2025年仁愛科普版高一數(shù)學(xué)上冊月考試卷

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年仁愛科普版高一數(shù)學(xué)上冊月考試卷487考試試卷考試范圍：全部知識點(diǎn)；考試時間：120分鐘學(xué)校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四總分得分評卷人得分一、選擇題(共5題，共10分)1、下列各式中值等于的是（）A.B.C.D.2、已知是兩個單位向量，且=0．若點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，且∠AOC=30°，則A．B．CD．3、【題文】如圖所示，是全集，是的子集；則陰影部分所表示的集合為。

A.B.C.D.4、【題文】若關(guān)于的方程恒有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A.［0，5］B.［1，8］C.［0，8］D.［1，+∞）5、已知a=sin2婁脨7b=cos12婁脨7c=tan9婁脨7

則(

)

A.a>b>c

B.c>b>a

C.c>a>b

D.a>c>b

評卷人得分二、填空題(共6題，共12分)6、要得到函數(shù)y=sin（2x-）的圖象，只需將y=sin2x的圖象向右平移Φ（0＜Φ＜2π）個單位，則Φ=____．7、已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時f（x）=x2+x+1，則f（-1）=____．8、若函數(shù)y=sinx+mcosx圖象的一條對稱軸方程為則實(shí)數(shù)m的值為____．9、【題文】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且對于任意恒有成立，當(dāng)時，則____.10、【題文】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是________.11、計(jì)算：log43?log98=____．評卷人得分三、證明題(共9題，共18分)12、如圖；已知AB是⊙O的直徑，P是AB延長線上一點(diǎn)，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求證：

（1）AD=AE

（2）PC?CE=PA?BE．13、如圖；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為D，E為AD的中點(diǎn)，DF⊥BE，垂足為F，CF交AD于點(diǎn)G．

求證：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．14、AB是圓O的直徑，CD是圓O的一條弦，AB與CD相交于E，∠AEC=45°，圓O的半徑為1，求證：EC2+ED2=2．15、如圖，設(shè)△ABC是直角三角形，點(diǎn)D在斜邊BC上，BD=4DC．已知圓過點(diǎn)C且與AC相交于F，與AB相切于AB的中點(diǎn)G．求證：AD⊥BF．16、已知G是△ABC的重心，過A、G的圓與BG切于G，CG的延長線交圓于D，求證：AG2=GC?GD．17、如圖；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為D，E為AD的中點(diǎn)，DF⊥BE，垂足為F，CF交AD于點(diǎn)G．

求證：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．18、初中我們學(xué)過了正弦余弦的定義，例如sin30°=，同時也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根據(jù)如圖，設(shè)計(jì)一種方案，解決問題：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，設(shè)AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面積S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．19、已知D是銳角△ABC外接圓劣弧的中點(diǎn)；弦AD與邊BC相交于點(diǎn)E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．20、已知ABCD四點(diǎn)共圓，AB與DC相交于點(diǎn)E，AD與BC交于F，∠E的平分線EX與∠F的平分線FX交于X，M、N分別是AC與BD的中點(diǎn)，求證：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分別平分∠MFN與∠MEN．評卷人得分四、解答題(共4題，共8分)21、設(shè)全集U=R；集合A={x|-1≤x＜3}，B={x|2x-4≥0}．

（Ⅰ）求CU（A∩B）；

（Ⅱ）求（CUA）∩（CUB）．

22、【題文】一種放射性元素，最初的質(zhì)量為按每年衰減.

