2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章統(tǒng)計(jì)1.5.1估計(jì)總體的分布學(xué)案含解析北師大版必修3

PAGE§5用樣本估計(jì)總體5．1估計(jì)總體的分布學(xué)問點(diǎn)一頻率分布直方圖[填一填]1．極差的概念極差是一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差，它反映了一組數(shù)據(jù)的差值，極差又叫全距．2．頻數(shù)、頻率的概念將一批數(shù)據(jù)按要求分為若干組，對落在各個(gè)小組內(nèi)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)進(jìn)行累計(jì)，這個(gè)累計(jì)數(shù)叫作各個(gè)小組的頻數(shù)，各個(gè)小組的頻數(shù)除以樣本容量，即得該小組的頻率．3．頻率分布直方圖在頻率分布直方圖中，縱軸表示頻率與組距的比值，各小長方形的面積等于落在各小組內(nèi)的頻率，全部長方形面積之和等于1.[答一答]1．將數(shù)據(jù)的樣本進(jìn)行分組的目的是什么？提示：從一個(gè)總體得到一個(gè)包含大量數(shù)據(jù)的樣本時(shí)，我們很難從一個(gè)個(gè)數(shù)字中干脆看出樣本所包含的信息．假如把這些數(shù)據(jù)形成頻數(shù)分布或頻率分布，就可以比較清晰地看出樣本數(shù)據(jù)的特征，從而估計(jì)總體的分布狀況．用樣本估計(jì)總體，是探討統(tǒng)計(jì)問題的一種基本思想方法，而對于總體的分布，我們總是用樣本的頻率分布對它進(jìn)行估計(jì)．學(xué)問點(diǎn)二頻率分布折線圖[填一填](1)在頻率分布直方圖中，依據(jù)分組原則，再在左邊和右邊各加一個(gè)區(qū)間，從所加的左邊區(qū)間的中點(diǎn)起先，用線段依次連接各個(gè)矩形的頂端中點(diǎn)，直至右邊所加區(qū)間的中點(diǎn)，就得到一條折線，我們稱之為頻率折線圖．(2)當(dāng)樣本容量不斷增大時(shí)，樣本中落在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的樣本數(shù)的頻率會越來越穩(wěn)定于總體在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)取值的概率．也就是說，一般地，樣本容量越大，用樣本的頻率分布去估計(jì)總體的分布就越精確．(3)隨著樣本量的增大，所劃分的區(qū)間數(shù)也可以隨之增多，而每個(gè)區(qū)間的長度則會相應(yīng)隨之減小，相應(yīng)的頻率折線圖就會越來越接近于一條光滑曲線．[答一答]2．繪制頻率分布折線圖的作用是什么？提示：頻率分布折線圖也是用一個(gè)單位長度表示肯定的數(shù)量．但是，它是依據(jù)數(shù)量的多少在圖中描出各個(gè)點(diǎn)，然后把各點(diǎn)用線段順次連接成的折線．因此，它不但可以表示出數(shù)量的多少，而且能夠以折線的起伏，清晰而直觀地表示出數(shù)量增減的變更狀況．幾種表示頻率分布的方法的優(yōu)缺點(diǎn)1．頻率分布表反映詳細(xì)數(shù)據(jù)在各個(gè)不同區(qū)間的取值頻率，但不夠直觀、形象，對分析數(shù)據(jù)分布的總體態(tài)勢不太便利．2．頻率分布直方圖能夠特別直觀地表明數(shù)據(jù)分布的形態(tài)，一般是中間高、兩端低、左右對稱的“峰”狀結(jié)構(gòu)．但是從直方圖本身得不到詳細(xì)的數(shù)據(jù)內(nèi)容，也就是說，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原始數(shù)據(jù)不能在圖中表示出來．3．頻率分布折線圖的優(yōu)點(diǎn)是它能夠反映數(shù)據(jù)的變更趨勢．假如樣本容量不斷增加，分組的組距不斷縮小，那么折線圖就趨近于總體分布的密度曲線．4．列頻率分布直方圖的步驟：(1)計(jì)算數(shù)據(jù)中最大值和最小值的差．知道了極差就知道了這組數(shù)據(jù)的變動范圍有多大；(2)確定組數(shù)和組距．組距是指每個(gè)小組的兩個(gè)端點(diǎn)之間的距離；(3)確定分點(diǎn)；(4)列頻率分布表；(5)繪制頻率分布直方圖．5．