2024-2025學(xué)年上海七寶中學(xué)高二上學(xué)期數(shù)學(xué)月考試卷（2024.12）（含答案）

七寶中學(xué)2024學(xué)年第一學(xué)期高二年級數(shù)學(xué)月考2024.12一、填空題（本大題共12題，滿分54分）1.斜線與平面所成角的范圍為.2.設(shè)是兩個(gè)不同的平面，是直線且，則“”是“”的____條件.（填“充分不必要”?“必要不充分”?“充要”?“不充分不必要”）

3.已知正方體，則異面直線與所成角的余弦值為．4.如圖，在正三棱柱中，．若二面角的

大小為，則側(cè)棱長為．5.給出下列命題：①平行六面體是斜四棱柱；②有兩個(gè)相鄰側(cè)面為矩形的棱柱是直棱柱；③各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體；④有兩個(gè)面相互平行，其余各面都是平行四邊形，這些面圍成的幾何體叫做棱柱.其中正確的是個(gè)數(shù)是.6.如圖，一個(gè)直三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱.若

側(cè)面水平放置時(shí)，液面恰好過的四等分

點(diǎn)處，，當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，液面高為.7.空間四邊形中，，且異面直線與所成的角為，、分別

為和的中點(diǎn)，則異面直線和所成角的大小是________．8.對下列命題：①三條兩兩相交的直線確定一個(gè)平面；②已知直線、和平面，若、

與所成的角相等，則；③若兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另

一個(gè)平面；④三個(gè)兩兩垂直的平面的相應(yīng)交線也兩兩垂直，其中真命題的序號是.（填

上所有真命題序號）9.在正方體中，點(diǎn)是平面內(nèi)一動點(diǎn)，滿足，設(shè)直

線與平面所成角的最大值為________.10.如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)，分別

是棱，的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)，若平面，則線段長度的取值范圍是．11.如圖，四面體的頂點(diǎn)在平面上，側(cè)棱平面，

且兩兩垂直且長度均為，是中點(diǎn)，是線段上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作平面的垂線交平面于點(diǎn)，則的取值范圍為．12.如圖，矩形中，，，分別為邊上的定點(diǎn)，且，分別將沿著向矩形所在平面的同一側(cè)翻折至與處，且滿足，分別將銳二面角與銳二面角記為與，則的最小值為.二、選擇題(本大題共有題，滿分18分)13.是兩條不同直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則14.已知一個(gè)直三棱柱的高為，如圖，其底面水平放置的直觀圖（斜二測畫法）為，其中，則此三棱柱的表面積為（）A． B． C． D．15.已知平面，直線,點(diǎn)，平面之間的距離為，則在內(nèi)到點(diǎn)的

距離為且到直線的距離為的點(diǎn)的軌跡是 （）A．圓 B．兩個(gè)點(diǎn) C．四個(gè)點(diǎn) D．兩條直線16.在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中

，對于下列兩個(gè)命題：①當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得；

②當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得⊥平面，以下判斷正確的是（）A．①為真命題，②為真命題； B．①為真命題，②為假命題；C．①為假命題，②為真命題； D．①為假命題，②為假命題；三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）17.（本題滿分14分，第一小題滿分6分，第二小題滿分8分）如圖，在四面體中，、分別是、的中點(diǎn)，、分別在、上，

且．（1）求證：、、、四點(diǎn)共面；（2）設(shè)與交于點(diǎn)，求證：、、三點(diǎn)共線．18.（本題滿分14分，第一小題滿分6分，第二小題滿分8分）如圖，矩形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？說明理由．19.（本題滿分14分，第一小題滿分6分，第二小題滿分8分）如圖，在正三棱柱中，，分別為，的中點(diǎn)，，高為，（1）求異面直線和所成角的大小； （2）求與平面所成角的大小.20.（本題滿分18分，第一小題滿分4分，第二小題滿分6分,第三小題滿分8分）已知面積為的菱形如圖①所示，其中，是線段的中點(diǎn)．現(xiàn)將

沿折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置.(1)證明：；(2)若二面角的平面角大小為，求點(diǎn)到平面的距離；(3)若二面角的平面角，點(diǎn)在四面體的表面運(yùn)動，且始終保持，求點(diǎn)的軌跡長度的取值范圍

21.（本題滿分18分，第一小題滿分4分，第二小題滿分6分,第三小題滿分8分）在平面直角坐標(biāo)系中，分別為橢圓的上下頂點(diǎn)，若動直線過點(diǎn)

，且與橢圓相交于兩不同點(diǎn)(直線與軸不重合，且兩點(diǎn)在軸右

側(cè)，在的上方)，直線與相交于點(diǎn).⑴設(shè)的兩焦點(diǎn)為，求的值；⑵若，且，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

⑶是否存在這樣的點(diǎn)，使得點(diǎn)的縱坐標(biāo)恒為？若

存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，否則，說明理由.參考答案一、填空題1.；2.必要不充分；3.；4.；5.1；6.；7.或；8.③④；9.；10.；11.；12.；11.如圖，四面體的頂點(diǎn)在平面上，側(cè)棱平面，

且兩兩垂直且長度均為，是中點(diǎn)，是線段上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作平面的垂線交平面于點(diǎn)，則的取值范圍為．【答案】【解析】由平面，面，則面，面，所以，又且△BCD是以B為直角的等腰直角三角形，故，則△、△都為等腰直角三角形，將補(bǔ)全為正方體如下圖示，其中一個(gè)面在上且棱長為1，所以，在等邊△中E是CD中點(diǎn)，故，過M作面ACD垂線交面于N，且面，面，則，因?yàn)?，面，面，故，又，面，故面，面，所以，面面，面面，且，易知：過M作面ACD垂線在面內(nèi)，即面，而面，綜上，點(diǎn)必在對角線上，且與所成角為，，則，在中，令，由，故，.二、選擇題13.D；14.C；15.C；16.A三、解答題17.（1）證明略（2）證明略18.（1）證明略（2）存在，理由略（3）19.（1）（2）（3）20.已知面積為的菱形如圖①所示，其中，是線段的中點(diǎn)．現(xiàn)將沿折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置.(1)證明：；(2)若二面角的平面角大小為，求點(diǎn)到平面的距離；(3)若二面角的平面角，點(diǎn)在四面體的表面運(yùn)動，且始終保持，求點(diǎn)的軌跡長度的取值范圍.【答案】（1）證明略（2）（3）【解析】（1）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)、,由四邊形為菱形可知，，，,平面，（2）因?yàn)榱庑蔚拿娣e為，得，，，又因?yàn)槎娼堑钠矫娼菫?，且大小為，所以，故點(diǎn)到平面的距離為，（3）取邊上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，取的中點(diǎn)為，連接，，，同理，∵，平面，所以平面，故點(diǎn)的軌跡長度即為的周長.由于，，，且二面角的大小平面角，∵，∴，，則，，所以點(diǎn)的軌跡長度的取值范圍為.21.在平面直角坐標(biāo)系中，分別為橢圓的上下頂點(diǎn)，若動直線過點(diǎn)

，且與橢圓相交于兩不同點(diǎn)(直線與軸不重合，且兩點(diǎn)在軸右

側(cè)，在的上方)，直線與相交于點(diǎn).⑴設(shè)的兩焦點(diǎn)為，求的值；⑵若，且，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

⑶是否存在這樣的點(diǎn)，使得點(diǎn)的縱坐標(biāo)恒為？若

存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，否則，說明理由.【答案】（1）（2）（3