《反例在數(shù)學(xué)探析中的作用探究》4200字（論文）

反例在數(shù)學(xué)分析中的作用研究摘要：在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)過程中，反例經(jīng)常用來理解或證明數(shù)學(xué)分析中的一些概念和性質(zhì)，加深對于概念的理解和鞏固，更好的掌握定理、公式和法則。在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)過程中，反例經(jīng)常被用在證明中。反例能夠起到培養(yǎng)邏輯思維能力，能起到重要的作用。在本文中對于這個問題，針對數(shù)學(xué)分析中眾多的反例問題進(jìn)行了總結(jié)研究，總共分為函數(shù)的極限、函數(shù)的連續(xù)性、一元函數(shù)、多元函數(shù)以及數(shù)學(xué)分析中一些定理中的反例問題等。關(guān)鍵詞：反例、極限、連續(xù)函數(shù)、Stolz公式目錄TOC\o"1-3"\h\u3340引言： 125671.關(guān)于函數(shù)極限的反例 2127691.1極限定義中反例的體現(xiàn) 2303051.2確定函數(shù)的有界性 2274951.2.1用反例證明數(shù)集存在惟一的上（下）確界。 283701.2.2用反證法求函數(shù)的最大最小值 2286491.3用反證法證明極限是否存在 3287821.4用反例求函數(shù)與數(shù)列的極限關(guān)系 3128231.5用反例來確定數(shù)列的上下極限 4149442.函數(shù)連續(xù)性的反例 5135442.1用反例證明映射的惟一性 5229412.2用反例證明映射的類型 58362.3連續(xù)函數(shù)中的反例問題 52312.4用反例證明函數(shù)的單調(diào)性 647083.關(guān)于一元函數(shù)微積分中的反例 741403.1反例在牛頓-Lebniz公式中的體現(xiàn) 7222833.2積分中值定理有關(guān)的反例 792583.3黎曼可積中存在的反例問題 8134504.反例在學(xué)習(xí)多元函數(shù)微積分的作用 938124.1累計(jì)極限和二重極限中存在的反例 9177544.2多元函數(shù)微分中的存在反例問題 11229394.3與曲線方向無關(guān)的第二類曲線積分 1175185.在掌握定理過程中反例問題 1267055.1Stolz公式 12118605.2比試判別法 14269515.3對照原則 14196596.反例在辨析重要結(jié)論的逆命題中的體現(xiàn) 1513785總結(jié) 153535參考文獻(xiàn) 16引言：在我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，遇到一個問題按照正常的邏輯順序去思考這個問題時，我們用逆向思維去思考這個問題時，便能豁然開朗，有意料之外的成功。用逆向的思維方式從問題的反面去思考和解決問題，能更好的思考和解決問題。反例的運(yùn)用除了在解決問題上有所體驗(yàn)體現(xiàn)，對于數(shù)學(xué)的歸納、發(fā)現(xiàn)以及推廣都存在著很大的作用和影響。在數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史中，反例也有著不可忽視的功能。反例在數(shù)學(xué)的發(fā)展以及數(shù)學(xué)證明中有著重要的地位，同樣的，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)知識的領(lǐng)會、以及數(shù)學(xué)課題的研究的過程中都離不開反例。在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)過程中，已知的條件的強(qiáng)弱，所使用范圍寬窄，都是需要反例來作對比，才能夠加深對其的理解。當(dāng)命題有所錯誤的時候，在證明是存在漏洞是，都需要用到反例取證實(shí)的。一個比較重要的反證手段就是舉反例，重要的反例總是能成為數(shù)學(xué)殿堂中的基石。1.關(guān)于函數(shù)極限的反例1.1極限定義中反例的體現(xiàn)假如有連續(xù)函數(shù)在點(diǎn)有極大值，則在該點(diǎn)中某個領(lǐng)域內(nèi)會滿足在該點(diǎn)的左側(cè)遞增右側(cè)遞減。而事實(shí)并非如此。如當(dāng)時，有，而在時，對于任意小的領(lǐng)域內(nèi)時而為正時而為負(fù)，所以有兩側(cè)任意領(lǐng)域內(nèi)是存在震蕩的。1.2確定函數(shù)的有界性函數(shù)有界性的定義：設(shè)在上有定義，若存在>0，對仍以，有則稱在上有界。1.2.1用反例證明數(shù)集存在惟一的上（下）確界。證明：若數(shù)集的上（下）確界存在，則他比惟一存在。證：用反證法，設(shè)和是的上確界，且，則，，這與為的上確界矛盾，故必有，所以數(shù)集的上確界是惟一的。1.2.2用反證法求函數(shù)的最大最小值設(shè)，求證，證：用反證法，設(shè)，.設(shè)，則，，從而，引出矛盾。設(shè)，則，從而，引出矛盾。設(shè)，則，，從而，引出矛盾。綜上所述可知，必有1.3用反證法證明極限是否存在證明：證明不存在證：若，因，知,從而，。但，取極限得,矛盾。 