九年級數(shù)學(xué)第八章《綜合型專題突破》綜合測試卷

九年級數(shù)學(xué)第八章《綜合型專題突破》綜合測試卷一、選擇題(每小題3分，共30分)1．小明中午放學(xué)回家自己煮面條吃，有下面幾道工序：(1)洗鍋盛水2min；(2)洗菜3min；(3)準(zhǔn)備面條及佐料2min；(4)用鍋把水燒開7min；(5)用燒開的水煮面條和菜要3min.以上工序除(4)外，一次只能進(jìn)行一道工序，小明要將面條煮好，最少要用(C)A．14minB．13minC．12minD．11min(第2題)2．如圖，兩根竹竿AB和AD斜靠在墻CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，則竹竿AB與AD的長度之比為(B)A.eq\f(tanα,tanβ)B.eq\f(sinβ,sinα)C.eq\f(sinα,sinβ)D.eq\f(cosβ,cosα)【解析】設(shè)AC＝x，則AB＝eq\f(AC,sinα)＝eq\f(x,sinα)，AD＝eq\f(AC,sinβ)＝eq\f(x,sinβ)，∴eq\f(AB,AD)＝eq\f(\f(x,sinα),\f(x,sinβ))＝eq\f(sinβ,sinα).3．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關(guān)，初健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)．”其大意是“有人要去某關(guān)口，路程378里，第一天健步行走，第二天起，由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天才到達(dá)目的地”，則此人第六天走的路程為(C)A．24里B．12里C．6里D．3里【解析】設(shè)第一天走了x里，根據(jù)題意，得xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)＋\f(1,22)＋\f(1,23)＋\f(1,24)＋\f(1,25)))＝378，解得x＝192，故第六天走的路程為eq\f(1,25)×192＝6(里)．4．七巧板是我國祖先的一項(xiàng)卓越創(chuàng)造．下面四幅圖中有三幅是小明用如圖所示的七巧板拼成的，則不是小明拼成的那幅圖是(C)eq\a\vs4\al\co1(,（第4題）)eq\a\vs4\al()【解析】圖C中右下角的三角形和平行四邊形的面積和應(yīng)為整個(gè)七巧板的eq\f(1,4)，與它們貼在一起的三角形的面積也應(yīng)為整個(gè)七巧板的eq\f(1,4)，故它們的面積應(yīng)該相等．但從圖中可以看出該三角形的面積明顯大于右下角的三角形和平行四邊形的面積和，故該圖不是由同一副七巧板拼成的．(第5題)5．如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，Q是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為M，連結(jié)OP，OM.若⊙O的半徑為2，OP＝4，則線段OM的最小值是(B)A．0B．1C．2D．3【解析】連結(jié)OQ，設(shè)線段OP與⊙O相交于點(diǎn)N，連結(jié)MN，則MN是△POQ的中位線，∴MN＝eq\f(1,2)OQ＝1.以點(diǎn)N為圓心，MN長為半徑作圓，與OP相交于點(diǎn)M′，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)M′重合時(shí)，OM的值最小，為ON－MN＝2－1＝1.6．某工廠為了要在規(guī)定期限內(nèi)完成加工2160個(gè)零件的任務(wù)，于是安排15名工人每人每天加工a個(gè)零件(a為整數(shù))，開工若干天后，其中3人外出培訓(xùn)，若剩下的工人每人每天多加工2個(gè)零件，仍不能按期完成這次任務(wù)，則由此可知a的值至少為(B)A．10B．9C．8D．7【解析】設(shè)原計(jì)劃n天完成，開工x天后3人外出培訓(xùn)，則15an＝2160，得an＝144.由題意，得15ax＋12(a＋2)(n－x)＜2160.整理，得ax＋4an＋8n－8x＜720.∵an＝144，∴將其代入化簡，得ax＋8n－8x＜144，即ax＋8n－8x＜an，整理，得8(n－x)＜a(n－x)．∵n＞x，∴n－x＞0，∴a＞8，∴a的值至少為9.7．如圖①，長、寬均為3，高為8的長方體容器放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高為6，繞底面一棱進(jìn)行旋轉(zhuǎn)傾斜后，水面恰好觸到容器口邊緣，圖②是此時(shí)的示意圖，則圖②中水面的高度為(A)(第7題)A.eq\f(24,5)B.eq\f(32,5)C.eq\f(12\r(,34),17)D.eq\f(20\r(,34),17)(第7題解)【解析】如解圖，過點(diǎn)C作CF⊥BG于點(diǎn)F.