2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)考點第八章立體幾何與空間向量8.5空間向量及其應(yīng)用理

考點8.5空間向量及其應(yīng)用考點梳理考點梳理1．空間向量的有關(guān)概念名稱概念表示零向量模為0的向量0單位向量長度(模)為1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量為－a共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線相互平行或重合的向量a∥b共面對量平行于同一個平面的向量2.空間向量中的有關(guān)定理(1)共線向量定理空間兩個向量a與b(b≠0)共線的充要條件是存在唯一的實數(shù)λ，使得a＝λb.(2)共面對量定理共面對量定理的向量表達式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b為不共線向量．(3)空間向量基本定理假如三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空間的一個基底．3．空間向量的數(shù)量積及運算律(1)數(shù)量積及相關(guān)概念①兩向量的夾角已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，則稱a與b相互垂直，記作a⊥b.②兩向量的數(shù)量積已知空間兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空間向量數(shù)量積的運算律①(λa)·b＝λ(a·b)；②交換律：a·b＝b·a；③安排律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共線a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))夾角余弦cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))5.空間位置關(guān)系的向量表示(1)直線的方向向量直線的方向向量是指和這條直線平行(或在這條直線上)的有向線段所表示的向量，一條直線的方向向量有多數(shù)個．(2)平面的法向量直線l⊥平面α，取直線l的方向向量，則這個向量叫做平面α的法向量．明顯一個平面的法向量有多數(shù)個，它們是共線向量．(3)位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為ml∥αn⊥m?n·m＝0l⊥αn∥m?n＝λm平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝λmα⊥βn⊥m?n·m＝0概念方法微思索1．共線向量與共面對量相同嗎？提示不相同．平行于同一平面的向量就為共面對量．2．零向量能作為基向量嗎？提示不能．由于零向量與隨意一個非零向量共線，與隨意兩個非零向量共面，故零向量不能作為基向量．真題演練真題演練1．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）在正方體中，為棱的中點，則異面直線與所成角的正切值為A． B． C． D．【答案】C【解析】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，則，0，，，2，，，0，，，2，，，2，，，，，設(shè)異面直線與所成角為，則，，．異面直線與所成角的正切值為．故選．2．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．【答案】C【解析】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，在長方體中，，，，0，，，0，，，0，，，1，，，0，，，1，，設(shè)異面直線與所成角為，則，異面直線與所成角的余弦值為．故選．3．（2024?全國）長方體，，，、、為、、的中點，為上一點，則，求異面直線與所成角的余弦值__________．【答案】【解析】長方體，，，、、為、、的中點，為上一點，則，以為原點，為國，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，2，，，0，，，2，，，0，，，，，，，，設(shè)異面直線與所成角為，則．故答案為：．4．（2024?江蘇）如圖，在正三棱柱中，，點，分別為，的中點．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【解析】如圖，在正三棱柱中，設(shè)，的中點分別為，，則，，，，故以為基底，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，0，，，1，，，，，，0，，，1，．（1）點為的中點．，，．．異面直線與所成角的余弦值為：；（2）為的中點．，，設(shè)平面的一個法向量為，，，由，可取，，，設(shè)直線與平面所成角的正弦值為，，直線與平面所成角的正弦值為．強化訓(xùn)練強化訓(xùn)練1．