模）如圖，在等腰△ABC中，∠B＝∠C＝65°，DE垂直平分AC，則∠BCD的度數(shù)等于（）A．10° B．15° C．20° D．25°11．（2023?廣西模擬）如圖，D為△ABC內(nèi)一點，CD平分∠ACB，BD⊥CD于點D．∠ABD＝∠A，若BD＝1，BC＝3，則AC的長為（）A．2 B．3 C．4 D．512．（2023?大連一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，點D是AC上一點，將△ABD沿線段BD翻折，使得點A落在A'處，若∠A'BC＝28°，則∠CBD＝（）A．15° B．16° C．18° D．20°13．（2023?蓮湖區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，BC＝6，點D為BC的中點，AE⊥BC于點E，則DE的長是（）A．1 B． C．3 D．614．（2024?雁塔區(qū)校級一模）如圖，在3×3的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，AD為△ABC的高，則AD的長為（）A． B． C． D．15．（2023?紅花崗區(qū)校級一模）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b．若ab＝8，大正方形的面積為25，則EF的長為（）A．9 B．9 C．3 D．316．（2023?襄城區(qū)校級二模）如圖，若AB＝AC，BG＝BH，AK＝KG，則∠BAC＝．17．（2023?瓊山區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（﹣3，0），B（3，0），C（3，2），如果△ABC與△ABD全等，那么點D的坐標可以是（寫出一個即可）．18．（2023?東明縣一模）如圖，AB＝18m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝6m，點P從B向A運動，每秒鐘走1m，Q點從B向D運動，每秒鐘走2m，點P，Q同時出發(fā)，運動秒后，△CAP與△PQB全等．19．如圖所示，已知△ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D和點E分別是AB和AC邊上的動點，滿足AD＝CE，連接DE，點F是DE的中點，則的最大值為．20．（2024?吐魯番市一模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交BA、BC于點M、N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線BP交AC于點D，則S△CBD：S△ABD＝．21．如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，MN過點O，且MN∥BC，分別交AB、AC于點M、N．則△AMN的周長為．22．（2024?深圳模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，∠ADC＝90°，對角線AC與BD相交于點E，若BE＝3DE，則BD＝．23．紫砂壺是我國特有的手工制造陶土工藝品，其制作過程需要幾十種不同的工具，其中有一種工具名為“帶刻度嘴巴架”，其形狀及使用方法如圖1．當制壺藝人把“帶刻度嘴巴架”上圓弧部分恰好貼在壺口邊界時，就可以保證要粘貼的壺嘴、壺把、壺口中心在一條直線上．圖2是正確使用該工具時的示意圖．如圖3，⊙O為某紫砂壺的壺口，已知A，B兩點在⊙O上，直線l過點O，且l⊥AB于點D，交⊙O于點C．若AB＝30mm，CD＝5mm，則這個紫砂壺的壺口半徑r的長為mm．24．（2023?武漢模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為三角形內(nèi)一點，若∠BAC＝30°，∠ADB＝135°，∠BDC＝105°，BD＝2，則AD的長為．25．（2023秋?渠縣期末）如圖，在△ABC中，D為AB上一點，E為AC中點，連接DE并延長至點F，使得EF＝ED，連CF．（1）求證：CF∥AB；（2）若∠ABC＝50°，連接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度數(shù)．26．如圖，在△ABC中，AB＝AC，E為BA延長線上一點，且ED⊥BC交AC于點F．（1）求證：△AEF是等腰三角形；（2）若AB＝13，EF＝12，F(xiàn)為AC中點，求BC的長．27．（2023?拱墅區(qū)二模）如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別是邊BC，CA上的點，且BD＝CE，連結(jié)AD，BE交于點P．（1）求證：△ABE≌△CAD；（2）連接CP，若CP⊥AP時，①求AE：CE的值；②設(shè)△ABC的面積為S1，四邊形CDPE的面積為S2，求的值．28．（2023?燈塔市一模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E．（1）如圖1，連接EC，求證：△EBC是等邊三角形；（2）點M是線段CD上的一點（不與點C，D重合），以BM為一邊，在BM的下方作∠BMG＝60°，MG交DE延長線于點G．請你在圖2中畫出完整圖形，并直接寫出MD，DG與AD之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，點N是線段AD上的一點，以BN為一邊，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延長線于點G．試探究ND，DG與AD數(shù)量之間的關(guān)系，并說明理由．29．（2023秋?上蔡縣期末）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ABC和△ADE均為等邊三角形，點D在BC的延長線上，連接CE，求證：△ABD≌△ACE．（2）類比探究：如圖2，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，D點在邊BC的延長線上，連接CE．請判斷：①∠ACE的度數(shù)為．②線段BC，CD，CE之間的數(shù)量關(guān)系是．（3）問題解決：在（2）中，如果AB＝AC＝，CD＝1，求線段DE的長．

