2025年北師大新版高一數(shù)學(xué)下冊階段測試試卷含答案

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年北師大新版高一數(shù)學(xué)下冊階段測試試卷含答案考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學(xué)校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五總分得分評卷人得分一、選擇題(共8題，共16分)1、角的終邊在（）

A.第一象限。

B.第二象限。

C.第三象限。

D.第四象限。

2、已知則A.B.C.D.3、【題文】設(shè)x,y滿足則x+y的取值范圍為（）A.B.C.D.4、【題文】設(shè)m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是()A.若則B.若則C.若則D.若則5、設(shè)是等差數(shù)列，若則數(shù)列前8項的和為()．A.56B.64C.80D.1286、直線y=-x+1的傾斜角為（）A.30°B.45°C.135°D.150°7、已知OA鈫?=(cos15鈭?,sin15鈭?)OB鈫?=(cos75鈭?,sin75鈭?)

則|AB鈫?|=(

)

A.2

B.3

C.2

D.1

8、已知函數(shù)f(x)=2(x+1)

若f(婁脕)=1婁脕=(

)

A.0

B.1

C.2

D.3

評卷人得分二、填空題(共6題，共12分)9、某同學(xué)動手做實驗：《用隨機模擬的方法估計圓周率的值》，在左下圖的正方形中隨機撒豆子，每個豆子落在正方形內(nèi)任何一點是等可能的，若他隨機地撒50粒統(tǒng)計得到落在圓內(nèi)的豆子數(shù)為39粒，則由此估計出的圓周率的值為____．（精確到0.01）10、已知數(shù)列的前幾項和為那么這個數(shù)列的通項公式=____.11、已知則。12、【題文】函數(shù)的定義域為__________________.13、已知集合A={x|1≤x≤2}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，則實數(shù)a的取值范圍是____，若A∩B=?，則a的范圍為____．14、已知平面向量=(1，-3)，=(4，-2)，λ+與垂直，則λ=____________．評卷人得分三、證明題(共6題，共12分)15、初中我們學(xué)過了正弦余弦的定義，例如sin30°=，同時也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根據(jù)如圖，設(shè)計一種方案，解決問題：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，設(shè)AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面積S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．16、如圖；過圓O外一點D作圓O的割線DBA，DE與圓O切于點E，交AO的延長線于F，AF交圓O于C，且AD⊥DE．

（1）求證：E為的中點；

（2）若CF=3，DE?EF=，求EF的長．17、如圖，設(shè)△ABC是直角三角形，點D在斜邊BC上，BD=4DC．已知圓過點C且與AC相交于F，與AB相切于AB的中點G．求證：AD⊥BF．18、已知G是△ABC的重心，過A、G的圓與BG切于G，CG的延長線交圓于D，求證：AG2=GC?GD．19、已知ABCD四點共圓，AB與DC相交于點E，AD與BC交于F，∠E的平分線EX與∠F的平分線FX交于X，M、N分別是AC與BD的中點，求證：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分別平分∠MFN與∠MEN．20、如圖；過圓O外一點D作圓O的割線DBA，DE與圓O切于點E，交AO的延長線于F，AF交圓O于C，且AD⊥DE．

（1）求證：E為的中點；

（2）若CF=3，DE?EF=，求EF的長．評卷人得分四、解答題(共4題，共32分)21、在△ABC中；已知B=45°，D是BC上一點，AD=5，AC=7，DC=3，求AB的長．

22、【題文】如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面

（Ⅰ）求證：平面

（Ⅱ）若直線與平面所成角的正弦值為求的值。

（Ⅲ）現(xiàn)將與四棱柱形狀和大小完全相同的兩個四棱柱拼成一個新的四棱柱，規(guī)定：若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案，問共有幾種不同的拼接方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為寫出的解析式。（直接寫出答案，不必說明理由）23、已知AB=2a；在以AB為直徑的半圓上有一點C，設(shè)AB中點為O，∠AOC=60°．

（1）在上取一點P；若∠BOP=2θ，把PA+PB+PC表示成θ的函數(shù)；

（2）設(shè)f（θ）=PA+PB+PC，當(dāng)θ為何值時f（θ）有最大值，最大值是多少？24、已知函數(shù)f（x）=cos2x+sinxcosx；x∈R

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；

（2）當(dāng)函數(shù)f（x）取得最大值時；求自變量的集合；

（3）用五點法作出函數(shù)f（x）在一個周期內(nèi)的圖象．評卷人得分五、綜合題(共3題，共12分)25、拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）過點A（1；-3），B（3，-3），C（-1，5），頂點為M點．