（2024?東湖區(qū)校級三模）如圖，在棱長為4的正方體中，點是棱的中點，，若過點，，的平面分別交棱、于點，，則線段的長度為A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，連接，延長、，相交于，點是棱的中點，，且正方體的棱長為4，，，，則．在平面中過作，交于，則．可得，，即．．故選．2．（2024?沙坪壩區(qū)校級模擬）直角中，，為邊上一點，沿將折起，使點在平面內(nèi)的正投影恰好在上，若，則二面角的余弦值是A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，在直角中，由，得．設(shè)，則，由，，，可得．在中，由，，，得．在中，有，即，解得．即，．則．．設(shè)二面角的平面角為，則．故選．3．（2024?浙江模擬）如圖，在平行四邊形中，沿將折成，記異面直線與所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角為，當(dāng)時，則A． B． C． D．【答案】B【解析】由選項可知，當(dāng)為平行四邊形，且時，角，，的大小唯一確定．則不妨取平行四邊形為邊長是2的菱形，，．，異面直線與所成的角即為的補角為；設(shè)，則，，即為二面角的平面角，由，，，可得平面，在平面內(nèi)，過作，則平面，連接，可得為直線與平面所成的角為，在與中，由，，可得，則；在中，由，，可得，在中，由，，可得，則，可得．結(jié)合選項可知，．故選．4．（2024?內(nèi)江三模）如圖，在直棱柱中，，，，，．（1）證明：面面；（2）求二面角的余弦值．【解析】（1）證明：由直棱柱可知，平面，平面，，又，且，平面，又平面面，面面；（2）易知，，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，0，，，0，，，0，，，1，，，1，，，4，，，4，，，，，解得舍去），，設(shè)是平面的一個法向量，則，即，令，可得，同理可得平面的一個法向量為，，二面角為銳二面角，二面角的余弦值為．5．（2024?德陽模擬）如圖，四棱柱的側(cè)棱與底面垂直，底面是菱形，四棱錐的頂點在平面上的投影恰為四邊形對角線的交點，四棱錐和四棱柱的高相等．（1）證明：平面；（2）若，，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．【解析】（1）證明：連接、，由題知，平面且四棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，即、、、四點共面．四棱錐和四棱柱的高相等，在四邊形中，與的交點為的中點，也是的中點，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面．（2）解：由題意知，、、三直線兩兩垂直，以為原點，、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，0，，，0，，，1，，，0，，，0，，，0，，，1，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令，則，，，，．同理可得，平面的法向量，，．，．故平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．6．（2024?江西模擬）已知如圖，菱形的邊長為2，對角線，現(xiàn)將菱形沿對角線翻折，使翻折至點．（1）求證：；（2）若，且點為線段的中點，求與平面夾角的正弦值．【解析】（1）如圖所示，取的中點為，連結(jié)，，，，，，又，平面，平面，．（2）以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，在等腰△中，，同理，，，0，，，1，，，，，，0，，，，，，1，，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，，，則，即，取，得，，，．設(shè)與平面夾角為，則．與平面夾角的正弦值為．7．（2024?柯橋區(qū)二模）如圖，在四棱錐中，，，．（1）求證：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．【解析】（1）取的中點，連接、，，，又，，，、平面，平面，平面，；解：（2），，，而，由余弦定理可得：，即，解得，，則．取中點，連接，則，，可得平面，連接，在平面中，過作，以為坐標(biāo)原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．在中，由，，，可得，在中，有．在中，有．．則，0，，，0，，，，，，，．，，，，0，，．設(shè)平面的一個法向量為，由，取，得．設(shè)直線與平面所成角為，則．直線與平面所成角的正弦值為．8．（2024?香坊區(qū)校級一模）已知直三棱柱中，為正三角形，，為的中點．點在棱上，且．（Ⅰ）求證：直線平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．