熱點06全等三角形與特殊三角形考向一：三角形的重要定理【題型1三角形的三邊關(guān)系】滿分技巧1、三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；實際操作時，只需要兩較小邊長之和大于最長邊即可；2、在等腰三角形中考三邊關(guān)系時，只需滿足--兩腰長之和大于底邊長即可；3、做題時，注意看題目中是讓求第三邊的長還是求三角形的周長，不要因此失分。1．（2023?福建）若某三角形的三邊長分別為3，4，m，則m的值可以是（）A．1 B．5 C．7 D．9【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得出4﹣3＜m＜4+3，求出即可．【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得：4﹣3＜m＜4+3，解得：1＜m＜7，即符合的只有5，故選：B．2．（2023?長沙）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系分別判斷即可．【解答】解：∵1+3＝4，∴1，3，4不能組成三角形，故A選項不符合題意；∵2+2＜7，∴2，2，7不能組成三角形，故B不符合題意；∵4+5＞7，∴4，5，7能組成三角形，故C符合題意；∵3+3＝6，∴3，3，6不能組成三角形，故D不符合題意，故選：C．3．（2023?徐州）若一個三角形的邊長均為整數(shù)，且兩邊長分別為3和5，則第三邊的長可以為（寫出一個即可）．【分析】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊確定第三邊的范圍，根據(jù)題意計算即可．【解答】解：設(shè)三角形的第三邊長為x，則5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，∵第三邊的長為整數(shù)，∴x＝3或4或5或6或7．故答案為：3或4或5或6或7（答案不唯一）．【題型2三角形的內(nèi)角和定理與外角的性質(zhì)】滿分技巧三角形三個內(nèi)角的和=180°，三角形的一個外角=與之不相鄰2個內(nèi)角的和；三角形有關(guān)角的這兩個定理通?？梢越粨Q著用，有時可用內(nèi)角和又可用外角的題，可能外角用著更方便；等腰三角形頂角的外角=底角的2倍；在求角度的問題中，內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)是常用的等量關(guān)系，也是求任何角度都要首選的等量關(guān)系，這個思想要根深蒂固！1．（2023?聊城）如圖，分別過△ABC的頂點A，B作AD∥BE．若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．65° B．75° C．85° D．95°【分析】由平行線的性質(zhì)可求∠ADC得度數(shù)，再利用三角形的內(nèi)角和定理可求解．【解答】解：∵AD∥BE，∴∠ADC＝∠EBC＝80°，∵∠CAD+∠ADC+∠ACB＝180°，∠CAD＝25°，∴∠ACB＝180°﹣25°﹣80°＝75°，故選：B．2．（2023?株洲）《周禮?考工記》中記載有：“…半矩謂之宣（xuān），一宣有半謂之欘（zhú）…”．意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣＝矩，1欘＝1宣（其中，1矩＝90°）．問題：圖（1）為中國古代一種強弩圖，圖（2）為這種強弩圖的部分組件的示意圖，若∠A＝1矩，∠B＝1欘，則∠C＝度．【分析】根據(jù)題意可知：∠A＝90°，∠B＝67.5°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求得∠C的度數(shù)．【解答】解：∵1宣＝矩，1欘＝1宣，1矩＝90°，∠A＝1矩，∠B＝1欘，∴∠A＝90°，∠B＝1××90°＝67.5°，∴∠C＝180°﹣90°﹣∠B＝180°﹣90°﹣67.5°＝22.5°，故答案為：22.5．3．（2023?十堰）一副三角板按如圖所示放置，點A在DE上，點F在BC上，若∠EAB＝35°，則∠DFC＝．【分析】由題意可得∠BAC＝60°，∠C＝30°，∠D＝45°，由平角的定義可求得∠CAD＝85°，再由三角形的內(nèi)角和可求得∠AGD＝50°，利用對頂角相等得∠CGF＝50°，再利用三角形的內(nèi)角和即可求∠DFC．【解答】解：如圖，由題意得：∠BAC＝60°，∠C＝30°，∠D＝45°，∵∠EAB＝35°，∴∠CAD＝180°﹣∠EAB﹣∠BAC＝85°，∴∠AGD＝180°﹣∠D﹣∠CAD＝50°，∴∠CGF＝∠AGD＝50°，∴∠DFC＝180°﹣∠C﹣∠CGF＝100°．故答案為：100°．【題型3三角形中的“三線”】滿分技巧三角形中“三線”的常見作用及其輔助線：1、中線常見“用途”：平分線段、平分面積；輔助線類型：倍長中線造全等—→延伸：倍長中線類模型；2、高線常見“用途”：求面積（等積法）、求角度（余角）；輔助線類型：見特殊角做⊥，構(gòu)特殊直角△、見等腰做底邊上高線，構(gòu)三線合一；3、角平分線常見“用途”：得角相等（定義）、得線段相等（性質(zhì)）、SAS證全等、知2得1等；輔助線類型：見角平分線作雙垂、見角平分線作對稱、截長補短構(gòu)全等、見角平分線＋垂直，延長出等腰；4、中垂線常見“用途”：平分線段、得90°、證全等、求新形成三角形周長等；5、輔助線類型：連接兩點由△的三線組成的幾個“心”：△三邊中線交點—→重心—→性質(zhì)：△的重心到一中線中點的距離=重心到這條中線定點距離的一半；△三條角平分線交點—→內(nèi)心—→性質(zhì)：△的內(nèi)心到△三邊的距離（垂線段）相等；△三邊中垂線交點—→外心—→性質(zhì)：△的外心到△三個頂點的距離（連接）相等；1．