2024-2025學年新教材高中數學第四章指數函數對數函數與冪函數本章小結學案含解析新人教B版必修第二冊

第四章指數函數、對數函數與冪函數本章小結學習目標1.復習指數函數、對數函數和冪函數的基本學問和性質.2.強化指數函數、對數函數、冪函數的運算實力.3.提高指數函數、對數函數、冪函數的應用實力,駕馭必備的數學思想方法.自主預習請大家畫出本章的學問結構圖:課堂探究類型1指數、對數的運算問題解決這類問題首先要嫻熟駕馭指數式和對數式的積、商、冪、方根的運算法則,嫻熟駕馭各種變形.如N1b=a,ab=N,logaN=b(其中N>0,a>0,a≠1)是同一數量關系的不同表示形式,因此在很多問題中要能嫻熟【例1】(1)若xlog23=1,則3x+9x的值為()A.6 B.3 C.52 D.(2)已知2a=5b=c,1a+1b=1,則c=規(guī)律方法:類型2函數圖像與性質的應用指數函數、對數函數、冪函數是中學數學中重要的函數,它們的圖像和性質是考查的重點,應嫻熟駕馭圖像的畫法及形態(tài),熟記性質,特殊要留意指數函數與對數函數的底數在取不同值時,對圖像和性質的影響.【例2】當x∈(1,2)時,不等式(x-1)2<logax恒成立,則a的取值范圍是()A.(0,1) B.(1,2) C.(1,2] D.0規(guī)律方法:跟蹤訓練已知函數f(x)是定義在R上的偶函數,當x≥0時,f(x)=12(1)畫出函數f(x)的圖像;(2)依據圖像寫出f(x)的單調區(qū)間,并寫出函數的值域.類型3數的大小比較問題比較幾個數的大小問題是指數函數、對數函數和冪函數的重要應用,最基本的方法是將須要比較大小的實數看成某類函數的函數值,然后利用該類函數的單調性進行比較.【例3】(1)已知a=log20.3,b=20.3,c=0.30.2,則a,b,c三者的大小關系是()A.a>b>c B.b>a>cC.b>c>a D.c>b>a(2)設a=log132,b=log123,c=A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.b<a<c規(guī)律方法:類型4分類探討思想所謂分類探討,實質上是“化整為零,各個擊破,再積零為整”的策略.分類探討時應留意理解和駕馭分類的原則、方法與技巧,做到確定對象的全面,明確分類的標準,不重不漏地分類探討.在初等函數中,分類探討的思想得到了重要的體現,可依據函數的圖像和性質,依據函數的單調性分類探討,使得求解得以實現.【例4】已知函數f(x)=x-2m2+m+3((1)求m的值,并確定f(x)的解析式;(2)若g(x)=loga(f(x)-ax)(a>0,且a≠1)在[2,3]上為增函數,求實數a的取值范圍.規(guī)律方法:類型5函數與方程思想【例5】若函數f(x)=10|lgx|-a有兩個零點,則實數a的取值范圍是()A.a<1 B.a>1 C.a≤1 D.a≥1規(guī)律方法:核心素養(yǎng)專練1.求值:(1)21412-(-9.6)0-338-23+(1.5)-2;(2)log2512·log45-2.已知函數:①y=2x;②y=log2x;③y=x-1;④y=x12.則下列函數圖像(第一象限部分)從左到右依次與函數序號的對應依次是(A.②①③④ B.②③①④ C.④①③② D.④③①②3.已知0<a<1,x=loga2+loga3,y=12loga5,z=loga21-loga3,則(A.x>y>z B.z>y>xC.y>x>z D.z>x>y4.設a>0且a≠1,若P=loga(a3+1),Q=loga(a2+1),試比較P,Q的大小.5.若關于x的方程|x-2|(x+1)-m=0至少有兩個實數根,則實數m的取值范圍是.

