2024秋高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.4生活中的優(yōu)化問題舉例課時作業(yè)含解析新人教A版選修2-2

PAGE1-第一章1.4請同學(xué)們仔細(xì)完成練案[9]A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．(2024·杭州高二檢測)煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對原油進(jìn)行冷卻和加熱，假如第x小時時，原油溫度(單位：℃)為f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油溫度的瞬時改變率的最小值是(C)A．8 B．eq\f(20,3)C．－1 D．－8[解析]瞬時改變率即為f′(x)＝x2－2x，為二次函數(shù)，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，故x＝1時，f′(x)min＝－1.2．(2024·西安高二檢測)要做一個圓錐形的漏斗，其母線長20cm，要使其體積最大，則高為(A．eq\f(\r(3),3)cm B．eq\f(10\r(3),3)cmC．eq\f(16\r(3),3)cm D．eq\f(20\r(3),3)cm[解析]設(shè)圓錐的高為xcm，則底面半徑為eq\r(202－x2)(cm)，其體積為V＝eq\f(1,3)πx(202－x2)(0<x<20)，V′＝eq\f(1,3)π·(400－3x2)，令V′＝0，解得x1＝eq\f(20\r(3),3)，x2＝－eq\f(20\r(3),3)(舍去)．當(dāng)0<x<eq\f(20\r(3),3)時，V′>0，當(dāng)eq\f(20\r(3),3)<x<20時，V′<0，∴當(dāng)x＝eq\f(20\r(3),3)時，V取最大值．3．欲制作一個容積為的圓柱形蓄水罐(無蓋)，為能使所用的材料最省，它的底面半徑應(yīng)為(C)A．eq\f(V,π) B．eq\r(\f(V,π))C．eq\r(3,\f(V,π)) D．eq\r(4,\f(V,π))[解析]設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，表面積為y，則由題意有πr2h＝V，所以h＝eq\f(V,πr2).則水罐的表面積y＝πr2＋2πrh＝πr2＋2πreq\f(V,πr2)＝πr2＋eq\f(2V,r)(r＞0)．令y′＝2πr－eq\f(2V,r2)＝eq\f(2πr3－V,r2)＝0，得r＝eq\r(3,\f(V,π)).檢驗得，當(dāng)r＝eq\r(3,\f(V,π))時表面積取得最小值，即所用的材料最省．4．某公司的盈利y(元)和時間x(天)的函數(shù)關(guān)系是y＝f(x)，且f′(100)＝－1，這個數(shù)據(jù)說明在100天時(C)A．公司已經(jīng)虧損 B．公司的盈利在增加C．公司盈利在漸漸削減 D．公司有時盈利有時虧損[解析]因為f′(100)＝－1，所以函數(shù)圖象在這一點處的切線的斜率為負(fù)值，說明公司的盈利在漸漸削減．5．內(nèi)接于半徑為R的球且體積最大的圓錐的高為(C)A．R B．2RC．eq\f(4,3)R D．eq\f(3,4)R[解析]設(shè)圓錐的高為h，底面半徑為r，則R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h(huán)2，∴V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(π,3)h(2Rh－h(huán)2)＝eq\f(2,3)πRh2－eq\f(π,3)h3，V′＝eq\f(4,3)πRh－πh2.令V′＝0，得h＝eq\f(4,3)R.當(dāng)0<h<eq\f(4R,3)時，V′>0；當(dāng)eq\f(4R,3)<h<2R時，V′<0.因此當(dāng)h＝eq\f(4,3)R時，圓錐體積最大．故應(yīng)選C．6．用邊長為48cm的正方形鐵皮做一個無蓋的鐵盒時，在鐵皮的四角各截去一個面積相等的小正方形，然后把四邊形折起，就能焊成鐵盒．所做的鐵盒容積最大時，在四角截去的正方形的邊長為(A．6cm B．C．10cm [解析]設(shè)四角截去的小正方形邊長為xcm，則V＝(48－2x)2x＝4x3－4×48x2＋482x(0<x<24)，V′＝12x2－8×48x＋482＝12(x2－8×4x＋48×4)＝12(x－24)·(x－8)．當(dāng)0<x<8時，V′>0；當(dāng)8<x<24時，V′<0，∴V在x＝8處取最大值，故選B．