如圖，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，D、E分別為AC、BC中點，連接AE、BD相交于點F，點G在CD上，且DG：GC＝1：2，則四邊形DFEG的面積為（）A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2【分析】連接DE，由D、E分別為AC、BC中點，可得DE＝AB＝3cm，DE∥AB，即得△DEF∽△BAF，故＝（）2＝，＝＝，可得S△ABF＝S△ABE＝×AB?BE＝8（cm2），故S△DEF＝S△ABF＝2（cm2），又S△DEC＝DE?CE＝6（cm2），DG：GC＝1：2，可得S△DEG＝S△DEC＝2（cm2），從而S四邊形DFGE＝S△DEF+S△DEG＝4（cm2），【解答】解：連接DE，如圖：∵D、E分別為AC、BC中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝AB＝3cm，DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴＝（）2＝，＝＝，∴＝＝，∴S△ABF＝S△ABE＝×AB?BE＝××6××8＝8（cm2），∴S△DEF＝S△ABF＝2（cm2），∵S△DEC＝DE?CE＝×3×4＝6（cm2），DG：GC＝1：2，∴S△DEG＝S△DEC＝2（cm2），∴S四邊形DFGE＝S△DEF+S△DEG＝4（cm2），∴四邊形DFEG的面積為4cm2，故選：B．2．（2023?路北區(qū)二模）如圖所示在△ABC中，AB邊上的高線畫法正確的是（） A B C D【分析】直接利用高線的概念得出答案．【解答】解：在△ABC中，AB邊上的高線畫法正確的是B，故選：B．3．（2022?長寧區(qū)模擬）如果一個三角形有一條邊上的高等于這條邊的一半，那么我們把這個三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜邊AB＝10，則它的周長等于10+10或6+10．【分析】分兩種情況討論：①Rt△ABC中，CD⊥AB，CD＝AB＝5；②Rt△ABC中，AC＝BC，分別依據(jù)勾股定理和三角形的面積公式，即可得到該三角形的周長．【解答】解：分兩種情況：①如圖所示，Rt△ABC中，CD⊥AB，CD＝AB＝×10＝5，設(shè)BC＝a，AC＝b，則，解得a+b＝10或a+b＝﹣10（舍去），∴△ABC的周長為10+10；②如圖所示，Rt△ABC中，AC＝BC，設(shè)BC＝a，AC＝b，則，解得：，∴△ABC的周長為6+10；綜上所述，該三角形的周長為10+10或6+10．故答案為：10+10或6+10．考向二：全等三角形【題型4全等三角形的性質(zhì)與判定】滿分技巧1、全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；2、全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS＋Rt△的HL3、證三角形全等的基本步驟：①準備條件；②羅列條件；③得出結(jié)論。4、有關(guān)三角形全等問題應(yīng)用的三個方向：①證邊相等就證它們所在的三角形全等；②證角相等就證它們所在的三角形全等；③全等三角形可以提供相等線段、相等角1．（2023?成都）如圖，已知△ABC≌△DEF，點B，E，C，F(xiàn)依次在同一條直線上．若BC＝8，CE＝5，則CF的長為．【分析】根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到EF＝BC＝8，計算即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，又BC＝8，∴EF＝8，∵EC＝5，∴CF＝EF﹣EC＝8﹣5＝3．故答案為：3．2．（2023?涼山州）如圖，點E、點F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一個條件，不能證明△ABF≌△DCE的是（）A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE【分析】根據(jù)BE＝CF求出BF＝CE，再根據(jù)全等三角形的判定定理進行分析即可．【解答】解：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，∴當∠A＝∠D時，利用AAS可得△ABF≌△DCE，故A不符合題意；當∠AFB＝∠DEC時，利用ASA可得△ABF≌△DCE，故B不符合題意；當AB＝DC時，利用SAS可得△ABF≌△DCE，故C不符合題意；當AF＝DE時，無法證明△ABF≌△DCE，故D符合題意；故選：D．3．（2023?衢州）已知：如圖，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上．下面四個條件：①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．（1）請選擇其中的三個條件，使得△ABC≌△DEF（寫出一種情況即可）．（2）在（1）的條件下，求證：△ABC≌△DEF．【分析】（1）根據(jù)兩三角形全等的判定定理，選擇合適的條件即可．（2）根據(jù)（1）中所選條件，進行證明即可．【解答】解：（1）由題知，選擇的三個條件是：①②③；或者選擇的三個條件是：①③④．證明：（2）當選擇①②③時，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）．當選擇①③④時，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．