【解析】（Ⅰ）取中點，連接，設(shè)，以為坐標(biāo)原點，的方向為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)平面的法向量為，，，，，直線平面．（Ⅱ），設(shè)平面的法向量為，，不妨取，則，．，平面的法向量為，設(shè)二面角的平面角為，．9．（2024?沙坪壩區(qū)校級模擬）如圖，在正三棱柱中，為的中點，．（1）求證：平面平面；（2）若直線與平面所成角為，求二面角的余弦值．【解析】（1）取中點，連接．由題設(shè)條件易知：與△全等，所以，，同理：△與全等，所以，，所以平面平面平面．（2）平面與平面所成角即為，，取中點，連接，則，以為坐標(biāo)原點，方向為軸，方向為軸，過作平面的垂線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則：，設(shè)平面的法向量為，由得，易知為平面的法向量，設(shè)二面角的大小為，則，所以二面角的余弦值為．10．（2024?衡陽三模）如圖，半圓弧所在平面與平面垂直，是上異于，的動點，，（1）證明：平面；（2）當(dāng)直線與平面所成的角為時，求二面角的正弦值．【解析】（1）證明：因為半圓弧所在平面與平面垂直，平面平面，由，所以平面，又平面，則有又為半圓弧所對的直徑，所以，而，所以平面．（2）法1（空間向量法）：過作于，因為平面平面，平面平面，所以平面，即與平面所成的角，由已知條件得，，即為中點．由，，四邊形為矩形，所以以為坐標(biāo)原點，，，方向分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，所以，2，，，2，，，0，，，0，，，0，由（1）知，平面，則平面的一個法向量設(shè)平面的法向量因為，由，得，取，則設(shè)二面角大小為，則所以，即二面角的正弦值為．法2（傳統(tǒng)幾何法）：二面角的大小即為二面角的大小與二面角大小的差，由（1）的證明可得，二面角的大小為，所以二面角的正弦值即為二面角的余弦值．由平面平面，平面平面，，所以平面，又平面，則，取中點，連，由為半圓弧所對的直徑，所以，，分別為，的中點，所以，則，又，所以平面則即為二面角的平面角，設(shè)，在中，，，所以，故二面角的正弦值為．11．（2024?濱州三模）在如圖所示的圓柱中，為圓的直徑，，是的兩個三等分點，，，都是圓柱的母線．（1）求證：平面；（2）設(shè)，已知直線與平面所成的角為，求二面角的余弦值．【解析】（1）連接，，因為，是半圓弧的兩個三等分點，所以，又，所以△，△，△均為等邊三角形，所以，所以四邊形是平行四邊形．所以．因為，都是圓柱的母線，所以．又因為、平面，，、平面，，所以平面平面，又平面，所以平面．（2）連接，因為是圓柱的母線，所以平面，所以為直線與平面所成的角，即．因為為圓的直徑，所以，在中，，，所以，所以在中，．因為，，，、平面，所以平面，又平面，所以．在內(nèi)，作于點，連接．因為，、平面，所以平面，又平面，所以，所以是二面角的平面角．在中，，在中，，所以，故二面角的余弦值為．12．（2024?南崗區(qū)校級模擬）圖中組合體由一個棱長為2的正方體和一個四棱錐組成平面，，，三點共線，，是中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）點在棱上靠近的三等分點，求直線與平面所成角的正弦值．【解析】（Ⅰ）連接，連接交于，則．，，又，，四邊形是平行四邊形，得，故．平面，平面，平面；（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系．則，0，，，2，，，0，，，，．，，．設(shè)平面的一個法向量為，由，取，得．設(shè)直線與平面所成角為．則．直線與平面所成角的正弦值為．13．（2024?龍?zhí)秴^(qū)校級模擬）如圖，在四棱錐中，，，為等邊三角形，平面底面，為的中點．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值．【解析】（1）如圖1，取中點，連接，，在中，，分別為，的中點，，，，，，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面．（2）取中點，中點，連接，，為正三角形，，在四邊形中，，，，四邊形為等腰梯形，，分別為，的中點，，平面底面，且平面底面，，底面，以點為原點，以向量，，的方向為，，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖2，設(shè)，在等腰梯形中，，，，在等邊三角形中，，，，，，1，，，，為中點，，，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得，設(shè)二面角為，有，，二面角的正弦值為．14．（2024?東興區(qū)校級模擬）如圖，四棱錐中，四邊形是邊長為2的菱形，．（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）當(dāng)平面與平面所成銳二面角的余弦值，求直線與平面所成角正弦值．【解析】（Ⅰ）過作，垂足為，連接，，，，在中，由余弦定理可得，，，，是