列頻率分布直方圖的留意事項(xiàng)：(1)組距的選擇應(yīng)力求“取整”，假如極差不利于分組(如不能被組數(shù)整除)，可適當(dāng)增大極差，如在左、右兩端各增加適當(dāng)范圍(盡量使兩端增加的量相同)．(2)分點(diǎn)數(shù)的確定方法是：若數(shù)據(jù)為整數(shù)，則分點(diǎn)數(shù)據(jù)減去0.5；若數(shù)據(jù)是小數(shù)點(diǎn)后一位的數(shù)，則分點(diǎn)減去0.05，以此類推．類型一頻率分布表和頻率分布直方圖【例1】從某中學(xué)高三年級隨機(jī)抽取100名男生的身高如下：(單位：cm)依據(jù)上面的數(shù)據(jù)列出頻率分布表，畫出頻率分布直方圖，估計(jì)這所學(xué)校高三年級男生身高在(165,175]cm之間的比例．【思路探究】可以先制作頻率分布表，然后制作頻率分布直方圖，最終由圖形分析．【解】頻率分布表如下所示：頻率分布直方圖如下圖所示．估計(jì)這所學(xué)校高三年級男生身高在(165,175]cm之間的比例為(0.14＋0.33)×100%＝47%.規(guī)律方法頻率分布直方圖的繪制方法與步驟：第一步：先制作頻率分布表，然后作直角坐標(biāo)系．其次步：把橫軸分成若干段，每一段對應(yīng)一個(gè)組的組距，標(biāo)明界點(diǎn)．第三步：在上面標(biāo)出的各點(diǎn)中，分別以相鄰兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段為底作矩形，它的高等于該組的eq\f(頻率,組距).每個(gè)矩形的面積恰好是該組上的頻率，這些矩形就構(gòu)成了頻率分布直方圖．留意：因?yàn)樾【匦蔚拿娣e＝組距×eq\f(頻率,組距)＝頻率，所以各小矩形的面積表示相應(yīng)各組的頻率．這樣，頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組內(nèi)的頻率大?。o出如下樣本數(shù)據(jù)：10,8,6,10,8,11,13,11,10,12,7,8,9,11,9,12,9,10,11,12，并分組如下：(1)完成上面的頻率分布表；(2)依據(jù)上表，在平面直角坐標(biāo)系中作出頻率分布直方圖．解：(2)頻率分布直方圖如圖：類型二頻率分布直方圖的應(yīng)用【例2】為了了解高一學(xué)生的體能狀況，某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖所示)，圖中從左到右各小長方形面積之比為24171593，其次小組頻數(shù)為12.(1)其次小組的頻率是多少？樣本容量是多少？(2)若次數(shù)在110以上(含110次)為達(dá)標(biāo)，試估計(jì)該校全體高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少？【思路探究】小長方形的面積就是頻率的大小，故小長方形的面積之比即為頻率之比，即可求出其次小組的頻率，而樣本容量等于頻數(shù)除以頻率．【解】(1)由于頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組內(nèi)的頻率大小，因此其次小組的頻率為eq\f(4,2＋4＋17＋15＋9＋3)＝0.08.又因?yàn)槠浯涡〗M頻率＝eq\f(其次小組頻數(shù),樣本容量)，所以樣本容量＝eq\f(其次小組頻數(shù),其次小組頻率)＝eq\f(12,0.08)＝150.(2)由圖可估計(jì)該校高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率約為eq\f(17＋15＋9＋3,2＋4＋17＋15＋9＋3)×100%＝88%.規(guī)律方法頻率分布直方圖中的性質(zhì)(1)圖中每個(gè)小矩形的面積表示相應(yīng)各組的頻率，即小矩形的面積＝組距×eq\f(頻率,組距)＝頻率．(2)在頻率分布直方圖中，各小矩形的面積的總和等于1.(3)eq\f(頻數(shù),樣本容量)＝頻率，此關(guān)系式的變形為eq\f(頻數(shù),頻率)＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù)．(4)頻率分布直方圖中，各小矩形的面積之比等于頻率之比，各小矩形的高度之比也等于頻率之比．有一個(gè)容量為200的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示．