【題型5角平分線的性質(zhì)】滿分技巧1、性質(zhì)定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；2、判定定理：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上；1．（2023?廣州）如圖，已知AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，則點E到直線AD的距離為．【分析】過E作EH⊥AD于H，由角平分線的性質(zhì)得到DE＝DF＝5，由勾股定理求出AD＝＝13，由三角形面積公式得到13EH＝12×5，因此EH＝，即可得到點E到直線AD的距離．【解答】解：過E作EH⊥AD于H，∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF＝5，∵AE＝12，∴AD＝＝13，∵△ADE的面積＝AD?EH＝AE?DE，∴13EH＝12×5，∴EH＝，點E到直線AD的距離為．故答案為：．2．（2023秋?高安市期末）小明將兩把完全相同的長方形直尺如圖放置在∠AOB上，兩把直尺的接觸點為P，邊OA與其中一把直尺邊緣的交點為C，點C、P在這把直尺上的刻度讀數(shù)分別是2、5，則OC的長度是．【分析】過P作PN⊥OB于N，由角平分線性質(zhì)定理的逆定理推出PO平分∠AOB，得到∠COP＝∠NOP，由平行線的性質(zhì)推出∠CPO＝∠NOP，得到∠COP＝∠CPO，因此OC＝PC，由PC＝5﹣2＝3（cm），即可得到OC的長度是3cm．【解答】解：過P作PN⊥OB于N，由題意得：PM＝PN，∵PM⊥OA，∴PO平分∠AOB，∴∠COP＝∠NOP，∵PC∥OB，∴∠CPO＝∠NOP，∴∠COP＝∠CPO，∴OC＝PC，∵C、P在這把直尺上的刻度讀數(shù)分別是2、5，∴PC＝5﹣2＝3（cm），∴OC的長度是3cm．故答案為：3cm．3．（2023?河曲縣一模）如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP交于點P，若∠BPC＝40°，則∠CAP＝（）A．40° B．45° C．50° D．60°【分析】根據(jù)外角與內(nèi)角性質(zhì)得出∠BAC的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案【解答】解：延長BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，設(shè)∠PCD＝x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∵∠BPC＝40°，∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，∴∠CAF＝100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP＝∠PAC＝50°．故選：C．【題型6線段垂直平分線性質(zhì)定理】滿分技巧1、性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；2、判定定理：到線段兩端距離相等的點在這條線段的中垂線上；1．（2023?青海）如圖，在△ABC中，DE是BC的垂直平分線．若AB＝5，AC＝8，則△ABD的周長是．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BD＝CD，即可求解．【解答】解：∵DE是BC的垂直平分線．∴BD＝CD，∴AC＝AD+CD＝AD+BD，∴△ABD的周長＝AB+AD+BD＝AB+AC＝5+8＝13，故答案為：13．2．（2023?麗水）如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，則DC的長是．【分析】根據(jù)等腰三角形的判定定理求出AD，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出DC．【解答】解：∵∠B＝∠ADB，AB＝4，∴AD＝AB＝4，∵DE是AC的垂直平分線，∴DC＝AD＝4，故答案為：4．3．如圖，在△ABC中，AB＝AC．分別以點B和點C為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點D，作直線AD交BC于點E．若∠BAC＝110°，則∠BAE的大小為度．【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖可得AE是BC的垂直平分線，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AE是∠BAC的角平分線，從而可求∠BAE得大小．【解答】解：∵AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形，∵分別以點B和點C為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點D，作直線AD交BC于點E．∴AE垂直平分BC，∴AE是∠BAC的平分線，∴∠BAE＝∠BAC＝55°．故答案為：55．考向三：等腰三角形【題型7等腰三角形的性質(zhì)與判定】滿分技巧1、等腰三角形的性質(zhì)：①等腰三角形有軸對稱性，對稱軸有1或3條；②等邊對等角；③“三線合一”2、等腰三角形的判定：①定義法；②等角對等邊；③角平分線與高線、中線與高線重合時，利用全等證等腰；3、等邊三角形的性質(zhì)：三邊相等、三個角都等于60°、三邊均存在“三線合一”；4、等邊三角形的判定：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。1．在△ABC和△A'B'C′中，∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'＝6，AC＝A'C′＝4，已知∠C＝n°，則∠C′＝（）A．30° B．n°C．n°或180°﹣n° D．