設(shè)DE＝x，則AD＝8－x.由題意，得eq\f(1,2)(8－x＋8)×3×3＝3×3×6，解得x＝4，∴DE＝4，∴CD＝eq\r(DE2＋CE2)＝eq\r(42＋32)＝5.∵∠BCE＝∠DCF＝90°，∴∠DCE＝∠BCF.又∵∠DEC＝∠BFC＝90°，∴△DCE∽△BCF，∴eq\f(CE,CF)＝eq\f(CD,CB)，即eq\f(3,CF)＝eq\f(5,8)，∴CF＝eq\f(24,5)，即水面高度為eq\f(24,5).8．我們把1，1，2，3，5，8，13，21，…這組數(shù)稱為斐波那契數(shù)列，為了進(jìn)一步研究，依次以這列數(shù)為半徑作90°圓弧，得到eq\o(P1P2,\s\up8(︵))，eq\o(P2P3,\s\up8(︵))，eq\o(P3P4,\s\up8(︵))，…，形成斐波那契螺旋線，然后順次連結(jié)P1P2，P2P3，P3P4，…，得到螺旋折線(如圖)．已知點(diǎn)P1(0，1)，P2(－1，0)，P3(0，－1)，則該折線上的點(diǎn)P9的坐標(biāo)為(B)(第8題)A.(－6，24)B.(－6，25)C.(－5，24)D.(－5，25)【解析】根據(jù)題意得，點(diǎn)P6的坐標(biāo)為(－6，－1)，點(diǎn)P7可以由點(diǎn)P6向右平移8個(gè)單位長度，再向下平移8個(gè)單位長度得到，即坐標(biāo)為(2，－9)；點(diǎn)P8可以由點(diǎn)P7向右平移13個(gè)單位長度，再向上平移13個(gè)單位長度得到，即坐標(biāo)為(15，4)；點(diǎn)P9可以由點(diǎn)P8向左平移21個(gè)單位長度，再向上平移21個(gè)單位長度得到，即坐標(biāo)為(－6，25)．(第9題)9．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝10，連結(jié)AC，BD，以BD為直徑的圓交AC于點(diǎn)E.若DE＝3，則AD的長為(D)A．5B．4C．3eq\r(,5)D．2eq\r(,5)(第9題解)【解析】如解圖，過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F.在Rt△ABC中，∵AB＝5，BC＝10，∴AC＝5eq\r(,5).∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠ACB.又∵∠AFD＝∠CBA＝90°，∴△ADF∽△CAB，∴eq\f(DF,AB)＝eq\f(AD,CA)，∴eq\f(DF,5)＝eq\f(AD,5\r(,5)).設(shè)DF＝x，則AD＝eq\r(5)x.在Rt△ABD中，BD＝eq\r(AD2＋AB2)＝eq\r(5x2＋25).∵∠DEF＝∠DBA，∠DFE＝∠DAB＝90°，∴△DEF∽△DBA，∴eq\f(DE,DB)＝eq\f(DF,DA)，∴eq\f(3,\r(5x2＋25))＝eq\f(x,\r(5)x)，∴x1＝2，x2＝－2(不合題意，舍去)，∴AD＝eq\r(5)x＝2eq\r(,5).10．設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，定義@的一種運(yùn)算如下：a@b＝(a＋b)2－(a－b)2，有下列結(jié)論：①若a@b＝0，則a＝0或b＝0；②a@(b＋c)＝a@b＋a@c；③不存在實(shí)數(shù)a，b，滿足a@b＝a2＋5b2；④設(shè)a，b是矩形的長和寬，若矩形的周長固定，則當(dāng)a＝b時(shí)，a@b最大．其中正確結(jié)論的序號是(C)A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③【解析】由題意，得a@b＝(a＋b)2－(a－b)2.若(a＋b)2－(a－b)2＝0，則(a＋b＋a－b)(a＋b－a＋b)＝0，即4ab＝0，解得a＝0或b＝0，故①正確．∵a@(b＋c)＝(a＋b＋c)2－(a－b－c)2＝4ab＋4ac，a@b＋a@c＝(a＋b)2－(a－b)2＋(a＋c)2－(a－c)2＝4ab＋4ac，∴a@(b＋c)＝a@b＋a@c，故②正確．令a2＋5b2＝(a＋b)2－(a－b)2，整理，得(a－2b)2＋b2＝0，解得a＝0，b＝0，故③錯(cuò)誤．∵a@b＝(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≥4ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號)，a＋b為定值，∴當(dāng)a@b最大時(shí)，a＝b，故④正確．