1.4用反例求函數(shù)與數(shù)列的極限關(guān)系子列與數(shù)列之間存在的極限關(guān)系（當(dāng)時）子列有（當(dāng)時），如下是數(shù)列與函數(shù)存在的極限關(guān)系：：當(dāng)，有（當(dāng)時）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的領(lǐng)域（點(diǎn)可能例外）內(nèi)有定義，試證：如果對于任意的點(diǎn)列，這里,，都有，那么。證：若當(dāng)時的極限不趨近于,即，，，雖然，但如此，若令，則，，；令，，，；令如此無限進(jìn)行下去，可得一點(diǎn)列，但與已知條件矛盾。1.5用反例來確定數(shù)列的上下極限證明：證：先證設(shè)，則依上極限定義，，數(shù)列中至多只有項(xiàng)大于，而有無窮項(xiàng)小于；即對，至多有項(xiàng)小于，而有無窮大于，所以依下極限定義，有即設(shè)，，用反證法，設(shè)，依下極限定義，，當(dāng)時，有，不妨設(shè)，則當(dāng)時，。又有，，依下極限定義，則則當(dāng)時，；則當(dāng)時，由此推出矛盾，故，即又令，則于是由于所以2.函數(shù)連續(xù)性的反例2.1用反例證明映射的惟一性設(shè)映射是可逆的，證明：其逆映射是惟一的。證用反證法，設(shè)，都是的逆映射，且，則使得，由于有，使得，又,使得，即有，推出矛盾，所以假設(shè)不成立，映射可逆，則其逆映射是惟一的。2.2用反例證明映射的類型設(shè)與是兩個任意映射，若，證明是單射，是滿射。證因?yàn)?元素，使，所以是滿射。用反例證明是單射，設(shè)有，使，則，又，故，推出矛盾，所以一定是單射。2.3連續(xù)函數(shù)中的反例問題函數(shù)連續(xù)性的證明，要證明一個函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，只要在區(qū)間任意確定一點(diǎn)，證明。證明：若函數(shù)在上每個函數(shù)值七號取得兩次，則函數(shù)在上不連續(xù)。證：用反例和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的戒指定義證明，設(shè)在上連續(xù)，則又惟一的，使，為簡單計(jì)算，設(shè)，則，有或者，?。愃瓶勺C），則是在上的最小值，由在必有最大值，以題設(shè)有，且，使。而在上連續(xù)，故在內(nèi)有最小值，使，則，依連續(xù)函數(shù)的介值定理，在，，內(nèi)至少個有一點(diǎn)存在，使，推出與題設(shè)相矛盾，故可確定，在上不是連續(xù)函數(shù)。2.4用反例證明函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)在上連續(xù)，且是一一對應(yīng)的，證明：當(dāng)時，嚴(yán)格單調(diào)增加。證：用反證法，設(shè)不嚴(yán)格單調(diào)增加，則，且，而，隱函數(shù)是一一對應(yīng)的，故必有。若，依閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理，，使得，這與函數(shù)是一一對應(yīng)的矛盾。若，同樣知，使得，這也與函數(shù)是一一對應(yīng)的矛盾。綜上所述之，此時嚴(yán)格單調(diào)增加。3.關(guān)于一元函數(shù)微積分中的反例3.1反例在牛頓-Lebniz公式中的體現(xiàn)定積分的計(jì)算問題可以用牛頓-Lebniz公式來解決，若在閉區(qū)間區(qū)間上函數(shù)除點(diǎn)之外，處處都存在，但并不滿足存在反例：當(dāng)時，并有但在閉區(qū)間上，是初等連續(xù)函數(shù)，并，從而存在，所以.3.2積分中值定理有關(guān)的反例如果在閉區(qū)間上連續(xù)，在閉區(qū)間上不變號且可積，則在開區(qū)間中存在點(diǎn)，使得如果它是閉區(qū)間內(nèi)的不連續(xù)可積函數(shù)，是否有類似的結(jié)論？設(shè)有反例函數(shù)在不連續(xù)，并且，若取，易得又有反例：函數(shù)在上不連續(xù)，在不存在得。例如函數(shù)在處不連續(xù)，且但不存在，使。3.3黎曼可積中存在的反例問題若假設(shè)是定義在閉區(qū)間上的一個函數(shù)，若存在某確定實(shí)數(shù)。對任何的正數(shù)，總存在某一個整數(shù)，使得對的任何分割，以及一個任意選擇的點(diǎn)集，只要，就有則函數(shù)在閉區(qū)間上都是可積或黎曼可積，成為在必區(qū)間上的定積分或黎曼積分，得存在反例來證明黎曼可積函數(shù)不一定具有原函數(shù)所以在閉區(qū)間上函數(shù)是可積的，在閉區(qū)間函數(shù)上不存在原函數(shù)。綜上所述得黎曼可積函數(shù)不一定具有原函數(shù)。若反過來，同樣用反例來證明有原函數(shù)的函數(shù)不一定黎曼可積因?yàn)樗跃C上所述函數(shù)的一個原函數(shù)是函數(shù)，但在閉區(qū)間上函數(shù)無界，在閉區(qū)間上函數(shù)也不可積。4.反例在學(xué)習(xí)多元函數(shù)微積分的作用4.1累計(jì)極限和二重極限中存在的反例設(shè)為二元函數(shù)，當(dāng)時，存在它的兩個相等的累次極限并沒有二重極限。