30°或150°【分析】分兩種情況討論，當BC＝B′C′時，則△ABC≌△A′B′C′，得出∠C′＝∠C＝n°，當BC≠B′C′時，如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)求得∠A′C″C′＝∠C′＝n°，從而求得∠A′C″B′＝180°﹣n°．【解答】解：當BC＝B′C′時，△ABC≌△A′B′C′（SSS），∴∠C′＝∠C＝n°，當BC≠B′C′時，如圖，∵A′C′＝A′C″，∴∠A′C″C′＝∠C′＝n°，∴∠A′C″B′＝180°﹣n°，∴∠C′＝n°或180°﹣n°，故選：C．2．（2023?眉山）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，則∠ACD的度數(shù)為（）A．70° B．100° C．110° D．140°【分析】根據(jù)等邊對等角得到∠B＝∠ACB，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠B的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出∠ACD的度數(shù)．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠A＝40°，∴∠B＝∠ACB＝，∵∠ACD是△ABC的一個外角，∴∠ACD＝∠A+∠B＝40°+70°＝110°，故選：C．3．△ABC的三邊長a，b，c滿足（a﹣b）2++|c﹣3|＝0，則△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰直角三角形【分析】由等式可分別得到關(guān)于a、b、c的等式，從而分別計算得到a、b、c的值，再由a2+b2＝c2的關(guān)系，可推導(dǎo)得到△ABC為直角三角形．【解答】解：由題意得，解得，∵a2+b2＝c2，且a＝b，∴△ABC為等腰直角三角形，故選：D．4．（2023?荊州）如圖，BD是等邊△ABC的中線，以D為圓心，DB的長為半徑畫弧，交BC的延長線于E，連接DE．求證：CD＝CE．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BD⊥AC，∠ACB＝60°，求得∠DBC＝30°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠E＝∠DBC＝30°，求得∠E＝∠DBC＝30°，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】證明：∵BD是等邊△ABC的中線，∴BD⊥AC，∠ACB＝60°，∴∠DBC＝30°，∵BD＝DE，∴∠E＝∠DBC＝30°，∵∠CDE+∠E＝∠ACB＝60°，∴∠E＝∠CDE＝30°，∴CD＝CE．【題型8等腰三角形的常見模型】滿分技巧手拉手全等：條件：兩個頂角相等的等腰三角形有一個公共的頂角頂點結(jié)論：有SAS類三角形全等；雙平等腰：條件：①AD為角平分線；②DE∥AB；③AE=ED若以上3個條件中有2個成立，則剩余的那個就會成立。即：三條件滿足“知2得1”1．（2023?濰坊）如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足為點E，過點E作EF∥BC，交AC于點F，G為BC的中點，連接FG．求證：FG＝AB．【分析】由角平分線的定義及平行線的性質(zhì)可得∠ACD＝∠FEC，即可證明EF＝CF，再利用直角三角形的性質(zhì)可證明AF＝CF，即可得GF是△ABC的中位線，進而可證明結(jié)論．【解答】證明：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠BCD，∴∠ACD＝∠FEC，∴EF＝CF，∵AE⊥CD，∴∠AEC＝90°，∴∠EAC+∠ACD＝90°，∠AEF+∠FEC＝90°，∴∠EAC＝∠AEF，∴AF＝EF，∴AF＝CF，∵G是BC的中點，∴GF是△ABC的中位線，∴FG＝AB．考向四：直角三角形【題型9直角三角形的性質(zhì)與判定】滿分技巧1、直角三角形的性質(zhì)：①直角三角形的兩個銳角互余②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長的一半③在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊長的一半2、直角三角形的判定：①有一個角是90°的三角形時直角三角形②有兩個角互余的三角形是直角三角形③勾股定理的逆定理1．（2023?攀枝花）如圖，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，線段AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，則∠EBC＝．【分析】由∠C＝90°，∠A＝40°，求得∠ABC＝50°，根據(jù)線段的垂直平分線、等邊對等角和直角三角形的兩銳角互余求得．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∵DE是線段AB的垂直平分線，∴AE＝BE，∴∠EBA＝∠A＝40°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝50°﹣40°＝10°，故答案為：10°．2．（2023?揚州）在△ABC中，∠B＝60°，AB＝4，若△ABC是銳角三角形，則滿足條件的BC長可以是（）A．1 B．2 C．6 D．8【分析】作△ABC的高AD、CE．根據(jù)銳角三角形的三條高均在三角形的內(nèi)部得出BC＞BD，AB＞BE．解直角三角形求出2＜BC＜8，即可求解．【解答】解：如圖，作△ABC的高AD、CE．∵△ABC是銳角三角形，∴AD、CE在△ABC的內(nèi)部，即BC＞BD，AB＞BE．∵在直角△ABD中，∠B＝60°，AB＝4，∴BD＝AB?cosB＝4×＝2，∴BC＞2；又∵BC＝＜＝＝8，∴2＜BC＜8，∴綜觀各選項，BC可以為6．