（1）求該拋物線的解析式．

（2）試判斷拋物線上是否存在一點P；使∠POM=90°．若不存在，說明理由；若存在，求出P點的坐標(biāo)．

（3）試判斷拋物線上是否存在一點K，使∠OMK=90°，若不存在，說明理由；若存在，求出K點的坐標(biāo)．26、已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c和一次函數(shù)g（x）=-bx，其中實數(shù)a、b、c滿足a＞b＞c，a+b+c=0．

（1）求證：兩函數(shù)的圖象相交于不同的兩點A；B；

（2）求線段AB在x軸上的射影A1B1長的取值范圍．27、已知：甲；乙兩車分別從相距300（km）的M、N兩地同時出發(fā)相向而行；其中甲到達N地后立即返回，圖1、圖2分別是它們離各自出發(fā)地的距離y（km）與行駛時間x（h）之間的函數(shù)圖象．

（1）試求線段AB所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；并寫出自變量的取值范圍；

（2）當(dāng)它們行駛到與各自出發(fā)地距離相等時，用了（h）；求乙車的速度；

（3）在（2）的條件下，求它們在行駛的過程中相遇的時間．參考答案一、選擇題(共8題，共16分)1、B【分析】

因為角=

其終邊與的終邊相同；

因為的終邊在第二象限；

所以角的終邊在第二象限；

故選B．

【解析】【答案】由于角=所以終邊與的終邊相同，因為的終邊在第二象限，所以角的終邊在第二象限．得到答案．

2、C【分析】【解析】試題分析：依題意可知，所以考點：本小題主要考查集合的運算.【解析】【答案】C3、A【分析】【解析】

考點：對數(shù)運算及基本不等式。

由可得且即由基本不等式可知則當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.

點評：此題考查基本不等式變形形式屬中下檔題型【解析】【答案】A4、D【分析】【解析】構(gòu)造一個正方體，將各選項中的條件對應(yīng)于正方體中的線和面，不難知道，A，B，C是典型錯誤命題，選D．【解析】【答案】D5、B【分析】【解答】根據(jù)題意，由于是等差數(shù)列，若那么可知，5d=10.d=2,因此首項為1，那么可知數(shù)列的前8項的和為8+故可知答案為B.

【分析】主要是考查了等差數(shù)列的通項公式以及求和公式的運用，屬于基礎(chǔ)題。6、C【分析】解：可得直線y=-x+1的斜率為-1；

設(shè)傾斜角為α；則tanα=-1；

∴α=135°

故選：C．

由直線方程可得直線的斜率；進而可得傾斜角．

本題考查直線的傾斜角和斜率的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．【解析】【答案】C7、D【分析】解：隆脽OA鈫?=(cos15鈭?,sin15鈭?)OB鈫?=(cos75鈭?,sin75鈭?)

隆脿AB鈫?=OB鈫?鈭?OA鈫?=(cos75鈭?鈭?cos15鈭?,sin75鈭?鈭?sin15鈭?)

則|AB鈫?|=(cos75鈭?鈭?cos15鈭?)2+(sin75鈭?鈭?sin15鈭?)2

=cos275鈭?+cos215鈭?+sin275鈭?+sin215鈭?鈭?2(cos75鈭?cos15鈭?+sin75鈭?sin15鈭?)

=2鈭?2cos60鈭?=2鈭?2隆脕12=1

．

故選：D

．

由已知向量的坐標(biāo)求得AB鈫?

的坐標(biāo)；代入向量模的計算公式求解．

本題考查平面向量坐標(biāo)減法運算，考查向量模的求法，是基礎(chǔ)題．【解析】D

8、B【分析】解：隆脽f(婁脕)=2(婁脕+1)=1

隆脿婁脕+1=2

故婁脕=1

故選B．

根據(jù)f(婁脕)=2(婁脕+1)=1

可得婁脕+1=2

故可得答案．

本題主要考查了對數(shù)函數(shù)概念及其運算性質(zhì)，屬容易題．【解析】B

二、填空題(共6題，共12分)9、略

【分析】【解析】試題分析：設(shè)正方形的邊長為2a,則內(nèi)切圓的半徑為a，由題意∴考點：本題考查了幾何概型的應(yīng)用【解析】【答案】3.1210、略

【分析】當(dāng)時，【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】13、a≥2|a≤1【分析】【解答】解：根據(jù)題意；集合A={x|1≤x≤2}，在數(shù)軸上表示為：

若A∩B=A；則有A?B，必有a≥2；

若A∩B=?；必有a≤1；

故答案為：a≥2；a≤1．

【分析】根據(jù)題意，將集合A在數(shù)軸上表示出來，對于第一空，若A∩B=A，則有A?B，即A是B的子集，結(jié)合集合A在數(shù)軸上的表示，分析可得a的范圍，對于第二空，若A∩B=?，即A、B沒有公共部分，分析可得答案．14、略