6.已知f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1).(1)求f(x)的定義域;(2)探討f(x)的單調性;(3)當a取何值時,圖像在y軸的左側?7.為減輕手術給病人帶來的苦痛,麻醉師要給病人注射肯定量的麻醉劑,某醫(yī)院確定在某小型手術中為病人采納一種新型的麻醉劑,已知這種麻醉劑釋放過程中血液中的含量y(毫克)與時間t(小時)成正比,麻醉劑釋放完畢后,y與t的函數解析式為y=18t-a(1)試求從麻醉劑釋放起先,血液中的麻醉劑含量y(毫克)與時間t(小時)之間的解析式;(2)依據麻醉師的統(tǒng)計,當人體內血液中每升的麻醉劑含量降低到0.125毫克以下時,病人才能醒悟過來,那么實施麻醉起先,至少須要經過多長時間,病人才能醒悟過來?參考答案自主預習略課堂探究【例1】(1)A(2)10解析:(1)由xlog23=1,得x=log32,所以3x+9x=3log32+3log322(2)由2a=5b=c,得a=log2c,b=log5c,1a+1b=1log2c+1log5c=logc2+logc規(guī)律方法:略【例2】C解析:如圖所示,設f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax,要使當x∈(1,2)時,不等式(x-1)2<logax恒成立,只需f1(x)=(x-1)2在(1,2)上的圖像在f2(x)=logax的下方即可,當0<a<1時明顯不成立.當a>1時,如圖,要使在(1,2)上,f1(x)=(x-1)2的圖像在f2(x)=logax的下方,只需f1(2)≤f2(2),即(2-1)2≤loga2.∴l(xiāng)oga2≥1,∴1<a≤2,故選C.規(guī)律方法:略跟蹤訓練解:(1)先作出當x≥0時,f(x)=12x的圖像,利用偶函數的圖像關于y軸對稱,再作出f(x)在x∈(-∞(2)函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(-∞,0),單調遞減區(qū)間為(0,+∞),值域為(0,1].【例3】(1)C(2)D解析:(1)∵a=log20.3<log21=0,b=20.3>20=1,0<c=0.30.2<0.30=1,∴b>c>a.故選C.(2)∵a=log132<0,b=log123<0,log132>log133,log133>規(guī)律方法:略【例4】思路探究:(1)結合f(3)<f(5),與函數f(x)的奇偶性,分類探討確定m的值及f(x)的解析式.(2)由g(x)為增函數,結合a探討,求出a的取值范圍.解:(1)由f(3)<f(5),得3-2m∴35-2m2∵y=35∴-2m2+m+3>0,解得-1<m<32∵m∈N,∴m=0或1.當m=0時,f(x)=x-2m當m=1時,f(x)=x-2m2綜上,m=1,此時f(x)=x2.(2)由(1)知,當x∈[2,3]時,g(x)=loga(x2-ax).①當0<a<1時,y=logau在其定義域內單調遞減,要使g(x)在[2,3]上單調遞增,則需u(x)=x2-ax在[2,3]上單調遞減,且u(x)>0.∴a2②當a>1時,y=logau在其定義域內單調遞增,要使g(x)在[2,3]上單調遞增,則需u(x)=x2-ax在[2,3]上單調遞增,且u(x)>0.∴a2≤2,u∴實數a的取值范圍為(1,2).規(guī)律方法:略【例5】B解析:若函數f(x)=10|lgx|-a有兩個零點,則10|lgx|-a=0有兩個實數根,即10|lgx|=a有兩個實數根,轉化為函數y=10|lgx|與y=a圖像有兩個不同的交點,為此只要畫出y=10|lgx|的圖像即可.當x≥1時,lgx≥0,y=10|lgx|=10lgx=x;當0<x<1時,lgx<0,y=10|lgx|=10-lgx=1x,所以y=這是分段函數,每段函數可依據正比例函數或反比例函數作出,如圖.依題意,得a>1.規(guī)律方法:略核心素養(yǎng)專練1.解:(1)原式=9412-1-=32-1-32-2+232=32-1(2)原式=-12log52·12log25+log33-2log22=-14+1-2+2=32.D解析:依據冪函數、指數函數、對數函數的圖像可知選D.3.C解析:依題意,得x=loga6,y=loga5,z=loga7.