2024-2025學年新教材高中數(shù)學第二章等式與不等式2.2不等式2.2.1第2課時不等式及其性質(zhì)課時分層作業(yè)含解析新人教B版必修第一冊

PAGE4-課時分層作業(yè)(十四)不等式及其性質(zhì)(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．已知1＜x＜3，0＜y＜1，則x－y的取值范圍是()A．(1，2) B．(0，2)C．(0，3) D．(0，1)C[因為0＜y＜1，所以－1＜－y＜0，又1＜x＜3，所以0＜x－y＜3.]2．已知a<0，b<－1，則下列不等式成立的是()A．a(chǎn)>eq\f(a,b)>eq\f(a,b2) B．eq\f(a,b2)>eq\f(a,b)>aC．eq\f(a,b)>a>eq\f(a,b2) D．eq\f(a,b)>eq\f(a,b2)>aD[取a＝－2，b＝－2，則eq\f(a,b)＝1，eq\f(a,b2)＝－eq\f(1,2)，∴eq\f(a,b)>eq\f(a,b2)>a.故選D.]3．已知a>b，則下列不等式：①a2>b2；②eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；③eq\f(1,a－b)>eq\f(1,a).其中不成立的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3D[雖然已知a>b，但并不知道a，b的正負，如有2>－3，但22<(－3)2，故①錯；2>－3?eq\f(1,2)>－eq\f(1,3)，②錯；若有a＝1，b＝－2，則eq\f(1,a－b)＝eq\f(1,3)，eq\f(1,a)＝1，eq\f(1,a－b)＜eq\f(1,a)，故③錯．]4．若abcd<0，且a>0，b>c，d<0，則()A．b<0，c<0 B．b>0，c>0C．b>0，c<0 D．0<c<b或c<b<0D[由a>0，d<0，且abcd<0，知bc>0，又∵b>c，∴0<c<b或c<b<0.故選D.]5．若a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，則下列不等式恒成立的是()A．a(chǎn)c＞bc B．a(chǎn)b＞acC．a(chǎn)|b|＞c|b| D．a(chǎn)2＞b2＞c2B[∵a＋b＋c＝0且a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，∴A不正確；對于B，ab＞ac?a(b－c)＞0.又b－c＞0，a＞0，故B正確；由于|b|有可能為0，故C不正確；若a＝2，b＝1，c＝－3，明顯a＋b＋c＝0，但a2＞b2且b2＜c2，故D不正確．]二、填空題6．給出以下四個命題：①a＞b?an＞bn(n∈N*)；②a＞|b|?an＞bn(n∈N*)；③a＜b＜0?eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)；④a＜b＜0?eq\f(1,a－b)＞eq\f(1,a).其中真命題的序號是________．②③[①中取a＝－1，b＝－2，n＝2，不成立；②a＞|b|，得a＞0，∴an＞bn成立；③a＜b＜0，eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)成立；④a＜b＜0，得a－b＜0，且a－b＞a，故eq\f(1,a－b)＜eq\f(1,a)，④不成立．]7．設x＞1，－1＜y＜0，試將x，y，－y按從小到大的依次排列：________．y＜－y＜x[∵－1＜y＜0，∴0＜－y＜1，∴y＜－y，又x＞1，∴y＜－y＜x.]8．若8<x<10，2<y<4，則eq\f(x,y)的取值范圍是________．(2，5)[∵2<y<4，∴eq\f(1,4)<eq\f(1,y)<eq\f(1,2).∵8<x<10，∴2<eq\f(x,y)<5.]三、解答題9．(1)a<b<0，求證：eq\f(b,a)<eq\f(a,b)；(2)已知a>b，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，求證：ab>0.[證明](1)由于eq\f(b,a)－eq\f(a,b)＝eq\f(b2－a2,ab)＝eq\f(（b＋a）（b－a）,ab)，∵a<b<0，∴b＋a<0，b－a>0，ab>0，∴eq\f(（b＋a）（b－a）,ab)<0，故eq\f(b,a)<eq\f(a,b).