2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章概率3.1.1隨機事件的概率學(xué)案含解析新人教A版必修3

PAGE第三章概率3.1隨機事務(wù)的概率3．1.1隨機事務(wù)的概率[目標]1.了解隨機事務(wù)發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性以及頻率與概率的區(qū)分；2.通過實例，正確理解概率的意義，體會概率思想方法及應(yīng)用價值．[重點]正確理解頻率與概率的關(guān)系，以及概率在實際中的應(yīng)用．[難點]概率的意義的正確理解及隨機試驗結(jié)果的隨機性與規(guī)律性的關(guān)系．學(xué)問點一事務(wù)的分類[填一填]1．確定事務(wù)：在條件S下，肯定會發(fā)生的事務(wù)，叫做相對于條件S的必定事務(wù)，簡稱為必定事務(wù)；在條件S下，肯定不會發(fā)生的事務(wù)，叫做相對于條件S的不行能事務(wù)，簡稱為不行能事務(wù)．必定事務(wù)和不行能事務(wù)統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事務(wù)，簡稱為確定事務(wù)．2．隨機事務(wù)：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事務(wù)，叫做相對于條件S的隨機事務(wù)，簡稱為隨機事務(wù)．3．事務(wù)：確定事務(wù)和隨機事務(wù)統(tǒng)稱為事務(wù)，一般用大寫字母A，B，C，…表示．[答一答]1．定義中的“條件S”是唯一的嗎？提示：這里的S可以是一個條件，也可以是一組條件(可以理解為一個條件的集合)，此處的定義與初中教材中的定義(在肯定條件下)有所不同，新定義的表述更加簡潔．2．指出下列事務(wù)是必定事務(wù)、不行能事務(wù)還是隨機事務(wù)．(1)中國體操運動員將在下屆奧運會上獲得全能冠軍．(2)出租車司機小李駕車通過幾個十字路口都將遇到綠燈．(3)若x∈R，則x2＋1≥1.(4)拋一枚骰子兩次，朝上面的數(shù)字之和小于2.提示：由題意知：(1)(2)中事務(wù)可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，所以是隨機事務(wù)；(3)中事務(wù)肯定會發(fā)生，是必定事務(wù)；由于骰子朝上面的數(shù)字最小是1，兩次朝上面的數(shù)字之和最小是2，不行能小于2，所以(4)中事務(wù)不行能發(fā)生，是不行能事務(wù)．學(xué)問點二頻率與概率[填一填]1．頻率在相同條件S下重復(fù)n次試驗，視察事務(wù)A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事務(wù)A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事務(wù)A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事務(wù)A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事務(wù)A出現(xiàn)的頻率，其取值范圍是[0,1]．2．概率(1)定義：一般來說，隨機事務(wù)A在每次試驗中是否發(fā)生是不行預(yù)知的，但是在大量重復(fù)試驗后，隨著試驗次數(shù)的增加，事務(wù)A發(fā)生的頻率會漸漸穩(wěn)定在區(qū)間[0,1]中某個常數(shù)上．這個常數(shù)稱為事務(wù)A的概率，記為P(A)，其取值范圍是[0,1]．(2)求法：由于事務(wù)A發(fā)生的頻率隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率，因此可以用頻率來估計概率．[答一答]3．隨機事務(wù)的頻率具有相對的穩(wěn)定性，在大量重復(fù)試驗時，頻率會在一個常數(shù)旁邊搖擺．隨機事務(wù)A在n次試驗中發(fā)生了m次，則這個常數(shù)肯定就是eq\f(m,n)嗎？提示：不肯定．當(dāng)試驗的次數(shù)n很大時，這個常數(shù)才近似地認為是eq\f(m,n).4．頻率與試驗次數(shù)有關(guān)嗎？概率呢？提示：(1)頻率是事務(wù)A發(fā)生的次數(shù)與試驗總次數(shù)的比值，當(dāng)然與試驗次數(shù)有關(guān)．頻率本身是隨機的，是一個變量，在試驗前不能確定，做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗得到的事務(wù)發(fā)生的頻率會不同．(2)概率是一個確定的數(shù)，是客觀存在的，與試驗做沒做、做多少次完全無關(guān)．比如，假如一個硬幣是質(zhì)地勻稱的，則擲硬幣一次出現(xiàn)正面朝上的概率是0.5，與做多少次試驗無關(guān)．5．“小概率事務(wù)肯定不發(fā)生，也許率事務(wù)肯定發(fā)生”，這種說法對嗎？