2024秋高中數(shù)學(xué)第一講不等式和絕對(duì)值不等式1.1.1不等式的基本性質(zhì)課堂演練含解析新人教A版選修4-5

PAGE1-第一講不等式和肯定值不等式1.1不等式1.1.1不等式的基本性質(zhì)A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．已知m，n∈R，則eq\f(1,m)>eq\f(1,n)成立的一個(gè)充要條件是()A．m>0>n B．n>m>0C．m<n<0 D．mn(m－n)<0解析：eq\f(1,m)>eq\f(1,n)?eq\f(1,m)－eq\f(1,n)>0?eq\f(n－m,mn)>0?mn(n－m)>0?mn(m－n)<0.答案：D2．已知a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且c>d，則“a>b”是“a－c>b－d”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－c>b－d，,c>d))?a>b；而當(dāng)a＝c＝2，b＝d＝1時(shí)，滿意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>b，,c>d，))但a－c>b－d不成立，所以“a>b”是“a－c>b－d”的必要不充分條件．答案：B3．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿意c<b<a且ac<0，那么下列選項(xiàng)中肯定成立的是()A．a(chǎn)b>ac B．c(b－a)<0C．a(chǎn)b2>cb2 D．a(chǎn)(a－c)<0解析：由題意，知a>0，c<0，b的符號(hào)不確定．不等式兩端同乘以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變更．答案：A4．設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，則“a<b”是“a－eq\f(1,a)<b－eq\f(1,b)”成立的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件解析：若a<b且a>0，b>0，則eq\f(1,a)>eq\f(1,b)?－eq\f(1,a)<－eq\f(1,b)，所以a－eq\f(1,a)<b－eq\f(1,b).若a－eq\f(1,a)<b－eq\f(1,b)，且a>0，b>0?a2b－b<ab2－a?a2b－ab2－b＋a<0，ab(a－b)＋(a－b)<0?(a－b)(ab＋1)<0?a－b<0?a<b.答案：C5．已知x，y∈R，且x＞y＞0，則()A.eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＞0 B．sinx－siny＞0C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(y)＜0 D．lnx＋lny＞0解析：函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，所以當(dāng)x＞y＞0時(shí)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(y)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(y)＜0，故C正確；函數(shù)y＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，所以由x＞y＞0?eq\f(1,x)＜eq\f(1,y)?eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＜0，故A錯(cuò)誤；函數(shù)y＝sinx在(0，＋∞)上不單調(diào)，當(dāng)x＞y＞0時(shí)，不能比較sinx與siny的大小，故B錯(cuò)誤；x＞y＞0xy＞1ln(xy)＞0lnx＋lny＞0，故D錯(cuò)誤．答案：C二、填空題6．已知0＜a＜1，則a，eq\f(1,a)，a2的大小關(guān)系是________．解析：因?yàn)閍－eq\f(1,a)＝eq\f(（a＋1）（a－1）,a)＜0，所以a＜eq\f(1,a).又因?yàn)閍－a2＝a(1－a)＞0，所以a＞a2，所以a2＜a＜eq\f(1,a).答案：a2＜a＜eq\f(1,a)7．若1＜a＜3，－4＜b＜2，那么a－|b|的取值范圍是______．解析：因?yàn)椋?＜b＜2，所以0≤|b|＜4，所以－4＜－|b|≤0.又1＜a＜3，所以－3＜a－|b|＜3.答案：(－3，3)8．設(shè)a＞0，b＞0，則eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)與a＋b的大小關(guān)系是________．解析：eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)－(a＋b)＝eq\f(（a＋b）（a2－ab＋b2）,ab)－(a＋b)＝eq\f(（a＋b）（a－b）2,ab).因?yàn)閍＞0，b＞0，所以a＋b＞0，ab＞0，(a－b)2≥0.所以eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)≥a＋b.答案：eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)≥a＋b三、解答題9．已知1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，求3a－2b的取值范圍．解：設(shè)3a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)，則3a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b.從而eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝－2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝\f(5,2).))所以3a－2b＝eq\f(1,2)(a＋b)＋eq\f(5,2)(a－b)．因?yàn)?≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，所以eq\f(1,2)≤eq\f(1,2)(a＋b)≤eq\f(5,2)，－eq\f(5,2)≤eq\f(5,2)(a－b)≤eq\f(15,2)，所以－2≤3a－2b≤10.10．已知a＞b＞0，比較eq\f(a,b)與eq\f(a＋1,b＋1)的大?。猓篹q\f(a,b)－eq\f(a＋1,b＋1)＝eq\f(a（b＋1）－b（a＋1）,b（b＋1）)＝eq\f(a－b,b（b＋1）).因?yàn)閍＞b＞0，所以a－b＞0，b(b＋1)＞0.所以eq\f(a－b,b（b＋1）)＞0.所以eq\f(a,b)＞eq\f(a＋1,b＋1).B級(jí)實(shí)力提升1．(2024·全國卷Ⅰ)若a＞b＞1，0＜c＜1，則()A．a(chǎn)c＜bc B．a(chǎn)bc＜bacC．a(chǎn)logbc＜blogac D．logac＜logbc解析：法一由0＜c＜1知y＝xc在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，故由a＞b＞1知ac＞bc，A錯(cuò)；因?yàn)?＜c＜1，所以－1＜－c＜0，所以y＝xc－1在x∈(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以bc－1＞ac－1，又ab＞0，所以ab·bc－1＞ab·ac－1，即abc＞bac，B錯(cuò)；易知y＝logcx是減函數(shù)，所以0＞logcb＞logca，所以logbc＜logac，D錯(cuò)；由logbc＜logac＜0，得－logbc＞－logac＞0，又a＞b＞1＞0，所以－alogbc＞－blogac＞0，所以alogbc＜blogac，故C正確．法二依題意，不妨取a＝10，b＝2，c＝eq\f(1,2).易驗(yàn)證A、B、D均是錯(cuò)誤的，只有C正確．答案：C2．若a，b∈R，且a＞b，下列不等式：①eq\f(b,a)＞eq\f(b－1,a－1)；②(a＋b)2＞(b＋1)2；③(a－1)2＞(b－1)2.其中不成立的是________．解析：①eq\f(b,a)－eq\f(b－1,a－1)＝eq\f(ab－b－ab＋a,a（a－1）)＝eq\f(a－b,a（a－1）).因?yàn)閍－b＞0，a(a－1)的符號(hào)不確定，①不成立；②取a＝2，b＝－2，則(a＋b)2＝0，(b＋1)2＝1，②不成立；③取a＝2，b＝－2，則(a－1)2＝1，(b－1)2＝9，③不成立．答案：①②③3．已知eq\f(c,a)＞