綜上所述，正確的是①②④.二、填空題(每小題4分，共24分)(第11題)11.如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，將矩形ABCD沿BE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處．若EA′的延長線恰好過點(diǎn)C，則sin∠ABE的值為__eq\f(\r(10),10)__．【解析】由折疊知A′E＝AE，A′B＝AB＝6，∠BA′E＝∠BAE＝90°，∴∠BA′C＝90°，∴在Rt△A′CB中，A′C＝eq\r(BC2－A′B2)＝8.設(shè)AE＝x，則A′E＝x，DE＝10－x，CE＝8＋x.在Rt△CDE中，根據(jù)勾股定理，得(10－x)2＋62＝(8＋x)2，解得x＝2，∴AE＝2，∴在Rt△ABE中，BE＝eq\r(AB2＋AE2)＝2eq\r(10)，∴sin∠ABE＝eq\f(AE,BE)＝eq\f(\r(10),10).12．閱讀材料：定義：若一個(gè)數(shù)的平方等于－1，則記為i2＝－1，這個(gè)數(shù)i叫做虛數(shù)單位，把形如a＋bi(a，b為實(shí)數(shù))的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部．它的加法、減法和乘法運(yùn)算與整式的加法、減法和乘法運(yùn)算類似．例如，計(jì)算：(4＋i)＋(6－2i)＝(4＋6)＋(1－2)i＝10－i；(2－i)(3＋i)＝6－3i＋2i－i2＝6－i－(－1)＝7－i；(4＋i)(4－i)＝16－i2＝16－(－1)＝17；(2＋i)2＝4＋4i＋i2＝4＋4i－1＝3＋4i.根據(jù)以上信息，完成下面的計(jì)算：(1＋2i)(2－i)＋(2－i)2＝__7－i__．【解析】(1＋2i)(2－i)＋(2－i)2＝2－i＋4i－2i2＋4＋i2－4i＝6－i－i2＝6－i＋1＝7－i.13．將被3整除余數(shù)為1的正整數(shù)，按照如圖所示的規(guī)律排成一個(gè)三角形數(shù)陣，則第20行第19個(gè)數(shù)是__625__．(第13題)【解析】由圖可得，第一行有1個(gè)數(shù)，第二行有2個(gè)數(shù)，第三行有3個(gè)數(shù)，…，則前20行有1＋2＋3＋…＋19＋20＝210(個(gè))數(shù)，∴第20行第20個(gè)數(shù)是1＋3×(210－1)＝628，∴第20行第19個(gè)數(shù)是628－3＝625.14．給出以下命題：①平分弦的直徑垂直于這條弦；②已知點(diǎn)A(－1，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)均在反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k＜0)的圖象上，則y2＜y3＜y1；③若關(guān)于x的不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<－1，,x>a))無解，則a≥－1；④將點(diǎn)A(1，n)向左平移3個(gè)單位到點(diǎn)A1，再將點(diǎn)A1繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)A2，則點(diǎn)A2的坐標(biāo)為(－n，－2)．其中所有真命題的序號是__②③④__．【解析】平分弦(不是直徑)的直徑垂直于這條弦，故①錯(cuò)誤．反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k＜0)的圖象在第二、四象限，當(dāng)x＜0時(shí)，y＞0；當(dāng)x＞0時(shí)，y＜0，且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大，故y2<y3<y1，故②正確．若關(guān)于x的不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<－1，,x>a))無解，則a≥－1，故③正確．將點(diǎn)A(1，n)向左平移3個(gè)單位到點(diǎn)A1，則點(diǎn)A1(－2，n)．將點(diǎn)A1繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)A2，則點(diǎn)A2(－n，－2)，故④正確．綜上所述，真命題的序號是②③④.15．