提示：不對．小概率(接近0)事務(wù)很少發(fā)生，但不代表肯定不發(fā)生；也許率(接近1)事務(wù)常常發(fā)生，但不代表肯定發(fā)生．類型一事務(wù)的推斷[例1]指出下列事務(wù)是必定事務(wù)、不行能事務(wù)還是隨機事務(wù)：(1)某人購買福利彩票一注，中獎500萬元；(2)三角形的內(nèi)角和為180°；(3)沒有空氣和水，人類可以生存下去；(4)同時拋擲兩枚硬幣一次，都出現(xiàn)正面對上；(5)從分別標有1,2,3,4的四張標簽中任取一張，抽到1號標簽；(6)科學(xué)技術(shù)達到肯定水平后，不需任何能量的“永動機”將會出現(xiàn)．[解](1)購買一注彩票，可能中獎，也可能不中獎，所以是隨機事務(wù)．(2)全部三角形的內(nèi)角和均為180°，所以是必定事務(wù)．(3)空氣和水是人類生存的必要條件，沒有空氣和水，人類無法生存，所以是不行能事務(wù)．(4)同時拋擲兩枚硬幣一次，不肯定都是正面對上，所以是隨機事務(wù)．(5)隨意抽取，可能得到1,2,3,4號標簽中的任一張，所以是隨機事務(wù)．(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永動機”不會出現(xiàn)，所以是不行能事務(wù)．要推斷事務(wù)是何種事務(wù)，首先要看清條件，因為三種事務(wù)都是相對于肯定條件而言的.其次再看它是肯定發(fā)生，還是不肯定發(fā)生，還是肯定不發(fā)生，肯定發(fā)生的是必定事務(wù)，不肯定發(fā)生的是隨機事務(wù)，肯定不發(fā)生的是不行能事務(wù).[變式訓(xùn)練1]下列事務(wù)中，隨機事務(wù)的個數(shù)是(C)①某地1月1日刮西北風(fēng)；②當(dāng)x是實數(shù)時，x2≥0；③一個電影院某一天的上座率超過50%.A．0 B．1C．2 D．3解析：①③是隨機事務(wù)，②是必定事務(wù)．類型二試驗結(jié)果分析[例2]下列隨機事務(wù)中，一次試驗各指什么？試寫出試驗的全部結(jié)果．(1)拋擲兩枚質(zhì)地勻稱的硬幣多次；(2)從集合A＝{a，b，c，d}中任取3個元素組成集合A的子集．[解](1)一次試驗是指“拋擲兩枚質(zhì)地勻稱的硬幣一次”，試驗的可能結(jié)果有4個：(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)．(2)一次試驗是指“從集合A中一次選取3個元素組成集合A的一個子集”，試驗的結(jié)果共有4個：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}．[一題多變](1)在例2(2)中，從集合A中任取2個元素組成A的子集，有哪些？(2)在例2(2)中集合A換為A＝{a，b，c，d，e}，其他條件不變，則結(jié)果如何？[解](1)試驗結(jié)果有6個：{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}．(2)試驗結(jié)果有10個：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，c，d}，{a，c，e}，{a，d，e}，{b，c，d}，{b，c，e}，{c，d，e}，{b，d，e}．不重不漏地列舉試驗的全部可能結(jié)果的方法(1)結(jié)果是相對于條件而言的，要弄清試驗的結(jié)果，必需首先明確試驗中的條件．(2)依據(jù)日常生活閱歷，依據(jù)肯定的依次列舉出全部可能的結(jié)果，可應(yīng)用畫樹狀圖、列表等方法解決．[變式訓(xùn)練2]袋中裝有大小相同的紅、白、黃、黑4個球，分別寫出以下隨機試驗的條件和結(jié)果．(1)從中任取1球；(2)從中任取2球．解：(1)條件為：從袋中任取1球．結(jié)果為：紅、白、黃、黑4種．(2)條件為：從袋中任取2球．若記(紅，白)表示一次試驗中，取出的是紅球與白球，結(jié)果為：(紅，白)，(紅，黃)，(紅，黑)，(白，黃)，(白，黑)，(黃，黑)6種．類型三用頻率估計概率[例3]某商場設(shè)立了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤(如圖所示)，并規(guī)定：顧客購物10元以上就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時，指針落在哪一區(qū)域就可以獲得相應(yīng)的獎品，下表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù).(1)計算并完成表格；(2)請估計，當(dāng)n很大時，落在“鉛筆”區(qū)域的頻率將會接近多少？(3)假如你去轉(zhuǎn)動該轉(zhuǎn)盤一次，你獲得鉛筆的概率約是多少？[分析]先依據(jù)頻率的定義求出各試驗的頻率，再由頻率去估算概率．[解](1)(2)當(dāng)n很大時，落在“鉛筆”區(qū)域的頻率將會接近0.7.(3)獲得鉛筆的概率約是0.7.