依據(jù)樣本的頻率分布直方圖，估計(jì)樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,12)內(nèi)的頻數(shù)為(B)A．18B．36C．54D．72解析：樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,12)內(nèi)的頻率為1－(0.02×2＋0.05×2＋0.15×2＋0.19×2)＝0.18，所以樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,12)內(nèi)的頻數(shù)為0.18×200＝36.類型三頻率分布折線圖【例3】為了解某片經(jīng)濟(jì)林的生長狀況，隨機(jī)測量其中100株樹木的底部周長得到如下數(shù)據(jù)(單位：cm)：(1)編制頻率分布表；(2)繪制頻率分布直方圖、折線圖；(3)估計(jì)該片經(jīng)濟(jì)林中底部周長小于100cm的樹木所占的比例和底部周長不小于120cm的樹木所占的比例．【思路探究】頻率分布表中的數(shù)字和頻率分布直方圖的形態(tài)都與組數(shù)(或組距)有關(guān)，頻率分布直方圖還與坐標(biāo)系的單位長度有關(guān)．它們都由樣本確定，因而它們會隨著樣本的變更而變更，樣本容量越大，抽樣方法越科學(xué)，樣本的頻率分布就越接近總體的頻率分布．【解】(1)從數(shù)據(jù)中可以看出，這組數(shù)據(jù)的最大值為135，最小值為80，極差為55.可將其分為11組，組距為5，第1組從[80,85)起先，將各組的頻數(shù)、頻率和eq\f(頻率,組距)填入表中.(2)這組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖、頻率折線圖如圖．(3)從頻率分布表可以看出，該樣本中小于100的頻率為0.01＋0.02＋0.04＋0.14＝0.21，不小于120的頻率為0.11＋0.06＋0.02＝0.19，故可估計(jì)該片經(jīng)濟(jì)林中底部周長小于100cm的樹木約占21%，周長不小于120cm的樹木約占19%.規(guī)律方法頻率分布表從數(shù)值上直觀地反映了各組的頻率，頻率分布直方圖則更形象地反映了各組數(shù)據(jù)的頻率與樣本分布趨勢，所以往往將兩者綜合來考查樣本．有一容量為200的樣本，數(shù)據(jù)的分組以及各組的頻數(shù)如下：[－20，－15)，7；[－15，－10)，11；[－10，－5)，15；[－5,0)，40；[0,5)，49；[5,10)，41；[10,15)，20；[15,20]，17.(1)列出樣本的頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖和頻率分布折線圖；(3)求樣本數(shù)據(jù)不足0的頻率．解：(1)頻率分布表如下：(2)頻率分布直方圖和頻率分布折線圖如圖所示：(3)樣本數(shù)據(jù)不足0的頻率為：0.035＋0.055＋0.075＋0.2＝0.365.類型四綜合應(yīng)用【例4】某中學(xué)部分學(xué)生參與全國初中數(shù)學(xué)競賽，取得了優(yōu)異成果，指導(dǎo)老師統(tǒng)計(jì)了全部參賽同學(xué)的成果(成果都為整數(shù)，試題滿分為120分)，并且繪制了“頻率分布直方圖”，如下圖所示，請回答：(1)該中學(xué)參與本次數(shù)學(xué)競賽的有多少人？(2)假如90分以上(含90分)獲獎(jiǎng)，那么獲獎(jiǎng)率是多少？(3)這次競賽成果的中位數(shù)落在哪個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)？(4)上圖還供應(yīng)了其他信息，再寫出兩條．【解】(1)參與本次數(shù)學(xué)競賽的人數(shù)有4＋6＋8＋7＋5＋2＝32(人)．(2)90分以上(含90分)有7＋5＋2＝14(人)，因此獲獎(jiǎng)率為eq\f(14,32)×100%＝43.75%.(3)這次競賽成果的中位數(shù)落在80～90分的分?jǐn)?shù)段內(nèi)．(4)參賽同學(xué)的成果均不低于60分，在80～90分的分?jǐn)?shù)段的學(xué)生人數(shù)最多．規(guī)律方法留意本題中豎軸表示人數(shù)，求成果的中位數(shù)應(yīng)把成果由低到高排列，取處于中間位置的成果．