（1）求年后，這種放射性元素的質(zhì)量與的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求這種放射性元素的半衰期（質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼臅r所經(jīng)歷的時間）.（）23、在平面直角坐標(biāo)系中；點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（1，2），B（-3，4）．

（Ⅰ）求向量的坐標(biāo)及||；

（Ⅱ）求向量與的夾角的余弦值．24、已知數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=2-數(shù)列{bn}中，bn=其中n∈N*．

（Ⅰ）求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；

（Ⅱ）設(shè)Sn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求+++．參考答案一、選擇題(共5題，共10分)1、B【分析】試題分析：A：B：C：D：故選B.考點(diǎn)：與三角函數(shù)有關(guān)代數(shù)式值的計(jì)算.【解析】【答案】B2、C【分析】試題分析：以原點(diǎn)，向量所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)椤螦OC=30°，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為由得考點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算?！窘馕觥俊敬鸢浮緾3、D【分析】【解析】

試題分析：觀察韋恩圖可知，陰影表示的集合具有如下特征：在集合B中，不在集合A中，所以陰影部分所表示的集合為故選D

考點(diǎn)：集合的表示。

點(diǎn)評：主要是能通過集合的運(yùn)算來表示陰影部分，屬于基礎(chǔ)題?！窘馕觥俊敬鸢浮緿4、C【分析】【解析】略【解析】【答案】C5、C【分析】解：a=sin2婁脨7

b=cos12婁脨7=cos(2婁脨鈭?2婁脨7)=cos2婁脨7

c=tan9婁脨7=tan(婁脨+2婁脨7)=tan2婁脨7

且婁脨4<2婁脨7<婁脨2

隆脿cos2婁脨7<sin2婁脨7<tan2婁脨7

隆脿b<a<c

即c>a>b

．

故選：C

．

利用誘導(dǎo)公式化簡bc

根據(jù)正弦、余弦和正切函數(shù)，在第一象限內(nèi)的單調(diào)性，即可比較abc

的大?。?/p>

本題考查了誘導(dǎo)公式以及正弦、余弦和正切函數(shù)的單調(diào)性問題，是基礎(chǔ)題．【解析】C

二、填空題(共6題，共12分)6、略

【分析】

將函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移個單位所得函數(shù)的解析式：y=sin2（x-）=sin（2x-），所以Φ=

故答案為：．

【解析】【答案】左加右減上加下減的原則，直接求出將函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移個單位所得函數(shù)的解析式．

7、略

【分析】

∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時f（x）=x2+x+1；

∴f（-1）=-f（1）=-（1+1+1）=-3．

故答案為-3．

【解析】【答案】利用奇函數(shù)的性質(zhì)即可求出．

8、略

【分析】

函數(shù)y=sinx+mcosx=sin（x+θ），其中tanθ=m，

其圖象關(guān)于直線對稱，所以θ+=±θ=或θ=（舍去）

所以tanθ=m=

故答案為：．

【解析】【答案】化簡函數(shù)y=sinx+mcosx為一個角的一個三角函數(shù)的形式，利用圖象關(guān)于直線對稱，就是時；函數(shù)取得最值，求出m即可．

9、略

【分析】【解析】

試題分析：∵∴∴

考點(diǎn)：1.函數(shù)的奇偶性；2.函數(shù)的周期性；3.特殊函數(shù)值.【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】

試題分析：因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)樗援?dāng)單調(diào)減，函數(shù)單調(diào)減，當(dāng)單調(diào)增，函數(shù)單調(diào)增，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間【解析】【答案】11、【分析】【解答】解：由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得log43?log98=?=?=

故答案為．

【分析】直接利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，把要求的式子化為?即?運(yùn)算求得結(jié)果．三、證明題(共9題，共18分)12、略

【分析】【分析】（1）連AC；BC；OC，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥PD，而AD⊥PC，則OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，則∠DAC=∠CAO，根據(jù)三角形相似的判定易證得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)三角形相似的判定易證Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到結(jié)論．【解析】【解答】證明：（1）連AC、BC，OC，如圖，

∵PC是⊙O的切線；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB為⊙O的直徑；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC?CE=PA?BE．13、略

【分析】【分析】（1）連接AF，并延長交BC于N，根據(jù)相似三角形的判定定理證△BDF∽△DEF，推出，=；再證△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，證出A；F、D、C四點(diǎn)共圓即可；

（2）根據(jù)已知推出∠EFG=∠ABD，證F、N、D、G四點(diǎn)共圓，推出∠EGF=∠AND，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）證明：連接AF，并延長交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

則=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四點(diǎn)共圓；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）證明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四點(diǎn)共圓；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．14、略