二、填空題7．如圖，已知用某種材料制成的圓柱形飲料瓶的容積為250mL，則它的底面半徑r等于__5π－eq\f(1,3)__cm時，可使所用的材料最?。?用含有π的式子表示)[解析]設(shè)圓柱的表面積為S，容積為V，則S＝2πrh＋2πr2，而V＝250＝πr2h，得h＝eq\f(250,πr2)，則S＝2πr·eq\f(250,πr2)＋2πr2＝eq\f(500,r)＋2πr2，S′＝－eq\f(500,r2)＋4πr，令S′＝0，得r＝5π－eq\f(1,3).令S′>0，得r>5π－eq\f(1,3)；令S′<0，得0<r<5π－eq\f(1,3)，所以當(dāng)r＝5π－eq\f(1,3)時，S取得最小值，即此時所用的材料最?。?．等腰梯形ABCD中，上底CD＝40，腰AD＝40，則AB＝__80__時，等腰梯形面積最大．[解析]如圖，設(shè)∠A＝θ，則h＝AD·sinθ，AB＝40＋2ADcosθ，故S＝eq\f(1,2)AD·sinθ(40＋40＋2ADcosθ)＝20(80＋80cosθ)sinθ＝1600(1＋cosθ)sinθ.S′＝1600[cosθ(1＋cosθ)－sinθsinθ]，令S′＝0，得cosθ＝－1，cosθ＝eq\f(1,2).因為0<θ<eq\f(π,2)，所以cosθ>0，所以cosθ＝eq\f(1,2)，即θ＝eq\f(π,3)時，等腰梯形的面積最大，此時AB＝40＋2×40×eq\f(1,2)＝80.三、解答題9．某商品每件成本9元，售價30元，每星期賣出432件，假如降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低值x(單位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品單價降低2元時，一星期多賣出24件．(1)將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)；(2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？[解析](1)若商品降價x元，則多賣的商品數(shù)為kx2件，由題意知24＝k·22，得k＝6.若記商品在一個星期的獲利為f(x)，則依題意有f(x)＝(30－x－9)·(432＋6x2)＝(21－x)(432＋6x2)，∴f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,30]．(2)依據(jù)(1)有f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12).當(dāng)x改變時，f′(x)，f(x)的改變狀況如下表：x(0,2)2(2,12)12(12,30)f′(x)－0＋0－f(x)↘微小值↗極大值↘故x＝12時，f(x)取得極大值，∵f(0)＝9072，f(12)＝11664，∴定價為30－12＝18(元)能使一星期的商品銷售利潤最大．10．統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/小時)的函數(shù)解析式可以表示為y＝eq\f(1,128000)x3－eq\f(3,80)x＋8(0<x≤120)．已知甲、乙兩地相距100千米．(1)當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？(2)當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？[解析](1)當(dāng)x＝40時，汽車從甲地到乙地行駛了eq\f(100,40)＝2.5(小時)，耗油eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,128000)×403－\f(3,80)×40＋8))×2.5＝17.5(升)．答：當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升．(2)當(dāng)速度為x千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了eq\f(100,x)小時，設(shè)耗油量為f(x)升．依題意得f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,128000)x3－\f(3,80)x＋8))·eq\f(100,x)＝eq\f(1,1280)x2＋eq\f(800,x)－eq\f(15,4)(0<x≤120)，f′(x)＝eq\f(x,640)－eq\f(800,x2)＝eq\f(x3－803,640x2)(0<x≤120)．