所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊長為邊向外作正方形構(gòu)成，它可以驗(yàn)證勾股定理．在如圖所示的勾股圖中，已知∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4.作△PQR使得∠R＝90°，點(diǎn)H在邊QR上，點(diǎn)D，E在邊PR上，點(diǎn)G，F(xiàn)在邊PQ上，則△PQR的周長等于27＋13eq\r(,3)．(第15題)(第15題解)【解析】如解圖，延長BA交QR于點(diǎn)M，連結(jié)AR，AP.∵AC＝GC，BC＝FC，∠ACB＝∠GCF，∴△ABC≌△GFC(SAS)，∴∠FGC＝∠BAC＝30°，∴∠HGQ＝60°.∵∠HAC＝∠BAD＝90°，∴∠BAC＋∠DAH＝180°.∵∠PRQ＝∠ADE＝90°，∴AD∥QR，∴∠AMR＝∠BAD＝90°，∠RHA＋∠DAH＝180°，∴∠RHA＝∠BAC＝30°，∴∠QHG＝60°，∴△QHG是等邊三角形，∠Q＝60°.∵AC＝AB·cos30°＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(,3)，∴QH＝HG＝HA＝AC＝2eq\r(,3).易知HM＝AH·cos30°＝2eq\r(,3)×eq\f(\r(3),2)＝3，MR＝AD＝AB＝4，∴QR＝2eq\r(,3)＋3＋4＝7＋2eq\r(,3)，∴QP＝2QR＝14＋4eq\r(,3)，PR＝eq\r(3)QR＝7eq\r(,3)＋6，∴△PQR的周長等于RP＋QP＋QR＝27＋13eq\r(,3).16．在一空曠場地上設(shè)計(jì)一落地為矩形ABCD的小屋，AB＋BC＝10m．拴住小狗的10m長的繩子一端固定在點(diǎn)B處，小狗在不能進(jìn)入小屋內(nèi)的條件下活動(dòng)，其可以活動(dòng)的區(qū)域面積為S(m2)．(1)如圖①，若BC＝4m，則S＝__88π__m2.(2)如圖②，現(xiàn)考慮在矩形ABCD小屋的右側(cè)以CD為邊拓展一正△CDE區(qū)域，使之變成落地為五邊形ABCED的小屋，其他條件不變，則在BC的變化過程中，當(dāng)S取得最小值時(shí)，邊BC的長為__eq\f(5,2)__m.eq\a\vs4\al\co1(,（第16題）)【解析】(1)易知在點(diǎn)B處是以點(diǎn)B為圓心，10m為半徑的eq\f(3,4)個(gè)圓；在點(diǎn)A處是以點(diǎn)A為圓心，4m為半徑的eq\f(1,4)個(gè)圓；在點(diǎn)C處是以點(diǎn)C為圓心，6m為半徑的eq\f(1,4)個(gè)圓，∴S＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)×102＋\f(1,4)×42＋\f(1,4)×62))＝88π(m2)．(2)設(shè)BC＝x(m)，則AB＝(10－x)m，∴S＝eq\f(3,4)π×102＋eq\f(30,360)π×(10－x)2＋eq\f(1,4)π×x2＝eq\f(1,3)π(x2－5x＋250)＝eq\f(1,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(325,4)π，∴當(dāng)x＝eq\f(5,2)時(shí)，S最小，∴BC＝eq\f(5,2)m.三、解答題(共66分)17．(6分)如圖，海中有一小島A，它周圍8nmile內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在點(diǎn)B處測得小島A在北偏東60°方向上，航行12nmile到達(dá)點(diǎn)D處，這時(shí)測得小島A在北偏東30°方向上．如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有沒有觸礁的危險(xiǎn)？請說明理由．,(第17題)),(第17題解))【解析】沒有觸礁的危險(xiǎn)．理由如下：如解圖，過點(diǎn)A作AC⊥BD于點(diǎn)C，則AC的長就是點(diǎn)A到BD的最短距離．∵∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，∴∠BAD＝60°－30°＝30°，∠ABD＝180°－90°－60°＝30°，∴∠ABD＝∠BAD，∴AD＝BD＝12nmile.∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，∴CD＝eq\f(1,2)AD＝6nmile，∴AC＝eq\r(122－62)＝6eq\r(,3)≈10.392(nmile)＞8nmile，∴漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，沒有觸礁的危險(xiǎn)．