(2)∵eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，∴eq\f(1,a)－eq\f(1,b)<0，即eq\f(b－a,ab)<0，而a>b，∴b－a<0，∴ab>0.10．已知3＜a＋b＜4，0＜b＜1，求下列各式的取值范圍．(1)a；(2)a－b；(3)eq\f(a,b).[解](1)∵3＜a＋b＜4，0＜b＜1，∴－1＜－b＜0，∴2＜a＋b＋(－b)＜4，即2＜a＜4.(2)∵0＜b＜1，∴－1＜－b＜0.又∵2＜a＜4，∴1＜a－b＜4.(3)∵0＜b＜1，∴eq\f(1,b)＞1，又∵2＜a＜4，∴eq\f(a,b)＞2.11．(多選題)已知a，b，c，d∈R，則下列結(jié)論中不成立的是()A．若a＞b，c＞b，則a＞cB．若a＞－b，則c－a＜c＋bC．若a＞b，c＜d，則eq\f(a,c)＞eq\f(b,d)D．若a2＞b2，則－a＜－bACD[選項A，若a＝4，b＝2，c＝5，明顯不成立；選項C，不滿意倒數(shù)不等式的條件，如a＞b＞0，c＜0＜d時，不成立；選項D，只有當a＞b＞0時才成立．故選ACD.]12．已知條件甲：a＞0，條件乙：a＞b且eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，則甲是乙的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件B[a＞0不能推出a＞b，若a＞b且eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，則a＞b且eq\f(b－a,ab)＞0，可得a＞b且ab＜0，則a＞0，b＜0，即a＞b且eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)能推出a＞0，所以可得甲是乙的必要不充分條件，故選B.]13．x＝eq\r(2)，y＝eq\r(7)－eq\r(3)，z＝eq\r(6)－eq\r(2)，則x，y，z的大小關(guān)系是________．x＞z＞y[y＝eq\r(7)－eq\r(3)＝eq\f(4,\r(7)＋\r(3))，z＝eq\r(6)－eq\r(2)＝eq\f(4,\r(6)＋\r(2))，又∵eq\r(7)＋eq\r(3)＞eq\r(6)＋eq\r(2)＞0，∴z＞y.∵x－z＝eq\r(2)－(eq\r(6)－eq\r(2))＝2eq\r(2)－eq\r(6)＝eq\r(8)－eq\r(6)＞0，∴x＞z，∴x＞z＞y.]14．(一題兩空)李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付勝利后，李明會得到支付款的80%.①當x＝10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，須要支付________元；②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為________．13015[①顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，總價為60＋80＝140(元)，又140＞120，所以實惠10元，顧客實際須要付款130元．②設顧客一次購買的水果總價為m元．由題意易知，當0＜m＜120時，x＝0；當m≥120時，(m－x)×80%≥m×70%，得x≤eq\f(m,8)對隨意m≥120恒成立，又eq\f(m,8)≥15，所以x的最大值為15.]15．(1)用分析法證明：已知n∈N*，eq\r(n＋1)－eq\r(n)＞eq\r(n＋3)－eq\r(n＋2)；(2)用反證法證明：若a，b為正實數(shù)，則eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b).[證明](1)要證eq\r(n＋1)－eq\r(n)＞eq\r(n＋3)－eq\r(n＋2)，只需證eq\r(n＋1)＋eq\r(n＋2)＞eq\r(n)＋eq\r(n＋3)，只需證(eq\r(n＋1)＋eq\r(n＋2))2＞(eq\r(n)＋eq\r(n＋3))2，即證2n＋3＋2eq\r(（n＋1）（n＋2）)＞2n＋3＋2eq\r(n（n＋3）)，即證eq\r(n2＋3n＋2)＞eq\r(n2＋3n)，即證n2＋3n＋2＞n2＋3n，即證2＞0，明顯成立，所以原不等式成立．(2)假設eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))＜eq\r(a)＋eq\r(b)，則有aeq\r(a)＋beq\r(b)＜aeq\r(b)＋beq\