令f′(x)＝0，得x＝80.當(dāng)x∈(0,80)時，f′(x)<0，f(x)是減函數(shù)；當(dāng)x∈(80,120]時，f′(x)>0，f(x)是增函數(shù)．∴當(dāng)x＝80時，f(x)取到微小值f(80)＝11.25(升)．因為f(x)在(0,120]上只有一個微小值，所以它是最小值．答：當(dāng)汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升．B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．(多選題)用邊長為6分米的正方形鐵皮做一個無蓋的水箱，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°，再焊接而成(如圖所示)．設(shè)水箱底面邊長為x分米，則(AC)A．水箱容積最大為16立方分米B．水箱容積最大為x立方分米C．當(dāng)x在(0,3)時，水箱容積V(x)隨x增大而增大D．當(dāng)x在(0,3)時，水箱容積V(x)隨x增大而減小[解析]設(shè)箱底邊長為x，則箱高h(yuǎn)＝eq\f(6－x,2)，則V＝eq\f(1,2)(6x2－x3)(0<x<6)，V′＝6x－eq\f(3,2)x2＝0，解得x＝0(舍)，x＝4，∴x∈(0,4)時，V(x)單調(diào)遞增，x∈(4,6)時，V(x)單調(diào)遞減，∴當(dāng)x＝4時，容積最大為16立方分米，故選AC．2．(多選題)某蓮藕種植塘每年的固定成本是1萬元，每年最大規(guī)模的種植量是8萬斤，每種植一斤藕，成本增加0.5元．假如銷售額函數(shù)是f(x)＝－eq\f(1,8)x3＋eq\f(9,16)ax2＋eq\f(1,2)x(x是蓮藕種植量，單位：萬斤；銷售額的單位：萬元，a是常數(shù))，若種植2萬斤，利潤是2.5萬元，下列說法正確的是(BC)A．要使利潤最大，每年需種植蓮藕8萬斤B．要使利潤最大，每年需種植蓮藕6萬斤C．利潤最大為eq\f(25,2)萬元D．a(chǎn)＝3[解析]設(shè)銷售的利潤為g(x)(單位：萬元)，由題意，得g(x)＝－eq\f(1,8)x3＋eq\f(9,16)ax2＋eq\f(1,2)x－1－eq\f(1,2)x，x∈(0,8],即g(x)＝－eq\f(1,8)x3＋eq\f(9,16)ax2－1，當(dāng)x＝2時，g(2)＝－1＋eq\f(9,4)a－1＝eq\f(5,2)，解得a＝2.故g(x)＝－eq\f(1,8)x3＋eq\f(9,8)x2－1，g′(x)＝－eq\f(3,8)x2＋eq\f(9,4)x＝－eq\f(3,8)x(x－6)，當(dāng)x∈(0,6)時，g′(x)>0，當(dāng)x∈(6,8)時，g′(x)<0，所以函數(shù)g(x)在(0,6)上單調(diào)遞增，在(6,8)上單調(diào)遞減，所以x＝6時，利潤最大為eq\f(25,2)萬元，故選BC．二、填空題3．(2024·沈陽高二檢測)某銀行打算設(shè)一種新的定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)料，存款額與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k(k>0)，貸款的利率為4.8%，假設(shè)銀行汲取的存款能全部放貸出去．若存款利率為x(x∈(0,4.8%))，則使銀行獲得最大收益的存款利率為__0.032__.[解析]用y表示銀行的收益，由題可知存款額是kx2，銀行應(yīng)付的利息為kx3，銀行應(yīng)獲得的貸款利息為0.048kx2.∴y＝0.048kx2－kx3，x∈(0,0.048)y′＝0.096kx－3kx2＝3kx(0.032－x)令y′＝0，解x＝0.032或x＝0(舍)當(dāng)0<x<0.032，∴y′>0，當(dāng)0.032<x<0.048，y′<0，∴當(dāng)x＝0.032時，y取極大值，也是最大值．4．用總長為6m的鋼條制作一個長方體容器的框架，假如所制作容器的底面的相鄰兩邊長之比為34，那么容器容積最大時，高為__0.5m__，最大容積為__eq\f(6,49)__[解析]設(shè)容器底面相鄰兩邊長分別為3xm、4xm，則高為eq\f(6－12x－16x,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－7x))(m)，容積V＝3x·4x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－7x))＝18x2－84x3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(3,14)))，V′＝36x－252x2，由V′＝0得x＝eq\f(1,7)或x＝0(舍去)．