故選：C．3．（2023?株洲）一技術(shù)人員用刻度尺（單位：cm）測量某三角形部件的尺寸．如圖所示，已知∠ACB＝90°，點D為邊AB的中點，點A、B對應(yīng)的刻度為1、7，則CD＝（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm【分析】根據(jù)圖形和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可以計算出CD的長．【解答】解：由圖可得，∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），點D為線段AB的中點，∴CD＝AB＝3cm，故選：B．4．（2023?衢州）如圖是脊柱側(cè)彎的檢測示意圖，在體檢時為方便測出Cobb角∠O的大小，需將∠O轉(zhuǎn)化為與它相等的角，則圖中與∠O相等的角是（）A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知：∠O與∠ADO互余，∠DEB與∠ADO互余，根據(jù)同角的余角相等可得結(jié)論．【解答】解：由示意圖可知：△DOA和△DBE都是直角三角形，∴∠O+∠ADO＝90°，∠DEB+∠ADO＝90°，∴∠DEB＝∠O，故選：B．【題型10勾股定理】滿分技巧勾股定理及其逆定理勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方勾股定理逆定理如果三角形中兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形勾股數(shù)能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，成為勾股數(shù)常見的勾股數(shù)：3,4,5及其倍數(shù)；5,12,13及其倍數(shù)；7,24,25及其倍數(shù)；8,15,17及其倍數(shù)☆：勾股定理是初中數(shù)學(xué)中求解長度非常重要的等量關(guān)系，故很多求長度的問題沒方向時，就往直角三角形勾股定理方向去想。1．（2023?德陽）如圖，在△ABC中，∠CAD＝90°，AD＝3，AC＝4，BD＝DE＝EC，點F是AB邊的中點，則DF＝（）A． B． C．2 D．1【分析】先在直角△CAD中利用勾股定理求出DC＝5，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出AE＝，最后利用三角形的中位線定理求出DF＝AE＝．【解答】解：∵∠CAD＝90°，AD＝3，AC＝4，∴DC＝＝＝5，∵DE＝EC，DE+EC＝DC＝5，∴DE＝EC＝AE＝，∵BD＝DE，點F是AB邊的中點，∴DF＝AE＝．故選：A．2．（2023?寧夏）將一副直角三角板和一把寬度為2cm的直尺按如圖方式擺放：先把60°和45°角的頂點及它們的直角邊重合，再將此直角邊垂直于直尺的上沿，重合的頂點落在直尺下沿上，這兩個三角板的斜邊分別交直尺上沿于A，B兩點，則AB的長是（）A．2﹣ B．2﹣2 C．2 D．2【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，∴∠CAD＝45°＝∠ACD，∴AD＝CD＝2cm，在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，∴∠CBD＝30°，∴BC＝2CD＝4cm，∴BD＝＝＝2（cm），∴AB＝BD﹣AD＝（2﹣2）（cm）．故選：B．3．已知直角三角形的三邊a，b，c滿足c＞a＞b，分別以a，b，c為邊作三個正方形，把兩個較小的正方形放置在最大正方形內(nèi)，如圖，設(shè)三個正方形無重疊部分的面積為S1，均重疊部分的面積為S2，則（）A．S1＞S2 B．S1＜S2C．S1＝S2 D．S1，S2大小無法確定【分析】由直角三角形的三邊a，b，c滿足c＞a＞b，根據(jù)垂線段最短可知該直角三角形的斜邊為c，則c2＝a2+b2，所以c2﹣a2﹣b2＝0，則S1＝c2﹣a2﹣b2+b（a+b﹣c）＝ab+b2﹣bc，而S2＝b（a+b﹣c）＝ab+b2﹣bc，所以S1＝S2，于是得到問題的答案．【解答】解：∵直角三角形的三邊a，b，c滿足c＞a＞b，∴該直角三角形的斜邊為c，∴c2＝a2+b2，∴c2﹣a2﹣b2＝0，∴S1＝c2﹣a2﹣b2+b（a+b﹣c）＝ab+b2﹣bc，∵S2＝b（a+b﹣c）＝ab+b2﹣bc，∴S1＝S2，故選：C．4．（2023?隨州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D為AC上一點，若BD是∠ABC的角平分線，則AD＝．【分析】過點D作DE⊥AB于點E，由角平分線的性質(zhì)得到CD＝DE，再通過HL證明Rt△BCD≌Rt△BED，得到BC＝BE＝6，根據(jù)勾股定理可求出AB＝10，進而求出AE＝4，設(shè)CD＝DE＝x，則AD＝8﹣x，在Rt△ADE中，利用勾股定理建立方程求解即可．【解答】解：如圖，過點D作DE⊥AB于點E，∵∠C＝90°，∴CD⊥BC，∵BD是∠ABC的角平分線，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE，在Rt△BCD和Rt△BED中，，∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），∴BC＝BE＝6，在Rt△ABC中，＝＝10，∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4，設(shè)CD＝DE＝x，則AD＝AC﹣CD＝8﹣x，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，∴42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴AD＝8﹣x＝5．故答案為：5．