又0<a<1,5<6<7,因此有l(wèi)oga5>loga6>loga7,即y>x>z.4.解:當0<a<1時,有a3<a2,即a3+1<a2+1.又當0<a<1時,y=logax在(0,+∞)上單調遞減,∴l(xiāng)oga(a3+1)>loga(a2+1),即P>Q;當a>1時,有a3>a2,即a3+1>a2+1.又當a>1時,y=logax在(0,+∞)上單調遞增,∴l(xiāng)oga(a3+1)>loga(a2+1),即P>Q.綜上,可得P>Q.5.0解析:若關于x的方程|x-2|(x+1)-m=0至少有兩個實數根,則|x-2|(x+1)=m至少有兩個實數根,即函數y=|x-2|(x+1)與y=m的圖像至少有兩個交點.當x≥2時,即x-2≥0時,y=(x-2)(x+1)=x-12當x<2時,即x-2<0時,y=-(x-2)(x+1)=-x-12所以y=x這是分段函數,每段函數圖像可依據二次函數圖像作出,如圖.依題意,得0≤m≤946.解:(1)當a>1時,定義域為(0,+∞);當0<a<1時,由ax-1>0可知,定義域為(-∞,0).(2)設f(u)=logau,u=ax-1.當a>1時,x∈(0,+∞),u=ax-1是增函數,y=logau也是增函數.由復合函數單調性可知f(x)在(0,+∞)內為增函數.同理,當0<a<1時,f(x)在(-∞,0)內為增函數.(3)由圖像在y軸的左側可知,當x<0時,ax-1>0,解得0<a<1.7.解:(1)由題圖可知,血液中麻醉劑的含量y(毫克)是關于時間t(小時)的一個分段函數.當0≤t≤0.1時,函數的圖像是一條經過點O(0,0)的線段,設其方程為y=kt(k為待定系數),又因為A(0.1,1)是這條線段的一個端點,代入點A的坐標,得k=10,所以當0≤t≤0.1時,y=10t.當t>0.1時,函數解析式為y=18而A(0.1,1)在這段函數圖像上,代入,得1=18所以有0.1-a=0,解得a=0.1.故當t>0.1時,y=1綜上,血液中麻醉劑的含量y(毫克)與時間t(小時)之間的解析式為y=10(2)要使手術后的病人能醒悟過來,須要麻醉劑含量降低到0.125毫克以下,此時t>0.1,且y≤0.125=18當t>0.1時,由18t-0.1≤解得t≥1.1.所以至少須要經過1.1小時后病人才能醒悟.學習目標(1)能應用指數冪和對數的運算性質解決指數式和對數式的化簡求值問題;(2)能解決比較大小、解不等式等問題;(3)能建立函數模型解決實際問題.課堂探究一、指數、對數運算例1化簡:(1)(8)-23×((2)lg2跟蹤演練1計算:80.25×42+(32×3)6+log32×log2(log3二、指數函數、對數函數的圖像及其應用例2如圖,函數f(x)的圖像為折線ACB,則不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是()A.{x|-1<x≤0} B.{x|-1≤x≤1}C.{x|-1<x≤1} D.{x|-1<x≤2}跟蹤演練2方程log2(x+2)=-x的實數解有()A.0個 B.1個 C.2個 D.3個三、指數函數、對數函數的性質及其應用例3(1)(2024全國Ⅰ理)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,則()A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a(2)已知函數f(x)=1+lo①求f(-2)+f(log212);②解不等式f(x)<4.跟蹤演練3設函數f(x)=ln(2+x)-ln(2-x),則f(x)是()A.奇函數,且在(0,2)上是增函數B.奇函數,且在(0,2)上是減函數C.偶函數,且在(0,2)上是增函數D.偶函數,且在(0,2)上是減函數四、函數模型的應用例4大西洋鮭魚每年都要逆流而上,游回產地產卵,經探討發(fā)覺鮭魚的游速可以表示為函數v=12log3θ100,單位是m/s,θ(1)當一條鮭魚的耗氧量是900個單位時①,它的游速是多少?(2)某條鮭魚想把游速提高1m/s②,那么它的耗氧量的單位數是原來的多少倍?