x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,7)))時，V′>0，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)，\f(3,14)))時，V′<0，所以在x＝eq\f(1,7)處，V有最大值，此時高為0.5m．最大容積為eq\f(6,49).三、解答題5．(2024·浙江卷，22)已知函數(shù)f(x)＝eq\r(x)－lnx.(1)若f(x)在x＝x1，x2(x1≠x2)處導(dǎo)數(shù)相等，證明：f(x1)＋f(x2)>8－8ln2；(2)若a≤3－4ln2，證明：對于隨意k>0，直線y＝kx＋a與曲線y＝f(x)有唯一公共點．[解析](1)證明：函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))－eq\f(1,x).由f′(x1)＝f′(x2)得eq\f(1,2\r(x1))－eq\f(1,x1)＝eq\f(1,2\r(x2))－eq\f(1,x2).因為x1≠x2，所以eq\f(1,\r(x1))＋eq\f(1,\r(x2))＝eq\f(1,2).由基本不等式得eq\f(1,2)eq\r(x1x2)＝eq\r(x1)＋eq\r(x2)≥2eq\r(4,x1x2).因為x1≠x2，所以x1x2>256.由題意得f(x1)＋f(x2)＝eq\r(x1)－lnx1＋eq\r(x2)－lnx2＝eq\f(1,2)eq\r(x1x2)－ln(x1x2)．設(shè)g(x)＝eq\f(1,2)eq\r(x)－lnx，則g′(x)＝eq\f(1,4x)(eq\r(x)－4)，x(0,16)16(16，＋∞)g′(x)－0＋g(x)↘2－4ln2↗所以g(x)在[256，＋∞)上單調(diào)遞增，故g(x1x2)>g(256)＝8－8ln2，即f(x1)＋f(x2)>8－8ln2.(2)證明：令m＝e－(|a|＋k)，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a|＋1,k)))2＋1，則f(m)－km－a>|a|＋k－k－a≥0，f(n)－kn－a<neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(n))－\f(a,n)－k))≤neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a|＋1,\r(n))－k))<0，所以，存在x0∈(m，n)使f(x0)＝kx0＋a，所以，對于隨意的a∈R及k∈(0，＋∞)，直線y＝kx＋a與曲線y＝f(x)有公共點．由f(x)＝kx＋a得k＝eq\f(\r(x)－lnx－a,x).設(shè)h(x)＝eq\f(\r(x)－lnx－a,x)，則h′(x)＝eq\f(lnx－\f(\r(x),2)－1＋a,x2)＝eq\f(－gx－1＋a,x2)，其中g(shù)(x)＝eq\f(\r(x),2)－lnx.由(1)可知g(x)≥g(16)，又a≤3－4ln2，故－g(x)－1＋a≤－g(16)－1＋a＝－3＋4ln2＋a≤0，所以h′(x)≤0，即函數(shù)h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，因此方程f(x)－kx－a＝0有唯一一個實根．綜上，當(dāng)a≤3－4ln2時，對于隨意k>0，直線y＝kx＋a與曲線y＝f(x)有唯一公共點．6．如圖，有一正三角形鐵皮余料，欲利用余料剪裁出一個矩形(矩形的一個邊在三角形的邊上)，并以該矩形制作一鐵皮圓柱的側(cè)面．問：如何剪裁，才能使得鐵皮圓柱的體積最大？[解析]設(shè)正三角形長為l，如圖，設(shè)EF＝x，則BF＝eq\f(x,\r(3))，GF＝l－eq\f(2x,\r(3))若以EF為底，GF為高，則圓柱底面半徑r1＝eq\f(x,2π)V1＝πreq\o\al(2,1)h1＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2π)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(l－\f(2x,\r(3))))＝eq\f(1,4π)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2x3,\r(3))＋kx2))，0＜x＜