青少年視力水平的下降已經(jīng)引起全社會的關(guān)注，某校為了了解高二年級500名學(xué)生的視力狀況，從中抽查了一部分學(xué)生的視力狀況，通過數(shù)據(jù)處理，得到如下頻率分布表和頻率分布直方圖.請你依據(jù)給出的圖表回答：(1)填寫頻率分布表中未完成部分的數(shù)據(jù)；(2)在這個(gè)問題中，總體是500.樣本容量是50；(3)在頻率分布直方圖中，梯形ABCD的面積是多少？(4)請問：用樣本估計(jì)總體，可以得到哪些信息(寫一條即可)?解：(3)梯形ABCD的面積為第3組與第4組對應(yīng)小矩形的面積．也即是第3、4組的頻率之和0.3＋0.5＝0.8.(4)本題有多個(gè)結(jié)論，只要是依據(jù)頻率分布表或頻率分布直方圖得到的有關(guān)信息，并且用樣本估計(jì)總體所反映的結(jié)論都是合理的即可．例如：該校高二年級學(xué)生視力在[4.55,4.85)內(nèi)的人數(shù)最多，約250人；該校高二年級學(xué)生的視力在5.15以上的與視力在4.25以下的人數(shù)基本相等，各有20人左右等．——易錯(cuò)警示——頻率分布直方圖中忽視縱軸的意義致誤【例5】中小學(xué)生的視力狀況受到社會的廣泛關(guān)注，某市有關(guān)部門從全市6萬名高一學(xué)生中隨機(jī)抽取了400名，對他們的視力狀況進(jìn)行一次調(diào)查統(tǒng)計(jì)，將所得到的有關(guān)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖，如圖所示．從左至右五個(gè)小組的頻率之比依次是5712106，則全市高一學(xué)生視力在[3.95,4.25)范圍內(nèi)的學(xué)生人數(shù)約有________．【易錯(cuò)點(diǎn)分析】虛線處對頻率分布直方圖理解不正確，將縱軸上的0.5誤認(rèn)為是第五小組的頻率，從而導(dǎo)致答案不正確．【防范措施】1.留意對圖形的視察圖表試題解題三個(gè)步驟：一觀、二識、三解，做到觀圖要細(xì)、識圖要全、解圖要準(zhǔn)．如本例中，要從頻率分布直方圖中看出小組距，求出第五組的頻率．2．重視對性質(zhì)的理解和應(yīng)用在頻率分布直方圖中，小長方形的高＝eq\f(頻率,組距)，小長方形的面積＝eq\f(頻率,組距)×組距＝頻率．如本例中，0.5×0.3＝0.15才是第五個(gè)小組的頻率．【解析】由圖知，第五小組的頻率為0.5×0.3＝0.15，所以第一小組的頻率為0.15×eq\f(5,6)＝0.125，所以全市6萬名高一學(xué)生中視力在[3.95,4.25)范圍內(nèi)的學(xué)生約有60000×0.125＝7500(人)．【答案】7500人某公司為了改善職工的出行條件，隨機(jī)抽取100名職工，調(diào)查了他們的居住地與公司間的距離d(單位：km)．由其數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖所示，則樣本中職工居住地與公司間的距離不超過4km的人數(shù)為48.解：不超過4km的頻率為(0.1＋0.14)×2＝0.48，故樣本中職工居住地與公司間的距離不超過4km的人數(shù)有0.48×100＝48(人)．一、選擇題1．一個(gè)容量為n的樣本分成若干組，已知某組的頻數(shù)和頻率分別為40,0.125，則n的值為(B)A．640B．320C．240D．160解析：0.125＝eq\f(40,n)，故n＝320.2．下列敘述中正確的是(C)A．從頻率分布表可以看出樣本數(shù)據(jù)對于平均數(shù)的波動大小B．頻數(shù)是指落在各個(gè)小組內(nèi)的數(shù)據(jù)C．每小組的頻數(shù)與樣本容量之比是這個(gè)小組的頻率D．組數(shù)是樣本平均數(shù)除以組距解析：A中表示樣本數(shù)據(jù)對于平均數(shù)波動大小的為方差與標(biāo)準(zhǔn)差；B中頻數(shù)為落在各小組內(nèi)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)；D中組數(shù)是極差除以組距．二、填空題3．容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表：分組[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)頻數(shù)234542則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40)的頻率為0.45.解析：本