18．(6分)(1)填空：(a－b)(a＋b)＝a2－b2；(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4．(2)猜想：(a—b)(an－1＋an－2b＋…＋abn－2＋bn－1)＝an－bn(其中n為正整數(shù)，且n≥2)．(3)利用(2)中猜想的結(jié)論計(jì)算：29－28＋27－…＋23－22＋2.【解析】(3)在公式(a—b)(an－1＋an－2b＋…＋abn－2＋bn－1)＝an－bn中，令a＝2，b＝－1，n＝10，則[2－(－1)](29－28＋27－…＋23－22＋2－1)＝210－(－1)10，∴29－28＋27－…＋23－22＋2－1＝eq\f(210－（－1）10,[2－（－1）])＝eq\f(1023,3)＝341，∴29－28＋27－…＋23－22＋2＝341＋1＝342.19．(6分)甲、乙兩家綠化養(yǎng)護(hù)公司各自推出了校園綠化養(yǎng)護(hù)服務(wù)的收費(fèi)方案．(第19題)甲公司方案：每月的養(yǎng)護(hù)費(fèi)用y(元)與綠化面積x(m2)是一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示．乙公司方案：當(dāng)綠化面積不超過1000m2時(shí)，每月收取費(fèi)用5500元；當(dāng)綠化面積超過1000m2時(shí)，每月在收取5500元的基礎(chǔ)上，超過部分每平方米收取4元．(1)求甲公司方案中y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式(不要求寫出自變量的取值范圍)．(2)如果某校目前的綠化面積是1200m2，試通過計(jì)算說明：選擇哪家公司的服務(wù)，每月的綠化養(yǎng)護(hù)費(fèi)用較少．【解析】(1)設(shè)y＝kx＋b，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝400，,100k＋b＝900，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝5，,b＝400，))∴y＝5x＋400.(2)當(dāng)綠化面積是1200m2時(shí)，甲公司每月的養(yǎng)護(hù)費(fèi)用為5×1200＋400＝6400(元)，乙公司每月的養(yǎng)護(hù)費(fèi)用為5500＋4×200＝6300(元)．∵6300＜6400，∴選擇乙公司的服務(wù)，每月的綠化養(yǎng)護(hù)費(fèi)用較少．20．(8分)如圖，某旅游景區(qū)為方便游客，修建了一條東西走向的木棧道AB，棧道AB與景區(qū)道路CD平行．在C處測得棧道一端A位于北偏西42°方向，在D處測得棧道另一端B位于北偏西32°方向．已知CD＝120m，BD＝80m，求木棧道AB的長度(精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin32°≈eq\f(17,32)，cos32°≈eq\f(17,20)，tan32°≈eq\f(5,8)，sin42°≈eq\f(27,40)，cos42°≈eq\f(3,4)，tan42°≈eq\f(9,10))．,(第20題)),(第20題解))【解析】如解圖，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AB，交AB的延長線于點(diǎn)F，則CE∥DF.又∵AB∥CD，∴四邊形CDFE是矩形，∴EF＝CD＝120m，DF＝CE.在Rt△BDF中，∵∠BDF＝32°，BD＝80m，∴DF＝BD·cos32°≈80×eq\f(17,20)＝68(m)，BF＝BD·sin32°≈80×eq\f(17,32)＝eq\f(85,2)(m)，∴BE＝EF－BF＝eq\f(155,2)m.在Rt△ACE中，∵∠ACE＝42°，CE＝DF＝68m，∴AE＝CE·tan42°≈68×eq\f(9,10)＝eq\f(306,5)(m)，∴AB＝AE＋BE＝eq\f(306,5)＋eq\f(155,2)≈139(m)．答：木棧道AB的長度約為139m.21．(8分)某校為打造書香校園，計(jì)劃購進(jìn)甲、乙兩種規(guī)格的書柜放置新購置的圖書．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若購買甲種書柜3個(gè)，乙種書柜2個(gè)，則共需資金1020元；若購買甲種書柜4個(gè)，乙種書柜3個(gè)，則共需資金1440元．(1)求甲、乙兩種書柜的單價(jià)．