【分析】解：

()?(λ+4)×1+(-3λ-2)×(-3)=0?λ=-1；

故答案為-1．【解析】-1三、證明題(共6題，共12分)15、略

【分析】【分析】（1）過點C作CE⊥AB于點E；根據(jù)正弦的定義可以表示出CE的長度，然后利用三角形的面積公式列式即可得解；

（2）根據(jù)S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根據(jù)正弦與余弦的定義分別把BD、AD、CD，AB，AC轉(zhuǎn)化為三角形函數(shù)，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）過點C作CE⊥AB于點E；

則CE=AC?sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB?CE=c?bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根據(jù)題意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB?ACsin（α+β）=BD?AD+CD?AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．16、略

【分析】【分析】要證E為中點，可證∠EAD=∠OEA，利用輔助線OE可以證明，求EF的長需要借助相似，得出比例式，之間的關(guān)系可以求出．【解析】【解答】（1）證明：連接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圓O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

?OE∥AD

=＞E為的中點．

（2）解：連CE；則∠AEC=90°，設(shè)圓O的半徑為x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圓O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE?EF=AD?CF

DE?EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC?FA=3x（3+2）=15

∴EF=17、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割線定理：AG2=AF?AC，可證明△BAF∽△AED，則∠ABF+∠DAB=90°，從而得出AD⊥BF．【解析】【解答】證明：作DE⊥AC于E；

則AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中點；

∴AG=ED．

∴ED2=AF?AE；

∴5ED2=AF?AE；

∴AB?ED=AF?AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．18、略

【分析】【分析】構(gòu)造以重心G為頂點的平行四邊形GBFC，并巧用A、D、F、C四點共圓巧證乘積．延長GP至F，使PF=PG，連接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四邊形，故GF=2GP．從而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四點共圓，從而GA、GF=GC?GD．于是GA2=GC?GD．【解析】【解答】證明：延長GP至F；使PF=PG，連接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四邊形GBFC是平行四邊形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵過A；G的圓與BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四點共圓；

∴GA；GF=GC?GD；

即GA2=GC?GD．19、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性質(zhì)知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四邊形ABCD內(nèi)接于圓，則∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，聯(lián)立①②，即可證得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分別是∠AFB和∠AED的角平分線，等量代換后可證得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可連接AX，此時發(fā)現(xiàn)∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可證得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲證∠MFX=∠NFX，必須先證得∠AFM=∠BFN，可通過相似三角形來實現(xiàn)；首先連接FM、FN，易證得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通過等量代換，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圓周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可證得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，進一步可證得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可證得EX是∠MEN的角平分線．【解析】【解答】證明：（1）連接AX；

由圖知：∠FDC是△ACD的一個外角；

則有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分別是∠AFB、∠AED的角平分線；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性質(zhì)知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）連接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可證得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分別平分∠MFN與∠MEN．20、略

【分析】【分析】要證E為中點，可證∠EAD=∠OEA，利用輔助線OE可以證明，求EF的長需要借助相似，得出比例式，之間的關(guān)系可以求出．【解析】【解答】（1）證明：連接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圓O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

?OE∥AD

=＞E為的中點．

（2）解：連CE；則∠AEC=90°，設(shè)圓O的半徑為x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圓O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE?EF=AD?CF

DE?EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC?FA=3x（3+2）=15

∴EF=四、解答題(共4題，共32分)21、略

【分析】

法一：在△ADC中，由余弦定理得：

∵∠ADC∈（0；π），∴∠ADC=120°；

∴∠ADB=180°-∠ADC=60°

在△ABD中，由正弦定理得：

法二：在△ADC中，由余弦定理得

∵∠ACD∈（0，π），∴

在△ABC中，由正弦定理得：

故答案為：

【解析】【答案】法一：先在△ADC中用余弦定理求出∠ADC的余弦值；進而求出∠ADC，再根據(jù)互補求出∠ADB，然后在△ABD中用正弦定理就可求出AB的長；

法二：先在△ADC中用余弦定理求出∠ACD的余弦值；在根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出∠ACD的正弦，然后在△ABC中用正弦定理就可求出AB的長．

22、略

【分析】【解析】（Ⅰ）取中點連接

四邊形為平行四邊形。

且

在中，

即又所以

平面平面

又

平面

（Ⅱ）以為原點，的方向為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

所以

設(shè)平面的法向量則由

得取得

設(shè)與平面所成角為則

解得．故所求的值為1

（Ⅲ）共有種不同的方案。

立體幾何第一問對于關(guān)系的決斷往往基于對公理定理推論掌握的比較熟練；又要善于做出一線輔助線加以證明，那么第二問就可以在其基礎(chǔ)上采用坐標(biāo)法處理角度或者距離問題，坐標(biāo)法所用的公式就必需熟練掌握，第三問主要考查了學(xué)生的空間思維能力，要在平時多加練習(xí)。此題坐標(biāo)法也很考驗學(xué)生的計算功底。