5．（2023?瀘州）《九章算術(shù)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，該著作中給出了勾股數(shù)a，b，c的計算公式：a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），其中m＞n＞0，m，n是互質(zhì)的奇數(shù)．下列四組勾股數(shù)中，不能由該勾股數(shù)計算公式直接得出的是（）A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25【分析】根據(jù)題目要求逐一代入符合條件的m，n進行驗證、辨別．【解答】解：∵當m＝3，n＝1時，a＝（m2﹣n2）＝（32﹣12）＝4，b＝mn＝3×1＝3，c＝（m2+n2）＝×（32+12）＝5，∴選項A不符合題意；∵當m＝5，n＝1時，a＝（m2﹣n2）＝（52﹣12）＝12，b＝mn＝5×1＝5，c＝（m2+n2）＝×（52+12）＝13，∴選項B不符合題意；∵當m＝7，n＝1時，a＝（m2﹣n2）＝（72﹣12）＝24，b＝mn＝7×1＝7，c＝（m2+n2）＝×（72+12）＝25，∴選項D不符合題意；∵沒有符合條件的m，n使a，b，c各為6，8，10，∴選項C符合題意，故選：C．6．我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，它是由4個全等的直角三角形和一個小正方形組成．如圖，直角三角形的直角邊長為a、b，斜邊長為c，若b﹣a＝4，c＝20，則每個直角三角形的面積為．【分析】根據(jù)勾股定理可知a2+b2＝c2，再根據(jù)b﹣a＝4，c＝20，即可得到a、b的值，然后即可計算出每個直角三角形的面積．【解答】解：由圖可得，a2+b2＝c2，∴且a、b均大于0，解得，∴每個直角三角形的面積為ab＝×12×16＝96，故答案為：96．7．（2023?恩施州）《九章算術(shù)》被稱為人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的“算經(jīng)之首”．書中記載：“今有戶不知高、廣，竿不知長短．橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出．問戶高、廣、邪各幾何？”譯文：今有門，不知其高寬；有竿，不知其長短，橫放，竿比門寬長出4尺；豎放，竿比門高長出2尺；斜放，竿與門對角線恰好相等．問門高、寬和對角線的長各是多少（如圖）？答：門高、寬和對角線的長分別是尺．【分析】根據(jù)題中所給的條件可知，竿斜放就恰好等于門的對角線長，可與門的寬和高構(gòu)成直角三角形，運用勾股定理可求出門高、寬、對角線長．【解答】解：設(shè)門對角線的長為x尺，則門高為（x﹣2）尺，門寬為（x﹣4）尺，根據(jù)勾股定理可得：x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，即x2＝x2﹣8x+16+x2﹣4x+4，解得：x1＝2（不合題意舍去），x2＝10，10﹣2＝8（尺），10﹣4＝6（尺）．答：門高8尺，門寬6尺，對角線長10尺．故答案為：8，6，10．考向五：三角形綜合題【題型11全等三角形與特殊三角形的綜合應(yīng)用】1．（2023?大慶）如圖，在△ABC中，將AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α至AB′，將AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)β至AC′（0°＜α＜180°，0°＜β＜180°），得到△AB′C′，使∠BAC+∠B′AC′＝180°，我們稱△AB′C′是△ABC的“旋補三角形“，△AB′C′的中線AD叫做△ABC的“旋補中線”，點A叫做“旋補中心”．下列結(jié)論正確的有．①△ABC與△AB′C′面積相同；②BC＝2AD；③若AB＝AC，連接BB′和CC′，則∠B′BC+∠CC′B′＝180°；④若AB＝AC，AB＝4，BC＝6，則B′C′＝10．【分析】由“SAS”可證△BAC≌△AB′E，可得BC＝AE，S△ABC＝S△AB'E，可求S△ABC＝S△B'C'A，BC＝2AD，故①②正確；由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求∠B′BC+∠CC′B′＝180°；故③正確；通過證明平行四邊形AC'EB'是菱形，可得B'C'⊥AE，B'D＝C'D，由勾股定理可求B'C'的長，即可判斷④，即可求解．【解答】證明：延長AD至E，使DE＝AD，連接B'E，C'E，∵AD是中線，∴B'D＝C'D，∴四邊形AC'EB'是平行四邊形，∴B'E∥AC'，B'E＝AC'，S△B'C'A＝S?B'EC'A＝S△AB'E，∴∠B′AC′+∠AB′E＝180°，∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，∴∠BAC＝∠AB′E，∵將AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α至AB′，將AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)β至AC′，∴AB＝AB'，AC＝AC'＝B'E，在△BAC和△AB′E中，，∴△BAC≌△AB′E（SAS），∴BC＝AE，S△ABC＝S△AB'E，∴S△ABC＝S△B'C'A，故①正確；∵AE＝2AD，∴BC＝2AD，故②正確；∵AB＝AC，∴AB'＝AC'＝AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∠ABB'＝∠AB'B，∠ACC'＝∠AC'C，∠AB'C'＝∠AC'B'，∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，∴α+β＝180°，∠B'C'A+∠ABC＝90°，∴∠ABB'+∠AC'C＝90°，∴∠B′BC+∠CC′B′＝180°；故③正確；∵BC＝6，∴AD＝3，∵AB'＝AC'＝AB＝AC＝4，∴平行四邊形AC'EB'是菱形，∴B'C'⊥AE，B'D＝C'D，∴B'D＝＝＝，∴B'C'＝2，故④錯誤，故答案為：①②③．