跟蹤演練4某企業(yè)常年生產一種出口產品,近年來,該產品的產量平穩(wěn)增長.記2013年為第1年,且前4年中,第x年與年產量f(x)(萬件)之間的關系如下表所示:x1234f(x)4.005.587.008.44若f(x)近似符合以下三種函數模型之一:f(x)=ax+b,f(x)=2x+a,f(x)=log1找出你認為最適合的函數模型,并說明理由,然后選取2013年和2024年的數據求出相應的解析式.課堂練習1.已知2x=3,log483=y,則x+2y的值為2.若函數y=logax(a>0,且a≠1)的圖像如圖所示,則下列函數圖像正確的是()3.若鐳經過100年后剩留原來質量的95.76%,設質量為1的鐳經過x年后剩留量為y,則x,y的函數關系是()A.y=0.9576x100 B.y=(0.9576)C.y=0.9576100x D.y=4.(2024全國Ⅲ文)設f(x)是定義域為R的偶函數,且在(0,+∞)上單調遞減,則()A.flog314B.flog314C.f2-32>fD.f2-23>f核心素養(yǎng)專練A組:基礎過關1.設a=log123,b=130.2A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.b<a<c2.函數y=log12A.[-1,0) B.(0,1] C.(-∞,-1] D.[-1,+∞)3.(2-1)0+169-12+(4.下列函數中,是偶函數且在區(qū)間(0,+∞)上單調遞減的是()A.y=-3|x| B.y=xC.y=log3x2 D.y=x-x25.函數y=ax在[0,1]上取得的最大值與最小值的和為3,則a等于()A.12 B.2 C.14 D6.將函數y=2x的圖像,經過平移變換后,再作關于直線y=x對稱的圖像,可得到函數y=log2(x+1)的圖像,則所作的平移變換為()A.向左平移1個單位長度B.向右平移1個單位長度C.向上平移1個單位長度D.向下平移1個單位長度B組:實力提升1.已知函數f(x)=12x(x≥4),f(xA.1 B.18 C.1162.已知a>0,且a≠1,函數y=ax與y=loga(-x)在同一坐標系中的圖像只可能是()3.已知f(x)是偶函數,它在(0,+∞)上是減函數,若f(lgx)>f(1),則x的取值范圍是()A.110,1 B.0,C.110,104.若y=loga(2-ax)在[0,1]上是減函數,則a的取值范圍為()A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.(1,+∞)5.已知冪函數y=(m2-5m-5)·x2m+1在(0,+∞)上為減函數,則實數m的值為.

6.一片森林原來面積為a,安排每年砍伐一些樹,且使森林面積每年比上一年削減p%,10年后森林面積變?yōu)閍2.為愛護生態(tài)環(huán)境,所剩森林面積至少要為原面積的14.已知到今年為止,森林面積為(1)求p%的值;(2)到今年為止,該森林已砍伐了多少年?(3)今后最多還能砍伐多少年?參考答案課堂探究例1解:(1)原式=232-2=2-1×103×10-52=2-1×10(2)原式=12(lg2+lg9-lg10跟蹤演練1解:∵log32×log2(log327)=log32×log23=lg2lg3×lg3lg2∴原式=234×214+22×33+1=21+4×27+例2答案:C解析:借助函數的圖像求解該不等式.作出函數y=log2(x+1)圖像如圖.由x得x∴結合圖像知不等式f(x)≥log2(x+1)的解集為{x|-1<x≤1}.跟蹤演練2B解析:令y1=log2(x+2),y2=-x,分別畫出兩個函數圖像,如圖所示.函數y1=log2(x+2)的圖像是由函數y1=log2x的圖像向左平移2個單位長度得到.函數y2=-x的圖像是由冪函數y=x12的圖像關于y軸對稱得到.由圖像可知,明顯y1與例3(1)B(2)解:①f(-2)+f(log2