概率的確定方法(1)理論依據(jù)：頻率在大量重復(fù)試驗的條件下可以近似地作為這個事務(wù)的概率．(2)計算頻率：頻率＝eq\f(頻數(shù),試驗次數(shù)).(3)用頻率估計概率．[變式訓(xùn)練3](1)從某自動包裝機包裝的食鹽中，隨機抽取20袋，測得各袋的質(zhì)量分別為(單位：g)：492496494495498497501502504496497503506508507492496500501499依據(jù)用頻率分布估計總體分布的原理，該自動包裝的食鹽質(zhì)量在497.5g～501.5g之間的概率約為0.25.解析：由頻率估計概率，食鹽質(zhì)量在497.5g～501.5g之間的頻率是eq\f(5,20)＝0.25，故所求概率約為0.25.(2)在一個不透亮的布袋中，紅色、黑色、白色的玻璃球共有40個，除顏色外其他完全相同，小明通過多次摸球試驗后發(fā)覺其中摸到紅色球、黑色球的頻率穩(wěn)定在15%和45%，則口袋中白色球的個數(shù)可能是16個．解析：∵摸到紅色球、黑色球的頻率穩(wěn)定在15%和45%，∴摸到白球的頻率為1－15%－45%＝40%，故口袋中白色球的個數(shù)可能是40×40%＝16個．1．有下列現(xiàn)象：①擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面對上；②實數(shù)的肯定值不小于零；③若a>b，則b<a.其中是隨機現(xiàn)象的是(B)A．②B．①C．③D．②③解析：①擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)反面對上，所以①是隨機現(xiàn)象，②③均為必定現(xiàn)象．故選B.2．下面的事務(wù)，是不行能事務(wù)的有(B)①在標準大氣壓下，水加熱到80℃②a，b∈R，則ab＝ba；③一枚硬幣連續(xù)擲兩次，兩次都出現(xiàn)正面對上．A．② B．①C．①② D．③解析：①在標準大氣壓下，水只有加熱到100℃時才會沸騰，所以①是不行能事務(wù)；②是必定事務(wù)；③3．下列說法正確的是(C)A．任何事務(wù)的概率總是在(0,1)之間B．頻率是客觀存在的，與試驗次數(shù)無關(guān)C．隨著試驗次數(shù)的增加，頻率一般會越來越接近概率D．概率是隨機的，在試驗前不能確定解析：必定事務(wù)發(fā)生的概率為1，不行能事務(wù)發(fā)生概率為0，所以任何事務(wù)發(fā)生的概率總在[0,1]之間，故A錯，B、D混淆了頻率與概率的概念，故錯誤．4．玲玲和倩倩是一對好摯友，她倆都想去觀看周杰倫的演唱會，可手里只有一張票，怎么辦呢？玲玲對倩倩說：“我向空中拋2枚同樣的一元硬幣，假如落地后一正一反，就我去；假如落地后兩個朝上的面一樣，就你去！”你認為這個嬉戲公允嗎？答：公允．解析：兩枚硬幣落地的結(jié)果有正反，反正，正正，反反，因此兩種狀況各占eq\f(1,2)，是公允的．5．某公司在過去幾年內(nèi)運用了某種型號的燈管1000支，該公司對這些燈管的運用壽命(單位：時)進行了統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：(1)將各組的頻率填入表中；(2)依據(jù)上述統(tǒng)計結(jié)果，估計燈管運用壽命不足1500小時的概率．解：(1)頻率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.(2)樣本中運用壽命不足1500小時的頻數(shù)是48＋121＋208＋223＝600，所以樣本中運用壽命不足1500小時的頻率是eq\f(600,1000)＝0.6，即燈管運用壽命不足1500小時的概率約為0.6.——本課須駕馭的兩大問題1．概率的性質(zhì)(1)必定事務(wù)的概率為1.(2)不行能事務(wù)的概率為0.(3)隨機事務(wù)A的概率為0≤P(A)≤1.必定事務(wù)和不行能事務(wù)看作隨機事務(wù)的兩個極端情形．2．“頻率”和“概率”的區(qū)分和聯(lián)系(1)區(qū)分：頻率反映的是某一隨機事務(wù)出現(xiàn)的頻繁程度