2024-2025學(xué)年廣東省深圳市高一上冊(cè)期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年廣東省深圳市高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試題本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，務(wù)必將自己的班級(jí)、姓名、考生號(hào)填寫在答題卡規(guī)定的位置上.2.答題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).3.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無(wú)效.4.考試結(jié)束后，將答題卡交回.第I卷（選擇題，共60分）一、單項(xiàng)選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)并集的知識(shí)確定正確答案.【詳解】.故選：B2.命題“”否定是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】全稱命題的否定是特稱命題【詳解】命題“”的否定是“”.故選：B3.若函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，開口向上，根據(jù)對(duì)稱軸右側(cè)遞增列出不等式，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，開口向上，其對(duì)稱軸，∵在上是增函數(shù)，∴，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選D.本題主要考查了二次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，注意開口方向和對(duì)稱軸，屬于基礎(chǔ)題．4.函數(shù)是奇函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)題意得到函數(shù)在上是增函數(shù)，，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性求得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)且在上是增函數(shù)，，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，.于是，時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，.所以，的解集為.故選：D.5.已知函數(shù)的最大值為，最小值為，則的值等于（）A.2 B.4 C.6 D.8【正確答案】B【分析】構(gòu)造，確定函數(shù)為奇函數(shù)，得到，計(jì)算得到答案.【詳解】，設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋?，函?shù)為奇函數(shù)，，，，故.故選：B.6.已知，，（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】解：因?yàn)椋?，，，所?

故選：D7.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷．【詳解】易知函數(shù)是增函數(shù)，，，因此有唯一零點(diǎn)在區(qū)間上，故選：C．8.已知在R上是減函數(shù)，那么a的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)各段上的單調(diào)性和分段處的高低可得關(guān)于的不等式組，求出其解后可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)闉樯系臏p函數(shù)，所以，解得，故選：A.二、多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9.下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，，則 D.若，，則【正確答案】BC【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合特殊值判斷.【詳解】A.取特殊值，，，顯然不滿足結(jié)論；B.由可知，，由不等式性質(zhì)可得，結(jié)論正確；C.由同向不等式的性質(zhì)知，，可推出，結(jié)論正確；D.取，滿足條件，顯然不成立，結(jié)論錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的定義域?yàn)镽B.函數(shù)的值域?yàn)镃.函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱D.函數(shù)在R上為增函數(shù)【正確答案】ABD【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合偶函數(shù)定義、單調(diào)性的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A：因?yàn)?，所以函?shù)的定義域?yàn)镽，因此本選項(xiàng)結(jié)論正確；B：，由，所以函數(shù)的值域?yàn)?，因此本選項(xiàng)結(jié)論正確；C：因?yàn)?，所以函?shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不關(guān)于y軸對(duì)稱，因此本選項(xiàng)說(shuō)法不正確；D：因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù)，因?yàn)椋院瘮?shù)是減函數(shù)，因此函數(shù)是增函數(shù)，所以本選項(xiàng)結(jié)論正確，故選：ABD11.設(shè)，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】AC【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及性質(zhì)逐一判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】已知，，對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤；故選：AC.12.定義在上的奇函數(shù)，滿足且在上單調(diào)遞減，，則（）A.函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱B.函數(shù)的周期為6CD.設(shè)，和的圖象所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為【正確答案】ACD【分析】根據(jù)已知條件及奇函數(shù)的定義，利用函數(shù)的對(duì)稱性及周期性，作出函數(shù)的圖象，再利用數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】因?yàn)槎x在上的函數(shù)，滿足，所以，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故A正確；因?yàn)槎x在上的奇函數(shù)，滿足，所以，即，于是有，所以函數(shù)的周期為，故B錯(cuò)誤；，故C正確；因?yàn)槎x在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，，所以在上單調(diào)遞減，，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)圖象也關(guān)于直線對(duì)稱，作出函數(shù)和的圖象，如圖所示由圖可知，函數(shù)和的圖象共有交點(diǎn)，則函數(shù)和的圖象的交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，所以，即，所以和的圖象所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為，故D正確；故選：ACD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.