【考點定位】本題主要考查立體幾何中線線關(guān)系線面關(guān)系的判斷以及線面角的算法，并且通過第三問的設(shè)問又把幾何體的表面積與函數(shù)巧妙的結(jié)合起來，計算和空間思維要求比較高。屬于難題。【解析】【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）1（Ⅲ）共有種不同的方案。

23、略

【分析】

（1）在三角形中使用余弦定理求出PA；PB、PC的長度；使用二倍角公式及兩角和差的三角公式進行化簡．

（2）利用兩角和差的三角公式進一步化簡f（θ）的解析式到關(guān)于某一個角的正弦函數(shù)的形式；利用正弦函數(shù)的最值；

求出f（θ）的最大值；并求出此時θ的值．

本題考查余弦定理；二倍角的余弦公式、兩角和差的三角公式的應(yīng)用；以及利用正弦函數(shù)的有界性求函數(shù)的最值；

要注意θ的范圍．【解析】解：（1）由題意知；AB為直徑的半圓的半徑為a，0°＜2θ＜120°，∴0°≤θ≤60°；

△PAO中，由余弦定理得PA==2acosθ；

同理可求得PB==2asinθ；

PC==2asin（60°-θ）；

∴PA+PB+PC=2asinθ+2acosθ+2asin（60°-θ）=2asinθ+2acosθ+2a（cosθ-sinθ）

=asinθ+（2+）acosθ．

（2）f（θ）=PA+PB+PC=asinθ+（2+）acosθ=2a（sinθ+cosθ）

令cosα=sinα=則f（θ）=2asin（θ+α）；

取銳角α，則α=arcsin＞45°，故當(dāng)θ=90°-arcsin時；sin（θ+α）=1取得最大值；

此時，f（θ）取最大值2a．24、略

【分析】

（1）化簡先求f（x）的解析式；由周期公式即可求出最小正周期．

（2）令2x+=2kπ+即可解得{x|x=kπ+k∈Z}；

（3）列表描點即可用五點法作出函數(shù)f（x）在一個周期內(nèi)的圖象．

本題主要考察了五點法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象，三角函數(shù)的周期性及其求法，兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，屬于基本知識的考察．【解析】解：（1）∵f（x）=cos2x+sinxcosx=cos2x+sin2x=sin（2x+）

∴最小正周期為π；

（2）令2x+=2kπ+即可解得{x|x=kπ+k∈Z}；

（3）列表如下：。x-2x+0π2πsin（2x+）+-作圖如下：

五、綜合題(共3題，共12分)25、略

【分析】【分析】（1）將A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5）三點坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c中，列方程組求a、b；c的值；得出拋物線解析式；

（2）拋物線上存在一點P，使∠POM=90?．設(shè)（a，a2-4a）；過P點作PE⊥y軸，垂足為E；過M點作MF⊥y軸，垂足為F，利用互余關(guān)系證明Rt△OEP∽Rt△MFO，利用相似比求a即可；

（3）拋物線上必存在一點K，使∠OMK=90?．過頂點M作MN⊥OM，交y軸于點N，在Rt△OMN中，利用互余關(guān)系證明△OFM∽△MFN，利用相似比求N點坐標(biāo)，再求直線MN解析式，將直線MN解析式與拋物線解析式聯(lián)立，可求K點坐標(biāo)．【解析】【解答】解：（1）根據(jù)題意，得，解得；

∴拋物線的解析式為y=x2-4x；

（2）拋物線上存在一點P；使∠POM=90?．

x=-=-=2，y===-4；

∴頂點M的坐標(biāo)為（2；-4）；

設(shè)拋物線上存在一點P，滿足OP⊥OM，其坐標(biāo)為（a，a2-4a）；

過P點作PE⊥y軸；垂足為E；過M點作MF⊥y軸，垂足為F．

則∠POE+∠MOF=90?；∠POE+∠EPO=90?．

∴∠EPO=∠FOM．

∵∠OEP=∠MFO=90?；

∴Rt△OEP∽Rt△MFO．

∴OE：MF=EP：OF．

即（a2-4a）：2=a：4；

解得a1=0（舍去），a2=；

∴P點的坐標(biāo)為（，）；

（3）過頂點M作MN⊥OM；交y軸于點N．則∠FMN+∠OMF=90?．

∵∠MOF+∠OMF=90?；

∴∠MOF=∠FMN．

又∵∠OFM=∠MFN=90?；

∴△OFM∽△MFN．

∴OF：MF=MF：FN．即4：2=2：FN．∴FN=1．

∴點N的坐標(biāo)為（0；-5）．

設(shè)過點M，N的直線的解析式為y=kx+b，則；

解得，∴直線的解析式為y=x-5；

聯(lián)立得x2-x+5=0，解得x1=2，x2=