，同理易得然而若令，當(dāng)時有則極限值隨著值變換而變換，所以不存在。例如因?yàn)槿⌒蛄腥⌒蛄兴圆淮嬖诙M(jìn)亦不存在，由于則根據(jù)極限定義對，當(dāng)就有則4.2多元函數(shù)微分中的存在反例問題該函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處有多個最大值，但沒有最小值。例：則..因在所有點(diǎn)都可以忽略不計(jì)，必須在偏導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)上得到一個極值有，又有；；（1）當(dāng)取得極大值。（2）當(dāng)綜上所述，，該函數(shù)在這些點(diǎn)上沒有極值4.3與曲線方向無關(guān)的第二類曲線積分例如：有取參數(shù)方程得：如果取逆時針方向，有從到，如果取順時針方向，有從到所以有綜上所述這個曲線積分與曲線方向是無關(guān)的。5.在掌握定理過程中反例問題5.1Stolz公式型Stolz公式如果是嚴(yán)格遞增的且，，則（是有限數(shù)，或）型Stolz公式若嚴(yán)格遞減且，，，則（是有限數(shù)，或）注意上面的可以是有限數(shù)，也可以是或，但是一般推不出，例如令這時雖然，但是，即。值得注意的是Stolz公式的逆命題是不成立的，用型Stolz公式為例，及時嚴(yán)格遞增且，，是無法推出來的，當(dāng)使用Stolz公式易知，若，則若反向推理是推不出的，例如：令，顯然但是。針對上例我們還可以得推不出是因?yàn)榈臉O限不存在，如果存在的話一定成立，所以加上單調(diào)的條件，則能確定是成立的，若因單調(diào)便能確保的極限是存在的，要么是有限數(shù)，要么是或，而這三種情況恰好在Stolz公式的使用范圍內(nèi)，這也是我們構(gòu)造的反例一定不能是單調(diào)數(shù)列的原因。5.2比試判別法設(shè)為正項(xiàng)級數(shù)，且，但不一定收斂，例如：上例對理解比式判別有重要作用，若為正項(xiàng)級數(shù)，且,及常數(shù),，不等式成立，所以級數(shù)是收斂的，因此的重要性和理解和兩者之間存在的區(qū)別有較大的幫助。5.3對照原則若有收斂，并且有，此時存在，則不一定是收斂的，若，是兩個正項(xiàng)級數(shù)，若，這時和一定是同斂態(tài)的，因此和不可同時為正項(xiàng)級數(shù)，令這時即使但是這是發(fā)散的，這說明比較法不能忘記對范圍是正項(xiàng)級數(shù)之間的比較。6.反例在辨析重要結(jié)論的逆命題中的體現(xiàn)6.1有界變差數(shù)列（c為常數(shù)）若有界變差數(shù)列，能夠證明有界變化列是收斂列，但不一定是變化列，例如：顯然，但是總結(jié)：在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)會適當(dāng)?shù)倪\(yùn)用反例，在學(xué)習(xí)的過程中也有利于提高學(xué)習(xí)的質(zhì)量，對定義、概念和性質(zhì)的了解更加深刻。在本文中簡答的概括了反例在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)過程中的作用，并且與數(shù)學(xué)分析中的典型問題結(jié)合。在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)過程中對于定義、概念以及性質(zhì)的理解不透徹時，或者在對于基本的概念以及定理的掌握不確定時，盲目的計(jì)算或者證明，容易產(chǎn)生事半功倍的效果，所以在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的過程中要更好的掌握最基本的概念和定理。而反例在這一過程中往往能起到較為重要的地位，反例在理解和掌握基本的概念和定理是不可缺少的一部分。本文的意義在于介紹和總結(jié)在數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)中的反例，在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)的過程能更好的運(yùn)用反例，能培養(yǎng)更好的邏輯思維能力，具有反例思想，能更好的學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)分析這門課程。參考文獻(xiàn)：[1]斐禮文·數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法（第2版）[M]·北京：高等教育出版社，2006[2]孫清華、孫昊·數(shù)學(xué)分析內(nèi)容、方法與技巧（上）[M]·武漢：華中科技大學(xué)出版社，2003[3]孫清華、孫昊·數(shù)學(xué)分析內(nèi)容、方法與技巧（下）[M]·武漢：華中科技大學(xué)出版社，2003[4]鄧東皋、尹小玲·數(shù)學(xué)分析簡明教程第二版上冊[M]·北京：高等教育出版社，2006[5]鄧東皋、尹小玲·數(shù)學(xué)分析簡明教程第二版下冊[M]·北京：高等教育出版社，2006[6]B.R.Gelbaum,J.M.H.Olmsted.CounterexamplesinAnalysis[M].Dover;DoverPublicati