函數(shù)是冪函數(shù)，且在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)__________.【正確答案】2【分析】根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)求參數(shù)m，討論所求得的m判斷函數(shù)是否在上是減函數(shù)，即可確定m值.【詳解】由題設(shè)，，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上遞增，不合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上遞減，符合題設(shè).綜上，.故214.函數(shù)的定義域是___________.【正確答案】且【分析】根據(jù)真數(shù)大于0，分母不為0，即可求得答案.【詳解】由題意得，解得且，所以定義域?yàn)椋呵夜是?5.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是______.【正確答案】【分析】求出函數(shù)的定義域根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法可得答案.【詳解】由得函數(shù)的定義域?yàn)?，為開口向下、對(duì)稱軸為的拋物線，又為增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法得，當(dāng)時(shí)是減函數(shù)，所以的單調(diào)減區(qū)間為.故答案為.16.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)分別為a，b，則的取值范圍是_____________．【正確答案】【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為有2個(gè)不等的根，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，由均值不等式求解即可.【詳解】不妨設(shè)，因函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)分別為a，b，所以，所以，即，且，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)不滿足題意，，即，故答案：四、解答題（本大題共6小題，共70分）17.計(jì)算.（1）（2）【正確答案】（1）（2）5【分析】（1）根據(jù)指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值.【小問(wèn)1詳解】原式；【小問(wèn)2詳解】原式.18.已知關(guān)于x的不等式的解集為或（）.（1）求a，b的值；（2）當(dāng)，，且滿足時(shí)，有恒成立，求k的取值范圍.【正確答案】（1），（2）【分析】（1）方法一：根據(jù)不等式的解集為或，由1和b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根且，利用韋達(dá)定理求解；方法二：根據(jù)不等式的解集為或，由1和b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根且，將1代入求解.（2）易得，再利用“1”的代換，利用基本不等式求解.【小問(wèn)1詳解】解：方法一：因?yàn)椴坏仁降慕饧癁榛?，所?和b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根且，所以，解得方法二：因?yàn)椴坏仁降慕饧癁榛?，所?和b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根且，由1是的根，有，將代入，得或，∴；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，于是有，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，依題意有，即，得，所以k的取值范圍為.19.已知函數(shù)．（1）判斷的奇偶性并證明．（2）當(dāng)時(shí)，判斷的單調(diào)性并證明．【正確答案】（1）為奇函數(shù)，證明見解析（2）在上單調(diào)遞增，證明見解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的判定方法即可；（2）根據(jù)定義法作差變形判定符號(hào)即可.【小問(wèn)1詳解】為奇函數(shù)，證明：函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，，故奇函數(shù).【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，證明：任取，，且，則，∵，∴，，，∴，所以在上單調(diào)遞增.20.已知是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．（1）求的解析式；（2）求不等式的解集．【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用偶函數(shù)的意義求出時(shí)，的解析式即可作答.（2）求出函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性，再借助偶函數(shù)列出不等式，求解作答.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，有，而是偶函數(shù)，則，所以函數(shù)的解析式是.【小問(wèn)2詳解】依題意，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而是偶函數(shù)，由得：，于是得，即有，整理得：，解得，所以不等式的解集為.21.大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵.研究鮭魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)鮭魚的油速（單位：m/s）可以表示為，其中表示魚的耗氧量的單位數(shù).（1）若一條鮭魚的游速為2m/s，求該魚的耗氧量的單位數(shù)；（2）假設(shè)甲鮭魚和乙鮭魚都做勻速直線運(yùn)動(dòng)，乙在甲正前方18m處，12s后甲正好追上乙，求甲鮭魚與乙鮭魚耗氧量的單位數(shù)的比值.【正確答案】（1）8100（2）【分析】（1）將游速為2m/s代入可解出魚的耗氧量的單位數(shù)；（2）先根據(jù)追及問(wèn)題表示出甲乙的速度差，然后根據(jù)可求出各自的耗氧量的單位數(shù)的比值.【小問(wèn)1詳解】由題意得，得.故該魚的耗氧量的單位數(shù)為8100.【小問(wèn)2詳解】設(shè)甲鮭魚的游速為（單位：m/s），耗氧量的單位數(shù)為，乙鮭魚的游速為（單位：m/s），耗氧量的單位數(shù)為.由題意得，則，得，得.22.已