【分析】【分析】首先作CD關(guān)于AB的對稱直線FG，由∠AEC=45°，即可證得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易證得O，C，G，E四點(diǎn)共圓，則可求得CG2=OC2+OG2=2．繼而證得EC2+ED2=2．【解析】【解答】證明：作CD關(guān)于AB的對稱直線FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四點(diǎn)共圓．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．15、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割線定理：AG2=AF?AC，可證明△BAF∽△AED，則∠ABF+∠DAB=90°，從而得出AD⊥BF．【解析】【解答】證明：作DE⊥AC于E；

則AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中點(diǎn)；

∴AG=ED．

∴ED2=AF?AE；

∴5ED2=AF?AE；

∴AB?ED=AF?AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．16、略

【分析】【分析】構(gòu)造以重心G為頂點(diǎn)的平行四邊形GBFC，并巧用A、D、F、C四點(diǎn)共圓巧證乘積．延長GP至F，使PF=PG，連接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四邊形，故GF=2GP．從而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四點(diǎn)共圓，從而GA、GF=GC?GD．于是GA2=GC?GD．【解析】【解答】證明：延長GP至F；使PF=PG，連接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四邊形GBFC是平行四邊形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵過A；G的圓與BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四點(diǎn)共圓；

∴GA；GF=GC?GD；

即GA2=GC?GD．17、略

【分析】【分析】（1）連接AF，并延長交BC于N，根據(jù)相似三角形的判定定理證△BDF∽△DEF，推出，=；再證△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，證出A；F、D、C四點(diǎn)共圓即可；

（2）根據(jù)已知推出∠EFG=∠ABD，證F、N、D、G四點(diǎn)共圓，推出∠EGF=∠AND，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）證明：連接AF，并延長交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

則=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四點(diǎn)共圓；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）證明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四點(diǎn)共圓；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．18、略

【分析】【分析】（1）過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E；根據(jù)正弦的定義可以表示出CE的長度，然后利用三角形的面積公式列式即可得解；

（2）根據(jù)S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根據(jù)正弦與余弦的定義分別把BD、AD、CD，AB，AC轉(zhuǎn)化為三角形函數(shù)，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E；

則CE=AC?sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB?CE=c?bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根據(jù)題意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB?ACsin（α+β）=BD?AD+CD?AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．19、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根據(jù)角平分線性質(zhì)推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出AF=CF，根據(jù)三角函數(shù)的定義求出即可；

（3）BF過圓心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F為AC中點(diǎn)；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF過圓心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．20、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性質(zhì)知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四邊形ABCD內(nèi)接于圓，則∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，聯(lián)立①②，即可證得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分別是∠AFB和∠AED的角平分線，等量代換后可證得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可連接AX，此時發(fā)現(xiàn)∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可證得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲證∠MFX=∠NFX，必須先證得∠AFM=∠BFN，可通過相似三角形來實(shí)現(xiàn)；首先連接FM、FN，易證得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通過等量代換，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圓周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可證得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，進(jìn)一步可證得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可證得EX是∠MEN的角平分線．【解析】【解答】證明：（1）連接AX；

由圖知：∠FDC是△ACD的一個外角；

則有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分別是∠AFB、∠AED的角平分線；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性質(zhì)知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）連接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可證得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分別平分∠MFN與∠MEN．四、解答題(共4題，共8分)21、略

【分析】

A={x|-1≤x＜3}；B={x|2x-4≥0}={x|x≥2}．

（I）∵A∩B={x|2≤x＜3}

∴CU（A∩B）={x|x＜2或x≥3}

（II）因?yàn)镃UA={x|x＜-1或x≥3}；

CUB={x|x＜2}；

所以（CUA）∩（CUB）={x|x＜-1}．

評分建議：結(jié)果若不寫成集合或區(qū)間形式；每一小題得（4分）；

區(qū)間端點(diǎn)的“開”與“閉”錯誤；每一小題得（4分）；

【解析】【答案】（I）先通過解不等式化簡集合A，B，利用交集、并集的定義求出A∩B，