2．（2023?蘭州）綜合與實踐：問題探究：（1）如圖1是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9“平分一個已知角，”即：作一個已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在OA和OB上分別取點C和D，使得OC＝OD，連接CD，以CD為邊作等邊三角形CDE，則OE就是∠AOB的平分線．請寫出OE平分∠AOB的依據(jù)：SSS；類比遷移：（2）小明根據(jù)以上信息研究發(fā)現(xiàn)：△CDE不一定必須是等邊三角形，只需CE＝DE即可，他查閱資料；我國古代已經(jīng)用角尺平分任意角，做法如下：如圖3，在∠AOB的邊OA，OB上分別取OM＝ON，移動角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點M，N重合，則過角尺頂點C的射線OC是∠AOB的平分線，請說明此做法的理由；拓展實踐：（3）小明將研究應(yīng)用于實踐．如圖4，校園的兩條小路AB和AC，匯聚形成了一個岔路口A，現(xiàn)在學(xué)校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等，試問路燈應(yīng)該安裝在哪個位置？請用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在對應(yīng)的示意圖5中作出路燈E的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得CE＝DE，再證△OCE≌△ODE（SSS），得∠COE＝∠DOE，即可得出結(jié)論；（2）證△OCM≌△OCN（SSS），得∠AOC＝∠BOC，即可得出結(jié)論；（3）先作∠BAC的平分線AK，再在AK上截取AE＝AD即可．【解答】解：（1）∵△CDE是等邊三角形，∴CE＝DE，又∵OC＝OD，OE＝OE，∴△OCE≌△ODE（SSS），∴∠COE＝∠DOE，∴OE是∠AOB的平分線，故答案為：SSS；（2）∵OM＝ON，CM＝CN，OC＝OC，∴△OCM≌△OCN（SSS），∴∠AOC＝∠BOC，∴射線OC是∠AOB的平分線；（3）如圖，點E即為所求的點．3．（2023?揚州）【問題情境】在綜合實踐活動課上，李老師讓同桌兩位同學(xué)用相同的兩塊含30°的三角板開展數(shù)學(xué)探究活動，兩塊三角板分別記作△ADB和△A′D′C，∠ADB＝∠A′D′C＝90°，∠B＝∠C＝30°，設(shè)AB＝2．【操作探究】如圖1，先將△ADB和△A′D′C的邊AD、A′D′重合，再將△A′D′C繞著點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤360°），旋轉(zhuǎn)過程中△ADB保持不動，連接BC．（1）當α＝60°時，BC＝；當BC＝2時，α＝°；（2）當α＝90°時，畫出圖形，并求兩塊三角板重疊部分圖形的面積；（3）如圖2，取BC的中點F，將△A′D′C′繞著點A旋轉(zhuǎn)一周，點F的運動路徑長為．【分析】（1）當α＝60°時，A，D'，B共線，A，D，C共線，可得△ABC是等邊三角形，故BC＝AB＝2；當BC＝2時，過A作AH⊥BC于H，分兩種情況畫出圖形，可得答案；（2）畫出圖形，可得S△ADQ＝×1×＝，S△APD＝×1×1＝，故S△APQ＝﹣，同理S△AD'R＝﹣，從而兩塊三角板重疊部分圖形的面積為1﹣；（3）連接AF，由AB＝AC，F(xiàn)為BC中點，知∠AFB＝90°，故F的運動軌跡是以AB為直徑的圓，用圓周長公式可得答案．【解答】解：（1）如圖：∵∠ADB＝∠A′D′C＝90°，∠ABD＝∠A'CD'＝30°，∴∠BAD＝∠D'AC＝60°，∴當α＝60°時，A，D'，B共線，A，D，C共線，∵AB＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴BC＝AB＝2；當BC＝2時，過A作AH⊥BC于H，如圖：∵AB＝AC，∴BH＝CH＝BC＝，∴sin∠BAH＝＝，∴∠BAH＝45°，∴∠BAC＝2∠BAH＝90°，∴α＝120°﹣90°＝30°；如圖：同理可得∠BAC＝90°，∴α＝60°+90°+60°＝210°，∴當BC＝2時，α＝30°或210°；故答案為：2，30或210；（2）如圖：∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，AB＝2，∴AD＝1，∵α＝90°，∴∠BAC＝60°+60°﹣90°＝30°，∴∠QAD＝∠BAD﹣∠BAC＝30°，∴DQ＝＝，∴S△ADQ＝×1×＝，∵∠D'＝∠D'AD＝∠D＝90°，AD＝AD'，∴四邊形ADPD'是正方形，∴DP＝AD＝1，∴S△APD＝×1×1＝，∴S△APQ＝﹣，同理S△AD'R＝﹣，∴兩塊三角板重疊部分圖形的面積為1﹣；（3）連接AF，如圖：∵AB＝AC，F(xiàn)為BC中點，∴∠AFB＝90°，∴F的運動軌跡是以AB為直徑的圓，∴點F的運動路徑長為2π×＝2π．故答案為：2π．重難通關(guān)練（建議用時：40分鐘）1．下列每組數(shù)分別表示3根小木棒的長度（單位：cm），其中能搭成一個三角形的是（）A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”進行分析判斷．【解答】解：A、5+7＝12，不能構(gòu)成三角形，故此選項不合題意；B、7+7＜15，不能構(gòu)成三角形，故此選項不合題意；C、6+9＜16，不能構(gòu)成三角形，故此選項不合題意；D、8+6＞12，能構(gòu)成三角形，故此選項符合題意．故選：D．2．如圖，工人師傅設(shè)計了一種測零件內(nèi)