(2)若該校計(jì)劃購進(jìn)這兩種規(guī)格的書柜共20個(gè)，其中乙種書柜的數(shù)量不少于甲種書柜的數(shù)量，學(xué)校至多提供資金4320元，請?jiān)O(shè)計(jì)幾種購買方案供這個(gè)學(xué)校選擇．【解析】(1)設(shè)甲種書柜的單價(jià)為x元，乙種書柜的單價(jià)為y元，由題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y＝1020，,4x＋3y＝1440，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝180，,y＝240.))答：甲種書柜的單價(jià)為180元，乙種書柜的單價(jià)為240元．(2)設(shè)甲種書柜購買m個(gè)，則乙種書柜購買(20－m)個(gè)．由題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20－m≥m，,180m＋240（20－m）≤4320，))解得8≤m≤10.∵m為整數(shù)，∴m＝8，9，10.共有三種購買方案：方案一，購買甲種書柜8個(gè)，乙種書柜12個(gè)；方案二，購買甲種書柜9個(gè)，乙種書柜11個(gè)；方案三，購買甲種書柜10個(gè)，乙種書柜10個(gè)．22．(10分)如圖，已知AB是⊙O的直徑，P是⊙O上一點(diǎn)，連結(jié)OP，點(diǎn)A關(guān)于OP的對稱點(diǎn)C恰好落在⊙O上．(1)求證：OP∥BC.(第22題)(2)過點(diǎn)C作⊙O的切線CD，交AP的延長線于點(diǎn)D.若∠D＝90°，DP＝1，求⊙O的直徑．【解析】(1)∵點(diǎn)A關(guān)于OP的對稱點(diǎn)C恰好落在⊙O上，∴eq\o(AP,\s\up8(︵))＝eq\o(PC,\s\up8(︵))，∠AOP＝∠COP，∴∠AOP＝eq\f(1,2)∠AOC.∵∠ABC＝eq\f(1,2)∠AOC，∴∠AOP＝∠ABC，∴OP∥BC.(2)連結(jié)PC.∵CD為⊙O的切線，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠APO＝∠COP.∵∠AOP＝∠COP，∴∠APO＝∠AOP，∴OA＝AP.又∵OA＝OP，∴△APO為等邊三角形，∴∠AOP＝60°.又∵OP∥BC，∴∠OBC＝∠AOP＝60°.又∵OC＝OB，∴△BCO為等邊三角形，∴∠COB＝60°，∴∠POC＝180°－(∠AOP＋∠COB)＝60°.又∵OP＝OC，∴△POC也為等邊三角形，∴∠PCO＝60°，PC＝OP＝OC.又∵∠OCD＝90°，∴∠PCD＝30°.又∵∠D＝90°，∴DP＝eq\f(1,2)PC.又∵PC＝OP＝eq\f(1,2)AB，∴DP＝eq\f(1,4)AB，∴AB＝4DP＝4.23．(10分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－1，0)，且OA＝OC＝4OB，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)．(第23題)(1)求A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．(3)若P是直線AC下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PD⊥AC于點(diǎn)D，當(dāng)PD的值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及PD的最大值．【解析】(1)∵OA＝OC＝4OB＝4，∴點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為(4，0)，(0，－4)．(2)設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝a(x＋1)(x－4)＝a(x2－3x－4)，把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入，得－4a＝－4，解得a＝1，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2－3x－4.(3)易得直線CA的函數(shù)表達(dá)式為y＝x－4.過點(diǎn)P作y軸的平行線交AC于點(diǎn)H.∵OA＝OC＝4，∴∠OAC＝∠OCA＝45°.∵PH∥y軸，∴∠PHD＝∠OCA＝45°.設(shè)點(diǎn)P(x，x2－3x－4)，則點(diǎn)H(x，x－4)，∴PD＝HP·sin∠PHD＝eq\f(\r(2),2)(x－4－x2＋3x＋4)＝－eq\f(\r(2),2)x2＋2eq\r(,2)x＝－eq\f(\r(2),2)(x－2)2＋2e